Chuyên đề phương trình quy về phương trình bậc hai (2022) toán 9

Chuyên đề Phương trình quy về phương trình bậc hai Toán 9 A Lý thuyết 1 Phương trình trùng phương a) Phương trình trùng phương Định nghĩa Phương trình trùng phương là phương trình có dạng ax4+bx2+c=0[.]

Chuyên đề Phương trình quy về phương trình bậc hai - Toán 9

A.Lý thuyết

1 Phương trình trùng phương

a) Phương trình trùng phương

Định nghĩa: Phương trình trùng phương là phương trình có dạng:

ax4+bx2+c=0 a≠0(1)

Ví dụ 1: 3x4+3x2+6=0; x4-3x2=0; x4-16=0… là những phương trình trùng phương

Nhận xét: Phương trình trên không phải là phương trình bậc hai, song ta có thể đưa về

phương trình bậc hai bằng cách đặt ẩn phụ

b) Các bước giải phương trình trùng phương

Bước 1: Đặt ẩn phụ

Đặt x2=tt≥0, khi đó phương trình (1) trở thành at2+bt+c=0(2)

Bước 2: Giải phương trình (2) với ẩn t

Bước 3: Giải phương trình t = x2

Bước 4: Trả lời

So sánh với điều kiện rồi kết luận nghiệm của phương trình

2 Phương trình chứa ẩn ở mẫu

a) Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Định nghĩa: Phương trình chứ ẩn ở mẫu là phương trình có chứa ẩn ở mẫu số

Ví dụ 2: 2x+3x+5+1x-5=0; 4xx+3-2x-3x+1=6… là những phương trình chứa ẩn ở

mẫu

b) Các bước giải phương trình chứa ân ở mẫu

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình

Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được

Bước 4: Trong các giá trị của ẩn vừa tìm được, loại các giá trị không thỏa mãn và kết

luận nghiệm của phương trình

3 Phương trình tích

a) Phương trình tích

Định nghĩa: Phương trình tích là phương trình có dạng A(x).B(x)….M(x) = 0, ở đó

A(x); B(x); … M(x) là những biểu thức

Ví dụ 3: x+1x2-6x+5; x+122x2+12x+18 …

b) Các bước giải phương trình tích

Bước 1: Giải từng nhân tử A(x) = 0; B(x) = 0; …của phương trình

Bước 2: So sánh điều kiện kết luận tập nghiệm

B Bài tập

I Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có biệt thức b = 2b'; Δ' = b'2 - ac

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi:

A Δ' > 0

B Δ' = 0

C Δ' ≥ 0

D Δ' ≤ 0

Lời giải:

Xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có biệt thức b = 2b'; Δ' = b'2 - ac:

• TH1: Nếu Δ' < 0 thì phương trình vô nghiệm

• TH2: Nếu Δ' = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 =

• TH3: Nếu Δ' > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,2 =

Chọn đáp án A

Câu 2: Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có biệt thức b = 2b'; Δ' = b'2 - ac

Nếu Δ' = 0 thì:

A Phương trình có hai nghiệm phân biệt

B Phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

C Phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

D Phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Lời giải:

Xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có biệt thức b = 2b'; Δ' = b'2 - ac:

Nếu Δ' = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 =

Chọn đáp án C

Câu 3: Tính Δ' và tìm số nghiệm của phương trình 7x2 - 12x + 4 = 0

A Δ' = 6 và phương trình có hai nghiệm phân biệt

B Δ' = 8 và phương trình có hai nghiệm phân biệt

C Δ' = 8 và phương trình có nghiệm kép

D Δ' = 0 và phương trình có hai nghiệm phân biệt

Lời giải:

Phương trình 7x2 - 12x + 4 = 0 có a = 7; b' = -6; c = 4 suy ra:

Δ' = (b')2 - ac = (-6)2 - 4.7 = 8 > 0

Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

Chọn đáp án B

Câu 4: Tìm m để phương trình 2mx2 - (2m + 1)x - 3 = 0 có nghiệm là x = 2

Lời giải:

Chọn đáp án C

Câu 5: Tính Δ' và tìm nghiệm của phương trình

Lời giải:

Chọn đáp án D

Câu 6: Tìm nghiệm dương của phương trình: x2 - 8x + 10 = 0

Lời giải:

Ta có: a = 1; b = - 8 nên b’ = -4; c = 10

Δ' = (-4)2 - 1.10 = 16 - 10 = 6

Do đó, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là;

Vậy cả hai nghiệm trên đều là nghiệm dương của phương trình đã cho

Chọn đáp án D

Câu 7: Cho phương trình 2x2 - 10x + m + 1 = 0; ( m là tham số) Tìm m để biệt thức

Δ' = 11

A m = 3

B m = 6

C m = 9

D m = -2

Lời giải:

Ta có: a = 2 ; b = -10 nên b’ = -5; c = m + 1

Δ' = (-5)2 - 2.(m + 1) = 25 - 2m - 2 = 23 - 2m

Để Δ' = 11 thì 23 – 2m = 11

⇔ -2m = -12 ⇔ m = 6

Chọn đáp án B

Câu 8: Cho phương trình 2x2 – 4x + m = 0 Tìm m để phương trình trên vô nghiệm?

A m < 3

B m > - 3

C m > 2

D m < -2

Lời giải:

Ta có: a = 2; b = - 4 nên b’ = -2 và c = m

Δ' = (-2)2 - 2m = 4 - 2m

Để phương trình đã cho vô nghiệm thì:4 – 2m < 0 hay m > 2

Chọn đáp án C

Câu 9: Cho hai phương trình x2 – 4x + 4= 0 và x2 + (m + 1)x + m = 0 Tìm m để hai

phương trình trên có nghiệm chung?

A m = 2 hoặc m = -1

B m = 1 hoặc m = 2

C m = -1

D m = -2

Lời giải:

* Xét phương trình : x2 – 4x + 4= 0

⇔ (x-2)2 = 0 ⇔ x - 2 = 0 ⇔ x = 2

Vậy phương trình này có nghiệm duy nhất

Để hai phương trình đã cho có nghiệm chung khi và chỉ khi x = 2 là nghiệm phương trình

x2 + (m + 1)x + m = 0.Suy ra:

22 + (m + 1).2 + m = 0

⇔ 4 + 2m + 2 + m = 0 ⇔ 6 + 3m = 0

⇔ 3m = +6 ⇔ m = -2

Chọn đáp án D

Câu 10: Cho phương trình: -8x2 + 100x + 40m = 0 Tìm m để phương trình trên có

nghiệm duy nhất?

Lời giải:

Chọn đáp án B.

II Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Tìm các giá trị của m để phương trình mx2 – 2(m – 1)x + m + 2 = 0 có

nghiệm

Lời giải:

Phương trình mx2 – 2(m – 1)x + m + 2 = 0 có a = m; b’ = − (m – 1); c = m + 2 Suy ra ∆' = (m – 1)2 – m(m + 2) = −4m + 1

TH1: m = 0, ta có phương trình 2x + 2 = 0 ⇔ x = −1

TH2: m ≠ 0 Phương trình có nghiệm khi

Kết hợp cả hai trường hợp ta có với thì phương trình có nghiệm

Câu 2: Phương trình (m – 3)x2 – 2(3m + 1)x + 9m – 1 = 0 có nghiệm khi?

Lời giải:

Phương trình (m – 3)x2 – 2(3m + 1)x + 9m – 1 = 0 có a = m – 3; b’ = − (3m + 1) và c

= 9m – 1

TH1: Nếu m – 3 = 0 ⇒ m = 3 thì phương trình (m – 3)x2 – 2(3m + 1)x + 9m – 1 = 0

Vậy m = 3 thì phương trình có nghiệm duy nhất nên ta nhận m = 3

TH2: m ≠ 3 thì phương trình là phương trình bậc hai Phương trình có nghiệm khi

Câu 3: Trong trường hợp phương trình −x2 + 2mx − m2 – m = 0 có hai nghiệm phân

biệt Hai nghiệm của phương trình là?

Lời giải:

Phương trình −x2 + 2mx − m2 – m = 0 có a = −1; b’ = m; c = −m2 – m

Suy ra ∆' = m2 – (−1).( −m2 – m) = −m

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi –m > 0 ⇔ m < 0

Câu 4: Trong trường hợp phương trình x2 – 2(m – 2)x + 2m − 5 = 0 có hai nghiệm

phân biệt Hai nghiệm của phương trình là?

Lời giải:

Phương trình x2 – 2(m – 2)x + 2m − 5 = 0 có a = 1; b’ = − (m – 2); c = 2m – 5 Suy ra ∆' = [− (m – 2)]2 – 1.(2m − 5) = m2 – 6m + 9 = (m – 3)2

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì ∆' > 0 ⇔ (m – 3)2 > 0 ⇔ m ≠ 3

Khi đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

Câu 5: Giải phương trình 2x2 - 6x + 4 = 0

Lời giải:

+ Tính Δ' = (-3)2 - 2.4 = 9 - 8 = 1 > 0

+ Do Δ' > 0, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x1 = 2; x2 = 1

Câu 6: Giải phương trình 3x2 - 6x + 3 = 0

Lời giải:

+ Tính Δ' = (-3)2 - 3.3 = 9 - 9 = 0

+ Do Δ' = 0, phương trình có nghiệm kép là x1 = x2 = -(-3/3) = 1

Vậy phương trình có nghiệm kép là x1 = x2 = 1

Câu 7: Giải phương trình 5x2 - 2x + 3 = 0

Lời giải:

+ Tính Δ' = (-1)2 - 5.3 = -14 < 0

+ Do Δ' < 0 nên phương trình đã cho vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Câu 8: Giải các phương trình sau

a) x4-13x2+36=0

b) 5x4+3x2+2=0

c) x4+4x2+3=0

Lời giải:

a) x4-13x2+36=0

Đặt x2=tt≥0 khi đó phương trình trở thành:

t2-13t+36=0∆=-132-4.36=25⇒t=-b+∆2a= 13+52=9tmt=-b-∆2a= 13-52=4tm + Với t = 9 ⇒x2=9⇒x=3x=-3

