Chuyên đề Hình cầu Diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu Toán 9 A Lý thuyết 1 Hình cầu Khi quay nửa hình tròn tâm O, bán kính R một vòng quanh đường kính AB cố định thì được một hình cầu Nửa đường tr[.]
Trang 1Chuyên đề Hình cầu Diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu - Toán 9
A Lý thuyết
1 Hình cầu
Khi quay nửa hình tròn tâm O, bán kính R một vòng quanh đường kính AB cố định thì
được một hình cầu.
- Nửa đường tròn trong phép quay nói trên tạo thành một mặt cầu
- Điểm O được gọi tâm, R là bán kính của hình cầu hay mặt cầu đó
2 Cắt hình cầu bởi một mặt phẳng
Khi cắt hình cầu bởi một mặt phẳng ta được một hình tròn
Ví dụ 1 Mặt phẳng (P) cắt hình cầu tâm O, bán kính R ta được hình tròn như hình vẽ
Trang 2Khi cắt mặt cầu bán kính R bởi một mặt phẳng ta được một đường tròn:
- Đường tròn đó có bán kính R nếu mặt phẳng đi qua tâm (gọi là đường tròn lớn)
- Đường tròn đó có bán kính bé hơn R nếu mặt phẳng không đi qua tâm
Ví dụ 2 Khi cắt mặt cầu tâm O bán kính R bởi một mặt phẳng ta được:
- Đường tròn tâm O bán kính R: mặt phẳng đi qua tâm
- Đường tròn tâm O’ bán kính R’: mặt phẳng không đi qua tâm
Ta có hình vẽ:
3 Diện tích và thể tích của hình cầu
Trang 3Ví dụ 3 Một hình cầu có thể tích bằng 972π cm3 Tính diện tích của mặt cầu đó.
Trang 5Từ giả thiết ta có:
Chọn đáp án A
Câu 4: Cho hình cầu có bán kính 3cm Một hình nón cũng có bán kính đáy bằng 3cm
và có diện tích toàn phần bằng diện tích mặt cầu Tính chiều cao của hình nón:
Gọi l là độ dài đường sinh của hình nón
Vì bán kính hình cầu và bán kính đáy của hình nón bằng nhau nên từ giả thiết ta có:
Chọn đáp án D
Câu 5: Cho hình cầu có diện tích mặt cầu là 64π (cm2) Tính thể tích khối cầu?
Trang 7Câu 7: Cho hình nón có bán kính đáy là 4cm và chiều cao 6cm Thể tích của một hình
cầu bằng thể tích hình nón Tính bán kính hình cầu?
Lời giải:
Chọn đáp án C
Câu 8: Cho một hình trụ có bán kính đường tròn đáy là 3cm và chiều cao h = 4cm
Một hình cầu có diện tích bằng diện tích xung quang của hình trụ Tính bán kính của hình cầu?
Trang 8Chọn đáp án D.
Câu 9: Cho hình trụ có bán kính đáy là 4cm Một hình cầu có diện tích mặt cầu bằng
diện tích hai đáy của hình trụ.Tính bán kính hình cầu?
Trang 9C 48π
D 64π
Lời giải:
Chọn đáp án D
II Bài tập tự luận có lời giải
Câu 1: Hai hình cầu có hiệu các bán kính bằng 3 cm và hiệu các thể tích bằng 1332π
cm3 Tính hiệu các diện tích của hai mặt cầu
Lời giải:
Gọi bán kính của hình cầu lớn là R và bán kính của hình cầu nhỏ là r
Ta có R – r = 3 hay R = r + 3
Nên:
Trang 10Câu 2: Một hình cầu có bán kính bằng bán kính đáy của một hình nón Biết đường
sinh của hình nón bằng 12 cm và diện tích xung quanh của hình nón bằng diện tích mặt cầu Tính thể tích hình cầu
Lời giải:
Gọi bán kính hình cầu cũng như bán kính đáy hình nón là R
Diện tích xung quanh hình nón là: πRl = 12πR
Diện tích mặt cầu là: 4πR2
Vì diện tích xung quanh hình nón bằng diện tích mặt cầu nên:
Trang 12Diện tích hình trụ là: S2 = 2πR(h + R) = 2πR(2R + R) = 6πR2.
Ta có: S1S2=4πR26πR2=23
Vậy diện tích mặt cầu bằng 23 diện tích toàn phần hình trụ
Câu 4: Cắt một hình trụ hoặc một hình cầu với mặt phẳng vuông góc với trục, ta được
hình gì ? Hãy điền vào bảng (chỉ với từ “có”, “không”) (h.104)
Câu 5: Nếu thể tích của một hình cầu là 11317cm3 thì trong các kết quả sau đây, kết
quả nào là bán kính của nó, lấy π≈227 ?
