Bài giảng Thống kê trong kinh tế và kinh doanh: Chương 5 - Điều tra chọn mẫu

Bài giảng Thống kê trong kinh tế và kinh doanh: Chương 5 - Điều tra chọn mẫu được biên soạn với mục đích giúp các em sinh viên trình bày được xác suất và quy luật phân phối xác suất; tìm hiểu những vấn đề chung về điều tra chọn mẫu; ước lượng kết quả điều tra chọn mẫu; kiểm định giả thuyết thống kê. Mời quý thầy cô và các em cùng tham khảo.

Chương 5 ĐIỀU TRA CHỌN MẪU

III

ƯỚC LƯỢNG KẾT QUẢ ĐIỀU TRA CHỌN MẪU

IV

KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ

Xác suất và quy luật phân phối xác suất

• Biến ngẫu nhiên

• Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

Biến ngẫu nhiên (Random Variables)

• Biến ngẫu nhiên là biến nhận một trong các giá trị có thể có của nó tuỳ

thuộc vào sự tác động của các nhân tố ngẫu nhiên trong một phép thử

• Biến ngẫu nhiên là biến mà các giá trị không được xác định trước qua mỗi

lần thực nghiệm (phép thử) (experiment)

• Biến ngẫu nhiên thường được ký hiệu bằng chữ in hoa X, Y, Z…; các giá

trị của nó được ký hiệu bằng chữ thường x, y, z…

• Biến ngẫu nhiên liên tục (discrete random variable)

• Biến ngẫu nhiên rời rạc (continuous random variable)

Xác suất (Probability)

• Xác suất của một biến cố là một con số đặc trưng khả năng khách quan

xuất hiện biến cố đó khi thực hiện phép thử

Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu

nhiên (Probability Distribution)

Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên là sự tương ứng giữa

giá trị có thể có của nó và xác suất tương ứng với giá trị đó

0

Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu

nhiên

Các phương pháp được sử dụng phổ biến để mô tả quy luật phân phối

xác suất của biến ngẫu nhiên gồm:

• Bảng phân phối xác suất (áp dụng cho biến ngẫu nhiên rời rạc)

• Hàm phân phối xác suất (áp dụng cho cả hai loại biến ngẫu nhiên rời rạc

và liên tục)

• Hàm mật độ xác suất (áp dụng cho biến ngẫu nhiên liên tục)

Bảng phân phối xác suất (Probability table)

• Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận các giá trị x1,x2, , xnvới các xác

suất tương ứng pi = p (X = xi), i=1÷n, bảng phân phối xác suất của biến

Hàm phân phối xác suất (Probability function)

• Hàm phân phối (phân bố) xác suất của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu là F(x),

là xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận giá trị nhỏ hơn x, với x là một số

Hàm phân phối xác suất

• F(x) luôn nhận giá trị trong đoạn [0,1]: 0 ≤ F(x) ≤ 1

• Nếu a là giá trị nhỏ nhất có thể có của X và b là giá trị lớn nhất có thể có

của X thì: F (x) = 0 với x ≤ a; F (x) = 1 với x > b

• F(x) là hàm không giảm, tức với x2> x1: F(x2) ≥ F(x1)

• Hàm phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên liên tục bên trái

Hàm F(x) cho biết tỷ lệ phần trăm giá trị của X nằm về bên trái của số thực x

Hàm mật độ xác suất (Probability density

function)

• Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X, ký hiệu là f(x) là đạo hàm bậc nhất

của hàm phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên đó.

f(x) = F’(x)

• Hàm f(x) luôn không âm: f(x) ≥ 0

• Xác suất để biến ngẫu nhiên liên tục X nhận giá trị trong khoảng (a,b) bằng tích phân xác

định của hàm mật độ phân phối trong khoảng đó: 𝑃 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 = ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

• Hàm phân bố xác suất F(x) của biến ngẫu nhiên liên tục X bằng tích phân suy rộng của

hàm mật độ xác suất trong khoảng (-∞,x): 𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

• Tích phân suy rộng trong khoảng (-∞,+ ∞) của hàm mật độ xác suất bằng 1:

∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1

Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X tại mỗi điểm cho biết mức độ tập trung

xác suất tại điểm đó.

Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên

• Kỳ vọng toán (Expected value, mean) của biến ngẫu nhiên X là một số, ký

Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên

• Phương sai (Variance) của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu là V(X) là kỳ vọng

toán của bình phương sai lệch của biến ngẫu nhiên so với kỳ vọng toán

Giá trị tới hạn (Critical value)

• Giá trị tới hạn mức 𝛼 của biến ngẫu nhiên liên tục X, ký hiệu là 𝑥 , là giá trị

của X thỏa mãn điều kiện:

𝑃(𝑋 > 𝑥 ) = 𝛼

• Giá trị tới hạn 𝑥 là giá trị sao cho diện tích giới hạn bởi trục hoành,

đường cong hàm mật độ xác suất và đường thẳng x= 𝑥 bằng 𝛼

f(x)

x𝛼

𝑥

Quy luật phân phối không – một A(p)

• Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong hai giá trị có thể có là 0 hoặc 1

với các xác suất tương ứng được cho bởi công thức:

P(X=x) = pxq1−x trong đó 0<p<1, q=1-p và x=0;1

→ được gọi là có phân phối theo quy luật 0-1 với tham số p, ký hiệu X ~ A(p)

• E(X) = 0 x q + 1 x p = p 𝐸 𝑋 = 𝑝

• V X = 𝐸 𝑋 − 𝐸 𝑋 = 𝑝 − 𝑝 = 𝑝 1 − 𝑝 = 𝑝𝑞

Áp dụng với các biến định tính chỉ có hai thuộc tính/phạm trù

Quy luật phân phối nhị thức B(n,p)

(Binomial Probability Distribution)

• Biến ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là có phân phối theo quy luật nhị thức

với các tham số là n và p, ký hiệu X ~ B (n,p), nếu X nhận một trong các

giá trị 0, 1, 2, , n với xác suất tương ứng cho bởi công thức Bernoulli:

𝑃 = 𝐶 𝑝 𝑞 với x = 0, 1, 2, …, n

• E(X) = np

• V(X) = npq

Quy luật phân phối nhị thức B(n,p)

Quy luật nhị thức theo tỷ lệ

• Tần suất xuất hiện biến cố A trong n phép thử độc lập: f = X / n

• Tần suất f vẫn phân phối theo quy luật nhị thức với các tham số n, p

• 𝐸 𝑓 = 𝐸 = 𝐸 𝑋 = = 𝑝

Quy luật phân phối chuẩn (Normal

Probability Distribution)

• Biến ngẫu nhiên liên tục X nhận các giá trị trong khoảng (-∞,+∞) gọi là

tuân theo quy luật phân phối chuẩn với các tham số 𝜇 và 𝜎 , nếu hàm mật

Quy luật phân phối chuẩn

• Khi X ~ N (𝜇, 𝜎 ), ta có: E(X) = 𝜇 V(X) = 𝜎

• Đường cong mật độ có dạng hình chuông, đối xứng qua đường x = μ và nhận Ox

làm tiệm cận ngang Đỉnh của hàm mật độ đạt tại:

Quy luật phân phối chuẩn hóa (Standard

Normal Probability Distribution)

• Biến ngẫu nhiên liên tục U nhận các giá trị trong khoảng (-∞,+∞) gọi là

tuân theo quy luật phân phối chuẩn hóa nếu hàm mật độ xác suất của nó,

Quy luật phân phối chuẩn hóa

• Khi U ~ N(0;1), ta có: E(U)=0 V(U)=1

• Đường cong biểu diễn mật độ của U đối xứng qua trục tung và nhận trục

hoành làm tiệm cận ngang, đỉnh đạt tại:

Quy luật phân phối chuẩn hóa

• Giá trị tới hạn chuẩn mức 𝛼, ký hiệu là 𝑢 là giá trị của biến ngẫu nhiên U có

phân phối chuẩn hóa thỏa mãn: P (U> 𝑢 )= 𝛼, với 0 ≤ 𝛼 ≤ 1

• Các giá trị của 𝑢 được tính sẵn thành bảng.

𝑢𝑢

Quy luật phân phối chuẩn hóa

• Với biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn X ~ N (𝜇, 𝜎 ), có thể thông qua phép

biến đổi thích hợp để đưa về trường hợp biến ngẫu nhiên chuẩn hóa.

𝑍 =𝑥 − 𝜇𝜎

• Khi đó, ta có biến ngẫu nhiên chuẩn hóa Z ~ N(0;1).

