Chuyên đề góc có đỉnh ở bên trong đường tròn góc có đỉnh bên ngoài đường tròn (2022)

Chuyên đề Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn Toán 9 A Lý thuyết 1 Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn Góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn được gọi là góc có đỉnh ở bên[.]

Chuyên đề Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn Góc có đỉnh bên ngoài đường

tròn - Toán 9

A Lý thuyết

1 Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn

- Góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn được gọi là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn.

- Định lí: Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung

bị chắn

Ví dụ 1 Cho đường tròn (O) có hai dây AB và CD cắt nhau tại E (điểm E nằm bên

trong đường tròn) như hình vẽ

Trong hình vẽ trên, BEC^ là góc có đỉnh nằm ở bên trong đường tròn chắn hai cung

là

Do đó,

2 Góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn

- Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn là góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn và các

cạnh đều có điểm chung với đường tròn

- Định lí: Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung

bị chắn

Ví dụ 2 Cho đường tròn (O) có hai dây AB và CD cắt nhau tại E (điểm E nằm bên

ngoài đường tròn) như hình vẽ

Trong hình vẽ trên, BEC^ là góc có đỉnh nằm ở bên ngoài đường tròn chắn hai cung

Lời giải:

Số đo của góc có đỉnh bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn

Chọn đáp án A

Câu 3: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và C là điểm trên cung nhỏ AB (cung

CB nhỏ hơn cung CA) Tiếp tuyến tại C của nửa đường tròn cắt đường thẳng AB tại

D Biết tam giác ADC cân tại C Tính góc ADC

A 40°

Câu 4: Trên (O) lấy bốn điểm A, B, C, D theo thứ tự sao cho cung AB = cung BC =

cung CD Gọi I là giao điểm của BD và AC , biết Tính

Chọn đáp án B

Câu 5: Cho đường tròn (O) và dây AB; AC cách đều tâm Trên cung nhỏ AC lấy điểm

M Gọi S là giao điểm của AM và BC Góc nào bằng góc

Lời giải:

Chọn đáp án C

Câu 6: Cho đường trò (O) và 2 dây AB, CD cắt nhau tại điểm E Tìm hệ thức đúng?

Chọn đáp án A

Câu 9: Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC, đường thẳng BO cắt đường tròn

tại D Gọi H là giao điểm của AC và BD Tính , biết

Chọn đáp án D

Câu 10: Cho đường tròn (O) và 4 điểm A,B, C, D cùng nằm trên đường tròn sao cho

AC và BD cắt nhau tại điểm M nằm trong đường tròn, AB và CD cắt nhau tại điểm S nằm ngoài đường tròn So sánh hai góc

Lời giải:

Chọn đáp án C

II Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Từ điểm M nằm ngoài đường thẳng (O) vẽ tiếp tuyến MC với C là tiếp điểm

và cát tuyến MAB (A nằm giữa M và B) và A; B; C thuộc (O) Gọi D là điểm chính giữa cung AB không chứa C, CD cắt AB tại I Chứng minh:

a) MCD^=BID^

b) MI=MC

Lời giải:

Câu 2: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) Các tia AI; BI; CI cắt đường tròn

ngoại tiếp tam giác ABC tại D, E, F Dây EF cắt AB, AC lần lượt tại M và N Chứng minh:

a) DI = BD

b) AM = AN

Lời giải:

a) Vì I là tam đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên AI là phân giác Ậ

Mà AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D nên D là điểm chính giữa cung BC⏜

=> sđ BD⏜ = sđ CD⏜ (1)

Vì I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên BI là đường phân giác B^

Mà BI cắt đường tròn ngọa tiếp tam giác ABC tại E nên E là điểm chính giữa cung AC⏜

=> sđ AE⏜= sđ EC⏜(2)

b) Vì I là tam đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên CI là phân giác C^

Mà CI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại F nên F là điểm chính giữa cung AB⏜

=> sđ BF⏜ = sđ AF⏜ (5)

Ta có:

ANF^ là góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn

⇒ANF^=12(sđ AF⏜+ sđ EC⏜) (6)

