Chuyên đề Đường tròn ngoại tiếp Đường tròn nội tiếp Toán 9 A Lý thuyết 1 Định nghĩa Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác được gọi là đ[.]
Trang 1Chuyên đề Đường tròn ngoại tiếp Đường tròn nội tiếp - Toán 9
A Lý thuyết
1 Định nghĩa
- Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác nội tiếp đường tròn.
Ví dụ 1 Đường tròn (O) đi qua tất cả các đỉnh của tứ giác ABCD như hình vẽ
Do đó ta gọi đường tròn (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD hay tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn
- Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác được gọi là đường tròn nội tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác ngoại tiếp đường tròn.
Ví dụ 2 Đường tròn (I) tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ giác MNPQ như hình vẽ
Trang 2Do đó ta gọi đường tròn (I) nội tiếp tứ giác MNPQ hay tứ giác MNPQ ngoại tiếp đường tròn
2 Định lí
- Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp
- Trong tam giác đều, tâm của đường tròn ngoại tiếp trùng với tâm của đường tròn nội
tiếp và được gọi là tâm của đa giác đều
Ví dụ 3 Tam giác ABC đều có tâm đường tròn nội tiếp trùng với tâm đường tròn
ngoại tiếp là tâm O và O được gọi là tâm của tam giác đều ABC
Trang 3Trong tam giác đều, đường cao đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác, đường phân giác
Do đó, tâm này là giao điểm hai đường trung tuyến hoặc trung trực của hai cạnh hoặc
là hai đường phân giác của hai góc hoặc là đường cao xuất phát từ hai đỉnh của tam giác đều
3 Mở rộng
- Bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác là khoảng cách từ tâm đến đỉnh
- Bán kính đường tròn nội tiếp đa giác là khoảng cách từ tâm O đến một cạnh
Cho n-giác đều cạnh a Khi đó:
- Chu vi của đa giác: 2p = na (p là nửa chu vi)
- Mỗi góc ở đỉnh của đa giác có số đo bằng (n−2) . 180on
- Mỗi góc ở tâm của đa giác có số đo bằng 360on
- Bán kính đường tròn ngoại tiếp: R=a2sin180on⇒a=2R . sin180on
- Bán kính đường tròn nội tiếp:
r=a2tan180on⇒a=2r . tan180on
- Liên hệ giữa bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp: R2−r2=a24
- Diện tích đa giác đều: S=12nar
Ví dụ 4
a) Một hình vuông nội tiếp đường tròn (O; R) Tính mỗi cạnh của hình vuông theo R b) Một lục giác đều ngoại tiếp đường tròn (O; r) Tính mỗi cạnh của lục giác theo r
Trang 4Lời giải:
a) Cạnh của hình vuông là:
a=2R . sin180on=2R . sin140o=2R . 22=R2
Vậy hình vuông nội tiếp (O; R) có độ dài mỗi cạnh là R2
b) Cạnh của lục giác đều là:
a=2r . tan180on=2r . tan30o=2r . 33=233r
Vậy lục giác đều ngoại tiếp (O; r) có độ dài mỗi cạnh là 233r
B Bài tập
I Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Đường tròn ngoại tiếp đa giác là đường tròn
A Tiếp xúc với tất cả các cạnh của đa giác đó
B Đi qua tất cả các đỉnh của đa giác đó
C Cắt tất cả các cạnh của đa giác đó
D Đi qua tâm đa giác đó
Trang 8Chọn đáp án B
Câu 6: Cho hình vuông ABCD cạnh a.Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông
Tính bán kính R của (O)?
Lời giải:
Trang 9Gọi O là tâm của hình vuông ABCD
Khi đó, bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD là R = OA
Áp dụng đinh lí Pytago vào tam giác vuông ABC ta có:
Do ABCDE là ngũ giác đều nội tiếp đường tròn (O) nên:
Trang 10Câu 9: Cho tam giác ABC đều cạnh a ngoại tiếp đường tròn tâm O Tính bán kính
đường tròn nội tiếp tam giác ABC?
Lời giải:
Gọi M là trung điểm của BC:
Trang 11Do tam giác ABC đều nên tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC là trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABM ta có:
Chọn đáp án C
Câu 10: Cho tam giác ABC có AB = 6cm; BC= 10 cm và AC = 8cm Tính bán kính
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC?
Suy ra tam giác ABC vuông tại A
Do đó, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm cạnh huyền BC Đường kính đường tròn là : d = BC = 10cm
Suy ra, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R = d/2 = 5cm
Chọn đáp án B
Trang 12II Bài tập tự luận có lời giải
Câu 1: Cho một đường tròn bán kính r nội tiếp trong tam giác vuông cân ABC vuông
cân tại A và một đường tròn bán kính R ngoại tiếp tam giác ấy Tính Rr
Lời giải:
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Giả sử tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh góc vuông AB = AC = a
Xét tam giác vuông ABC vuông tại A ta có:
AB2+AC2=BC2
Trang 13Ta có AO = 2a2 (do O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)
Xét tam giác AOC có:
CI là đường phân giác của C^ và CI cắt AO tại I nên ta có:
CACO=AIOI (tính chất đường phân giác trong tam giác)
Trang 14Câu 2: Cho đờng tròn (O; R) và điểm M nằm ngoài đường tròn đó Qua điểm M kẻ
hai tiếp tuyến MA và Mb với đường tròn (O) Qua M kẻ cát tuyến MCD không đi qua tâm O cắt đường tròn tại hai điểm C và D sao cho C nằm giữa M và D Gọi I là trung điểm của dây CD Khi đó MAOIB có là ngũ giác nội tiếp hay không? Nếu có hãy xác định tâm và bán kính của đường tròn đó
Trang 15Vì I là trung điểm của CD nên OI vuông góc với CD (tính chất)
⇒MOI^=90°
Gọi trung điểm của MO là E
Tam giác OAM vuông tại A với E là trung điểm của MO
⇒OE=EM=AE=12MO (định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) (1) Tam giác OBM vuông tại B với E là trung điểm của MO
⇒OE=EM=BE=12MO (định lý đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) (2) Tam giác OIM vuông tại I có E là trung điểm của MO
⇒OE=ME=IE=12MO (định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) (3)
Từ (1); (2); (3) ⇒OE=EM=IE=AE=BE=12MO
Hay 5 điểm A, B, M, I, O cách đều điểm E
Hay ngũ giác AOIBM nội tiếp đường tròn (E; OE) với E là trung điểm của MO
Câu 3: Tính diện tích hình lục giác đều có cạnh bằng a?
Lời giải:
Vì là hình lục giác đều nên ta có n = 6
Bán kính đường tròn nội tiếp lục giác đều có cạnh bằng a là:
r=a2.tan180°n=a2.tan180°6
⇔r=a2.tan30°=a2.33=3a2 (đơn vị độ dài)
Áp dụng công thức ta có diện tích hình lục giác đều có cạnh bằng a là:
S = 12n.a.r= 126.a.3a2=33a22 (đơn vị diện tích)
Câu 4: Cho tam giác ABC cân tại A, có BAC^=120° và BC = 6cm Tính bán kính
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Lời giải:
Trang 16Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, H là giao điểm của OA và BC Xét tam giác OAC, có OA = OC => tam giác OAC cân tại O
Ta có tam giác ABC cân tại A => AO là đường trung trực của tam giác cũng là đường phân giác của tam giác
Trang 18Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD Vẽ OE, OF, OG, OH theo thứ tự vuông góc với AB, BC, CD, AD tại E, F, G, H
Vì OE vuông góc với AB và (O) tiếp xúc với AB tại E nên AB là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Vì OF vuông góc với BC và (O) tiếp xúc với BC tại F nên BC là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Hai tiếp tuyến AB và BC cắt nhau tại B do đó BE = BF (tính chất) (1)
Chứng minh tương tự ta được CF = CG; DG = DH; AH = AE (2)
Ta có: AE + EB = AB (3)
Trang 21Tam giác BEF cân tại B do BE = BF
Tam giác CFD cân tại C do CF = CD
Vì tam giác ADC cân tại A nên đường phân giác góc A cũng là đường trung trực của
ED
Vì tam giác BEF cân tại B nên đường phân giác góc B cũng là đường trung trực của EF
Vì tam giác CFD cân tại C nên đường phân giác góc C cũng là đường trung trực của
FD
Mà ba điểm E, F, D không thẳng hàng nên E, F, D tạo thành một tam giác
=> ba đường trung trực của EF, ED, FD đồng quy
Hay ba đường phân giác của ba góc của tứ giác ABCD đồng quy
Do đó tứ giác ABCD là tứ giác ngoại tiếp
Câu 6: Cho hình thang ABCD vuông tại A và D Biết AB = 10cm, BC = 13cm, CD =
15cm Chứng minh hình thang ABCD ngọa tiếp đường tròn, tìm bán ính đường tròn đó
Lời giải:
Trang 22Vì ABCD là hình thang vuông tại A và D ⇒A^=D^=90°
Vẽ BH vuông góc với CD tại H ⇒BHD^=90°
Trang 23=> hình thang ABCD ngoại tiếp đường tròn
Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp hình thang ABCD, do đo O các đều AB và CD
Vẽ OE vuông góc với AB; OF vuông góc với CD Do AB // CD nên O, E, F thẳng hàng hay EF = BH = 12cm
Lại có OE = OF nên OE = OF = 6cm
Vậy bán kính đường tròn nội tiếp hình thang ABCD là 6cm
Câu 7: Một đa giác đều nội tiếp đường tròn (O; R) Biết độ dài mỗi cạnh của nó là R2
Hỏi đa giác đó là hình gì?
