Chuyên đề Độ dài đường tròn, cung tròn Toán 9 A Lý thuyết 1 Công thức tính độ dài đường tròn “Độ dài đường tròn” hay còn được gọi là “chu vi đường tròn” được kí hiệu là C Công thức tính chu vi hình tr[.]
Trang 1Chuyên đề Độ dài đường tròn, cung tròn - Toán 9
A Lý thuyết
1 Công thức tính độ dài đường tròn
“Độ dài đường tròn” hay còn được gọi là “chu vi đường tròn” được kí hiệu là C.
Công thức tính chu vi hình tròn: C = 2πR hoặc C = πd
Trong đó: C là độ dài đường tròn;
R là bán kính đường tròn;
d là đường kính của đường tròn;
π (đọc là “pi”) là kí hiệu của một số vô tỉ mà giá trị gần đúng thường được lấy là π ≈ 3,14
Ví dụ 1 Cho đường tròn có bán kính 5 cm Tính độ dài đường tròn đó?
Lời giải:
Độ dài đường tròn là:
C = 2πR = 2π 5 = 10π (cm)
Vậy đường tròn có bán kính R = 5 cm có độ dài đường tròn là 10π cm
Trang 22 Công thức tính độ dài cung tròn
Ví dụ 2 Cho đường tròn có bán kính 4cm Tính độ dài cung tròn 120o
Lời giải:
Độ dài cung tròn 120o là:
l=πRn180 =π . 4 . 120180=83π (cm)
Vậy độ dài cung tròn 120o của đường tròn (O; 4cm) là 83π cm
B Bài tập
I Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Số đo n° của cung tròn có độ dài 30,8 cm trên đường tròn có bán kính 22 cm là
(lấy π ≃ 3,14 và làm tròn đên độ)
A 70°
B 80°
Trang 3C 65°
D 85°
Lời giải:
Độ dài cung tròn
Chọn đáp án B
Câu 2: Tính độ dài cung 30° của một đường tròn có bán kính 4 dm
Lời giải:
Độ dài cung
Chọn đáp án D
Câu 3: Chu vi đường tròn bán kính R = 9 là
A 18π
B 9π
C 12π
D 27π
Lời giải:
Chu vi C = 2πR = 2π.9 = 18π
Chọn đáp án A
Trang 4Câu 4: Biết chu vi đường tròn là C = 36π (cm) Tính đường kính của đường tròn
A 18(cm)
B 14(cm)
C 36(cm)
D 20(cm)
Lời giải:
Chu vi C = πd = 36π ⇒ d = 36.36π
Vậy đường kính cần tìm là 36cm
Chọn đáp án C.
Câu 5: Cho đường tròn tâm O có chu vi 36π cm Tính độ dài cung có số đo 90°?
A 9π
B 4,5π
C 18π
D 15π
Lời giải:
Chọn đáp án A
Câu 6: Biết độ dài cung 60° là 6π Tính độ dài cung tròn có số đo 100°
A 6π
Trang 5B 8π
C 10π
D 10,5π
Lời giải:
Chọn đáp án C
Câu 7: Cho tam giác ABC có AB= 8cm; AC = 6cm và BC = 10cm Tính chu vi đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC?
A 8π (cm)
B 10π (cm)
C 6π (cm)
D 12π (cm)
Lời giải:
Ta có: AB2 + AC2 = BC2 ( = 100)
Suy ra, tam giác ABC là tam giác vuông tại
Do đó, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm M của B
Bán kính đường tròn là: R = BC/2 = 5cm
Chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:
C = 2π.5 = 10π (cm)
Trang 6Chọn đáp án B
Câu 8: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là 10 cm Gọi O là tâm đường tròn nội
tiếp hình vuông Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB; BC Tính độ dài của
cung MN⌢ ?
A 2π (cm)
B 5π (cm)
C 2,5π (cm)
D 7,5π (cm)
Lời giải:
Do O là tâm đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD nên bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông là:
Chọn đáp án C.
Câu 9: Biết độ dài cung 60° bằng 6π (cm) Tính bán kính đường tròn
A R =10 cm
B R = 8cm
C R =12cm
D R = 18cm
Lời giải:
Trang 7Độ dài cung 60° là:
Chọn đáp án D
Câu 10: Cho đường tròn (O; R), độ dài cung có số đo n° là 0,314 R.Tính n?
