Chuyên đề liên hệ giữa cung và dây (2022) toán 9

Chuyên đề Liên hệ giữa cung và dây Toán 9 A Lý thuyết 1 Định lí 1 Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau Hai dây bằng nhau c[.]

Chuyên đề Liên hệ giữa cung và dây - Toán 9

A Lý thuyết

1 Định lí 1

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

- Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau

- Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau

Ví dụ 1 Cho đường tròn (O) như hình vẽ

2 Định lí 2

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

- Cung lớn hơn căng dây lớn hơn

- Dây lớn hơn căng cung lớn hơn

Ví dụ 2 Cho đường tròn (I) như hình vẽ

Trong hình vẽ :

3 Bổ sung

Trong một đường tròn:

- Hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau

- Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy

- Đường kính đi qua trung điểm của một dây (không đi qua tâm) thì đi qua điểm chính giữa của cung bị căng bởi dây ấy

- Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung

ấy và ngược lại

B Bài tập

I Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho đường tròn (O) có hai dây AB, CD song song với nhau Kết luận nào sau

Phương án A, C, D sai, B đúng

Chọn đáp án B

Câu 2: Chọn khẳng định đúng Cho đường tròn (O) có dây cung AB > CD khi đó

A Cung AB lớn hơn cung CD

B Cung AB nhỏ hơn cung CD

C Cung AB bằng cung CD

D Số đo cung AB bằng hai lần số đo cung BC

Lời giải:

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau

+ Cung lớn hơn căng dây lớn hơn

+ Dây lớn hơn căng cung lớn hơn

Nên dây AB > CD thì cung AB lớn hơn cung CD

Chọn đáp án A

Câu 3: Cho đường tròn (O) đường kính AB và một cung AC có số đo nhỏ hơn 90°

Vẽ dây CD vuông góc với AB và dây DE song song với AB Chọn kết luận sai?

A AC = BE

B Số đo cung AD bằng số đo cung BE

C Số đo cung AC bằng số đo cung BE

D

Lời giải:

Chọn đáp án D

Câu 4: Chọn khẳng định đúng

A Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây (không đi qua

tâm) thì đi qua điểm chính giữa của cung bị căng bởi dây ấy

B Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây thì đi qua điểm

chính giữa của cung bị căng bởi dây ấy

C Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì song

song với dây căng cung ấy

D Trong một đường tròn, hai đường kính luôn vuông góc với nhau

nên theo mối liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác ta có:

Chọn đáp án C

Câu 6: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Lấy các điểm C và D trên nửa đường

CD < BD < CA

Lời giải:

Ta có:

Chọn đáp án A

Câu 8: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) sao

thẳng OB Tìm mệnh đề sai ?

Lời giải:

Chọn đáp án C

Câu 9: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, điểm C và D nằm trên nửa đường

Chọn đáp án B

II Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong đường tròn (O) Biết A^=70o Hãy

so sánh các cung nhỏ AB, AC và BC

Lời giải:

Câu 2: Cho đường tròn tâm O đường kính AB Từ A và B vẽ hai dây cung AC và BD

song song vs nhau Qua O vẽ đường thẳng vuông góc AC tại M và BD tại N So sánh hai cung AC và BD

Lời giải:

Câu 3: Cho tam giác ABC có AB > AC Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = AC

Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác DBC Từ O lần lượt hạ các đường vuông góc

OH, OK xuống BC và BD (H ∈ BC, K ∈ BD)

a) Chứng minh rằng OH < OK

b) So sánh hai cung nhỏ BD và BC

Lời giải:

Xét tam giác ABC có:

BC > AB – AC (bất đẳng thức trong tam giác)

Mà AC = AD (gt)

BC > AB – AD

BC > BD

Xét đường tròn (O) ta có: BC > BD

Mà từ O lần lượt hạ các đường vuông góc OH, OK xuống BC và BD (gt)

Do đó, OH, OK lần lượt là khoảng cách từ tâm đến BC, BD

OH < OK (dây lớn hơn gần tâm hơn)

b)

Ta có: BC > BD

⇒BC⏜>BD⏜ (dây lớn hơn căng cung lớn hơn).

Câu 4: Trên dây cung AB của một đường tròn O, lấy hai điểm C và D chia dây này

thành ba đoạn thẳng bằng nhau AC = CD = DB Các bán kính qua C và D cắt cung nhỏ AB lần lượt tại E và F Chứng minh rằng :

Góc là góc ở tâm chắn cung nhỏ AE⇒ sđAE⏜=O1^ (2)

Góc là góc ở tâm chắn cung nhỏ BF⇒ sđBF⏜=O2^ (3)

Từ (1), (2), (3) ta suy ra: sđAE⏜=sđBF⏜ nên AE⏜=BF⏜ b)

Tam giác OAC bằng tam giác OBD (chứng minh phần a)

Góc O1 là góc ở tâm chắn cung nhỏ AE ⇒ sđAE⏜=O1^

Góc O3 là góc ở tâm chắn cung nhỏ EF ⇒ sđEF⏜=O3^

Do đó: sđAE⏜<sđEF⏜⇒AE⏜<EF⏜

Câu 5: Cho đường tròn tâm O Trên nửa đường tròn đường kính AB lấy hai điểm C,

D Từ C kẻ CH vuông góc với AB, nó cắt đường tròn tại điểm thứ hai là E Từ A kẻ

AK vuông góc với DC, nó cắt đường tròn tại điểm thứ hai là F Chứng minh rằng:a) Hai cung nhỏ CF và BD bằng nhau

b) Hai cung nhỏ BF và DE bằng nhau

c) DE = BF

Lời giải:

Đường kính AB vuông góc với CE tại H nên H là trung điểm của CE

Do đó, C đối xứng với E qua trục AB

⇒BC=BE

⇒BC⏜=BE⏜ (hai dây cung bằng nhau căng hai cung bằng nhau)

Do đó, BF = DE (hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau)

Câu 6: Cho đường tròn (O) Gọi I là điểm chính giữa của cung AB (không phải là

cung nửa đường tròn) và H là trung điểm của dây AB Chứng minh rằng đường thẳng

IH đi qua tâm O của đường tròn

Lời giải:

Theo đề bài ta có: IA⏜=IB⏜

⇒ IA = IB (hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau)

Do đó, I nằm trên đường trung trực của AB (1)

Mặt khác, OA = OB (cùng bằng bán kính đường tròn (O))

Do đó, O nằm trên đường trung trực của AB (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra OI là đường trung trực của AB

Mà H là trung điểm của AB, do đó H thuộc OI

Do đó, ba điểm I, H, O thẳng hàng

Vậy đường thẳng IH đi qua tâm O của đường tròn

Câu 7: Cho đường tròn (O; R) Hãy vẽ hai cung (không phải là cung lớn) biết rằng

cung này có số đo gấp ba lần số đo cung kia và có dây căng cung dài gấp đôi dây căng cung kia

Tam giác tạo bởi dây căng cung và hai bán kính đi qua hai đầu mút của cung 60° là một tam giác đều nên dây căng cung bằng bán kính R Vậy nửa đường tròn và cung 60° thỏa mãn bài toán.

Câu 8: Cho đường tròn O bán kính R Vẽ góc ở tâm AOB^=80o , vẽ góc ở

tâm BOC^=120o kề với AOB^ So sánh và sắp xếp độ dài AB, BC, CA theo thứ tự tăng dần

Lời giải:

Ta có: AOB^=80o , BOC^=120o

⇒AOC^=360o−80o−120o=160o

Góc AOB là góc nội tiếp chắn cung nhỏ AB ⇒ sđAB⏜=AOB^=80o

Góc BOC là góc nội tiếp chắn cung nhỏ BC ⇒ sđBC⏜=BOC^=120o

Góc AOC là góc nội tiếp chắn cung nhỏ AC ⇒ sđAC⏜=AOC^=160o

⇒AB⏜<BC⏜<AC⏜

⇒AB<BC<AC

Câu 9: Cho hình thoi ABCD Vẽ đường tròn tâm A, bán kính AD Vẽ đường tròn tâm

C, bán kính CB Lấy điểm E bất kỳ trên đường tròn tâm A (không trùng với B và D), điểm F trên đường tròn tâm C sao cho BF song song với DE So sánh hai cung nhỏ DE

b) Tính số đo cung AB⏜ nhỏ và số đo cung AB⏜ lớn.

Lời giải:

a) Vì AM và BM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M

=> OM là tia phân giác của AMB^ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

⇒AMO^=BMO^=AMB^2=40°2=20°

Vì AM là tiếp tuyến của đường tròn ⇒OA⊥AM (tính chất)

⇒OAM^=90°

Xét tam giác AOM có:

OAM^+AMO^+AOM^=180° (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

⇔90°+20°+AOM^=180°

⇔AOM^=70°

b) Vì AM và BM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M

=> OM là tia phân giác AOB^ (tính chất)

⇒AOM^=BOM^=AOB^2

⇒AOB^=2AOM^⇔AOB^=2.70°=140°

Ta có: AOB^ là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB⏜

⇒AOB^ = sđ AB⏜ nhỏ (định lí góc ở tâm)

=> sđ AB⏜ nhỏ = 140°

Số đo AB⏜ lớn là:

360° - sđ AB⏜ nhỏ = 360°−140°=220°

III Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho đoạn thẳng AB = 13cm, trên đó lấỵ C sao cho AC = 9cm Trên tia Cx ⊥

AB, lấy D sao cho CD = 6cm Vẽ đường tròn tâm O, đường kính BA

a) Chứng minh rằng : D thuộc đường tròn đường kính AB

b) So sánh 2 cung nhỏ AD và BD

c) Gọi E là trung điểm của AD, P là trung điểm của BD Tia OE cắt (O) tại Q, tia OP cắt (O) tại M Tính số đo của cung QM

Câu 2: Cho đường tròn (O) đường kính AB, C là một điểm tuỳ ý trên cung M, N là

điểm chính giữa của cung AC và CB OM cắt AC tại I, ON cắt CB tại K

a) Tứ giác OICK là hình gì ?

b) Xác định vị trí của c để OICK là hình vuông

Câu 3: Các nhận xét sau đây đúng hay sai ? Điền dấu (x) vào chỗ … tương ứng

Trong một đường tròn, 2 dây bằng nhau căng 2 cung bằng nhau …

Trong một đường tròn, 2 cung bằng nhau thì căng 2 dây bằng nhau …

Câu 4:Trên đường tròn tâm O, lấy 2 điểm B, c sao cho số đo cung BC bằng 120° Lấy

A thuộc cung lớn BC Gọi D là điểm chính giữa cung AC, E là điểm chính giữa cung

AB Số đo cung DAE bằng bao nhiêu?

Câu 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn, biết góc A = 45°, góc B = 60° So

Cho (O ; R), vẽ liên tiếp 3 dây AB, BC, CD bằng nhau và bằng R

a) Chứng minh ABCD là hình thang cân

b) Gọi M, N lần lượt là điểm chính giữa các cung nhỏ AB, CD OM, ON cắt AB, CD thứ tự tại P, Q Tính PQ, MN theo R

Câu 9: Trong một hình tròn có bán kính bằng 1, ta lấy 13 điểm Chứng minh rằng

luôn có ít nhất 3 điểm tạo thành một tam giác có chu vi bé hơn hoặc bằng 3

Câu 10: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và C là điểm chính giữa của nửa

đường tròn Trên các cung CA và CB lần lượt lấy các điểm M và N sao

cho CM⏜=BN⏜ Chứng minh:

a) AM = CN

b) MN = CA = CB

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Góc nội tiếp

Chuyên đề Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

Chuyên đề Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn Chuyên đề Cung chứa góc

Chuyên đề Tứ giác nội tiếp