Chuyên đề Hệ thức Vi – ét và ứng dụng Toán 9 A Lý thuyết 1 Hệ thức Vi – ét Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm dù đó là hai nghiệm phân biệt hay nghiệm kép thì ta đều có thể viết đ[.]
Trang 1Chuyên đề Hệ thức Vi – ét và ứng dụng - Toán 9 A.Lý thuyết
1 Hệ thức Vi – ét
Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm dù đó là hai nghiệm phân biệt hay nghiệm kép thì ta đều có thể viết được dưới dạng:
x1=-b+∆2a; x2=-b+∆2a
Định lí Vi – ét
Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì ta có:
x1+x2=-bax1.x2=ca
Nhận xét: Nhờ định lý Vi – ét, nếu đã biết một nghiệm của phương trình bậc hai thì có
thế suy ra nghiệm kia
2 Ứng dụng của định lý Vi – ét
a) Ứng dụng trong giải phương trình (bằng cách nhẩm miệng)
+ Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = 1 và nghiệm còn lại là x2 =ca
+ Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = -1 và nghiệm còn lại là x2 = -ca
b) Tìm hai số khi biết tổng và tích
+ Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của phương trình bậc hai x2 - Sx + P = 0
+ Điều kiện để có hai số đó là S2 - 4P ≥ 0
B Bài tập
I Bài tập trắc nghiệm
Trang 2Câu 1: Chọn phát biểu đúng Phương trình ax2 + bx + c (a ≠ 0) có hai nghiệm x1; x2 Khi đó:
Lời giải:
Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c (a ≠ 0)
Nếu x1; x2 là hai nghiệm của phương trình thì:
Chọn đáp án A
Câu 2: Chọn phát biểu đúng: Phương trình ax2 + bx + c (a ≠ 0) có a - b + c = 0 Khi đó:
Trang 3Lời giải:
Chọn đáp án C
Câu 3: Cho hai số có tổng là S và tích là P với S2 ≥ 4P Khi đó hai số đó là hai nghiệm của phương trình nào dưới đây:
A X2 - PX + S = 0
B X2 - SX + P = 0
C SX2 - X + P = 0
D X2 - 2SX + P = 0
Lời giải:
Nếu hai số có tổng là S và tích là P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình X2 -
SX + P = 0 (ĐK: S2 ≥ 4P)
Chọn đáp án B
Câu 4: Không giải phương trình, tính tổng hai nghiệm (nếu có) của phương trình x2 - 6x + 7 = 0
A 1/6
B 3
C 6
Trang 4D 7
Lời giải:
Phương trình x2 - 6x + 7 = 0 có Δ = (-6x)2 - 4.1.7 = 8 > 0 nên phương trình có hai nghiệm x1; x2
Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = = 6 ⇔ x1 + x2 = 6
Chọn đáp án C
Câu 5: Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình x2 - 5x + 2 = 0 Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức A = x1 + x2
A 20
B 21
C 22
D 23
Lời giải:
Phương trình x2 - 5x + 2 = 0 có hai nghiệm x1; x2
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
Trang 5Chọn đáp án B
Câu 6: Biết có hai số u và v thỏa mãn điều kiện: u + v = 12 và u.v = 27 Biết u < v
Tính u2.v?
A 54
B 27
C 144
D 72
Lời giải:
Trang 6Chọn đáp án A
Câu 7: Biết có hai số u và v thỏa mãn u – v = 10 và u.v = 11 Tính |u+ v| ?
A 11
B 12
C 10
D 13
Lời giải:
Ta có: u.v =11 nên u.(-v) = -11 (1)
Từ u – v = 10 nên u + (- v) = 10 (2)
Khi đó; u và (-v) là nghiệm phương trình:
x2 - 10x - 11 = 0 (*)
Do a - b + c = 1 -(-10 ) + (-11) = 0 nên phương trình (*) có 2 nghiệm là: x1 = -1 và x2 = 11
Trang 7* Trường hợp 1: Nếu u = -1 và –v = 11
=> v = -11 nên u + v = -12
* Trường hợp 2: nếu u = 11 và –v = -1 thì v = 1
Suy ra: u + v = 12
Trong cả 2 trường hợp ta có: |u + v| = 12
Chọn đáp án B
Câu 8: Cho phương trình x2 - 4x + m + 1= 0 Tìm m để phương trình trên có nghiệm
và x1 x2 = 4 Tìm m ?