A 18°
B 20°
C 36°
D 30°
Lời giải:
Độ dài cung có số đo n° là:
Chọn đáp án A
II Bài tập tự luận có lời giải
Câu 1: Cho đường tròn (O) bán kính OA Từ trung điểm M của OA vẽ dây BC vuông
góc OA Biết độ dài đường tròn (O) là 4π (cm) Tính:
a) Bán kính đường tròn (O)
b) Độ dài hai cung BC của đường tròn
Lời giải:
Trang 8a) Độ dài bán kính đường tròn (O) là:
b) Áp dụng định lý Py – ta – go vào ∆BOM vuông tại M, ta có:
BM2 + OM2 = OB2
∆BOM vuông tại M nên sinBOM^=BMOB=32= 60o
∆OBC cân tại O (vì OB = OC) có OM là đường cao nên OM cũng là đường phân giác Suy ra BOC^=2 BOM^=2 . 60o=120o
Đặt cung lớn BC là BmC⏜
Số đo của cung lớn BC là:
Trang 9Vậy độ dài cung nhỏ và cung lớn BC lần lượt là
Câu 2: Tam giác ABC có AB = AC = 3 cm, A^=120o Tính độ dài đường tròn ngoại
tiếp ∆ABC
Lời giải:
Ta có AB = AC nên A là điểm nằm chính giữa cung BC
Suy ra:
AO⊥BC⇒BAH^=HAC^=60o
Do đó ∆ABH là nửa tam giác đều
Nên AB = BO = 3 (cm)
Vậy độ dài đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là: C = 2πR = 6π (cm)
Trang 10Câu 3: Một tam giác đều và một hình vuông có cùng chu vi là 72 cm Hỏi độ dài
đường tròn ngoại tiếp hình nào lớn hơn? Lớn hơn bao nhiêu?
Lời giải:
* Xét tam giác ABC đều ngoại tiếp đường tròn (O) có chu vi 72 cm
Kẻ AH là đường trung trực của ∆ABC tại H
Độ dài cạnh của tam giác đều: 72 : 3 = 24 (cm)
Áp dụng định lý Py – ta – go vào ∆ABH vuông tại H, ta có:
AH2 + BH2 = AB2
Đường tròn (O) ngoại tiếp ∆ABC nên AH là đường trung trực của ∆ABC
Mà ∆ABC đều nên AH cũng là đường trung tuyến
Suy ra O cũng là trọng tâm của ∆ABC
Do đó OA = 23AH =23 . 123=83 = R
Do đó độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là:
C = 2πR = 163π (cm)
* Xét hình vuông MNPQ ngoại tiếp đường tròn (O’) có chu vi 72 cm
Nối N với Q
Trang 11Độ dài các cạnh của hình vuông là: 72 : 4 = 18 (cm).
Áp dụng định lý Py – ta – go vào ∆NPQ vuông tại P, ta có:
NP2 + PQ2 = NQ2
Do đó độ dài đường tròn ngoại tiếp hình vuông là:
Vậy độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác đều lớn hơn đường tròn ngoại tiếp hình vuông và lớn hơn:
Câu 4: Tính độ dài cung 50°của một đường tròn có bán kính là 3cm
Lời giải:
Áp dụng công thúc độ dài cung tròn l=πRn180ta có:
Độ dài cung 50°của đường tròn bán kính 3cm là:
l=π.3.50180=5π6 (cm)
Câu 5: Tính chu vi một vành một cái nón lá có bán kính là 25cm
Trang 12Lời giải:
Áp dụng công thức tính chu vi đường tròn ta được:
Chu vi vành một cái nón là C = 2R.π= 2.25.π= 50(cm)
Câu 6: Cho hình vẽ:
Biết OA = 4cm Tính chu vi của hình
Lời giải:
Độ dài cung OA là
l1=π.4.180180=4π(cm)
Do AB là đường kính của (O) nên OA = OB = 4cm; AB = 8cm
Độ dài cung OB là
l2=π.4.180180=4π(cm)
Độ dài cung AB là:
Trang 13Chu vi hình cần tính là
C = l1+l2+l3=4π+4π+8π=16π(cm)
Câu 7: Cho hình vẽ:
Biết AB = 1cm Tính độ dài đường cong AEFGH
Lời giải:
Đường cong AE là cung của đường tròn bán kính AB = 1cm
Độ dài đường cong AE là:
l1=1.90.π180=π2(cm)
Đường cong EF là cung của đường tròn bán kính CE = CB + BE = 1 + 1 = 2cm
Độ dài đường cong EF là:
Trang 14Đường cong FG là cung của đường tròn bán kính DF = DC + CF = 1 + 2 = 3cm
Độ dài đường cong FG là:
l3=3.90.π180=3π2(cm)
Đường cong GH là cung của đường tròn bán kính AG = AD + DG = 1 + 3 = 4cm
Độ dài đường cong HG là
l4=4.90.π180=2π(cm)
Độ dài đường cong AEFGH là:
l1+l2+l3+l4=π2+π+3π2+2π=5π(cm)