• Khi X nhận giá trị trong khoảng (a,b) thì:

Φ −𝑢 = - Φ 𝑢 Với mọi u>5: Φ 𝑢 ≈ Φ 5 = 0,5 Φ 𝑢 = 0,5 + Φ 𝑢

Quy tắc hai xích ma và ba xích ma

• Trong một số trường hợp phải tính xác suất để biến ngẫu nhiên X phân phối

chuẩn nhận giá trị sai lệch so với kỳ vọng toán của nó, tức:

Quy luật phân phối t Student

• Biến ngẫu nhiên liên tục T gọi là phân phối theo qui luật Student với n bậc

tự do nếu hàm mật độ xác xuất của nó được xác định như sau:

𝑓 𝑡 =   ( )

( ) 1 + ∀𝑡Trong đó: Γ(x) là hàm Gamma

Quy luật phân phối t Student

• Giá trị tới hạn Studen, ký hiệu là 𝑡( )là giá trị của biến ngẫu nhiên T phân

phối theo qui luật Student với n bậc tự do, thỏa mãn:

Khi số bậc tự do tăng lên, phân phối

Student hội tụ nhanh về phân phối

chuẩn hóa.

→ Nếu n khá lớn (n>30) có thể dùng

phân phối chuẩn hóa thay thế cho

phân phối Student

Quy luật phân phối Fisher

• Biến ngẫu nhiên liên tục F gọi là phân phối theo quy luật Fisher với n1 và

n2bậc tự do nếu hàm mật độ xác suất của nó được xác định là:

Quy luật phân phối Fisher

• Giá trị tới hạn Fisher, ký hiệu là 𝑓( , )là giá trị của biến ngẫu nhiên F

phân phối theo qui luật Fisher với n1và n2bậc tự do, thỏa mãn:

Những vấn đề chung về điều tra chọn mẫu

Một số khái niệm liên quan

Ưu, nhược điểm của điều tra chọn mẫu

Trường hợp vận dụng điều tra chọn mẫu

Các cách chọn mẫu

• Phân phối mẫu

• Định lý giới hạn trung tâm

Một số khái niệm liên quan

Điều tra chọn mẫu là loại hình điều tra không toàn bộ, trong đó người ta

chỉ chọn ra một số đơn vị đủ lớn thuộc đối tượng nghiên cứu để tiến hành

điều tra thực tế

→Các đơn vị này được chọn theo những quy tắc nhất định để đảm bảo tính

đại biểu và kết quả của ĐTCM được dùng để suy rộng cho toàn bộ hiện

tượng

Một số khái niệm liên quan

Tổng thể chung là tổng thể bao gồm toàn bộ các đơn vị thuộc đối tượng

điều tra

Tổng thể mẫu là tổng thể bao gồm một số đơn vị nhất định được chọn ra

từ tổng thể chung để tiến hành điều tra thực tế

Suy rộng (ước lượng): từ các mức độ tính toán được trên các đơn vị điều

tra (tổng thể mẫu) suy ra các tham số tương ứng của toàn bộ hiện tượng

(tổng thể chung)

• Suy rộng số bình quân theo một tiêu thức

• Suy rộng tỷ lệ theo một tiêu thức

Một số khái niệm liên quan

Ưu, nhược điểm của điều tra chọn mẫu

 Ưu điểm

 Tiết kiệm (chi phí, nhân lực)

 Có thể mở rộng nội dung điều tra

 Tài liệu thu được trên mẫu có độ chính xác cao

 Nhanh gọn, đảm bảo tính kịp thời

 Nhược điểm

 Không cho biết thông tin đầy đủ về tổng thể

 Không tránh khỏi sai số khi suy rộng

 Kết quả điều tra không thể tiến hành phân tổ theo mọi phạm vi nghiên cứu

Sai số trong điều tra chọn mẫu

• Sai số do đăng ký, ghi chép

• Sai số chọn mẫu

• Vi phạm nguyên tắc chọn mẫu ngẫu nhiên

• Số lượng đơn vị mẫu không đủ lớn

• Kết cấu tổng thể mẫu khác với kết cấu tổng thể chung

Trường hợp vận dụng của điều tra chọn mẫu

• Thay thế cho điều tra toàn bộ

• Kết hợp với điều tra toàn bộ

• Kiểm định giả thuyết thống kê

Các phương pháp chọn mẫu

Chọn ngẫu nhiên (chọn xác suất): là kỹ thuật chọn mẫu mà mỗi đơn vị

trong tổng thể có một xác suất được chọn đã biết và khác 0

Các phương pháp chọn mẫu ngẫu nhiên

• Chọn ngẫu nhiên giản đơn

Các phương pháp chọn mẫu

 Chọn phi ngẫu nhiên (chọn phi xác suất): là kỹ thuật chọn mẫu mà các đơn vị

của mẫu được chọn dựa trên những đánh giá cá nhân hoặc sự thuận tiện.

→ Xác suất được chọn của mỗi đơn vị trong tổng thể là không biết.

