Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 1991 1992 Đại học tổng hợp Bµi 1 a) Rút gọn biểu thức 3 62 3 4 2 44 16 6 A b) Phân tích biêu thức P = (x – y)5 + (y z)5 +(z x )5 thành nhân tử Bµi 2 a) Cho các số a,[.]
Trang 1Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 1991-1992 Đại học tổng hợp
2 3 4 2. 44 16 6
b) Phân tích biêu thức P = (x – y)5 + (y-z)5 +(z - x )5 thành nhân tử
Bµi 2 a) Cho các số a, b, c, x, y, z thảo mãn các điều kiện 00
0
hãy tính giá trị
của biểu thức A = xa2 + yb2 + zc2
b) Cho 4 số a, b, c, d mỗi số đều không âm và nhỏ hơn hoặc bằng 1 Chứng minh rằng
0 ≤ a + b + c + d – ab – bc – cd – da ≤ 2 Khi nào đẳng thức xảy ra dấu bằng
Bµi 3 Cho trước a, d là các số nguyên dương Xét các số có dạng :
a, a + d, a + 2d, … , a + nd, …
Chứng minh rằng trong các số đó có ít nhất một số mà 4 chữ số đầu tiên của nó là
1991
Bµi 4 Trong một cuộc hội thảo khoa học có 100 người tham gia Giả sử mỗi người đều quen biết với ít nhất 67 người Chứng minh rằng có thể tìm được một nhóm 4 người mà bất kì 2 người trong nhóm đó đều quen biết nhau
Bµi 5 Cho hình vuông ABCD Lấy điểm M nằm trong hình vuông sao cho MAB =
MBA = 150 Chứng minh rằng MCD đều
Bµi 6 Hãy xây dựng một tập hợp gồm 8 điểm có tính chất : Đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm bất kì luôn đI qua ít nhất hai điểm của tập hợp đó
Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên toán 1992 Đại học tổng hợp
Bµi 1 a) Giải phương trình (1 + x)4 = 2(1 + x4)
b) Giải hệ phương trình
7 28 7
Trang 2Bµi 2 a) Phân tích đa thức x5 – 5x – 4 thành tích của một đa thức bậc hai và một đa thức bậc ba với hệ số nguyên
b) Áp dụng kết quả trên để rút gọn biểu thức
2
4 3 5 2 5 125
Bµi 3 Cho ABC đều Chứng minh rằng với mọi điểm M ta luôn có MA ≤ MB + MC
Bµi 4 Cho xOy cố định Hai điểm A, B khác O lần lượt chạy trên Ox và Oy tương ứng sao cho OA.OB = 3.OA – 2.OB Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn đI qua một điểm cố định
Bµi 5 Cho hai số nguyên dương m, n thỏa mãn m > n và m không chia hết cho n Biết
rằng số dư khi chia m cho n bằng số dư khi chia m + n cho m – n Hãy tính tỷ số m
n
Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 1993-1994 Đại học tổng hợp
b) GiảI hệ phương trình : 33 22
Bµi 2 Tìm max và min của biểu thức : A = x2y(4 – x – y) khi x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện : x 0, y 0, x + y ≤ 6
Bµi 3 Cho hình thoi ABCD Gọi R, r lần lượt là các bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD, ABC và a là độ dài cạnh hình thoi Chứng minh rằng
2 2 2
R r a
Bµi 4 Tìm tất cả các số nguyên dương a, b, c đôI một khác nhau sao cho biểu thức
A
a b c ab ac bc
Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 1991-1992 Đại học tổng hợp
Trang 3Bµi 7 a) Rút gọn biểu thức 3 6
2 3 4 2. 44 16 6
b) Phân tích biêu thức P = (x – y)5 + (y-z)5 +(z - x )5 thành nhân tử
Bµi 8 a) Cho các số a, b, c, x, y, z thảo mãn các điều kiện 00
0
hãy tính giá trị
của biểu thức A = xa2 + yb2 + zc2
b) Cho 4 số a, b, c, d mỗi số đều không âm và nhỏ hơn hoặc bằng 1 Chứng minh rằng
0 ≤ a + b + c + d – ab – bc – cd – da ≤ 2 Khi nào đẳng thức xảy ra dấu bằng
Bµi 9 Cho trước a, d là các số nguyên dương Xét các số có dạng :
a, a + d, a + 2d, … , a + nd, …
Chứng minh rằng trong các số đó có ít nhất một số mà 4 chữ số đầu tiên của nó là
1991
Bµi 10 Trong một cuộc hội thảo khoa học có 100 người tham gia Giả sử mỗi người đều quen biết với ít nhất 67 người Chứng minh rằng có thể tìm được một nhóm 4 người mà bất kì 2 người trong nhóm đó đều quen biết nhau
Bµi 11 Cho hình vuông ABCD Lấy điểm M nằm trong hình vuông sao cho
MAB = MBA = 150 Chứng minh rằng MCD đều
Bµi 12 Hãy xây dựng một tập hợp gồm 8 điểm có tính chất : Đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm bất kì luôn đI qua ít nhất hai điểm của tập hợp đó