50 bài tập về góc có đỉnh nằm trong đường tròn, góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn (có đáp án 2022)

Các bài tập về góc có đỉnh nằm trong hoặc có đỉnh nằm ngoài đường tròn I Lý thuyết 1 Góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn a) Khái niệm Góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn là góc có đỉnh là giao điểm[.]

Các bài tập về góc có đỉnh nằm trong hoặc có đỉnh nằm ngoài đường tròn

I Lý thuyết

1 Góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn

a) Khái niệm

- Góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn là góc có đỉnh là giao điểm của hai dây cung của đường tròn và giao điểm đó nằm bên trong đường tròn

Xét hình vẽ ta thấy:

I là giao điểm của AB và CD, I nằm trong đường tròn (O)

Khi đó các góc AIC;CIB;BID;DIAlà cá góc có đỉnh nằm trong đường tròn

b) Định lý

- Số đo của góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn

Xét hình vẽ ta thấy:

AID là góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn

AID = (sđ BnC + sđ AmD):2

2 Góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn

a) Khái niệm

- Góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn là góc có đỉnh là giao điểm của hai dây cung (hoặc tiếp tuyến) và giao điểm này nằm bên ngoài đường tròn

Ba trường hợp góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn

Hình 1: Đỉnh là giao điểm của hai dây cung của đường tròn

Hình 2: Đỉnh là giao điểm của một dây cung và một tiếp tuyến của đường tròn Hình 3: Đỉnh là giao điểm của hai tiếp tuyến của đường tròn

b) Định lí:

- Số đo góc ở đỉnh nằm bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn

Xét hình 2: Góc BIDlà góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn

BID = (sđ BD - sđAC):2

Xét hình 3: BIC là góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn

BIC= (sđ BC- sđAC):2

Xét hình 4: Góc AIClà góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn

AIC= (sđAmC- sđ AnC):2

II Các dạng bài tập

Dạng 1: Chứng minh hai góc bằng nhau hoặc hai đoạn thẳng bằng nhau

Phương pháp giải:

- Sử dụng hai định lý về số đo của góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn, góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn, các hệ quả về góc nội tiếp, góc tạo bởi ta tiếp tuyến và dây cung để chứng minh hai góc bằng nhau

- Dùng hệ thức lượng trong tam giác vuông, định lý Py – ta – go để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

Ví dụ 1: Từ điểm M nằm ngoài đường thẳng (O) vẽ tiếp tuyến MC với C là tiếp

điểm và cát tuyến MAB (A nằm giữa M và B) và A; B; C thuộc (O) Gọi D là điểm chính giữa cung AB không chứa C, CD cắt AB tại I Chứng minh:

a) MCD=BID

b) MI=MC

Lời giải:

a) Ta có:

MCDlà góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung CD

1

MCD

 = sđ CD (định lí) (1)

BID là góc có đỉnh nằm trong đường tròn chắn cung CA và BD

1

BID

2

 = (sđ CA + sđ BD ) (định lí) (2)

Ta có:

Mà AD BD= (do D là điểm chính giữa cung AB )

Do đó CD=CA+BD (3)

Từ (1); (2); (3) MCD=BID (điều phải chứng minh)

b) Ta có:

CIM và BIDlà hai góc đối đỉnh

 = (tính chất)

Mà MCD=BID(chứng minh ở câu a)

Do đó CIM=MCD

Xét tam giác CMI có

CMI

  cân tại M (dấu hiệu nhận biết)

 MI = MC (tính chất)

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) Các tia AI; BI; CI cắt đường

tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D, E, F Dây EF cắt AB, AC lần lượt tại M và N Chứng minh:

a) DI = BD

b) AM = AN

Lời giải:

a) Vì I là tam đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên AI là phân giác A

Mà AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D nên D là điểm chính giữa cung BC

 sđ BD = sđ CD (1)

Vì I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên BI là đường phân giác B

Mà BI cắt đường tròn ngọa tiếp tam giác ABC tại E nên E là điểm chính giữa cung

 sđ AE= sđ EC(2)

Ta có:

BIDlà góc có đỉnh nằm trong đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

1

BID

2

 = (sđ AE+ sđ BD) (3)

IBD là góc nội tiếp của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC chắn cung DE

1

IBD

2

Mà DE=EC+CDnên IBD 1

2

= (sđ EC+ sđ CD) (4)

Từ (1) (2) (3) (4) BID=IBD

Xét tam giác IDB có:

IDB

  cân tại D

DI DB

 = (tính chất)

b) Vì I là tam đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên CI là phân giác C

Mà CI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại F nên F là điểm chính giữa cung

AB

 sđ BF = sđ AF (5)

Ta có:

ANFlà góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn

1

ANF

2

 = (sđ AF+ sđ EC) (6)

AME là góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn

1

AME

2

 = (sđ AE + sđ FB) (7)

Từ (1); (5); (6); (7) ANF=AME

Xét tam giác AMN có:

ANM=AMN

AMN

  cân tại A

 = (tính chất)

Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song hoặc vuông góc

Phương pháp giải: Áp dụng hai định lý về số đo của góc có đỉnh nằm trong

đường tròn hoặc nằm ngoài đường tròn để có được các góc bằng nhau, cạnh bằng nhau Từ đó ta suy ra điều cần chứng minh

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Các tia phân giác của các

góc A và B cắt nhau ở I và cắt đường tròn theo thứ tự ở D và E Chứng minh: a) Tam giác BDI là tam giác cân;

b) DE là đường trung trực của IC

Lời giải:

a) ) Vì AI là phân giác A của tam giác ABC và AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D nên D là điểm chính giữa cung BC

 sđ BD = sđ CD 1

2

= sđ BC (1)

Vì BI là phân giác B của tam giác ABC và BI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại E nên E là điểm chính giữa cung AC

 sđ AE = sđ CE 1

2

= sđ AC (2)

Ta có:

BIDlà góc có đỉnh nằm trong đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

1

BID

2

 = (sđ AE+ sđ BD) (3)

IBD là góc nội tiếp của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC chắn cung DE

1

IBD

2

Mà DE=EC+CDnên IBD 1

2

= (sđ EC+ sđ CD) (4)

Từ (1) (2) (3) (4) BID=IBD

Xét tam giác IDB có:

IDB

  cân tại D

b) Gọi giao điểm của DE và IC là K, CI cắt đường tròn tại điểm thứ hai là H

Vì CI là phân giác C của tam giác ABC và CI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại H nên H là điểm chính giữa cung AB

 sđ AH = sđ BH= 1

2sđ AB (5)

Ta có:

EKC là góc có đỉnh nằm trong đường tròn

EKC

2(sđ EC + sđ DH )

Mà DH=BD+BH

1

EKC

2

 = (sđ EC + sđ BD+ sđ BH)

Theo (1); (2); (5) EKC 1

4

 = (sđ AC + sđ BC+ sđ AB) EKC 90

DE IC

Lại có: CED là góc góc nội tiếp chắn cung CD

BED là góc nội tiếp chắn chung BD

Mà BD CD=

Do đó: CED BED=

Xét tam giác CEK và tam giác IEK có:

CEK =IEK(do CED=BED)

EK chung

EKC=EKI=  90

Do đó: CEK= IEK(c – g – c)

IK KC

 = (hai cạnh tương ứng)

Ta có:

IK KC

DE IC

=





 DE là đường trung trực của IC

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC phân giác AD Vẽ đường tròn (O) đi qua A, D và tiếp

xúc với BC tại D Đường tròn này cắt AB, AC lần lượt tại E, F Chứng minh: EF //

BC

Lời giải:

Ta có: BDE là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và BDE chắn cung DE Lại có: EADlà góc nội tiếp chắn cung DE

Xét tam giác BED và tam giác BDA có:

BDE=EAD (chứng minh trên)

B chung

Do đó: BED∽BDA(g – g)

 = (hai góc tương ứng)

Mà BED DEA 180+ = 

Do đó BED=DEA=  90

Lại có:

Xét tam giác BED vuông tại E ta có:

EBD+EDB 90= 

Lại có: DEF+FEA=  90

FEA 90 DEF

Lại có AD là tia phân giác AED=FD

Mà EDBlà góc tạo vởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung ED

Và DEF là góc nội tiếp chắn cung FD

Do đó DEF EDB= (3)

Từ (1); (2); (3) EBD=FEA

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị

 EF // BC

III Bài tập vận dụng

Bài 1: Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến PA với đường tròn và

cát tuyến PBC với P, B, C thuộc (O)

a) Biết PC = 25cm, PB = 49 cm Đường kính của đường tròn (O) là 50cm Tính

PO

b) Đường phân giác của góc BAC cắt PB ở I và cắt (O) tại D Chứng minh DB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AIB

Bài 2: Cho đường tròn (O) và một điểm P nằm ngoài đường tròn (O) Kẻ cát tuyến

PAB và tiếp tuyến PT với A, B, T thuộc (O) Đường phân giác của góc ATB cắt

AB tại D Chứng minh PT = PD

Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Các tia phân giác góc B và góc

C cắt nhau tại I và cắt (O) tại D và E Dây DE cắt cạnh AB và AC tại M và N Chứng minh:

a) Các tam giác AMN, EAI và DAI là những tam giác cân

b) Tứ giác AMIN là hình thoi

Bài 4: Cho điểm P nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai cát tuyến PAB và PCD (A

nằm giữa P và B và C nằm giữa P và D), các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại

Q

a) Cho biết P=  và 60 AQC= 80 Tính BCD

b) Chứng minh PC.PD = PA.PB

Bài 5: Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến AB và cát

tuyến ACD Tia phân giác của góc BAC cắt BC và BD lần lượt tại M và N Vẽ dây BF vuông góc với MN, cắt MN tại H, cắt CD tại E Chứng minh:

a) Tam giác BMN cân

Bài 6: Cho đường tròn (O) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau Trên

đường kính AB lấy điểm E sao cho AE = 2R Vẽ dây CF đi qua E Tiếp tuyến

a) Tia CF là tia phân giác của góc BCD;

b) MF // AC;

c) MN; OD; OM có độ dài là ba cạnh của tam giác vuông

Bài 7: Cho tam giác MNP nội tiếp đường tròn (O) Điểm D di chuyển trên cung

MP Gọi E là giao điểm của MP và ND, Gọi F là giao điểm của MG và NP Chứng minh: MFN=MND

Bài 8: Tam giác MNP nội tiếp đường tròn (O), các điểm I, K, H là điểm chính giữa

các cung MN, NP, PM Gọi J là giao điểm của IK và MN, G là giao điểm của HK

và MP Chứng minh JG song song với NP

Bài 9: Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến MA và cát tuyến MCB

với A, B, C thuộc (O) Phân giác góc BAC cắt BC tại D, cắt (O) tại N Chứng minh:

a) MA = MD;

b) Cho cát tuyến MBC quay quanh M và luôn cắt đường tròn Chứng minh

MB.MC không đổi;

Bài 10: Trên đường tròn (O) lấy ba điểm A, B, C Gọi M, N, P theo thứ tự là điểm

chính giữa các cung AB; BC; AC BP cắt AN tại I, NM cắt AB tại E Gọi D là giao điểm của AN và BC

Chứng minh:

a) Tam giác BNI cân;

b) AE.BN = EB.AN;

c) EI // BC;

d) AN AB