AME^ là góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn

Câu 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Các tia phân giác của các góc A

và B cắt nhau ở I và cắt đường tròn theo thứ tự ở D và E Chứng minh:

a) Tam giác BDI là tam giác cân;

b) DE là đường trung trực của IC

Lời giải:

a) ) Vì AI là phân giác A^ của tam giác ABC và AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D nên D là điểm chính giữa cung BC⏜

BID^ là góc có đỉnh nằm trong đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

⇒ΔIDB cân tại D

b) Gọi giao điểm của DE và IC là K, CI cắt đường tròn tại điểm thứ hai là H

Vì CI là phân giác C^ của tam giác ABC và CI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại H nên H là điểm chính giữa cung AB⏜

⇔EKC^=90°

⇒DE⊥IC

Lại có: CED^ là góc góc nội tiếp chắn cung CD⏜

BED^ là góc nội tiếp chắn chung BD⏜

Mà BD⏜=CD⏜

Do đó: CED^=BED^

Xét tam giác CEK và tam giác IEK có:

CEK^=IEK^ (do CED^=BED^)

IK=KCDE⊥IC⇒DE là đường trung trực của IC

Câu 4: Cho tam giác ABC phân giác AD Vẽ đường tròn (O) đi qua A, D và tiếp xúc

với BC tại D Đường tròn này cắt AB, AC lần lượt tại E, F Chứng minh: EF // BC

Lời giải:

Ta có: BDE^ là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và BDE^ chắn cung DE⏜ Lại có: EAD^ là góc nội tiếp chắn cung DE⏜

⇒BDE^=EAD^ (hệ quả)

Xét tam giác BED và tam giác BDA có:

BDE^=EAD^ (chứng minh trên)

Xét tam giác BED vuông tại E ta có:

EBD^+EDB^=90°

⇒EBD^=90°−EDB^ (1)

Lại có: DEF^+FEA^=90°

⇒FEA^=90°−DEF^ (2)

Lại có AD là tia phân giác A^⇒ED⏜=FD⏜

Mà EDB^ là góc tạo vởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung ED⏜

Và DEF^ là góc nội tiếp chắn cung FD⏜

Do đó DEF^=EDB^ (3)

Từ (1); (2); (3) ⇒EBD^=FEA^

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị

=> EF // BC

Câu 5: Cho đường tròn đường tròn (O) có hai dây AB và CD cắt nhau tại M như hình

vẽ Tính số đo của cung BD, biết AMB^=120o

Lời giải:

Câu 6: Cho đường tròn đường tròn (O) đường kính BC Lấy điểm A nằm trên đường

tròn, vẽ tiếp tuyến AM (A là tiếp điểm) Tính AMC^, biết số đo cung AC là 120o

Lời giải:

Câu 7: Từ điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến AB và cát tuyến ACD

Vẽ dây BM vuông góc với tia phân giác góc BAC tại H cắt CD tại E Chứng minh BM

là đường phân giác góc CBD

Lời giải:

∆ABE có AH là đường phân giác đồng thời là đường cao nên ∆ABE cân tại đỉnh A

Câu 8: Các điểm A1,  A2,  A3,  A19,A20 được sắp xếp theo thứ tự đó trên đường tròn

(O) và chia đường tròn thành 20 cung bằng nhau Chứng minh rằng dây vuông góc với dây

Ta có: sđA1A3⏜=2.18o=36o ; sđA8A16⏜=8.18o=144o

Ta có: A1IA^3=12sdA1A⏜3+sdA8A16⏜ (góc có đỉnh ở trong đường tròn (O))

⇒A1IA3^=1236o+144o=90o

Do đó, A1A8 vuông góc với dây A3A16 tại I

Câu 9: Cho tam giác ABC vuông ở A Đường tròn đường kính AB cắt BC ở D Tiếp

tuyến ở D cắt AC ở P.Chứng minh rằng PD = PC

Lời giải:

Kẻ tia đối của tia CP là Cx

Xét đường tròn (O) có C^ là góc có đỉnh ở ngoài đường tròn chắn cung AmB và cung nhỏ AD

