50 bài tập về cách tính diện tích tam giác bằng tỉ số lượng giác (có đáp án 2022) toán 9

Cách tính diện tích tam giác bằng tỉ số lượng giác A Lý thuyết Ôn lại các công thức tính tỉ số lượng giác của góc nhọn và công thức tính diện tích tam giác Cho tam giác ABC vuông tại A (như hình vẽ) T[.]

Cách tính diện tích tam giác bằng tỉ số lượng giác

A Lý thuyết

Ôn lại các công thức tính tỉ số lượng giác của góc nhọn và công thức tính diện tích tam giác

Cho tam giác ABC vuông tại A (như hình vẽ)

Ta có các tỉ số lượng giác của góc nhọn như sau:

sin= cạnh đối / cạnh huyền = AC

BC

cos= cạnh kề / cạnh huyền = AB

BC

tan = cạnh đối / cạnh kề = AC

AB

cot = cạnh kề / cạnh đối = AB

AC Công thức tính diện tích tam giác (dùng cho tất cả tam giác):

Diện tích = 1

2 (đường cao) x (cạnh đáy tương ứng) Tức là: Cho tam giác ABC có đường cao AH ứng với cạnh BC

ABC

1

S AH.BC

2



của tam giác, quan sát ở Bài 1 phần ví dụ mịnh họa dưới đây

B Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho tam giác nhọn ABC Chứng minh rằng SABC 1.AB.AC.sin BAC

2



Giải:

+) Vẽ tam giác nhọn ABC như hình, có đường cao BH

+) Xét tam giác ABH vuông tại H:

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn ta có:

BH

sin A

AB



BH AB.sin A AB.sin BAC

+) Mà SABC 1.BH.AC

2



ABC

S AB.sin BAC.AC AB.AC.sin BAC

Nhận xét: Như vậy ta có thêm một cách tính diện tích tam giác nữa

Tổng quát như sau: Diện tích của một tam giác bằng nửa tích hai cạnh nhân với sin của góc nhọn tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh ấy

Bài 2: Cho tam giác ABC như hình vẽ Có B30o, AB = 5 cm, BC = 8 cm Tính diện tích tam giác ABC

Giải:

Cách 1:

+) Kẻ đường cao AH ứng với cạnh BC Xét tam giác AHB vuông tại H:

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn ta có:

AH

sin B

AB



AH AB.sin B

AH 5.sin 30 5

2 2

+) Diện tích tam giác ABC:

ABC

1

S AH.BC

2



2 ABC

1 5

S 8 10(cm )

2 2

Cách 2: Ta áp dụng cách tính diện tích tam giác bằng tỉ số lượng giác của góc nhọn

Khi đó diện tích tam giác ABC là

SABC = 1AB.BC.sin ABC 1.5.8.sin 30 10

Bài 3: Cho tam giác ABC, góc A bằng 60 , biết AB + AC = 8 cm Tính giá trị o lớn nhất của diện tích tam giác ABC

Giải:

+) Kẻ đường cao BK ứng với AC Xét tam giác BKA vuông tại K

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn ta có:

BK

sin A

AB



BK AB.sin A

BK AB.sin 60 AB

2

+) Diện tích tam giác ABC:

ABC

1

S BK.AC

2



ABC

S AB .AC

ABC

3

4

+) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương AB và AC ta có:

AB.AB

2



  

2 8 AB.AC

2

 

    

AB.AC 16

+) Từ (1) và (2) ta có:

ABC

ABC

(cm )

Vậy giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ABC là 4 3cm2

C Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH ứng với cạnh BC như hình vẽ

Nhận định nào sau đây là sai ?

A sin BAH BH

AB



B SABC 1.AH.BC

2



C SABC 1.AB.BC.sin B

2



D SABC AB.BC.sin B

Đáp án: D

Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC Chứng minh SABC 1.AC.BC.sin C

2



Đáp án:

AHAC.sin C SABC 1.AH.BC 1AC.BC.sin C

Bài 3: Cho tam giác nhọn MNP có đường cao NK ứng với cạnh MP Chứng

minh rằng: SMNP 1.NP.MP.cos PNK

2

Đáp án:

MNP

NK NP.cos PNK S NK.MP NP.MP.cos PNK

Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC Biết AB=12cm, AC=9cm, A60o Tính diện tích tam giác ABC

ABC

S 27 3(cm )

Bài 5: Cho tam giác nhọn HKI Biết H30 ,Ko 70o, IH=10cm, IK=7cm Tính diện tích tam giác HKI

Đáp án: 2

HKI

S 34,47(cm )

Bài 6: Cho tam giác ABC như hình vẽ Biết AB=14cm, AC=6cm, BAC 120 o Tính diện tích tam giác ABC

ABC

S 21 3(cm )

Bài 7: Cho hình thoi ABCD Biết BAC30o, AB=5cm, AC=7cm Tính diện tích hình thoi ABCD

ABCD

S 17,5(cm )

rằng: 1 1 3

ABAC  AD

Đáp án:

.AB.AC.sin 60 AB.AD.sin 30 AD.AC.sin 30

AB AC AD

Bài 9: Cho tam giác nhọn ABC Có A45o, AB+AC=18(cm) Tính diện tích lớn nhất của tam giác ABC

ABC max

81 2

4



Bài 10: Cho tam giác ABC cân tại A, AB = AC = 5 cm, góc A bằng 30 Trên o tia đối của các tia AB và AC lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM + AN =

6 cm Tính diện tích lớn nhất của tứ giác BCMN

Đáp án: 2

BCNM max