Lời giải:
Trang 24Câu 8: Cho ∆ABC cân tại A có BAC^=120o; BC = 6 cm Tính bán kính đường tròn
ngoại tiếp ∆ABC
Lời giải:
Xét ∆ABO và ∆ACO có:
AB = AC (vì ∆ABC cân tại A);
OB = OC (vì đều là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC);
Cạnh OA chung
Trang 25∆ACO đều có AO⊥CH nên HA = HO
Áp dụng định lý Py – ta – go vào ∆CHO vuông tại H (AO⊥CH) có:
CH2 + OH2 = OC2
Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là 23 cm
Câu 9: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3 cm, AC = 4 cm Gọi R là bán kính
đường tròn ngoại tiếp; r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC Tính tỉ số rR
Trang 26Câu 10: Vẽ hình vuông ABCD tâm O rồi vẽ tam giác đều có một đỉnh là A và nhận O
làm tâm Nêu cách vẽ
Lời giải:
Trang 27- Vẽ hình vuông
- Vẽ đường tròn (O; R)
- Vẽ hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau
- Nối AB, BC, CD, DA ta được tứ giác ABCD là hình vuông nội tiếp trong đường tròn (O; R)
-Từ A đặt liên tiếp các cung bằng nhau có dây tương ứng bằng R:
AA1⏜; A1A2⏜;A2C⏜;CA3⏜;A3A4⏜
- Nối AA2 , A2A3 ,A3A ta được tam giác AA2A3 là tam giác đều nhận O làm tâm Chứng minh:
Trang 28Vì các cung AA1⏜; A1A2⏜;A2C⏜;CA3⏜;A3A4⏜ bằng nhau nên ta
có AA2⏜=A2A3⏜=A3A⏜
Suy ra AA2=A2A3 = A3A nên tam giác AA2A3 là tam giác đều
Theo cách vẽ ta có O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AA2A3
III Bài tập vận dụng
Câu 1: Các đường cao AD, BE của tam giác ABC cắt nhau tại H (góc C khác góc vuông)
và cắt đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại I và K
a) Chứng minh tứ giác CDHE nội tiếp và xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác
đó
b) Chứng minh tam giác CKI cân
Câu 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) Ba đường cao
của tam giác là AF, BE, CD cắt nhau tại H Chứng minh tứ giác BDEC là tứ giác nội tiếp Xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác
Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC, đường cao AH (H thuộc BC) Lấy
điểm D sao cho H là trung đểm của BD Gọi E là chân đường vuông góc hạ từ C xuống đường thẳng AD Chứng minh tứ giác AHEC nội tiếp và xác định vị trí tâm O của đuờng tròn ngoại tiếp tứ giác đó
Câu 4: Cho ngũ giác đều có cạnh bằng a
a) Tính chu vi và diện tích ngũ giác đều đó
b) Tính số đo mỗi góc của ngũ giác đều
Câu 5: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn, biết rằng các tia AB, CD cắt nhau tại
E, các tia AD và BC cắt nhau tại F Chứng minh rằng:
a) AE + CF = AF + CE
Trang 29b) BE + BF = DE + DF
Câu 6: Cho hình thang ABCD (AB // CD) ngoại tiếp đường tròn (O) Tiếp điểm trên
AB, CD theo thứ tự là E và F Chứng minh rằng AC, BD, EF đồng quy
Câu 7: Tính cạnh hình 12 cạnh đều theo bán kính đường tròn ngoại tiếp hình 12 cạnh
đều đó
Câu 8: Cho đường tròn (O) nội tiếp trong hình thang ABCD (AB // CD) tiếp xúc với
cạnh AB tại E với cạnh CD tại F
a) Chứng minh: BEAE=DFCF
b) Biết AB = a, CB = b (a < b), BE = 2.AE Tính diện tích hình thang ABCD
Câu 9: Cho tam giác ABC ngoại tiếp (O) Trên BC lấy M, trên BA lấy N, trên CA lấy
P sao cho B = BN và CM = CP Chứng minh rằng:
a) O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP
b) Tứ giác ANOP nội tiếp đường tròn
c) Tìm vị trí điểm M, N, P sao cho NP nhỏ nhất
Câu 10: Cho đường (O; R) nội tiếp hình thang ABCD (AB // CD), với G là tiếp điểm
của đyờng tròn (o; R) với các cạnh CD, biết AB = 43R và BC = 52R Tính tỉ số giữa
GD và GC
Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:
Chuyên đề Độ dài đường tròn, cung tròn
Chuyên đề Diện tích hình tròn, hình quạt tròn
Chuyên đề Ôn tập chương III
Chuyên đề Hình trụ - Diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ
Trang 30Chuyên đề Hình nón – Hình nón cụt Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón, hình nón cụt