Chuyên đề góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung (2022) toán 9

Chuyên đề Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung Toán 9 A Lý thuyết 1 Định nghĩa Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh nằm trên đường tròn, một cạnh là một tia tiếp tuyến còn cạnh kia[.]

Chuyên đề Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung - Toán 9

A Lý thuyết

1 Định nghĩa

- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh nằm trên đường tròn, một

cạnh là một tia tiếp tuyến còn cạnh kia chứa dây cung của đường tròn

Ví dụ 1 Cho đường tròn (O) có xy là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và dây cung

AB như hình vẽ

Ta thấy BAx^ có đỉnh A nằm trên đường tròn (O) có Ax là tiếp tuyến và AB là dây cung của đường tròn

Do đó BAx^ là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung

Khi đó, BAx^ chắn cung nhỏ AB;

BAy^ chắn cung lớn AB

2 Định lí

Số đo của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.

Ví dụ 2 Cho đường tròn (O) có xy là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và dây cung

AB như hình vẽ

Khi đó, BAx^ và BAy^ là góc tạo bởi tiếp tiếp và dây cung lần lượt

chắn AmB^ và AnB^ Do đó,

3 Hệ quả

Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau

Ví dụ 2 Cho đường tròn (O) như hình vẽ.

Trong hình vẽ trên, ACB^ là góc nội tiếp chắn AB⏜ nên

BAx^ là góc tạo bởi dây cung và tiếp tuyến chắn AB⏜ nên

Cho đường tròn tâm (O) có Ax là tia tiếp tuyến tại điểm A và dây cung AB Khi đó góc BAx là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

Chọn đáp án A

Câu 2: Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung có số đo bằng

A 90°

B Số đo góc ở tâm chắn cung đó

C Nửa số đo góc nội tiếp chắn cung đó

D Nửa số đo cung bị chắn

Lời giải:

Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung có số đo bằng nửa số đo cung bị chắn

Chọn đáp án D

Câu 3: Kết luận nào sau đây là đúng

A Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung có số đo lớn hơn góc

nội tiếp chắn cung đó

B Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung có số đo nhỏ hơn góc

nội tiếp chắn cung đó

C Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng

chắn một cung thì bằng nhau

D Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung có số đo bằng hai lần

số đo của góc nội tiếp chắn cung đó

Lời giải:

Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau

Chọn đáp án C

Câu 4: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Trên tia đối AB lấy điểm M Vẽ tiếp

tuyến MC với nửa đường tròn Gọi H là hình chiếu của C trên AB CA là tia phân giác của góc nào dưới đây?

Lời giải:

Chọn đáp án B

Câu 5: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Trên tia đối AB lấy điểm M Vẽ tiếp

tuyến MC với nửa đường tròn Gọi H là hình chiếu của C trên AB Giả sử OA = a;

MC = 2a Độ dài CH

Lời giải:

Chọn đáp án C

Câu 6: Cho đường tròn tâm (O), điểm M nằm ngoài đường tròn Qua M dựng tiếp

tuyến MA đến đường tròn (O), dựng cát tuyến MBC Đẳng thức nào sau đây đúng ?

Câu 7: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB, dựng tiếp tuyến Bx với đường tròn

Lấy P là điểm bất kì trên đường tròn, AP cắt Bx tại T Tìm khẳng định sai

Lời giải:

Câu 9: Cho đường tròn (O; R) có dây BC không phải đường kính Dựng hai tiếp tuyến

tại B và C chúng cắt nhau tại A Biết rằng = 30° Tính BC theo R?

Góc là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung BC⌢ nên:

Chọn đáp án B

II Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Trên tia đối của tia AB lấy điểm M

Kẻ tiếp tuyến MN với đường tròn (N là tiếp điểm) Vẽ NH vuông góc với AB Chứng minh MNA^=ANH^

Lời giải:

Vì ANB^ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (AB là đường kính)

⇒ANB^là góc vuông (hệ quả)

Xét tam giác ANH và tam giác ABN có:

A^ chung

ANB^=NHA^=90°

Do đó ΔANH đồng dạng với ΔABN (g – g)

⇒ANH^=ABN^ (hai góc tương ứng) (1)

Lại có MN là tiếp tuyến của đường tròn (O) với N là tiếp điểm

⇒MNA^ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

⇒MNA^=12AN⏜ (định lí) (2)

Lại có ABN^ là góc nội tiếp chắn cung AN⏜

⇒ABN^=12AN⏜ (định lí) (3)

Từ (2) và (3) ⇒ABN^=MNA^ (4)

Từ (1) và (4) ⇒MNA^=ANH^ (điều phải chứng minh)

Câu 2: Cho đường thẳng d không cắt đường tròn (O), vẽ đường kính CD vuông góc

với d tại I Kẻ tiếp tuyến IA với đường tròn (O) Đường thẳng CA cắt (d) tại B Chứng minh IA = IB

Lời giải:

Ta có:

CAD^ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (do có CD là đường kính)

⇒CAD^ là góc vuông

⇒CAD^=90°

Xét tam giác CBI vuông tại I ta có:

BCI^+CBI^=90° (hai góc nhọn phụ nhau)

Lại có: ACD^là góc nội tiếp chắn AD⏜

DAI^ là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn AD⏜

Câu 3: Cho đường tròn (O; R) và dây AB (AB < 2R) Gọi P là điểm chính giữa cung

nhỏ AB Gọi C là điểm bất kỳ thuộc dây AB PC cắt đường tròn tại D Chứng minh

PA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD

Lời giải:

Ta có:

ADP^ là góc nội tiếp của đường tròn (O) chắn cung AP⏜

BAP^ là góc nội tiếp của đường tròn (O) chắn cung BP⏜

Mà P là điểm chính giữa cung AB⏜

=> sđ AP⏜ = sđ BP⏜

Do đó: ADP^ = BAP^ (hệ quả) (*)

Vẽ tia Ax là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC với A là tiếp điểm

⇒CAx^ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và CAx^ chắn cung CA⏜

Lại có CDA^ là góc nội tiếp của đường tròn ngoại tiếp tam giác CDA và CDA^chắn cung CA⏜

Do đó CDA^=CAx^ (hệ quả) (**)

Mà CDA^ chính là ADP^ Kết hợp với (*) và (**)

⇒CAx^=BAP^

Hay Ax trùng với AP

=> AP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD với A là tiếp điểm

Câu 4: Cho đường tròn (O; R), A là điểm cố định trên đường tròn Kẻ tiếp tuyến Ax

với (O) và lấy M là điểm bất kỳ thuộc tia Ax Vẽ tiếp tuyến thứ hai MB với đường tròn (O) Gọi I là trung điểm của MA, K là giao điểm của BI với (O)

a) Chứng minh tam giác IKA và tam giác IAB đồng dạng Từ đó suy ra tam giác IKM đồng dạng với tam giác IMB

b) Giả sử MK cắt (O) tại C Chứng minh BC song song với MA

Lời giải:

a) Ta có:

ABK^ là góc nội tiếp chắn cung AK⏜ (1)

KAI^ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung AK⏜ (2)

Chứng minh tương tự ta sẽ được ΔIKM~ΔIMB (c – g – c)

b) Từ câu a ta có ΔIKM~ΔIMB ⇒IMK^=KBM^(hai góc tương ứng) (3)

Lại có:

BCK^ là góc nội tiếp chắn cung BK⏜

KBM^ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung BK⏜

Câu 6: Cho đường tròn (O) đường kính AB Trên tia đối của tia AB lấy điểm M Kẻ

tiếp tuyến MN với đường tròn (O) tại N Vẽ NH vuông góc với AB

Chứng minh MNA^=ANH^

Lời giải:

Câu 7: Cho hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại M,

Vậy số đo cung AB nhỏ và số đo cung AB lớn lần lượt là 140o và 220o

Câu 8: Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B Qua A vẽ cát tuyến CAD với

hai đường tròn (C ∈ (O), D ∈ (O’))

a) Chứng minh rằng khi cát tuyến quay xung quanh điểm A thì CBD^ có số đo không đổi

b) Từ C và D vẽ hai tiếp tuyến với đường tròn Chứng minh rằng hai tiếp tuyến này hợp với nhau một góc có số đo không đổi khi cát tuyến CAD quay xung quanh điểm

A

Lời giải:

a)

Ta có:

ACB^=12sđAnB⏜ (góc nội tiếp trong đường tròn (O))

ADB^=12sđAmB⏜ (góc nội tiếp trong đường tròn (O’))

Vì điểm A, B cố định nên sđAnB⏜ , sđAmB⏜ không thay đổi

Vì vậy ACB^ ,ADB^ có số đo không đổi

Trong đường tròn (O) ta có:

