Chuyên đề tứ giác nội tiếp (2022) toán 9

Chuyên đề Tứ giác nội tiếp Toán 9 A Lý thuyết 1 Khái niệm về tứ giác nội tiếp Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp) Ví d[.]

Chuyên đề Tứ giác nội tiếp - Toán 9

A Lý thuyết

1 Khái niệm về tứ giác nội tiếp

Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp).

Ví dụ 1 Bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên đường tròn (O) như hình vẽ

Do đó, ta gọi tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp

Ví dụ 2 Bốn điểm M, N, P, Q không cùng nằm trên đường tròn (I) như hình vẽ

Do đó, ta gọi tứ giác MNPQ không là tứ giác nội tiếp

2 Định lí

Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180°

Ví dụ 3 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Chứng

Ví dụ 4 Cho tứ giác ABCD có A^=100o;  C^=80o

Khi đó, tứ giác ABCD có A^+  C^=100o+80o=180o

Do đó tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn

4 Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp

- Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180°

- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện

- Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được) Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó

- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc

α

- Chú ý: Để chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp ta có thể chứng minh tứ giác

đó là một trong các hình sau: Hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân

Ví dụ 5 Tứ giác ABCD có , góc ngoài của tam giác tại đỉnh A có số đo bằng 80o

Xét tứ giác ABCD có:

+ A^ và C^ là hai góc đối diện

+ Góc ngoài đỉnh A và góc trong đỉnh C có tổng số đo bằng 180o

Do đó tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn

B Bài tập

I Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) (hình 1) Chọn khẳng định sai?

Câu 3: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính BC Lấy điểm A trên tia đối của tia

CB Kẻ tiếp tuyến AF.Bx của nửa kia đường tròn (O) ( với F là tiếp điểm ) Tia AF cắt tia Bx của nửa đường tròn tại D Khi đó tứ giác OBDF là :

D 55°

Lời giải:

Tứ giác ABCD nội tiếp nên có :

Chọn đáp án C

Câu 5: Cho tam giác ABC có 2 đường cao BD và CE cắt nhau tại H Tứ giác nào sau

đây là tứ giác nội tiếp

Trên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ BC, hai điểm D và E cùng nhìn đoạn thẳng BC dưới 1 góc vuông nên 4 điểm B, C, D, E cùng thuộc 1 đường tròn hay tứ giác BCDE là tứ giác nội tiếp

Chọn đáp án B.

Câu 6: Cho đường tròn (O) có AB là đường kính Trên đường thẳng AB lấy điểm C

nằm ngoài đường tròn Lấy điểm M bất kì nằm trên đường tròn (O) Gọi P là giao điểm của MB và đường vuông góc với AB tại Chọn khẳng định đúng

A Tứ giác PMAC là tứ giác nội tiếp

B Tam giác BCM vuông

C Tam giác BCP có CM là đường trung tuyến

Câu 7: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R Trên tia đối của tia AB lấy

điểm E (khác với điểm A) Tiếp tuyến kẻ từ điểm E cắt các tiếp tuyến kẻ từ điểm A và

B của nửa đường tròn (O) lần lượt tại C và D Gọi M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ điểm E Tìm khẳng định sai

A Tứ giác OACM là tứ giác nội tiếp

B Tứ giác OBDM là tứ giác nội tiếp

C Tứ giác ACDB là hình thang vuông

D Tứ giác ACDO là tứ giác nội tiếp

Lời giải:

Suy ra OMDB là tứ giác nội tiếp

Chọn đáp án D

Câu 8: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, trên nửa đường tròn lấy điểm C (C

không trùng với A, B) Gọi H là hình chiếu của C trên đường thẳng AB Trên cung CB lấy điểm D (D khác C, B), Hai đường thẳng AD và CH cắt nhau tại E Gọi (O’) là đường tròn đi qua D và tiếp xúc với AB tại B Đường tròn (O’) cắt CB tại F khác B Chọn khẳng định sai ?

