Hệ thức về góc và cạnh trong tam giác vuông A Lý thuyết Cho tam giác ABC vuông tại A Có AB = c, AC = b, BC = a Ta có các hệ thức giữa góc và cạnh trong tam giác vuông Cạnh góc vuông = (cạnh huyền) x ([.]
Trang 1Hệ thức về góc và cạnh trong tam giác vuông
A Lý thuyết
Cho tam giác ABC vuông tại A Có AB = c, AC = b, BC = a
Ta có các hệ thức giữa góc và cạnh trong tam giác vuông:
Cạnh góc vuông = (cạnh huyền) x (sin góc đối) = (cạnh huyền) x (cos góc kề)
ca.sin Ca.cos B
ba.sin B a.cosC
Cạnh góc vuông = (cạnh góc vuông còn lại) x (tan góc đối) = (cạnh góc vuông còn lại) x (cot góc kề)
cb.tan Cb.cot B
bc.tan B c.cot C
B Các dạng bài
Dạng 1: Giải tam giác vuông
Phương pháp giải:
Tính độ dài các cạnh và số đo các góc dựa vào dữ kiện cho trước của bài toán
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và các góc của một tam giác vuông để tính toán
Ví dụ minh họa:
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A Biết BC = 10cm, C30o Tính AB, AC
Trang 2Giải:
+) Áp dụng hệ thức giữa góc và cạnh trong tam giác vuông ta có:
ca.sin C
o
c 10.sin30
1
c 10
2
c = AB = 5 (cm)
ba.cosC
o
b 10.cos30
3
b 10
2
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A Có BC = 16cm, o
C30 Tính số đo B
và AC
Giải:
+) Áp dụng hệ thức giữa góc và cạnh trong tam giác vuông ta có:
ACBC.cosC
Trang 3o 3
AC 16.cos30 16 8 3(cm)
2
+) Vì tam giác ABC vuông tại A nên ta có:
o
B C 90
o
Dạng 2: Tính số đo góc, cạnh, đoạn thẳng trong tam giác thường
Phương pháp giải:
Bằng cách kẻ thêm đường cao ta làm xuất hiện tam giác vuông để áp dụng các
hệ thức giữa cạnh và góc thích hợp
Ví dụ minh họa:
Bài 1: Cho tam giác ABC có AH là đường cao ứng với cạnh BC Biết o
B30 ,
AB = 10cm Tính BH
Giải:
Xét tam giác ABH vuông tại H (do AH là đường cao)
+) Áp dụng hệ thức giữa góc và cạnh trong tam giác vuông ta có:
BHAB.cos B
o
BH 10.cos30
3
2
Bài 2: Cho tam giác ABC có B60o, hình chiếu của cạnh AB trên BC có độ dài là 4cm, AB : AC = 1 : 2 Tính độ dài AB, AC và số đo C
Trang 4Giải:
+) Kẻ đường cao AH, HB chính là hình chiếu của AB trên BC +) Xét tam giác AHB vuông tại H:
Áp dụng hệ thức giữa góc và cạnh trong tam giác vuông ta có:
HB AB.cos B
HB
AB
cos B
o
4 AB
cos 60
4
AB 8
1
2
AHAB.sin B
o
AH 8.sin 60
3
2
+) Ta lại có AB : AC = 1 : 2 AC = 2ABAC = 2.8 = 16 (cm) +) Xét tam giác AHC vuông tại H ta có:
AHAC.sin C
AH
sin C
AC
sin C
o
C 25 39'
Dạng 3: Bài toán thực tế
Phương pháp giải:
Trang 5Vẽ hình minh họa đề bài (thường là tam giác vuông, tam giác thường có đường cao) Áp dụng hệ thức về góc và cạnh trong tam giác vuông để tính toán giá trị bài toán yêu cầu
Ví dụ minh họa:
Bài 1: Để hái một buồng cau xuống, người nông dân phải đặt thang tre sao cho
đầu thang tre đạt độ cao đến buồng cau đó, khi đó góc của thang tre với mặt đất
là 60 , biết chiếc thang dài 8m Tính độ cao cây cau (coi cây cau thẳng đứng) o Giải:
+) Ta có hình vẽ: AB là cây cau, AC là mặt đất, BC là cái thang
+) Xét tam giác ABC vuông tại A
Áp dụng hệ thức về góc và cạnh trong tam giác vuông:
AB BC.sin C
o
AB 8.sin 60
3
2
(m)
Vậy cây cau cao khoảng 6,9m
Bài 2: Một máy bay đang bay Khi bay hạ cánh xuống mặt đất, đường đi của
máy bay tạo một góc 5 với mặt đất Biết từ khi hạ cánh đến khi tiếp đất, máy o bay bay được quãng đường 20km Vậy từ độ cao bao nhiêu kilômét so với mặt đất phải bắt đầu cho máy bay hạ cánh ?
