Chuyên đề hệ phương trình bậc nhất hai ẩn (2022) toán 9

Chuyên đề Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Toán 9 A Lý thuyết 1 Khái niệm về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn là ax + by = c và a''''x + b''''y = c'''' Khi đó ta có hệ ph[.]

Chuyên đề Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn - Toán 9

A Lý thuyết

1 Khái niệm về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn là ax + by = c và a'x + b'y = c' Khi đó ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là:

Iax+by=ca'x+b'y=c'

Ví dụ 1:

3x+5y=32x+y=4; 4x-3y=32x+2y=1là các hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

+ Nếu hai phương trình có nghiệm chung là (x0; y0) thì (x0; y0) được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (I)

+ Nếu hai phương trình không có nghiệm chung thì hệ phương trình (I) vô nghiệm + Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó

2 Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn là ax + by = c và a'x + b'y = c' Khi đó ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là:

Iax+by=ca'x+b'y=c'

Gọi (d) và (d') là đồ thị hàm số của 2 hàm số rút ra từ 2 phương trình bậc nhất hai ẩn của (I)

Đối với hệ phương trình (I), ta có:

Nếu (d) cắt (d') thì hệ (I) có một nghiệm duy nhất

Nếu (d) song song với (d') thì hệ (I) vô nghiệm

Nếu (d) trùng với (d') thì hệ (I) có vô số nghiệm

Ví dụ 2: Xét hệ phương trình

x+y=0x-y=0

Ta có: x – y = 0 ⇒y=x(d)

x + y = 0 ⇒y=-x (d’)

Vẽ hai đường thẳng (d) và (d’) lên hệ trục tọa độ ta được:

Ta thấy (d) và (d’) cắt nhau tại O(0; 0) nên (0; 0) là nghiệm của hệ phương trình

Chú ý: Với trường hợp a'; b'; c'≠0

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất ⇔aa'≠bb';

Hệ phương trình vô nghiệm ⇔aa'=bb'≠cc';

Hệ phương trình vô số nghiệm ⇔aa'=bb'=cc'

3 Hệ phương trình tương đương

Định nghĩa: Hệ hai phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có

Câu 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (các hệ số khác ) vô nghiệm khi

Lời giải:

Chọn đáp án B

Câu 3: Hệ hai phương trình nhận cặp số nào sau đây là nghiệm

Chọn đáp án A

Câu 4: Cặp số (-2; -3) là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây ?

Lời giải:

Chọn đáp án C

Câu 5: Không giải hệ phương trình, dự đoán số nghiệm của hệ

+ Tập nghiệm của phương trình y = 2x + 10 được biểu diễn bởi đường thẳng d1:y = 2x + 10

+ Tập nghiệm của phương trình y = x + 100 được biểu diễn bởi đường thẳng d2: y = x + 100

Lại có: hệ số góc của hai đường thẳng d1; d2 khác nhau (2 ≠ 1) nên hai đường thẳng này cắt nhau

Suy ra, hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

Nên tập nghiệm của phương trình -3x +6y – 30= 0 được biểu diễn bởi đường thẳng (d2):

Do đó, nên hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm

Nên tập nghiệm của phương trình 16x – 40y = 20 được biểu diễn bởi đường thẳng (d2):

Hai đường thẳng d1; d2 có cùng hệ số góc và có tung độ góc khác nhau nên d1// d2 Suy ra, hệ phương trình đã cho vô nghiệm

Để hệ phương trình đã cho vô nghiệm khi 2 đường thẳng d1 // d2

Câu 1: Không cần vẽ hình hãy cho biết số nghiệm của hệ phương trình sau và giải

Vì aa'=bb'=cc'nên hệ phương trình có vô số nghiệm

Câu 2: Đoán nhận số nghiệm của hệ phương trình sau bằng hình học:

x-y=42x-y=9

Lời giải:

x-y=42x-y=9(I)

Xét hai đường thẳng d và đường thẳng d’ ứng với hai phương trình trong hệ

Ta kí hiệu đường thẳng d: y = x – 4 ứng với phương trình x – y = 4

Ta kí hiệu đường thẳng d’: y = 2x – 9 ứng với phương trình 2x – y = 9

Vẽ hai đường thẳng d và d’ lên hệ trục tọa độ ta được hình vẽ:

Từ đồ thị ta thấy d và d’ cắt nhau tại điểm A(5; 1) nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (5; 1)

Câu 3: Xác định giá trị của tham số m để hệ phương trình có

nghiệm duy nhất

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì

Câu 4: Xác định giá trị của tham số m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Nhận thấy hệ này có nghiệm duy nhất vì hai đường thẳng cắt nhau

Để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì hai đường thẳng:

cắt nhau

Suy ra m ≠ {0; 2; 3}

Kết hợp cả TH1 và TH2 ta có m ≠ {0; 3}

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi m ≠ {0; 3}

Câu 5: Cho hệ phương trình Tìm các giá trị của tham số m để hệ phương trình nhận cặp (1; 2) làm nghiệm

Câu 7: Cho hai hệ phương trình (I) và (II) Hỏi hai

hệ này có tương đương nhau không?