Câu 8: AB là đường kính của nửa đường tròn Trên đoạn thẳng AB lấy hai điểm M và
N sao cho M nằm giữa A và N Vẽ các đường tròn có đường kính AM, MN, NB Hãy chứng minh tổng độ dài các cung AM, MN, NB bằng độ dài cung AB
Lời giải:
Gọi C1;C2;C3;Clà độ dài nửa đường tròn đường kính AM; MN; NB; AB
Trang 15C1=12π.AM (đơn vị độ dài)
C2=12.π.MN (đơn vị độ dài)
C3=12.π.NB(đơn vị độ dài)
C=12.π.AB (đơn vị độ dài)
Lấy C1+C2+C3=12π.AM+12.πMN+12.π.NB
⇔C1+C2+C3=12π.AM+MN+NB
⇔C1+C2+C3=12π.AB=C(điều phải chứng minh)
Câu 9: So sánh độ dài cung OmB⏜ và AB⏜
Lời giải:
Trang 16Gọi l1là độ dài cung OmB⏜
Gọi l2là độ dài cung AB⏜
Độ dài cung OmB⏜là
l1=12.π.OB (đơn vị độ dài)
Độ dài cung AB⏜ là
l2=14.π.2.OB =12.π.OB(đơn vị độ dài)
Vậy l1=l2
Câu 10: Cho hai đường tròn bán kính lần lượt R = 1km và r = 1m Nếu độ dài mỗi
đường tròn ấy đều tăng thêm 1m thì bán kính của mỗi đường tròn tăng thêm bao nhiêu
? Hãy giải thích
Lời giải:
Gọi bán kính tăng thêm của đường tròn bán kính R là a, phần bán kính tăng thêm của đường tròn bán kính r là b Khi độ dài mỗi đường tròn tăng thêm 1m, ta có:
2πR+a=2πR+1⇒2πa=1⇒a=12π(m)
2πr+b=2πr+1⇒2πb=1⇒b=12π(m)
Vậy bán kính mỗi đường tròn đều tăng thêm 12π(m)
III Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho π=3,14 Hãy điền vào ô trống
5
6
94,2
Trang 17Câu 2: Hãy điền vào ô trống:
Độ dài l của cung
tròn
Câu 3: Cho tam giác ABC có AB = AC = 3cm và A^=120° Tính độ dài đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC
Câu 4: Cho đường tròn (O), bán kính R và dây AB Cho hai trường hợp sau:
a) Nếu số đo cung AB bằng 90° Hãy tính chu vi đường tròn đường kính AB
b) Nếu độ dài cung AB bằng 5πR6 Hỏi số đo của góc AOB^ bằng bao nhiêu
Câu 5: Cho đường tròn (O) bán kính OA Từ trung điểm M của OA vẽ dây BC vuông
góc với OA Biết độ dài đường tròn (O) là 4π cm Tính:
a) Bán kính đường tròn (O);
b) Độ dài cung BC của đường tròn
Câu 6: Cho tam giác AB vuông tại A có AB = 5cm, B^=60° Đường tròn tâm I đường
kính AB cắt BC ở D
a) Chứng minh AD vuông góc với BC
b) Chứng minh đường tròn tâm K đường kính AC đi qua D
c) Tính độ dài cung nhỏ BD
Câu 7: Tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O), vẽ các nửa đường tròn đường kính
AD và BC ra phía ngoài của tứ giác Biết AB + CD = 10cm Tính tổng các độ dài của hai nửa đường tròn này
Trang 18Câu 8: Tính chu vi các phần bị gạch trong các hình vẽ dưới đây:
Câu 9: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) Vẽ ra phía ngoài tứ giác này bốn
nửa đường tròn đường kính lần lượt là bốn cạnh của tứ giác Chứng minh rằng tổng độ dài của hai nửa đường tròn có đường kính là hai cạnh đối diện của tứ giác bằng tổng độ dài hai nửa đường tròn có đường kính là hai cạnh đối diện còn lại
Câu 10: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB Vẽ dây CD = R (thuộc cung AD)
Nối AC với BD cắt nhau tại M
a) Chứng minh tam giác MCD đồng dạng với tam giác MBA, tìm tỉ số đồng dạng b) Cho ABC^=30° Tính độ dài cung nhỏ AC
Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:
Chuyên đề Diện tích hình tròn, hình quạt tròn
Chuyên đề Ôn tập chương III
Chuyên đề Hình trụ - Diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ
Chuyên đề Hình nón – Hình nón cụt Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón, hình nón cụt
Chuyên đề Hình cầu Diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu