50 bài tập về các dạng toán về dây cung của đường tròn (có đáp án 2022)

Các dạng toán về dây cung của đường tròn I Lý thuyết 1 Khái niệm dây của đường tròn Dây của đường tròn là đoạn thẳng nối hai điểm trên đường tròn Đường kính cũng là một dây của đường tròn Xét hình vẽ[.]

Các dạng toán về dây cung của đường tròn

I Lý thuyết

1 Khái niệm dây của đường tròn

- Dây của đường tròn là đoạn thẳng nối hai điểm trên đường tròn

- Đường kính cũng là một dây của đường tròn

Xét hình vẽ trên

Ta nói CD và AB là hai dây của đường tròn

Đặc biệt dây AB còn là đường kính

2 So sánh độ dài đường kính và dây

Trong các dây của đường tròn, đường kính là dây lớn nhất

3 Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây

- Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy

- Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy

Cho đường tròn tâm O đường kính AB và dây CD không đi qua tâm

Nếu AB đi qua trung điểm I của CD thì AB⊥CD

Nếu AB⊥CD thì AB đi qua trung điểm I của CD

4 Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

- Trong một đường tròn

+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm

+ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau

Dây AB = CD khi và chỉ khi khoảng cách từ O đến AB bằng khoảng cách từ O đến

CD

Khoảng cách từ O đến AB và CD sẽ bằng nhau nếu dây AB = CD

- Trong hai dây của một đường tròn

+ Dây nào có độ dài lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn

+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó có độ dài lớn hơn

Xét hình vẽ:

Dây AB gần tâm hơn dây CD nên AB > CD

II Các dạng bài tập

Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng, so sánh độ dài hai đoạn thẳng

Phương pháp giải:

Vận dụng những kiến thức đã học:

+ Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây

+ Dùng định lý Py – ta – go , hệ thức lượng trong tam giác vuông

Ví dụ 1: Cho đường tròn (O; R) có dây AB và CD bằng nhau và vuông góc với

nhau tại I (I khác O) Cho IA = 2cm, IB = 4cm Tính khoảng cách từ tâm O đến mỗi dây và bán kính R

Lời giải:

Ta có:

CD = AB = IA + IB = 2 + 4 = 6cm

Vẽ OG⊥AB tại G; OF⊥CD tại F

Vì OG⊥AB nên G là trung điểm của AB

Vì OF⊥CD nên F là trung điểm của CD

Vì G là trung điểm của AB nên AG = GB = 6 : 2 = 3cm

 IG = AG – AI = 3 – 2 = 1cm

Xét tứ giác OGIF có

FIG=IGO OFI 90= = 

 Tứ giác OGIF là hình chữ nhật (1)

Lại có AB = CD nên khoảng cách từ O đến AB bằng khoảng cách từ O đến CD

 OG = OF (tính chất) (2)

Từ (1) và (2)  Tứ giác OGIF là hình vuông

 OG = OF = 1cm

Xét tam giác OAG vuông tại G ta có:

AO = OG + AG (Định lý Py – ta – go)

2 2 2

2

2

AO 10cm

 =

Vậy bán kính đường tròn là R = 10cm

Ví dụ 2: Cho AB và CD là hai dây khác đường kính của đường tròn (O; R) Gọi

OE, OF theo thứ tự là khoảng cách từ O đến AB; CD Chứng minh rằng:

OE + EB = OF + FD

Lời giải:

Xét tam giác  OEBvuông tại E ta có:

OE + EB = OB = R (Định lý Py – ta – go) (1)

Xét tam giác  OFDvuông tại F ta có:

OF + FD = OD = R (Định lý Py – ta – go) (2)

Từ (1) và (2)

 + = + = (điều phải chứng minh)

Ví dụ 3: Cho đường tròn tâm O, các dây AB và CD bằng nhau, đường thẳng AB

và CD cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đường tròn Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD Chứng minh rằng: EH = EK

Lời giải:

Xét trong đường tròn (O):

Vì K là trung điểm của CD nên OK⊥CD OKE 90= 

Vì H là trung điểm của AB nên OH⊥ABOHE 90= 

Vì AB = CD nên OK = OH (tính chất)

Xét OKEvà OHEcó:

OK = OH = (cmt)

OKE OHE 90= = 

OE chung

Do đóOKE= OHE (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

 EH = EK

Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

Phương pháp giải: Sử dụng kiến thức

- Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây ấy

- Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy

- Trong một đường tròn:

+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm

+ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau

Ví dụ 1: Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD không cắt đường kính AB

Kẻ AE và BG lần lượt vuông góc với CD tại E và G Chứng minh CE = DG

Lời giải:

Gọi H là trung điểm của CD

 OH⊥CD  OH⊥EG

Vì BG EG

⊥



Xét tứ giác ABGE có:

AE // BG

 Tứ giác ABGE là hình thang

Lại có OH⊥EG nên OH // AE // BG

Mà OH đi qua trung điểm O của AB nên OH đi qua trung điểm của EG

 H là trung điểm của EG

 HE = HG

Ta có:

HE EC CH









Mà HE = HG (cmt) ; CH = HD (H là trung điểm của CD)

Do vậy EC = DG

Ví dụ 2: Cho đường tròn (O) đường kính AB Kẻ hai dây AC và BD sao cho AC //

BD Chứng minh: AC = BD

Lời giải:

Gọi F là trung điểm của AC; G là trung điểm của BD

⊥





Mà AC // BD nên O, F, G thẳng hàng

Xét AOFvà BOG có

OA = OB (bán kính)

AOF = BOG(hai góc đối đỉnh)

OFA = OGB = 90 

Do đó AOF= BOG( cạnh huyền – góc nhọn)

 AF = BG mà F là trung điểm của AC, G là trung điểm của BD

 AC = BD

Dạng 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm tới dây

Phương pháp giải: Sử dụng kiến thức

Trong một đường tròn:

+ Đường kính là dây lớn nhất

+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm

+ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau

+ Dây nào có độ dài lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn

+ Dây nào gần tâm hơn thì có độ dài lớn hơn

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, các đường cao BH và CK

a) Chứng minh bốn điểm B, H, C, K thuộc cùng một đường tròn b) BC > HK

Lời giải:

a) Gọi O là trung điểm của BC

Xét tam giác BKC vuông tại K, trung tuyến KO ta có:

1

BO OC OK BC

2

= = = (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) (1) Xét tam giác BHC vuông tại H, trung tuyến HO ta có:

1

BO OC OH BC

2

= = = (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) (2)

Từ (1) và (2) BO OC OH OK 1BC

2

 B, H, K, C cùng cách đều O

 B, H, C, K thuộc đường tròn tâm O đường kính BC

b) Vì tâm O nằm trên BC và B, C là hai điểm thuộc đường tròn (O) nên BC là đường kính

Lại có H, K thuộc đường tròn (O) nên HK là dây của đường tròn

Tuy vậy tâm O không thuộc HK nên HK < BC (trong các dây đường kính là dây dài nhất)

Ví dụ 2: Cho đường tròn (O; R) các dây cung AB; AC; AD (khác đường kính)

Gọi M, N là hình chiếu của B lên AC; AD Chứng minh MN < 2R

Lời giải:

Xét tam giác AMB vuông tại M

 A, M, B thuộc một đường tròn đường kính AB (1)

Xét tam giác ANB vuông tại N

 A, N, B thuộc một đường tròn đường kính AB (2)

Từ (1) và (2)  A, M, N, B cùng nằm trên một đường tròn với AB là đường kính Khi đó MN là dây

 MNAB

Mà AB lại là dây của đường tròn (O)

 AB < 2R

 MN < 2R

III Bài tập vận dụng

Phần 1: Trắc nghiệm

Câu 1: Cho (O; 15cm) có dây AB = 24cm Tính khoảng cách từ tâm O đến dây

AB:

A 12cm B 9cm C 8cm D 6cm

Câu 2: Cho các khẳng định sau:

i) Đường kính là dây dài nhất của đường tròn

ii) Trong một đường tròn, dây nào xa tâm hơn thì lớn hơn

iii) Đường tròn có vô số trục đối xứng

iv) Mỗi dây của đường tròn đều là trục đối xứng của đường tròn đó

v) (O; 2cm) có nghĩa là đường tròn tâm O có đường kính là 2cm

Trong các khẳng định trên có bao nhiêu khẳng định đúng

A 2 B 3 C 4 D 5

Câu 3: Cho đường tròn (O; 10cm) Khi đó dây lớn nhất của đường tròn có độ dài

là:

A 5cm B 10cm C 15cm D 20cm

Câu 4: Cho đường tròn có bán kính là 10cm Một dây cung thuộc đường tròn Số

nào sau đây không thể là khoảng cách của đường tròn đến dây cung đó:

A 5cm B 11cm C 7cm D 1cm

Phần 2: Tự luận

Bài 1: Cho đường tròn (O) và dây CD Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với CD

tại M cắt (O) tại H Cho CD = 16cm và MH = 4cm Tính bán kính đường tròn

Bài 2: Cho đường tròn (O), đường kính AB; dây CD cắt AB tại M, cho MC = 4cm,

MD = 12cm và BMD 30=  Hãy tính:

a) Khoảng cách từ O đến CD

b) Bán kính của O

Bài 3: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), M là trung điểm của BC, H là trực tâm

của tam giác ABC Lấy D đối xứng với H qua M

a) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành

b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh: OM 1AH

2

=

Bài 4: Cho nửa đường tròn đường kính AD Trên nửa đường tròn lấy hai điểm B

và C sao cho AB = BC và CD = 6cm Tính bán kính đường tròn

Bài 5: Cho (O; R) đường kính AB và dây cung DE Tia DE cắt AB tại C Biết

DOE 90= và OC = 3R Tính

a) CD và CE theo R

b) Chứng minh: CD.CE = CA.CB

Bài 6: Cho tam giác ABC đường cao BD và CE cắt nhau tại H Lấy I là trung điểm

của BC

a) Gọi K là điểm đối xứng của H qua I Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành

b) Xác định O là tâm đường tròn qua các điểm A, B, K, C

Bài 7: Cho điểm A nằm trên đường tròn (O) có CB là đường kính và AB < AC Vẽ

dây AD vuông góc với BC tại H Chứng minh:

a) Tam giác ABC vuông tại A

b) H là trung điểm của AD, AC = CD và BC là tia phân giác góc ABD

Đáp án trắc nghiệm

Câu 1: B

Câu 2: A

Câu 3: D

Câu 4: B