Lời giải:

Xét hệ (I) có (1; 0) là một cặp nghiệm của hệ (I)

Nhưng với cặp nghiệm (1; 0) lại không phải là nghiệm của hệ (II) Khi đó hai hệ này không tương đương với nhau (dù cả hai hệ đều có vô số nghiệm)

Câu 8: Hãy kiểm tra xem mỗi cặp số sau có phải là một nghiệm của hệ phương trình

tương ứng hay không?

Vậy (-4; 5) là nghiệm của hệ phương trình 7x−5y=−53−2x+9y=53

b) Thay x = 3; y = -11 vào từng phương trình của hệ:

0,2.3 + 1,7.(-11) = 0,6 – 18,7 = -18,1

3,2.3 – 1.(-11) = 9,6 + 11 = 20,6

Vậy (3; -11) là nghiệm của hệ phương trình 0,2x+1,7y=−18,13,2x−y=20,6

c) Thay x = 1,5; y = 2 vào từng phương trình của hệ:

10.1,5 – 3.2 = 15 – 6 = 9

-5.1,5 + 1,5.2 = -7,5 + 3 = -4,5

Vậy (1,5; 2) là nghiệm của hệ phương trình 10x−3y=9−5x+1,5y=−4,5

Thay x = 3, y = 7 vào từng phương trình của hệ:

10.3 – 3.7 = 30 – 21 = 9

-5.3 + 1,5.7 = -15 + 10,5 = -4,5

Vậy (3; 7) là nghiệm của hệ phương trình 10x−3y=9−5x+1,5y=−4,5

d) Thay x = 1, y = 8 vào từng phương trình của hệ:

5.1 + 2.8 = 5 + 16 = 21 ≠ 9

Vậy (1; 8) không là nghiệm của hệ phương trình 5x+2y=9x−14y=5

Câu 9: Hãy biểu diễn y qua x ở mỗi phương trình (nếu có thể) rồi đoán nhận số

nghiệm của mỗi hệ phương trình sau đây và giải thích vì sao (không vẽ đồ thị)

Vậy hệ phương trình vô nghiệm

Câu 10: Cho phương trình 3x – 2y = 5

a) Hãy cho thêm một phương trình bậc nhất hai ẩn để được một hệ có nghiệm duy nhất

b) Hãy cho thêm một phương trình bậc nhất hai ẩn để được một hệ vô nghiệm

c) Hãy cho thêm một phương trình bậc nhất hai ẩn để được một hệ có vô số nghiệm

Lời giải:

Ta có: 3x – 2y = 5 ⇔ 2y=3x−5⇔y=32x−52

a) Để được một hệ có nghiệm duy nhất thì cần thêm một phương trình bậc nhất hai ẩn

mà đường thẳng biểu diễn nghiệm của nó có hệ số góc khác 32

Ví dụ: y = 3x + 1 Khi đó phương trình cần thêm là 3x – y + 1 = 0

Ví dụ: y = 32x−52, khi đó phương trình cần thêm là 32x−y=52

Hệ phương trình ta có được là: 3x−2y=532x−y=52

III Bài tập vận dụng

Câu 1: Tìm giá trị a để hai hệ phương trình sau tương

đương và biết hệ (I) có cặp nghiệm là (x;y) = (2; 1)

Câu 2: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi nào?

Câu 3: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (các hệ số khác ) vô

nghiệm khi?

Câu 4: Hệ phương trình (các hệ số a’; b’; c’ khác 0) vô số nghiệm khi?

Câu 5: Xác định giá trị của tham số m để hệ phương trình vô nghiệm

Câu 6: Cho hệ phương trình (m+2)x+y=2m−8m2x+2y=−3

Tìm các giá trị của tham số m để hệ phương trình nhận cặp số (−1; 3) làm nghiệm

Câu 7: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn (các hệ số khác 0) vô nghiệm khi?

Câu 8: Giải hệ phương trình, dự đoán số nghiệm của hệ

Câu 10: Cho hệ phương trình x+0y=−25x−y=−9

a) Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình đã cho Từ đó xác định nghiệm của hệ

b) Nghiệm của hệ phương trình này có phải là nghiệm của phương trình 3x – 7y = 1 hay không?

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Chuyên đề Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Chuyên đề Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Chuyên đề Ôn tập chương 3

Chuyên đề Hàm số y = ax^2 (a khác 0)