A m = - 3
B Không có giá trị nào
C m =3
D m = 2
Lời giải:
Ta có: Δ' = (-2)2 - 1.(m + 1) = 3 - m
Để phương trình đã cho có nghiệm thì Δ' = 3 - m ≥ 0 ⇔ m ≤ 3
Với điều kiện trên thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1; x2
Theo hệ thức Vi-et ta có: x1.x2 = m + 1
Để x1 x2 = 4 thì m + 1 = 4 nên m = 3 ( thỏa mãn điều kiện)
Chọn đáp án C
Câu 9: Cho phương trình x2 - 4x + (2m - 2) = 0.Tìm m để phương trình trên có 2 nghiệm dương phân biệt ?
A m = 0
Trang 8B m =1
C m = -1
D Không có giá trị nào thỏa mãn
Lời giải:
Ta có:
Δ' = (-2)2 - 1.(2m - 2) = 2 - 2m
Để phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi:
Suy ra không có giá trị nào của m thỏa mãn
Chọn đáp án D
Câu 10: Cho phương trình x2 - (m + 1)x + m = 0 Có bao nhiêu giá trị nguyên của m
để phương trình đã cho có 2 nghiệm âm?
A 0
B 1
C 2
D Vô số
Lời giải:
Ta có:
Trang 9Chọn đáp án A
II Bài tập tự luận có lời giải
Câu 1: Phương trình x2 + (2m + 1)x + 3m = 0 (với m là tham số) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm là x1 = -3 Tìm nghiệm x2
Lời giải:
Ta có: a = 1; b = 2m + 1; c = 3m
∆=b2-4ac=2m+12-4.1.3m=4m2-8m+1
Vì phương trình có một nghiệm x1=-3 nên thay x = -3 vào phương trình ta có:
-32+2m+1.-3+3m=0⇔9-6m-3+3m=0⇔-3m+6=0⇒m=-6:-3=2
Với m = 2 ⇒∆=4.22-8.2+1=1> 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt
Áp dụng định lý Vi – ét cho phương trình ta có:
x1+x2=-ba=-2m+11=-2.2+11=5⇒x2=-5-x1=-5 3=-2
Vậy nghiệm còn lại của phương trình là -2
Câu 2: Dùng điều kiện a + b + c = 0 hoặc a –b + c = 0 để tính nhẩm nghiệm của mỗi
phương trình sau:
a) x2-4x-5=0
Trang 10b) x2+6x-7=0
Lời giải:
a) x2-4x-5=0
Ta có: a = 1; b = -4; c = -5
Ta có a – b + c = 1 – (-4) – 5 = 0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
x1=-1; x2=-ca= 51=5
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là S = {-1; 5}
b) x2+6x-7=0
Ta có: a = 1; b = 6; c = -7
Ta có: a + b + c = 1 + 6 + (-7) = 0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
x1=1; x2=ca=-71=-7
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {-7; 1}
Câu 3: Tìm hai số u, v biết:
u + v = 32; u.v = 231
Lời giải:
S = 32; P = 231 ⇒ S2 – 4P = 322 – 4.231 = 100 > 0
⇒ Tồn tại u và v là hai nghiệm của phương trình: x2 – 32x + 231 = 0
Ta có: Δ = (-32)2 – 4.231 = 100 > 0
⇒ PT có hai nghiệm:
Trang 11x1=32+1002.1=21; x2=32-1002.1=11
Vậy u = 21; v = 11 hoặc u = 11; v = 21
Câu 4: Tìm giá trị của m để phương trình x2-2x+4m=0 có hai nghiệm phân
biệt x1; x2 thỏa mãn 3x1+5x2=5
Lời giải:
∆'=b'2-ac=-12-1.4m=1-4m
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì:
∆'>0⇔1-4m>0⇔4m<1⇔m<14
Áp dụng định lý Vi – ét cho phương trình ta có:
x1+x2=-ba=21=2 (1)
Theo đề bài lại có: 3x1+5x2=5 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình x1+x2=23x1+5x2=5
Giải hệ phương trình ta được: x1=52x2=-12
Mà cũng theo định lý Vi – ét
x1.x2=ca=4m1=4m⇒52.-12=4m⇔-54=4m⇔m=-54:4=-516
Vậy m=-516 thì phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn 3x1+5x2=5
Câu 5: Giải phương trình rồi kiểm nghiệm hệ thức vi–ét:
a) 5x2+2x−16=0
b) 3x2−2x−5=0
c) 13x2+2x−163=0
d) 12x2−3x+2=0
Lời giải:
a) Phương trình 5x2+2x−16=0 có hệ số a = 5; b = 2; c = –16
Ta có: Δ'=12−5.−16=1+80=81>0
Trang 12Phương trình có hai nghiệm phân biệt
x1=−1+95=85;x1=−1−95=−2
Kiểm tra Hệ thức Vi – ét
x1+x2=85+−2=−25=−ba
x1.x2=85.−2=−165=ca
b) Phương trình 3x2−2x−5=0 có hệ số a = 3; b = –2; c = –5
Ta có: Δ'=−12−−5.3=1+15=16>0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
x1=1+163=53;x2=1−163=−33=−1
Kiểm tra hệ thức Vi – et
x1+x2=53+−1=23=−ba;
x1.x2=53.−1=−53=ca
c) Phương trình 13x2+2x−163=0
⇔x2+6x−16=0 có hệ số a = 1; b = 6; c = –16
Δ'=32−1.−16=25>0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
x1=−3+251=2;x2=−3−251=−8
Kiểm tra hệ thức Vi – et
x1+x2=2+−8=−6=−ba
x1.x2=2.−8=−16=ca
d) Phương trình 12x2−3x+2=0
Trang 13⇔x2−6x+4=0 có hệ số a = 1; b = –6; c = 4
Ta có: Δ'=−32−1.4=9−4=5>0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1=3+51=3+5;x2=3−51=3−5
Kiểm tra hệ thức Vi – et
x1+x2=3+5+3−5=3+3=6=−ba
x1.x2=3+53−5=9−5=4=41
Câu 6: Không giải phương trình, dùng hệ thức Vi–ét, hãy tính tổng và tích các nghiệm
của mỗi phương trình
a) 2x2−7x+2=0
b) 2x2+9x+7=0
c) 2−3x2+4x+2+2=0
d) 1,4x2−3x+1,2=0
e) 5x2+x+2=0
Lời giải:
a) 2x2−7x+2=0
Ta có:Δ =(–7)2 –4.2.2 =49 –16 =33 >0
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt Theo hệ thức Vi–ét, ta có:
x1+x2=−ba=72;x1.x2=ca=22=1
b) 2x2+9x+7=0
Δ = 92 – 4.2.7 = 81 – 56 = 25 > 0
Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt
Theo hệ thức Vi – et ta có:
x1+x2=−ba=−92
x1.x2=ca=72
c) 2−3x2+4x+2+2=0
Ta có: Δ'=22−2−33+2=4−4−22+23+6
Trang 14=23−22+6>0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt Theo hệ thức Vi – ét ta có: x1+x2=−ba=−42−3=−42+3
x1.x2=ca=2+22−3=2+22+32+32−3=4+22+23+6
d) 1,4x2−3x+1,2=0
Ta có : Δ = (–3)2 –4.1,4.1,2 =9 – 6,72 =2,28 >0
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt Theo hệ thức Vi–ét, ta có: x1+x2=−ba=31,4=157;x1.x2=ca=67
e) 5x2+x+2=0
Δ = 12 –4.5.2 = 1 – 40 = –39 < 0
Phương trình vô nghiệm
Câu 7: Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:
a) 7x2−9x+2=0
b) 23x2−9x−32=0
c) 1975x2+4x−1979=0
Lời giải:
a) Phương trình 7x2 –9x +2 = 0
có hệ số a = 7, b = –9, c = 2
Ta có: a + b + c = 7 + (–9) + 2 = 0
Suy ra nghiệm của phương trình là x1 = 1, x2 =ca=27
b) Phương trình 23x2 – 9x – 32 = 0
có hệ số a = 23, b = –9, c = –32
Ta có: a – b +c = 23 – (–9) + (–32) =0
Suy ra nghiệm của phương trình là x1= –1, x2 = −ca=−−3223=3223 c) Phương trình 1975x2 + 4x –1979 = 0
Trang 15có hệ số a = 1975, b = 4, c = –1979
Ta có: a + b + c =1975 + 4 + (–1979) = 0
Suy ra nghiệm của phương trình là x1 = 1, x2 =ca=−19791975
Câu 8: Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:
a) 5+2x2+5−2x−10=0
b) 13x2−32x−116=0
c) 31,1x2−50,9x+19,8=0
Lời giải:
a) Phương trình 5+2x2+5−2x−10=0
có hệ số a = 5+2 ; b =5−2 ; c = –10
Ta có: a + b + c = 5+2+ 5−2 – 10 = 0
Suy ra nghiệm của phương trình là x1 = 1, x2 = ca=−105+2
b) 13x2−32x−116=0
⇔2x2−9x−11=0
có hệ số a = 2; b = –9; c = –11
Ta có: a – b + c = 2 – (–9) + (–11) = 0
Suy ra nghiệm của phương trình là x1 = –1, x2 = −ca=−−112=112
c) Phương trình 31,1x2 – 50,9x + 19,8 = 0
⇔ 311x2 – 509x +198 = 0
có hệ số a = 311, b = –509, c = 198
Ta có: a + b + c = 311 + (–509) + 198 = 0
Suy ra nghiệm của phương trình là x1 = 1 , x2 = ca=198311
Câu 9:
a) Chứng tỏ rằng phương trình 3x2 + 2x – 21 =0 có một nghiệm là –3 Hãy tìm nghiệm kia
b) Chứng tỏ rằng phương trình –4x2 – 3x +115=0 có một nghiệm là 5 Hãy tìm nghiệm kia
Trang 16Lời giải:
a) Thay x = –3 vào vế trái của phương trình, ta có:
3.(–3)2 + 2(–3) – 21 = 27 – 6 – 21 = 0
Vậy x = –3 là nghiệm của phương trình 3x2 + 2x – 21 =0
Theo hệ thức Vi–ét ta có: x1x2 =ca = −213 = –7 ⇒ x2 =−7x1 =−7−3 =73
Vậy nghiệm còn lại là x =73
b) Thay x = 5 vào vế trái của phương trình, ta có:
–4.52 – 3.5 + 115 = –100 – 15 + 115 =0
Vậy x = 5 là nghiệm của phương trình –4x2 – 3x + 115=0
Theo hệ thức Vi–ét ta có: x1x2 = ca=−1154 ⇒ 5x2 = −1154 ⇒ x2 = −234
Vậy nghiệm còn lại là x = −234
Câu 10: Dùng hệ thức Vi–ét để tìm nghiệm x2 của phương trình rồi tìm giá trị của m
trong mỗi trường hợp sau:
a) Phương trình x2 + mx – 35 = 0 có nghiệm x1 = 7
b) Phương trình x2 – 13x + m = 0 có nghiệm x1 = 12,5
c) Phương trình 4x2 + 3x – m2 + 3m = 0 có nghiệm x1 = –2
d) Phương trình 3x2 – 2(m – 3)x + 5 = 0 có nghiệm x1 =13
Lời giải:
a) Theo hệ thức Vi–ét ta có: x1x2 =ca= –35
Suy ra 7x2 = –35 ⇔ x2 = –5
Cũng theo hệ thức Vi–ét ta có: x1 + x2 =−ba= –m
Suy ra: m = –7 + 5 ⇔ m = –2
Vậy với m = –2 thì phương trình x2 + mx – 35 = 0 có hai nghiệm x1 = 7, x2 = –5
b) Theo hệ thức Vi–ét ta có: x1 + x2 =−ba= 13
Suy ra 12,5 + x2 = 13 ⇔ x2 = 0,5
Cũng theo hệ thức Vi–ét ta có: x1x2 =ca= m
Trang 17Suy ra: m = 12,5.0,5 ⇔ m = 6,25
Vậy với m = 6,25 thì phương trình x2 – 13x + m = 0 có hai nghiệm
x1 = 12,5 ,x2 = 0,5
c) Theo hệ thức Vi–ét ta có: x1 + x2 =−ba=−34
Suy ra: –2 + x2 = −34 ⇔ x2 = −34 + 2 =54
Cũng theo hệ thức Vi–ét ta có: x1x2 = ca=−m2+3m4
Suy ra: –2 54 =−m2+3m4 ⇔ m2 – 3m – 10 =0
Δ= (–3)2 – 4.1.(–10) = 9 + 40 = 49
m1=−b+Δ2a=3+492=5
m2=−b−Δ2a=3−492=−2
Vậy với m = 5 hoặc m = –2 thì phương trình 4x2 + 3x – m2 + 3m = 0 có hai nghiệm x1=−2;x2=54
d) Theo hệ thức Vi–ét ta có: x1x2 =53
Suy ra:13 x2 = 53 ⇔ x2 =53 : 13 =53 3 = 5
cũng theo hệ thức Vi–ét ta có: x1 + x2 =2m−33
Suy ra: 13+ 5 =2m−33 ⇔ 2(m – 3) = 16 ⇔ m– 3 = 8 ⇔ m = 11
Vậy với m = 11 thì phương trình 3x2 –2(m –3)x +5 =0 có hai nghiệm x1 = 1/3 , x2 = 5
III Bài tập vận dụng
Câu 1: Không giải phương trình, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng và tích các nghiệm
của mỗi phương trình :
a) 5 + 2x – 4 = 0
b) 4 – 6 x + 4 = 0
Câu 2: Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm của phương trình:
a) 7 + 3x – 4 = 0 ;
b) 4 – (5 + ) x + 1 + = 0
Câu 3: Cho phương trình + 2(m + 1)x + 2m – 1 =0(1),trong đó m là tham số
a) Chứng minh phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu
Câu 4: Cho hàm số y = 2
a) Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số trên với đổ-thị hàm số y = 3x – 1
b) Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số y = 2 cất đồ thị hàm số y = 5x + 9 tại hai điểm nằm
về hai phía đối với trục Oy
Trang 18Câu 5: Không giải phương trình, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng và tích các nghiệm
của mỗi phương trình :
a) 3 + 5x – 12 = 0;
b) 3 – 60x + 41 = 0 ;
c) 13 + 7x + 4 = 0 ;
d) -6 – 15x + 31 = 0
Câu 6: Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm của các phương trình :
a) 2 + 9x-11 =0;
b) – ( + )x + = 0 ;
c) – 2x – 15 = 0 ;
d) – 10x + 24 = 0
Câu 7: Cho parabol (P) : y = và đường thẳng (d) : y = 4mx – 4 + 1
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, hai đồ thị luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B
b) Gọi , là hoành độ của A, B Tính
c) Tính toạ độ trung điểm I của AB theo m
Câu 8: Cho phương trình – (2m – 1)x – + m – 1 =0, trong đó m là tham số a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi giá trị của m b) Gọi , là hai nghiệm của phương trình trên Tìm giá trị của m sao cho đạt giá trị nhỏ nhất
Câu 9: Tìm m để phương trình – (m – 5)x – 2 = 0 có hại nghiệm , thoả mãn
Câu 10: Tìm m để phương trình – ( – 2m – 3)x + m – 2 = 0 có hai nghiệm đối nhau
Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:
Chuyên đề Phương trình quy về phương trình bậc hai
Chuyên đề Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Chuyên đề Bài tập ôn tập chương
Chuyên đề Góc ở tâm Số đo cung
Chuyên đề Liên hệ giữa cung và dây