 Các phương pháp chọn mẫu phi ngẫu nhiên

• Nó cho phép xác định phân phối mẫu của một thống kê mẫu

• Có thể xác định xác suất của bất kỳ sai số chọn mẫu nào và thực hiện suy

luận cho các đặc trưng của tổng thể

Chọn mẫu ngẫu nhiên giản đơn

• Là một trong các phương pháp chọn mẫu phổ biến nhất, gồm:

• Chọn từ tổng thể giới hạn: xác định được qui mô TTC là N

• Chọn lặp (chọn hoàn lại, chọn nhiều lần): mỗi đơn vị của tổng thể có thể

có nhiều hơn 1 cơ hội được chọn vào mẫu nghiên cứu

Số mẫu có thể có:

• Chọn không lặp (chọn không hoàn lại, chọn một lần): mỗi đơn vị của tổng

thể chỉ có 1 cơ hội được chọn vào mẫu nghiên cứu

• Số mẫu có thể có:

• Chọn từ tổng thể vô hạn: không xác định được qui mô TTC

n n

Nk





Phân phối mẫu

Phân phối trung bình mẫu: là phân phối xác suất của tất cả cá giá trị có

thể của trung bình mẫu 𝒙

Từ mẫu ngẫu nhiên kích thước n, với các quan sát có giá trị là x1, x2,….xn

Trung bình mẫu là:

Giá trị kỳ vọng của 𝑥̅ là trung bình của tổng thể chung 𝜇:

Độ lệch chuẩn của trung bình mẫu là: 𝜎 ̅ =  

n

x x

Phân phối mẫu

Phân phối tỷ lệ mẫu

Từ mẫu ngẫu nhiên kích thước n, x là biến ngẫu nhiên thỏa mãn tiêu thức

nghiên cứu nào đó

Tỷ lệ mẫu là:

Giá trị kỳ vọng của tỷ lệ mẫu là tỷ lệ của tổng thể chung p: E(f) = 𝑝

Độ lệch chuẩn của tỷ lệ mẫu là: 𝜎 =   ( )

n

n

f  *

𝜎 còn gọi là sai số chuẩn của tỷ lệ

Phân phối mẫu

• Khi một tổng thể có phân phối chuẩn, phân phối mẫu của 𝑥̅ cũng có phân

phối chuẩn với bất kỳ cỡ mẫu nào

• Trong phần lớn các ứng dụng, phân phối mẫu của 𝑥̅ có thể được coi là xấp

xỉ chuẩn khi cỡ mẫu từ 30 trở lên

• Trong trường hợp tổng thể có phân phối lệch nhiều hoặc có lượng biến đột

xuất, cỡ mẫu cần thiết nhỏ nhất là 50

• Phân phối mẫu của 𝑥̅ có thể được sử dụng để cho biết thông tin xác xuất

về việc trung bình mẫu 𝑥̅ gần với trung bình tổng thể µ như thế nào

• Phân phối mẫu của 𝒑̄ xấp xỉ phân phối chuẩn nếu np > 5 và n(1 – p) > 5

Định lý giới hạn trung tâm

• Khi tổng thể không có phân phối chuẩn, định lý giới hạn trung tâm sẽ giúp

xác định hình dáng của phân phối mẫu 𝑥̅

ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂMKhi lựa chọn các mẫu ngẫu nhiên kích thước n

từ tổng thể chung, phân phối mẫu của trung bìnhmẫu 𝒙 có thể là xấp xỉ phân phối chuẩn khi cỡ mẫu

càng lớn

Ước lượng kết quả điều tra chọn mẫu

Trung bình, m, chưa biết

40 & 60

TB = 50Lấy mẫu

Ước lượng kết quả điều tra chọn mẫu

Ước lượng khoảng tin cậy

Ước lượng số bình quân của tổng thể chung

Ước lượng tỷ lệ theo một tiêu thức của tổng thể chung

Xác định quy mô mẫu

Ước lượng khoảng tin cậy

• Đưa ra một khoảng giá trị dựa trên quan sát từ 1 tổng thể mẫu

• Tìm giá trị gần nhất đối với các tham số của tổng thể chung

• Khoảng tin cậy luôn tương ứng với 1 xác suất nhất định

• Xác suất đó không bao giờ đạt 100%

Ước lượng khoảng tin cậy

 Xác suất để tham số của tổng thể chung rơi vào trong khoảng tin cậy gọi là

độ tin cậy (level of confidence), là (1-α)%

 Ví dụ: 90%, 95%, 99%

 α là xác suất để tham số của tổng thể chung không rơi vào trong khoảng

tin cậy, gọi là mức ý nghĩa (significance level)