Giải:
Trang 6+) Ta có hình vẽ: A là điểm máy bay bắt đầu hạ cánh C là điểm máy bay tiếp đất AC là quãng đường bay
+) Xét tam giác ABC vuông tại B
Áp dụng hệ thức về góc và cạnh trong tam giác vuông:
ABAC.sin C
o
AB 20.sin5
AB 1,74
Vậy độ cao 1,74 kilômét so với mặt đất phải bắt đầu cho máy bay hạ cánh
C Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A Biết B 50 o, AB = 8cm Tính BC, AC
Đáp án: AC = 9,53cm; BC = 12,45cm
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A Biết BC = 10cm, AC = 6cm Tính AB và
số đo B,C
Trang 7Đáp án: AB = 8cm; o o
C53 8';B36 52'
Bài 3: Cho tam giác MPN vuông tại P Có đường cao PK, biết PN = 6cm,
o
N45 Tính độ dài PK
Đáp án: PK 3 2 (cm)
Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD Có đường chéo AC = 10cm, BAC30o Tính
độ dài cạnh AB
Đáp án: AB 5 3 (cm)
Bài 5: Cho tam giác ABC có đường cao AH Biết AH = 4cm,C34o Tính AC
Đáp án: AC = 7,15cm
Bài 6: Cho tam giác ABC có đường cao AH Biết AH = 7cm,
o
ABC45 ,BAC 104 o Tính AC
Trang 8Đáp án: AC = 14cm
Bài 7: Cho tam giác ABC có AH là đường cao Biết AB = 7cm,
o
ABC56 , o
BAC 80 Tính BH,CH
Đáp án: BH = 3,91cm ; CH = 6cm
Bài 8: Cho hình thoi ABCD Biết độ dài đường chéo AC = 10cm, BAC30o Tính độ dài đường chéo BD
Đáp án: BD 10
3
(cm)
Bài 9: Tháp đèn có hình bát giác, cao 66 m so với mực nước biển Ngọn đèn đặt
trong tháp có thể phát sáng xa 40 km Môt người trên biển muốn quan sát ngọn hải đăng có độ cao 66 m, người đó đứng trên mũi thuyên và dùng giác kế đo
Trang 9được góc giữa thuyền và tia nắng chiều từ đỉnh ngọn hải đăng đến thuyền là o
25 Tính khoảng cách của thuyền đến ngọn hải đăng
Đáp án: 142m
Bài 10: Trường bạn An có một chiếc thang dài 6 mét Cần đặt chân thang cách
chân tường một khoảng cách bằng bao nhiêu để nó tạo được với mặt đất một góc
“an toàn” là o
65
Đáp án: 2,5m
Bài 11: Từ một đài quan 350 m so với mực nước biển, người ta nhìn thấy một
chiếc thuyền bị nạn dưới góc 20 so với phương ngang của mực nước biển o
Muốn đến cứu con thuyền thì phải đi quãng đường dài bao nhiêu mét?
Đáp án: 961,6m
Bài 12: Thang xếp chữ A gồm 2 thang đơn tựa vào nhau Để an toàn, mỗi thang
đon tạo với mặt đất một góc khoảng o
75 Nếu muốn tạo một thang xếp chữ A cao 2m tính từ mặt đất thì mỗi thang đơn phải dài bao nhiêu ?
Đáp án: 2,07m