Trang 14Câu 7: Một khối gỗ dạng hình trụ, bán kính đường tròn đáy là r, chiều cao 2r (đơn vị
:cm) Người ta khoét rỗng hai nửa hình cầu như hình 108 Hãy tính diện tích bề mặt của khối gỗ còn lại (diện tích cả ngoài lẫn trong)
Trang 15Câu 8: Khinh khí cầu của nhà Mông-gôn-fi-ê (Montgolfier)
Ngày 4-6-1783, anh em nhà Mông-gôn-fi-ê (người Pháp) phát minh ra khinh khí cầu dùng không khí nóng Coi khinh khí cầu này là hình cầu có đường kính 11m Hãy tính diện tích mặt khinh khí cầu đó (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai)
Hình 109
Lời giải
Diện tích mặt khinh khí cầu là:
S= πd2=3,14.112=379,94 ( m2)
Câu 9: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, Ax và By là hai tiếp tuyến
với nửa đường tròn tại A và B Lấy trên tia Ax điểm M rồi vẽ tiếp tuyến MP cắt By tại
Trang 16a)
Ta có OM, ON lần lượt là tia phân giác của AOP^, BOP^ (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau)
Mà AOP^ kề bù với BOP^ nên suy ra OM vuông góc với ON
Vậy tam giác MON vuông tại O
Góc APB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên APB^=90o
Do AM là tiếp tuyến với (O) tại A nên MAO^=90o
Do MN là tiếp tuyến với (O) tại P nên MPO^=90o
Tứ giác AOPM có:
MAO^+MPO^=90o+90o=180o
Do đó, tứ giác AOPM nội tiếp đường tròn
⇒PMO^=PAO^ (do là hai góc nội tiếp chắn cung OP)
Xét tam giác MON và tam giác APB có:
MON^=APB^=90o (chứng minh trên)
PMO^=PAO^ (chứng minh trên)
Do đó, tam giác MON đồng dạng với tam giác APB (góc – góc)
b)
Trang 17Tam giác MON vuông tại O có đường cao OP
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có: OP2=MP.NP (1)
Theo tính chất hai tiếp tuyến MN và AM cắt nhau ta có:
Câu 10: Một chi tiết máy gồm một hình trụ và hai nửa hình cầu với các kích thước đã
cho trên hình 111 (đơn vị: cm)
a) Tìm một hệ thức giữa x và h khi AA' có độ dài không đổi và bằng 2a
b) Với điều kiện ở a), hãy tính diện tích bề mặt và thể tích của chi tiết máy theo x và a
Trang 19III Bài tập vận dụng
Câu 1: Tính thể tích của một hình cầu biết diện tích của mặt cầu đó bằng 32π
Câu 2: Một quả bóng có dạng hình cầu thả vào một lọ thuỷ tinh đựng đầy nước dạng
hình trụ bán kính đáy là 3cm (đường kính đường tròn lớn hình cầu bằng bán kính đáy hình trụ) Hỏi lượng nước tràn ra là bao nhiêu ?
Câu 3: Tính diện tích của mặt cầu biết thể tích hình câu đó băng 121,5π
Câu 4: Tính diện tích bề mặt kim loại cần để làm đủ một bồn chứa có dạng hình bên
(gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ)
Câu 5: Cho một hình cầu có số đo diện tích bằng số đo thể tích Tính bán kính hình
cầu và diện tích mặt cầu đó
Câu 6: Cho đường tròn (O ; r) ngoại tiếp tam giác đều cạnh a Tính diện tích mặt cầu
và thể tích hình cầu được tạo thành khi quay hình tròn tâm O quanh đường kính của nó theo a
Câu 7: Một hình nón đặt khít trong nửa hình cầu sao cho đáy của hình nón là hình
tròn lớn của hình cầu
Trang 20Câu 8: Một hình cầu đường kính d (cm) được đặt vào trong một hình trụ có chiều cao
là 1,5d (cm) như hình 110 Tìm tỉ số VcauVtru ?
Câu 9: Đổ đầy nước vào mộ dụng cụ để đong có dạng hình nón sau đó đổ hết lượng
nước đó vào một hình trụ có bán kính đáy bằng bán kính đáy của hình nón và chiều cao bằng chiều cao của hình nón.Việc làm này lặp lại cho đến khi hình trụ đổ đầy nước thì số lần múc đầy vào hình nón là bao nhiêu?
Câu 10: Một khối gỗ dạng một hình trụ đứng bán kính đường tròn đáy là r (cm) chiều
cao 2r(cm) người ta khoét rỗng hai nửa hình cầu như hình bên Tính diện tích toàn bộ của khối gỗ
Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:
Trang 21Chuyên đề Ôn tập chương 4
Chuyên đề Phương trình bậc nhất hai ẩn
Chuyên đề Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Chuyên đề Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Chuyên đề Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số