Khoảng tin cậy(Confidence interval)

Thống kê mẫu (Statistics)

Giới hạn tin cậy

(Giới hạn dưới)

Lower limit

Giới hạn tin cậy(Giới hạn trên) Upper limit

Ước lượng số bình quân và tỷ lệ của TTC

 Công thức ước lượng

• Để ước lượng khoảng tin cậy cho trung bình của TTC, phạm vi sai số

chọn mẫu phụ thuộc vào độ lệch chuẩn của TTC б hoặc độ lệch chuẩn

của TTM S

𝒙̄ ± Phạm vi sai số chọn mẫu (𝜺𝒙)𝒙̄ ± Phạm vi sai số chọn mẫu (𝜺𝒙)f± Phạm vi sai số chọn mẫu (𝜺𝒇)f± Phạm vi sai số chọn mẫu (𝜺𝒇)

Ước lượng số bình quân và tỷ lệ của TTC

Phân phối mẫucủa 𝑥̅

Phân phối mẫucủa 𝑥̅

Xác suất(1 -)

Ước lượng số bình quân của TTC

Trường hợp đã biết phương sai (б2) (hoặc chưa biết phương sai

nhưng mẫu lớn)

• Khoảng tin cậy hai phía:

• Khoảng tin cậy phía phải:

• Khoảng tin cậy phía trái:

Ước lượng số bình quân của TTC

Trường hợp chưa biết phương sai

• Khoảng tin cậy hai phía:

• Khoảng tin cậy phía phải:

• Khoảng tin cậy phía trái:

x

n x

t

2 / 2

Ước lượng tỷ lệ của TTC

• Khoảng tin cậy hai phía:

• Khoảng tin cậy phía phải:

• Khoảng tin cậy phía trái:







Lưu ý

• Hệ số tin cậy zαlà giá trị tới hạn mức α của phân phối chuẩn hoá

• Hệ số tin cậy tαlà giá trị tới hạn mức α của phân phối Student

• 𝜎 ̅ và 𝜎 là sai số bình quân chọn mẫu (hoặc sai số chuẩn)

Sai số bình quân chọn mẫu

2s

(

2

N

n n

x  s 

s

) 1 (

2

N

n n

S

s n

f

f

s

Lưu ý

• Sự khác biệt giữa hai phương pháp chọn hoàn lại và chọn không hoàn lại

chính là (1 – n/N) Do đó, ta luôn có sai số bình quân chọn mẫu theo cách

chọn hoàn lại lớn hơn sai số bình quân chọn mẫu theo cách chọn không

hoàn lại

• Khi n nhỏ hơn rất nhiều so với N thì khi đó n/N nhỏ và (1-n/N) gần với 1

Do vậy có thể chọn theo cách không hoàn lại nhưng sử dụng công thức

của chọn hoàn lại để tính sai số bình quân chọn mẫu cho đơn giản

Xác định quy mô mẫu

Yêu cầu:

• Sai số nhỏ nhất

• Chi phí thấp nhất

Xác định quy mô mẫu

z n



s

.

z N n

z n







) 1 (

) 1 (

.

2 2

2

p p z N

p p z N n

f  







Xác định quy mô mẫu

Các nhân tố ảnh hưởng tới kích thước mẫu điều tra

• Hệ số tin cậy (z)/Trình độ tin cậy

• Phương sai (độ đồng đều) của tổng thể chung (s2)

• Phạm vi sai số chọn mẫu (𝜀 ̅ hoặc 𝜀 ) (sampling error)

• Phương pháp tổ chức chọn mẫu

n z

.

t /2(,n 1) x /2(,n 1)

 n

) 1 ( f

z /2

Lưu ý

Trong trường hợp chưa biết phương sai của TTC, có thể sử dụng một

trong các cách sau:

• Lấy phương sai (s2) lớn nhất trong các lần điều tra trước (nếu có) Trong

trường hợp ước lượng tỷ lệ, chọn tỷ lệ (p) gần 0,5 nhất

• Lấy phương sai hoặc tỷ lệ của các cuộc điều tra khác có tính chất tương

tự (nếu có)

• Điều tra thí điểm để xác định phương sai

• Ước lượng phương sai dựa vào khoảng biến thiên

6

6 max min

x x





s

Kiểm định giả thuyết thống kê

Một số vấn đề chung về kiểm định giả thuyết thống kê

Kiểm định giả thuyết về số trung bình

Kiểm định giả thuyết về tỷ lệ