Cung chứa góc và các bài toán về quỹ tích, dựng hình I Lý thuyết 1 Quỹ tích cung chứa góc Với đoạn thẳng AB và góc ( )0 180 cho trước thì quỹ tích các điểm M thỏa mãn AMB = là hai cung ch[.]
Trang 1Cung chứa góc và các bài toán về quỹ tích, dựng hình
I Lý thuyết
1 Quỹ tích cung chứa góc
- Với đoạn thẳng AB và góc (0 180)cho trước thì quỹ tích các điểm M thỏa mãn AMB = là hai cung chứa góc dựng trên đoạn AB
Chú ý:
- Hai cung chứa góc nói trên ta gọi là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB Hai điểm A, B được coi là thuộc quỹ tích
- Quỹ tích các điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc vuông là
đường tròn đường kính AB
2 Cách vẽ cung chứa góc
- Vẽ đường trung trung trực d của đoạn thẳng AB;
- Vẽ tia Ax tạo với AB một góc ;
- Vẽ đường thẳng Ay vuông góc với Ax Gọi O là giao điểm của Ay với d;
- Vẽ cung AmB, tâm O, bán kính OA sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ
AB không chứa tia Ax Cung AmBđược vẽ như trên là một cung chứa góc
3 Cách giải một bài toán quỹ tích
Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất T là một hình
H nào đó ta là như sau:
Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H
Trang 2Phần nghịch: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất T
Từ đó đi đến kết luận quỹ tích các điểm M có tính chất T là hình H
II Các dạng toán
Dạng 1: Quỹ tích là cung chứa góc
Phương pháp giải:
Bước 1: Tìm tọa độ cố định trong hình vẽ
Bước 2: Nối điểm phải tìm với hai đầu đoạn thẳng cố định đó, xác định góc không đổi
Bước 3: Khẳng định quỹ tích điểm phải tìm là cung chứa góc dựng trên đoạn cố định
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, BC cố định, A 50= Gọi D là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác Tìm quỹ tích điểm D
Lời giải:
Xét tam giác ABC ta có:
A+ + =B C 180(định lí tổng ba góc trong một tam giác)
B C 180 50
+ = −
B C 130
+ =
Lại có:
D là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác ABC nên BD là phân giác B
Trang 32
D là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam gác ABC nên CD là phân giác C
1
DCB C
2
Do đó:
1 DBC DCB B C
2
1 DBC DCB 130
2
DBC DCB 65
Xét tam giác BCD có:
BDC+DBC+DCB 180=
BDC 65 180
+ =
BDC 180 65
= −
BDC 115
Do BC cố định nên quỹ tích điểm D là hai cung chứa góc 115dựng trên đoạn BC
Ví dụ 2: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB C là một điểm di động trên
đường tròn Ở phía ngoài tam giác ABC vẽ tam giác BCD vuông cân tại C Tìm quỹ tích điểm D
Lời giải:
Trang 4Phần thuận:
Ta có:
ACB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
ACB 90
Lại có:
DCB (do tam giác BCD vuông cân tại C)
Do đó: ACB DCB 180+ =
A, C, D thẳng hàng
ADB CDB 45
= = (do tam giác BCD vuông cân)
Vì AB cố định nên D nằm trên cung chứa góc 45 dựng trên đoạn AB
Dựng đường thẳng vuông góc với AB tại A, đường thẳng này giao với cung chứa góc 45 dựng trên đoạn AB là I
Nếu C A D I
Phần đảo:
Lấy điểm D’ bất kỳ trên cung chứa góc 45 dựng trên đoạn Ab (D’ thuộc cung IB) Nối AD’ cắt nửa đường tròn (O) tại C’ Ta đi chứng minh tam giác BCD’ vuông cân tại C’
Ta có:
AC B 90 = (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Trang 5nên BC D = (kề bù với góc AC B90 )
mà C D B 45 = do đó tam giác BC’D’ vuông cân tại C’
Vậy quỹ tích điểm D là cung BI của cung chứa góc 45 dựng trên đoạn AB
Dạng 2: Chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn và bài toán dựng
hình
Phương pháp giải: Chứng minh nhiều điểm cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ là AB
và cùng nhìn đoạn cố định AB dưới một góc không đổi
Ví dụ 1: Từ điểm S nằm ở ngoài đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến SA; SB với A, B là
tiếp điểm và cát tuyến SCD với đường tròn Gọi I là trung điểm của CD Chứng minh 5 điểm A, I, O, B, S cùng thuộc một đường tròn
Lời giải:
Vì SA là tiếp tuyến của đường tròn, A là tiếp điểm nên SA vuông góc với OA SAO 90
Vì SB là tiếp tuyến của đường tròn, B là tiếp điểm nên SB vuông góc với OB SBO 90
Vì I là trung điểm của CD nên OI vuông góc với CD (tính chất)
SOI 90
=
Gọi trung điểm của SO là K
Trang 6Tam giác OAS vuông tại A với K là trung điểm của SO
1
OK KS AK SO
2
= = = (định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) (1) Tam giác OBS vuông tại B với K là trung điểm của SO
1
OK KS BK SO
2
= = = (định lý đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) (2) Tam giác OIS vuông tại I có K là trung điểm của SO
1
OK KS IK SO
2
= = = (định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) (3)
Từ (1); (2); (3) OK KS IK AK BK 1SO
2
Hay 5 điểm A, B, S, I, O cách đều điểm K
Vậy 5 điểm A, B, S, I, O cùng nằm trên một đường tròn (K) bán kính KS
Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi O là giao điểm của hai đường
chéo Trên OA lấy điểm M sao cho OM = OB Trên OB lấy N sao cho ON = OA Chứng minh: 4 điểm D, M, N, C thuộc cùng một đường tròn
Lời giải:
Xét tam giác OAB và tam giác OMN có:
AOB chung
Trang 7OA = ON
OB = OM
Do đó AOB= NOM (c – g – c)
BAO MNO
= (hai góc tương ứng) (1)
Mặt khác, do ABCD là hình thang nên AB // CD (giả thuyết)
BAO DCO
= (hai góc so le trong) (2)
Từ (1) và (2) MNO=DCO
Hai góc này cùng nhìn cạnh MD
Do đó hai điểm N, C cùng nằm trên cung tròn dựng trên đoạn MD với góc DCO
Ví dụ 3: Dựng hình thang cân ABCD (AB // CD), biết CD = 3cm, AC = 4cm,
D= 70
Lời giải:
Cách dựng hình:
Trang 8- Dựng đoạn CD = 3cm
- Dựng góc CDx= 70
- Trên nửa mặt phẳng bờ CD chứa tia Dx dựng đường tròn tâm C bán kính 4cm cắt
Dx tại A
- Dựng dây Ay song song với CD
- Trên nửa mặt phẳng bờ CD chứa điểm A, dựng cung tròn tâm D bán kính 4cm cắt
Ay tại B
- Nối B với C ta được hình thang ABCD cần dựng
III Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, BC cố định Gọi I là giao điểm của ba
đường phân giác trong Tìm quỹ tích điểm I khi A thay đổi
Bài 2: Dựng tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC = 4,5cm, AB = 2cm
Bài 3: Cho nửa đường tròn đường kính AB Gọi M là điểm chính giữa cung AB
Trên cung AM lấy điểm N Trên tia đối của tia Am lấy điểm D sao cho MD = MB, trên tia đố tia NB lấy điểm E sao cho NA = NE, trên tia đối của tia MB lấy điểm C sao cho MC = MA Chứng minh 5 điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn
Bài 4: Dựng một cung chứa góc 55 trên đoạn AB = 3cm
Bài 5: Cho I và O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC
với A= Gọi H là trực tâm của tam giác ABC Chứng minh các điểm B, C, O, 60
H, I cùng thuộc một đường tròn
Bài 6: Cho hình vuông ABCD Trên cạnh BC lấy điểm E, trên tia đối của tia CD
lấy điểm F sao cho CE = CF Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng DE và BF Tìm quỹ tích điểm M khi E di động trên BC
Bài 7: Cho cung AB cố định tạo bởi các bán kính OA, OB vuông góc với nhau,
điểm I chuyển động trên cung AB Trên tia OI lấy điểm M sao cho OM bằng tổng các khoảng cách từ điểm I đến OA, OB, Tìm quỹ tích các điểm M
Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác BF Từ điểm I nằm giữa B và F
vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB, BC lần lượt tại M và N Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác BIN cắt Ai tại D Hai đường thẳng DN và BF cắt nhau tại E Chứng minh:
Trang 9a) Bốn điểm A, B, D, E cùng thuộc một đường tròn
b) Năm điển A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn Từ đó suy ra BE vuông góc với CE
Bài 9: Từ điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O), kẻ cát tuyến MAB đi qua O và
các tiếp tuyến MC, MD Gọi K là giao điểm của AC và BD Chứng minh 4 điểm B,
C, M, K thuộc cùng một đường tròn
Bài 10: Cho đường tròn đường kính AB cố định, M là một điểm chạy trên đường
tròn Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho MI = 2MB
a) Chứng minh AIBkhông đổi
b) Tìm tập hợp tất cả các điểm I nói trên