A Tứ giác BDEH nội tiếp

B AC2 = AE.AD

C EF // AB

D Có 2 phương án sai

Lời giải:

* Gọi (O’) là đường tròn đi qua D và tiếp xúc với AB tại B Đường tròn (O’) cắt CB tại F khác B Chứng minh EF // AB.

Ta có:

Hai góc ở vị trí đồng vị ⇒ EF//AB

Chọn đáp án D

Câu 9: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi H là giao điểm hai

đường cao BD và CE của tam giác ABC (D ∈ AC, E ∈ AB) ) Đường thẳng AO cắt

Trong nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B, vẽ tia tiếp tuyến Ax với đường tròn (O)

Chọn đáp án D

Câu 10: Cho tam giác ABC (AB < AC) có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O;

R) Vẽ đường cao AH của tam giác ABC, đường kính AD của đường tròn Gọi E, F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ C và B xuống đường thẳng AD M là trung điểm của BC

Tìm khẳng định sai ?

A Tứ giác ABHF nội tiếp

B Tứ giác BMFO nội tiếp

C HE // BD

D Có ít nhất một khẳng định sai

Lời giải:

* Chứng minh các tứ giác ABHF và BMFO nội tiếp

- Từ giả thiết suy ra:

=> H và F thuộc đường tròn đường kính AB (quỹ tích cung chứa góc)

Vậy tứ giác ABHF nội tiếp đường tròn đường kính AB

- Gọi M là trung điểm của BC (gt), suy ra: OM ⊥ BC

Khi đó:

Nên M, F thuộc đường tròn đường kính OB(quỹ tích cung chứa góc)

Vậy tứ giác BMOF nội tiếp đường tròn đường kính OB

* Chứng minh HE // BD

Dễ chứng minh tứ giác ACEH nội tiếp đường tròn đường kính AC

Và chúng ở vị trí so le trong suy ra: HE // BD

Chọn đáp án D

II Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) M là điểm chính giữa cung AB

Nối M với D, M với C cắt AB lần lượt ở E và F Chứng minh tứ giác PEDC là tứ giác nội tiếp

Lời giải:

Xét tứ giác PEDC có:

Mà góc CPB^ là góc ngoài của đỉnh P và đỉnh P và D là hai đỉnh đối diện nhau

Do đó: tứ giác PEDC là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết)

Câu 2: Cho tam gác ABC nhọn, đường cao BM và CN cắt nhau tại H Chứng minh

các tứ giác AMHN và BNMC là những tứ giác nội tiếp

Lời giải:

Vì BM là đường cao của tam giác ABC nên AMB^=BMC^=90°

Vì CN là đường cao của tam giác ABC nên ANC^=BNC^=90°

Xét tứ giác AMHN có:

AMB^+ANC^=90°+90°=180°

Mà góc AMB^ và ANC^ là hai góc đối nhau

Do đó tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết)

Xét tứ giác BNMC có:

BMC^=BNC^=90°

Mà hai góc này là hai góc có đỉnh kề nhau và cùng nhìn cạnh BC dưới một góc 90°

Do đó tứ giác BNMC là tứ giác nội tiếp

Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A Trên AC lấy điểm D Hình chiếu của D lên

BC là E, điểm đối xứng của E qua BD là F Chứng minh 5 điểm A, B, E, D, F cùng nằm trên một đường tròn Xác định tâm của đường tròn đó

Lời giải:

Vì E là hình chiếu của D lên BC nên DE⊥BC⇒DEB^=90°

Gọi O là trung điểm của BD

Xét tam giác DEB vuông tại E, trung tuyến EO ta có:

OE = OD = OB = 12 BD (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông) (1)

Xét tam giác ABD vuông tại A, trung tuyến AO ta có:

AO = OD = OB = 12BD (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông) (1)

Vì E đối xứng với F qua BD nên EF⊥BD Gọi giao điểm của EF với BD là G

Vì E đối xứng với F qua BD nên EG = GF

Xét tam giác DGF và tam giác DGE có:

GF = GE

DG chung

DGF^=DGE^=90°

Do đó ΔDGF=ΔDGE (c – g – c)

⇒DF=DEFDG^=EDG^(các cặp cạnh tương ứng và các cặp góc tương ứng)

Xét FDB và tam giác EDB có:

Xét tam giác FDB vuông tại F, trung tuyến FO ta có:

FO = OD = OB = 12 BD (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông) (3)

Từ (1); (2); (3) ta có:

OA = OB = OD = OE = OF = 12 BC

Do đó 5 điểm A, B, D, E, F cách đều O Do đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp đi qau 5 điểm A, B, D, E, F

Câu 4: Từ điểm S nằm ở ngoài đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến SA; SB với A, B là tiếp

điểm và cát tuyến SCD với đường tròn Gọi I là trung điểm của CD Chứng minh 5 điểm

Vì I là trung điểm của CD nên OI vuông góc với CD (tính chất)

⇒SOI^=90°

Gọi trung điểm của SO là K

Tam giác OAS vuông tại A với K là trung điểm của SO

⇒OK=KS=AK=12SO (định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) (1)

Tam giác OBS vuông tại B với K là trung điểm của SO

⇒OK=KS=BK=12SO (định lý đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) (2)

Tam giác OIS vuông tại I có K là trung điểm của SO

⇒OK=KS=IK=12SO (định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) (3)

Từ (1); (2); (3) ⇒OK=KS=IK=AK=BK=12SO

Hay 5 điểm A, B, S, I, O cách đều điểm K

Vậy 5 điểm A, B, S, I, O cùng nằm trên một đường tròn (K) bán kính KS

Câu 5: Cho đường tròn (O) đường kính AB Gọi H là điểm nằm giữa O và B Kẻ dây

CD vuông góc với AB tại H Trên cung nhỏ AC lấy điểm E, kẻ CK vuông góc với AE tại K Đường thẳng DE cắt CK tại F Chứng minh:

a) Tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếp

b) AH.AB=AD2

c) Tam giác ACF là tam giác cân

Lời giải:

a) Vì CD vuông góc với AB tại H ⇒CHA^=90°

Vì CK vuông góc với AE tại K ⇒AKC^=90°

Xét tứ giác AKCH có:

AKC^+CHA^=90°+90°=180°

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

Do đó tứ giác AKCH là tứ giác nội tiếp

b) Vì AB là đường kính do đó ADB^ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

⇒ADB^=90°

Xét tam giác ABD vuông tại D, đường cao DH ta có:

AH.AB=AD2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

c) Vì AHCK là tứ giác nối tiếp

⇒KHC^=KAC^ (hai góc có đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh KC)

Lại có KAC^=EDC^ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EC⏜)

Do đó: EDC^=KHC^

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị với nhau

Do đó KH // DF

Mặt khác AB vuông góc với CD tại H nên H là trung điểm của CD (tính chất)

Vì H là trung điểm của CD, KH // DF do đó K là trung điểm của CF (tính chất)

Xét tam giác ACF có:

AK vuông góc với CF

K là trung điểm của CF

Do đó AK vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của tam giác ACF

=> Tam giác ACF là tam giác cân tại A

Câu 6: Cho nửa (O) đường kính AB Lấy M thuộc OA (M không trùng với O và A)

Qua M kẻ đường thẳng d vuông góc với AB Trên d lấy N sao cho ON > R Nối NB cắt (O) tại C Kẻ tiếp tuyến NE với (O) (E là tiếp điểm, A và E thuộc cùng nửa mặt phẳng

bờ d Chứng minh:

a) Tứ giác O, E, M, N thuộc cùng một đường tròn

Mà hai góc này có đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh ON

Do đó tứ giác ENOM là tứ giác nội tiếp

=> bốn điểm E, N, O, M cùng thuộc một đường tròn

b) Ta có: NBE^ là góc nội tiếp chắn cung NC⏜

NEC^ là góc nội tiếp chắn cung NC⏜

Câu 7: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BM và CN cắt nhau tại H Chứng minh

các tứ giác AMHN và BNMC là những tứ giác nội tiếp

Lời giải:

BMC^ và BNC^ cùng nhìn cạnh BC dưới một góc 90o.

Do đó tứ giác BNMC là tứ giác nội tiếp

Vậy các tứ giác AMHN và BNMC là những tứ giác nội tiếp

Câu 8: Cho đường tròn (O) đường kính AB Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OA, điểm

N thuộc đường tròn (O) Từ A và B vẽ các tiếp tuyến Ax và By Đường thẳng qua C

và vuông góc với NM cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D

a) Chứng minh ACNM và BDNM là các tứ giác nội tiếp đường tròn

b) Chứng minh ∆ANB đồng dạng với ∆CMD

Lời giải:

a) Xét tứ giác ACNM có:

MNC^=90o (vì NM⊥CD);

MAC^=90o (vì Ax là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O))

Do đó tứ giác ACNM nội tiếp đường tròn đường kính MC

Xét tứ giác BDNM có:

MND^=90o (vì NM⊥CD);

MBD^=90o (vì By là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O))

Do đó tứ giác BDNM nội tiếp đường tròn đường kính MD

Vậy các tứ giác ACNM và BDNM là các tứ giác nội tiếp đường tròn b) Xét ∆ANB và ∆CMD có:

BAN^=DCM^ (tứ giác ACNM nội tiếp)

ABN^=CDM^ (tứ giác BDNM nội tiếp)

Do đó ∆ANB ∆CMD (g.g)

Câu 9: Trên đường tâm O có một cung AB và S là điểm chính giữa của cung đó Trên

dây AB lấy hai điểm E và H Các đường thẳng SH và SE cắt đường tròn theo thứ tự tại

C và D Chứng minh EHCD là một tứ giác nội tiếp

Lời giải:

S là điểm chính giữa của cung nhỏ AB (gt)

⇒SA⏜=SB⏜(1)

Ta lại có:

(góc có đỉnh ở bên trong đường tròn) (2)

DCS^=12sđDAS⏜=12sđDA⏜+sđSA⏜ (góc nội tiếp chắn cung) (3)

Từ (2) và (3) ta suy ra: DEB^+DCS^=12sđDCB⏜+sđAS⏜+sđDA⏜+sđSA⏜(4)

Câu 10: Cho tam giác ABC Các đường phân giác trong của góc B và góc C cắt nhau

tại S, các đường phân giác ngoài của góc B và góc C cắt nhau tại E Chứng minh BSCE

là một tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác BSCE có: SBE^+SCE^=90o+90o=180o

Do đó, BSCE là tứ giác nội tiếp

III Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B Kẻ đường kính AC của

đường tròn (O) cắt (O’) tại F Kẻ đường kính AE của (O’) cắt đường tròn (O) tại G Chứng minh:

a) Tứ giác GFEC nội tiếp;

b) GC, FE, AB đồng quy

Câu 2: Cho điểm C nằm trên nửa đường tròn (O) với đường kính AB sao cho

cung AC⏜ lớn hơn cung BC⏜ (B≠C ) Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt dây

AC tại D Chứng minh tứ giác BCDO nội tiếp

Câu 3: Cho đường tròn (O) đường kính AB Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H bất kỳ (H

không trùng O, B) Trên đường thẳng vuông góc với OB tại H, lấy một điểm M ở ngoài đường tròn; MA và MB thứ tự cắt đường (O) ở C và D Gọi I là giao điểm của AD và

BC Chứng minh các tứ giác MCID và MCHB là tứ giác nội tiếp

Câu 4: Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O), qua A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với

đường tròn (B, C là tiếp điểm) Chứng minh tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp

Câu 5: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) M là điểm thuộc đường tròn

Vẽ MH vuông góc với BC tại H, vẽ MI vuông góc với AC Chứng minh MIHC là tứ giác nội tiếp

Câu 6: Cho đường tròn (O) đường kính AB Gọi I là trung điểm của OA, dây CD vuông

góc với AB tại I Lấy K tùy ý trên cung BC nhỏ, AK cắt CD tại H

a) Chứng minh: Tứ giác BIHK là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh: AH.AK có giá trị không đổi khi K di chuyển trên cung nhỏ BC

c) Kẻ DN vuông góc với CB, DM vuông góc với AC Chứng minh đường thẳng MN,

AB, CD đồng quy

Câu 7: Cho tam giác ABC cân tại A Đường thẳng xy song song với BC cắt AB tại E

và cắt AC tại F Chứng minh tứ giác EFCB nội tiếp

Câu 8: Cho tam giác ABC nhọn Đường tròn (O; R) có đường kính BC cắt AB, AC lần

lượt tại F và E; BE cắt CF tại H

a) Chứng minh tứ giá AFHE nội tiếp Từ đó, xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp

tứ giác này

b) Tia AH cắt BC tại D Chứng minh HE.HB = 2HD.HI

c) Chứng minh bốn điểm D, E, I, F cùng nằm trên một đường tròn

Câu 9: Cho tam giác ABC vuông tại A và điểm M thuộc cạnh AC Vẽ đường tròn tâm

O đường kính MC cắt BC tại E Nối BM cắt đường tròn (O) tại N, AN cắt đường tròn (O) tại D Lấy I đối xứng với M qua A, K đối xứng với M qua E

a) Chứng minh BANC là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh CA là phân giác của BCD^

c) Chứng minh ABED là hình thang

Câu 10: Cho đường tròn (O; R) và điểm A cố định ngoài dường tròn Qua A kẻ hai tiếp

tuyến AM, AN tới đường tròn (M, N là hai tiếp điểm) Một đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (O; R) tại B và C (AB < AC) Gọi I là trung điểm của BC

a) Chứng minh năm điểm A, M, N, O, I thuộc cùng một đường tròn

Câu 11: Cho đường tròn (O; R) và dây CD cố định Điểm M thuộc tia đối của tia CD

Qua M kẻ hai tếp tuyến MA và MB tới đường tròn, A, B là các tiếp điểm (A thuộc cung lớn CD) Gọi I là trung điểm của CD Nối BI cắt đường tròn tại E (E khác B) Nối OM cắt AB tại H

a) Chứng minh: AE // CD

b) Tìm vị trí của M để AM vuông góc với MB

Câu 12: Cho đường tròn (O; R), hai điểm C, D thuộc đường tròn, B là điểm chỉnh giữa

của cung nhỏ CD Kẻ đường kính BA; trên tia đối của tia AB lấy điểm S Nối S với C cắt (O) tại M, MD cắt AB tại K, MB cắt AC tại H Chứng minh:

a) Tứ giác AMHK nội tiếp

b) HK // CD

Câu 13: Cho hình vuông ABCD E di động trên đoạn CD (E khác C, D) Tia AE cắt

đường thẳng BC tại F, Ax vuông góc với AE tại A cắt đường thẳng DC tại K Chứng minh:

a) CAF^=CKF^

b) Tam giác KAF vuông cân

c) Đường thẳng BD đi qua trung điểm I của KF

d) Tứ giác IMCF nội tiếp với M là giao điểm của BD và AE

Câu 14: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), M là điểm thuộc

cung nhỏ AC Vẽ MH vuông góc với BC tại H, MI vuông góc với AC tại I

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Đường tròn ngoại tiếp Đường tròn nội tiếp

Chuyên đề Độ dài đường tròn, cung tròn

Chuyên đề Diện tích hình tròn, hình quạt tròn

Chuyên đề Ôn tập chương III

Chuyên đề Hình trụ - Diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