ABC^=MCA^(hệ quả góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung) (1)

Trong đường tròn (O’) ta có:

ABD^=MDA^ (hệ quả góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung) (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra: MCA^+MDA^=ABC^+ABD^=CBD^

Hay MCD^+MDC^=CBD^ (không đổi do câu a)

Xét tam giác MCD có: CMD^=180o−MCD^+MDC^=180o−CBD^

Do đó, CMD^ không đổi do CBD^ không đổi

Vậy CMD^ không đổi

Suy ra điều phải chứng minh

Câu 9: Từ một điểm M cố định ở bên ngoài đường tròn (O), kẻ một tiếp tuyến MT và

một cát tuyến MAB của đường tròn đó

a) Chứng minh rằng luôn có MT2 = MA.MB và tích này không phụ thuộc vị trí của cát tuyến MAB

b) Ở hình 2 khi cho MT = 20cm, MB = 50cm, tính bán kính đường tròn

Lời giải:

a)

Xét tam giác MTA và tam giác MTB có:

Gọi bán kính đường tròn (O) là R

MB = MA + AB = MA + 2R

MT2=MA.MB(chứng minh trên)

⇒MT2=MB−2R.MB

⇒R=MB2−MT22MB=502−2022.50=21(cm)

Câu 10: Ngồi trên đỉnh núi cao 1 km thì có thể nhìn thấy một địa điểm T trên mặt đất

với khoảng cách tối đa là bao nhiêu ? Biết rằng bán kính Trái Đất gần bằng 6400 km (h.3)

Lời giải:

Điểm nhìn tối đa là tiếp tuyến kể từ mắt nhìn đến tiếp điểm của bề mặt trái đất (như hình vẽ)

Xét tam giác MTA và tam giác MTB có:

Góc M chung

MTA^=TBM^ (hệ quả góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung)

Do đó, tam giác MTA và tam giác MBT đồng dạng (góc – góc)

Câu 1: Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O) Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB; AC với

(O), B; C là hai tiếp điểm Kẻ cát tuyến AMN với (O) (M nằm giữa A và N)

a) Chứng minh: AB2=AM.AN

b) Gọi H là giao điểm của AO và BC Chứng minh AH.AO = AM.AN

c) Đoạn thẳng AO cắt đường tròn (O) tại I Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Câu 2: Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC Tiếp tuyến tại A cắt BC ở I

Câu 4: Cho tam gác ABC nội tiếp đường tròn (O), At là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Đường thẳng song song với At cắt AB và AC lần lượt tại M và N Chứng minh AB.AM

= AC.AN

Câu 5: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B Qua A vẽ tiếp tuyến Ax với

(O) và cắt (O’) tại E Qua A vẽ tiếp tuyến Ay với (O’) cắt (O) tại D Chứng minh AB2=BD.BE

Câu 6: Cho hình thang ABCD (AB / CD) có BD2=AB.CD Chứng minh đường tròn

ngoại tiếp tam giác ABD tiếp xúc với BC

Câu 7: Cho hình vuông ABCD có cạnh 2cm Tính bán kính của đường tròn đi qua A và

B biết rằng đoạn tiếp tuyến kẻ từ D đến đường tròn đó bằng 4cm

Câu 8: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và AB < AC Đường tròn (I) đi qua

B và C, tiếp xúc với AB tại B cắt đường thẳng AC tại D Chứng minh OA và BD vuông góc với nhau

Câu 9: Cho hai đường tròn (O) và (I) cắt nhau ở C và D, trong đó tiếp tuyến chung MN

song song với cát tuyến EDF, M và E thuộc (O), N và F thuộc (I), D nằm giữa E và F Gọi K, H theo thứ tự là giao điểm của NC, MC với EF Gọi G là giao điểm của EM, FN Chứng minh:

a) Tam giác GMN và tam giác DMN bằng nhau

b) GD là đường trung trực của KH

Câu 10: Cho hình bình hành ABCD, A^≤90° Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD cắt

AC ở E Chứng minh BD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEB

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn Góc có đỉnh bên ngoài đường trònChuyên đề Cung chứa góc

Chuyên đề Tứ giác nội tiếp

Chuyên đề Đường tròn ngoại tiếp Đường tròn nội tiếp

Chuyên đề Độ dài đường tròn, cung tròn