Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây I Lý thuyết 1 Góc ở tâm Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm Cho đường tròn (O) hai điểm A, B nằm trên đường tròn Khi đó AOB là gó[.]
Trang 1Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây
I Lý thuyết
1 Góc ở tâm
- Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm
Cho đường tròn (O) hai điểm A, B nằm trên đường tròn Khi đó AOB là góc ở tâm
- Nếu 0 180 thì cung nằm bên trong góc được gọi là cung nhỏ, cung nằm bên ngoài góc được gọi là cung lớn
- Nếu =180 thì mỗi cung là một nửa đường tròn
- Cung nằm bên trong góc gọi là cung bị chắn Góc bẹt chắn nửa đường tròn
Kí hiệu cung AB là AB
2 Số đo cung
- Số đo của cung AB được kí hiệu là sđ AB
Trang 2- Số đo cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó
Ví dụ trên hình vẽ:
AOB = sđ AB nhỏ (góc ở tâm chắn cung AB )
- Số đo cung lớn bằng hiệu giữa 360 và số đo của cung nhỏ (có chung hai đầu mút với cung lớn)
- Số đo của nửa đường tròn bằng 180, số đo cả đường tròn bằng 360
3 So sánh hai cung
Trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:
- Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau
- Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn thì được gọi là cung lớn hơn
Chú ý: Nếu C là một điểm nằm trên cung AB thì
sđ AB = sđ AC + sđ BC
4 Một số định lí liên hệ giữ cung và dây
Định lí 1:
Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau ta có:
- Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau
- Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau
Định lí 2:
Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hoặc hai đường tròn bằng nhau:
- Cung lớn hơn căng dây lớn hơn
- Dây lớn hơn căng cung lớn hơn
Một số định lý khác:
- Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau
- Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy
Trang 3- Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây (dây không đi qua tâm) thì đi qua điểm chính giữa của cung căng bởi dây ấy
- Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy vừa ngược lại
II Các dạng toán
Dạng 1: Bài toán liên quan đến góc ở tâm, số đo cung
Phương pháp giải: Để tính số đo của góc ở tâm, số đo cung bị chắn ta sử dụng các
kiến thức sau:
- Số đo cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó
- Số đo cung lớn bằng hiệu giữa 360 và số đo của cung nhỏ (có chung hai đầu mút với cung lớn)
- Số đo của nửa đường tròn bằng 180, số đo cả đường tròn bằng 360
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn để tính góc
- Sử dụng quan hệ đường kính và dây cung
Ví dụ 1: Cho hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại M Biết
AMB= 40
a) Tính AMO và AOM
b) Tính số đo cung AB nhỏ và số đo cung AB lớn
Lời giải:
Trang 4a) Vì AM và BM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M
OM là tia phân giác của AMB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Vì AM là tiếp tuyến của đường tròn OA⊥AM (tính chất)
Xét tam giác AOM có:
OAM+AMO+AOM 180= (định lí tổng ba góc trong một tam giác)
b) Vì AM và BM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M
OM là tia phân giác AOB (tính chất)
AOB
2
= AOB=2.70 =140
Ta có: AOB là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB
AOB
= sđ AB nhỏ (định lí góc ở tâm)
sđ AB nhỏ = 140
Số đo AB lớn là:
360 - sđ AB nhỏ = 360 −140 =220
Ví dụ 2: Cho đường tròn (O; R) Vẽ dây AB = R 2 Tính số đo cung nhỏ AB và
số đo cung lớn AB
Lời giải:
Trang 5Gọi I là trung điểm của AB
OI AB
⊥ (tính chất)
AIO 90
Vì I là trung điểm của AB nên IA IB AB R 2
Xét tam giác AOI vuông tại I ta có:
R 2
sin AOI
AOI 45
Xét tam giác AOB có:
OA = OB = R
Do đó tam giác AOB là tam giác cân tại O
OI vừa là đường cao vừa là đường phân giác
AOB 2AOI 2.45 90
Mà AOB là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB
AOB
= sđ AB nhỏ (định lí góc ở tâm)
Trang 6sđ AB nhỏ = 90
Số đo AB lớn là:
360 - sđ AB nhỏ = 360 − =90 270