+ Với ⇒x2=4⇒x=2x=-2

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = {-3; -2; 2; 3}

b) 5x4+3x2+2=0

Đặt x2=tt≥0, khi đó phương trình trở thành

5t2+3t+2=0∆=32-5.4.2=9-40=-31

Vì ∆<0 nên phương trình vô nghiệm

Do đó phương trình ban đầu vô nghiệm

c) x4+4x2+3=0

Đặt x2=tt≥0, khi đó phương trình trở thành

t2+4t+3=0

Có a = 1; b = 4; c = 4 ⇒a-b+c=0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt t1=-1; t2=-ca=-31=-3

Vì t≥0 do đó cả t1; t2 đều không thỏa mãn

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Câu 9: Giải các phương trình sau

a) 480x-480x+3=8

b) 1x-1-3x2x3-1=2xx2+x+1

Lời giải :

a) Điều kiện: x≠0; x≠-3

480x-480x+3=8⇔480.x+3x.x+3-480.xx.x+3=8x.x+3x.x+3⇔480x+1440-480x-8x2-24xx.x+3=0⇔-8x2-24+1440xx+3=0⇒8x2+24x-1440=0⇔x2+3x-180=0*

∆=32-4.1.-180=729 > 0

Do đó phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt là:

x1=-3+7292=12 (thỏa mãn);

x1=-3-7292=-15 (thỏa mãn)

Vậy tập nghiệm của phương trình là 12; -15

b) Điều kiện: x≠1

1x-1-3x2x3-1=2xx2+x+1⇔x2+x+1x-1x2+x+1-3x2x-1x2+x+1-2xx-1x-1x2+x+1=0⇒x2+x+1-3x2-2x2+2x=0⇔-4x2+3x+1=0 *

∆=32-4.-4.1=9+16=25

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

x1=-3+252.-4=-14(thỏa mãn);

x2=-3-252.-4=1(không thỏa mãn)

Do đó tập nghiệm của phương trình ban đầu là S = -14

Câu 10: Giải các phương trình sau

a) 3x2-5x+1x2-4=0

b) 2x2+x-42-2x-12=0

Lời giải:

a) 3x2-5x+1x2-4=0

⇔3x2-5x+1=0 1x2-4=0 2

+) Giải (1) 3x2-5x+1=0

∆=52-4.3.1=25-12=13>0

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

x1=-b+∆2a=5+132.3=5+136;

x2=-b-∆2a=5-132.3=5-136

+) Giải (2) x2-4=0⇔x2=4⇔x=2x=-2

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm -2; 2; 5-136; 5+136

b) 2x2+x-42-2x-12=0

⇔2x2+x-4-2x-1.2x2+x-4+2x-1=0⇔2x2-x-32x2+3x-5=0⇒2x2-x-3=0 12x2+3x-5=0 2

+) Giải (1) 2x2-x-3=0

∆=-12-4.2.-3=25

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

x1=1+252.2=32x2=1-252.2=-1

+ Giải (2) 2x2+3x-5=0

∆=32-4.2.-5=49

Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt

x1=-3+492.2=1x2=-3-492.2=-52

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S=-52; 32; -1; 1

III Bài tập vận dụng

Câu 1: Tìm giá trị của tham số m để phương trình x2 + 2mx + m - 4 = 0 có nghiệm

Câu 2: Tìm giá trị của tham số m để phương trình x2 - mx + m - 1 = 0 có đúng một

nghiệm duy nhất?

Câu 3: Giải các phương trình sau bằng công thức thu gọn:

3x2 + 18x + 29 = 0; x2 - 16x + 64 = 0

Câu 4: Giải phương trình :

a) – 7x – 18 = 0;

b) – 9 + 8 = 0

Câu 5:

Giải các phương trình sau :

a) 3 – 4 + 1 = 0 ;

b) + 4 – 21 = 0

Câu 6:

Giải các phương trình sau :

a) + 7 + 10 = 0 ;

b) 5 – 20 = 0

Câu 7:

Giải các phương trình sau :

a) 7 + 6 + 2 = 0;

b) 9 – 24 +16 = 0

Câu 8:

Giải các phương trình sau :

a) + 6 – 18x -9 = 0;

b) + 2 – 2 + 2x – 3 = 0

Câu 9:

Giải các phương trình sau :

a) x(x + 1)(x + 6)(x + 7) = 40 ;

b) (2x + 1)(2x + 5)( – 1) + 9 = 0 ;

c) (6 – x + 2)(6 + 3x + 2) = 96

Câu 10 Giải các phương trình:

a) (x+2)2 – 3x – 5 =(1 – x)(1 + x)

b) (x – 1)3 + 2x = x3 – x2 – 2x + 1

c) x(x2 – 6 ) – (x – 2)2 = (x + 1)3

d) (x + 5)2 + (x – 2)2 + (x + 7)(x – 7) = 12x – 23

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Chuyên đề Bài tập ôn tập chương Chuyên đề Góc ở tâm Số đo cung Chuyên đề Liên hệ giữa cung và dây Chuyên đề Góc nội tiếp