⇒C^=12sđAmB⏜−sđAD⏜

Mà sđAmB⏜ = sđADB⏜=180o

⇒C^=12sđADB⏜−sđAD⏜=12sđDB⏜ (1)

Câu 10: Hai dây cung AB và CD kéo dài cắt nhau tại điểm E ở ngoài đường tròn (O)

biết CBE^=75o , CEB^=22o , AOD^=144o Chứng minh AOB^=BAC^

Lời giải:

Xét đường tròn (O) ta có:

Góc E là góc có đỉnh ở ngoài đường tròn chắn cung nhỏ BC và cung nhỏ AD

⇒E^=12sđAD⏜−sđBC⏜

Xét tam giác ABC có:

Góc CBE là góc ngoài tại đỉnh B

⇒CBE^=BAC^+ACB^ (tính chất góc ngoài của tam giác)

Câu 1: Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến PA với đường tròn và cát

tuyến PBC với P, B, C thuộc (O)

a) Biết PC = 25cm, PB = 49 cm Đường kính của đường tròn (O) là 50cm Tính PO

b) Đường phân giác của góc BAC^ cắt PB ở I và cắt (O) tại D Chứng minh DB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AIB

Câu 2: Cho đường tròn (O) và một điểm P nằm ngoài đường tròn (O) Kẻ cát tuyến

PAB và tiếp tuyến PT với A, B, T thuộc (O) Đường phân giác của góc ATB^ cắt AB tại D Chứng minh PT = PD

Câu 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Các tia phân giác góc B và góc C

cắt nhau tại I và cắt (O) tại D và E Dây DE cắt cạnh AB và AC tại M và N Chứng minh:

a) Các tam giác AMN, EAI và DAI là những tam giác cân

b) Tứ giác AMIN là hình thoi

Câu 4: Cho điểm P nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai cát tuyến PAB và PCD (A nằm

giữa P và B và C nằm giữa P và D), các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại Q

a) Cho biết P^=60° và AQC^=80° Tính BCD^

b) Chứng minh PC.PD = PA.PB

Câu 5: Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến AB và cát tuyến

ACD Tia phân giác của góc BAC^ cắt BC và BD lần lượt tại M và N Vẽ dây BF vuông góc với MN, cắt MN tại H, cắt CD tại E Chứng minh:

a) Tam giác BMN cân

b) FD2=FE.FB

Câu 6: Cho đường tròn (O) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau Trên

đường kính AB lấy điểm E sao cho AE = 2R Vẽ dây CF đi qua E Tiếp tuyến của đường tròn F cắt CD tại M, vẽ dây AF cắt CD tại N Chứng minh:

a) Tia CF là tia phân giác của góc BCD^;

b) MF // AC;

c) MN; OD; OM có độ dài là ba cạnh của tam giác vuông

Câu 7: Cho tam giác MNP nội tiếp đường tròn (O) Điểm D di chuyển trên cung MP

Gọi E là giao điểm của MP và ND, Gọi F là giao điểm của MG và NP Chứng minh: MFN^=MND^

Câu 8: Tam giác MNP nội tiếp đường tròn (O), các điểm I, K, H là điểm chính giữa các

cung MN, NP, PM Gọi J là giao điểm của IK và MN, G là giao điểm của HK và MP Chứng minh JG song song với NP

Câu 9: Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến MA và cát tuyến MCB với

A, B, C thuộc (O) Phân giác góc BAC^ cắt BC tại D, cắt (O) tại N Chứng minh: a) MA = MD;

b) Cho cát tuyến MBC quay quanh M và luôn cắt đường tròn Chứng minh MB.MC không đổi;

c) NB2=NA.ND

Câu 10: Trên đường tròn (O) lấy ba điểm A, B, C Gọi M, N, P theo thứ tự là điểm

chính giữa các cung AB; BC; AC BP cắt AN tại I, NM cắt AB tại E Gọi D là giao điểm của AN và BC

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Cung chứa góc

Chuyên đề Tứ giác nội tiếp

Chuyên đề Đường tròn ngoại tiếp Đường tròn nội tiếpChuyên đề Độ dài đường tròn, cung tròn

Chuyên đề Diện tích hình tròn, hình quạt tròn