Dạng 2: Các bài toán liên hệ giữa dây và cung
Phương pháp giải: Để giải các bài toán liên quan đến dây và cung, cần nắm chắc
định nghĩa góc ở tâm và kết hợp với liên hệ giữa cung và dây
Ví dụ 1: Cho đường tròn (O) đường kính AB Từ A và B vẽ hai dây AC và BD sao
cho AC và BD song song với nhau So sánh số đo hai cung nhỏ AC và BD
Lời giải:
Gọi F là trung điểm của AC; G là trung điểm của BD
OF AC
OG BD
⊥
⊥
Mà AC // BD nên O, F, G thẳng hàng
Xét AOFvà BOG có
OA = OB (bán kính)
AOF = BOG(hai góc đối đỉnh)
Trang 7OFA = OGB = 90
Do đóAOF = BOG( cạnh huyền – góc nhọn)
AF = BG mà F là trung điểm của AC, G là trung điểm của BD
AC = BD
Ta có:
AC là dây căng cung nhỏ AC
BD là dây căng cung nhỏ BD
Do đó: sđ AC nhỏ = sđ BD nhỏ (định lý hai day bằng nhau căng hai cung bằng nhau)
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Đường cao AH của
tam giác ABC cắt đường tròn (O) tại D Kẻ đường kính AE của đường tròn (O) Chứng minh:
a) BC song song với DE
b) Tứ giác BCED là hình thang cân
Lời giải:
a) Xét tam giác AED có:
O là trung điểm của AE
Trang 8Mà OA = OE = OD = R
Do đó tam giác AED vuông tại D (tính chất)
ADE 90
Mặt khác AD⊥BC
Do đó DE // BC (quan hệ từ vuông góc đến song song)
b) Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau
Do đó:
sđ CE nhỏ = sđ BDnhỏ (nằm giữa hai dây DE và BC song song với nhau)
Lại có:
sđ CE nhỏ + sđ ED nhỏ = sđCD nhỏ (1)
sđ BD nhỏ + sđ ED nhỏ = sđ BE nhỏ (2)
Từ (1) và (2) sđ CD nhỏ = sđ BE nhỏ
CD = BE (định lý hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau)
Xét tứ giác BCED có:
BC // ED
Tứ giác BCED là hình thang
Lại có CD = BE nên tứ giác BCED là hình thang cân
III Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho đường tròn (O) đường kính AB và cung AC có số đo nhỏ hơn 90 Vẽ
dây CD vuông góc với AB và dây DE song song với AB Chứng minh AC BE=
Bài 2: Cho đường tròn (O) đường kính AB và đường tròn (O’) đường kính AO
Các điểm C, D thuộc đường (O) sao cho B CD;BC BD Các dây AC và AD cắt đường tròn (O’) theo thứ tự tại E và F Hãy so sánh:
a) Độ dài các đoạn thẳng OE và OF;
Trang 9b) Số đo các cung AE;AFcủa đường tròn (O)
Bài 3: Trên cung nhỏ AB của (O), cho hai điểm C và D sao cho cung AB được
chia thành ba phần bằng nhau (AC=CD=DB) Bán kính OC và OD cắt dây AB lần lượt tại E và F
a) Hãy so sánh độ dài các đoạn thẳng AE và FB
b) Chứng minh các đường thẳng AB và CD song song
Bài 4: Cho đường tròn (O; R), lấy điểm M nằm ngoài đường tròn (O) sao cho OM
= 2R Từ M kẻ tiếp tuyến AM và BM với đường tròn (O) (A, B là các tiếp điểm) a) Tính AOM ;
b) Tính AOB và số đo cung nhỏ AB
c) Biết đoạn thẳng OM cắt (O) tại C Chứng minh C là điểm chính giữa của cung nhỏ AB
Bài 5: Cho đường tròn (O; R), B là điểm thuộc (O) Gọi H là trung điểm của OB
Dây CD vuông góc với OB tại H Tính số đo cung nhỏ và cung lớn CD
Bài 6: Cho đường tròn (O) đường kính AB Vẽ hai dây AM và BN song song với
nhau sao cho sđ BM 90 Vẽ dây MD song song với AB Dây DN cắt AB tại E
Từ E vẽ một đường thẳng song song với AM cắt đường thẳng DM tại C Chứng minh:
a) AB vuông góc với DN
b) BC là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Bài 7: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và C là điểm chính giữa của nửa
đường tròn Trên các cung CA và CB lần lượt lấy các điểm M và N sao cho
CM =BN Chứng minh:
a) AM = CN
b) MN = CA = CB
Bài 8: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O) Hãy so sánh các cung
nhỏ AB, AC và BC biết A= 50
Trang 10Bài 9: Cho đường tròn (O; R) và dây cung MN = 3R Kẻ OK vuông góc vớ MN
tại K Hãy tính:
a) Độ dài OK theo R
b) Số đo các góc MOK và MON
c) Số đo cung nhỏ và cung lớn MN
Bài 10: Cho đường tròn (O) đường kính AB Trên cùng nửa đường tròn lấy hai
điểm C, D Kẻ CH vuông góc với AB tại H, CH cắt (O) tại điểm thứ hai là E Kẻ
AK vuông góc với CD tại K, AK cắt (O) tại điểm thứ hai là F Chứng minh:
a) Hai cung nhỏ CF và BD bằng nhau
b) Hai cung nhỏ BFvà DE bằng nhau
c) DE = BF