50 bài tập về hệ phương trình có chứa tham số (có đáp án 2022) toán 9

Hệ phương trình chứa tham số m I Lý thuyết Cho hệ phương trình ax by c (*) a ''''x b''''y c'''' + =  + = Để giải hệ phương trình (*) ta thường dùng phương pháp thế hoặc cộng đại số Từ hai phương trình của h[.]

Hệ phương trình chứa tham số m

I Lý thuyết

Cho hệ phương trình ax by c (*)

a 'x b ' y c'





- Để giải hệ phương trình (*) ta thường dùng phương pháp thế hoặc cộng đại số

- Từ hai phương trình của hệ phương trình (*), sau khi dùng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số, ta thu được một phương trình mới gồm một ẩn Khi đó

số nghiệm của phương trình mới bằng số nghiệm hệ phương trình đã cho

Chú ý: Với trường hợp a ';b';c' 0

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất a b

a ' b'

Hệ phương trình vô nghiệm a b c

a ' b' c'

Hệ phương trình vô số nghiệm a b c

a ' b' c'

II Dạng bài tập

Dạng 1: Giải và biện luận hệ phương trình

Phương pháp giải: Để giải và biện luận hệ phương trình (*) ta làm như sau:

Bước 1: Sử dụng các phương pháp giải hệ phương trình cơ bản đã học như thế, cộng đại số, ta thu được phương trình mới (chỉ còn một ẩn)

Bước 2: Giải và biện luận phương trình mới, từ đó đi đến kết luận về giải và biện luận hệ phương trình đã cho

Chú ý: Số nghiệm của hệ phương trình (*) bằng số nghiệm của phương trình mới

Ví dụ 1: Cho hệ phương trình với m là tham số



a) Tìm m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất Tìm nghiệm duy nhất đó

b) Tìm m để hệ phương trình đã cho vô nghiệm

Lời giải:

a)

x my 2m (1)

mx y 1 m (2)





Từ (1) ta có: x = 2m – my thay vào (2) ta được:

m 2m−my + = −y 1 m

Để hệ (*) có nghiệm duy nhất thì phương trình (**) phải có nghiệm duy nhất (**) có nghiệm duy nhất 2

(1 m)(1 m) 0

− 









   −



Khi đó: ( 2) 2

1 m− y= −2m − +m 1

2 2

y

1 m

 =

−

2

y

1 m 1 m

 =

y

1 m m 1

 =

( )( )

(m 1 1 2m)( ) 1 2m

y

Vì x=2m−my

1 2m

m 1

−

+

x

m 1

 =

+

x

m 1

 =

+

2

x

m 1

+

 =

+

Hệ phương trình có nghiêm duy nhất khi và chỉ khi m  và nghiệm duy nhất đó 1

là

2

;

b) Để hệ (*) vô nghiệm thì phương trình (**) phải vô nghiệm

(**) vô nghiệm

2 2



 

+ − 



2



 



m 1

2m(m 1) (m 1) 0

 =



 = −



m 1

(m 1)(2m 1) 0

 =



 = −



m 1

1

m

m 1 2

m 1

  −







 =

 = −





Vậy m = 1 thì hệ phương trình vô nghiệm

Ví dụ 2: Cho hệ phương trình với m là tham số

− =



Tìm điều kiện của m để hệ phương trình có nghiệm

Lời giải:

mx y 2m (1)

4x my m 6 (2)

− =





Từ phương trình (1) ta có:

y = mx – 2m thay vào phương trình (2) ta có:

4x−m(mx−2m)= +m 6

Để hệ phương trình (I) có nghiệm thì phương trình (II) phải có nghiệm

Để phương trình (II) có nghiệm ta có hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: (II) có nghiệm duy nhất

2

(2 m 2)( m) 0

− 





m 2





   −



Trường hợp 2: Phương trình (II) có vô số nghiệm

2

2



 

− − =



2





 =

 = −

 



(m 2)(2m 3) 0

 =



 = −



3 m

2

 =

 = −



 =





Kết hợp hai trường hợp ta được m − thì hệ phương trình luôn có nghiệm 2

Dạng 2: Tìm điều kiện của m để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải:

Bước 1: Đặt điều kiện để hệ phương trình có nghĩa (nếu có)

Bước 2: Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Bước 3: Giải hệ phương trình tìm nghiệm (x; y) theo tham số m

Bước 4: Thay x; y vào điều kiện đề bài và giải điều kiện

Bước 5: Kết luận

Ví dụ 1: Cho hệ phương trình:



 + =

 (với m là tham số)

a) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

b) Tìm m để phương trình có nghiệm x < 0; y > 0

Lời giải:

a) Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

    m 3

Vậy m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất 3

b) Với m = 3 thì hệ phương trình vô nghiệm nên hệ này có nghiệm sẽ là nghiệm duy nhất

Theo bài ra ta có:



 + =



 

− =







(3 m x) 4 m

 

− =



x

3 m

−

 =



 − =



x

3 m

y 1

3 m

−

 =

 

−

 = −



x

3 m

y

3 m

−

 =



 =



x

3 m 1 y

3 m

−

 =

 =



Để y > 0 1 0

3 m

−

−

3 m 0

 − 

 −  −

 

Để x < 0 4 m 0

3 m

−

− Trường hợp 1:

Trường hợp 2:

Kết hợp điều kiện x và y ta thấy để y > 0 và x < 0 thì 3 < m < 4

Ví dụ 2: Tìm m nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất (x; y) và x; y

nguyên



Lời giải:

+ Với m = 0 khi đó hệ trở thành:





1 x

y 2

 =



=

=



(loại vì không phải nghiệm nguyên)

+ Với m hệ phương trình có nghiệm duy nhẩt 0

  

Ta có:





= + −





m 1 mx

y

2

m 1 mx

2

+ −

 =



 

+ −



m 1 mx

y

2

+ −

 =



 



m 1 mx

y

2

+ −

 =



 



2 2

m 1 mx

y

2

x

+ −

 =



 

 =

x

m 1 mx

y

2



=



 

+ −

 =



m 1

x

m 1

m 1 m

y

2

−

 =



=





( )( ) ( 2 )

m 1

x

y

2

−

 =



 =



m 1

x

y

2(2 m)

−

 =



 =



−

 +



Để x nguyên thì m 1

+

Ta có:

1

Để m 1

− 

3

m+2  3 m( +2) Hay (m+ 2) Ư(3)

Ư(3) =  1; 3

Để y nguyên thì 2m 1

+

 +

Ta có:

( )

+

3

m+2

Để m 1

− 

3

m+2  (tương tự câu a) Vậy để hệ phương trình có nghiệm (x; y) nguyên thì m − − − 5; 3; 1;1

Dạng 3: Tìm hệ thức liên hệ giữa các ẩn trong hệ phương trình không phụ thuộc

vào tham số m

Phương pháp giải: Ta thực hiện theo ba bước

Bước 1: Tìm điều kiện của tham số m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất Bước 2: Dùng phương pháp cộng đại số hoặc thế làm mất tham số m

Bước 3: Kết luận

Ví dụ 1: Cho hệ phương trình sau:

+ = −



 + = −

 (m là tham số)

Khi hệ phương trình có nghiệm duy nhất, tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào tham số m

Lời giải:

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất m 1 m 1

Ta có:

+ = −



 + = −



+ = −





Thay (2) vào (1) ta được:

x(-x – y) + y = -1

2

Vậy hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m là − −x2 xy+ + =y 1 0

Ví dụ 2: Cho hệ phương trình

+ = +



 (m là tham số)

Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào tham số m

Lời giải:

x y m 4 (1)

2x 3y 4m (2)

+ = +





Từ (1) ta có: m = x + y – 4 thay vào (2) ta được:

2x + 3y = 4(x + y – 4)

2x + 3y = 4x + 4y – 16

4x +4y – 16 – 2x – 3y = 0

2x + y - 16 = 0

Vậy hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào tham số m là 2x + y – 16 = 0

III Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho hệ phương trình mx 3y 6



 + =

 (m là tham số) Tìm điều kiện của m để

hệ phương trình vô số nghiệm

Bài 2: Cho hệ phương trình 2mx 5y 2



a) Tìm m để hẹ phương trình có nghiệm duy nhất

b) Tìm m nguyên để nghiệm duy nhất (x; y) sao cho x; y nguyên

Bài 3: Cho hệ phương trình mx y 2m

− =



a) Giải phương trình khi m = 1

b) Giải và biện luận hệ phương trình đã cho theo m

Bài 4: Cho hệ phương trình 2mx y 2

+ =



a) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

b) Tìm các giá trị nguyên của m sao cho hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn x nguyên; y nguyên

Bài 5: Cho hệ phương trình mx y 3

+ =



Tìm điều kiện của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhât (x; y) thỏa mãn x > 2;

y > 0

Bài 6: Cho hệ phương trình 2mx y 5



 (m là tham số)

a) Giải hệ phương trình khi m = 1

b) Tìm các giá trị của tham số m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn x –

y = 2

Bài 7: Cho hệ phương trình x my 0



Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m

Bài 8: Cho hệ phương trình 2x 4y m 3



 − = +

Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào tham số m

Bài 9: Cho hệ phương trình 2mx 4y 3



 − = +

 (với m là tham số)

Tìm m để 2x – 3y = 0

Bài 10: Cho hệ phương trình 2mx y 2

+ =



a) Giải hệ phương trình khi m = -1

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (2; -6) c) Giải và biện luận hệ phương trình theo m

d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m e) Tìm m để 4x + 3y = 7

f) Tìm m để x – y > 0