Chuyên đề Vị trí tương đối của hai đường tròn Toán 9 A Lý thuyết 1 Ba vị trí tương đối của hai đường tròn a) Hai đường tròn cắt nhau Hai đường tròn có hai điểm chung được gọi là hai đường tròn cắt nha[.]
Trang 1Chuyên đề Vị trí tương đối của hai đường tròn - Toán 9
A Lý thuyết
1 Ba vị trí tương đối của hai đường tròn
a) Hai đường tròn cắt nhau
Hai đường tròn có hai điểm chung được gọi là hai đường tròn cắt nhau
+ Hai điểm A, B là hai giao điểm
+ Đoạn thẳng AB là dây chung
+ Đặt O1A = R; O2A = r khi đó: |R - r| < O1O2 < R + r
+ Đường thẳng O1O2 là đường nối tâm, đoạn thẳng O1O2 là đoạn nối tâm
+ Tính chất đường nối tâm: Đường nối tâm là đường trung trực của dây chung
b) Hai đường tròn tiếp xúc nhau
Trang 2Hai đường tròn chỉ có một điểm chung được gọi là hai đường tròn tiếp xúc + Điểm A gọi là tiếp điểm
+ Có hai trường hợp tiếp xúc của hai đường tròn:
⋅ Tiếp xúc ngoài tại A: O1O2 = R + r
⋅ Tiếp xúc trong tại A: O1O2 = |R - r|
c) Hai đường tròn không giao nhau
Trang 3Hai đường tròn không có điểm chung nào được gọi là hai đường tròn không giao nhau + Hai đường tròn ngoài nhau: O1O2 > R + r
+ Hai đường tròn đựng nhau: O1O2 < |R - r|
+ Đặc biệt, khi (O1) và (O2) đồng tâm: O1O2 = 0
2 Định lý
+ Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điểm đối xứng nhau qua đường nối tâm, tức là đường nối tâm là đường trung trực của dây cung
+ Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm
3 Tiếp tuyến chung của hai đường tròn
Trang 4+ Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó
+ Tiếp tuyến chung ngoài không cắt đường nối tâm
+ Tiếp tuyến chung trong cắt đường nối tâm
Trang 5Câu 2: Cho hai đường tròn (O; R) và (O; r) với R > r cắt nhau tại hai điểm phân biệt
Hai đường tròn (O; R) và (O'; r)(R > r) cắt nhau
Khi đó (O) và (O') có hai điểm chung và đường tròn nối tâm là đường trung trực của đoạn AB
Hệ thức liên hệ R - r < OO' < R + r
Chọn đáp án C
Câu 3: Cho hai đường tròn (O; 8cm) và (O; 6cm) cắt nhau tại A, B sao cho OA là tiếp
tuyến của (O) Độ dài dây AB là
A AB = 8,6 cm
B AB = 6,9 cm
Trang 6C AB = 4,8 cm
D AB = 9,6 cm
Lời giải:
Vì OA là tiếp tuyến của (O') nên tam giác vuông tại A
Vì (O) và (O') cắt nhau tại A, B nên đường tròn nối tâm OO' là trung trực của đoạn AB Gọi giao điểm của AB và OO' là I thì AB ⊥ OO' tại I là trung điểm của AB
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAO' ta có:
Chọn đáp án D
Câu 4: Cho đường tròn (O) bán kính OA và đường tròn (O') đường kính OA Vị trí
tương đối của hai đường tròn là:
A Nằm ngoài nhau
B Cắt nhau
C Tiếp xúc ngoài
Trang 7D Tiếp xúc trong
Lời giải:
Vì hai đường tròn có một điểm chung là A và nên hai
đường tròn tiếp xúc trong
Chọn đáp án D
Câu 5: Cho đường tròn (O) bán kính OA và đường tròn (O') đường kính OA Dây AD
của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ tại C Khi đó
Lời giải:
Trang 9Câu 8: Cho hai đường tròn (O; 15cm) và (I; 20cm) cắt nhau tại hai điểm A và B Biết
rằng O và I nằm hai phía đối với đường thẳng AB và AB = 24cm Tính đoạn nối tâm OI?
Gọi giao điểm của AB và OI là điểm H
Theo tính chất đường nối tâm ta có H là trung điểm của AB nên HA = HB = 24 : 2 =
12 cm
Trang 10Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông OAH ta có:
OH2 = OA2 – AH2 = 152 – 122 = 81 nên OH = 9 cm
Áp dụng đinh lí Pytago vào tam giác vuông AHI ta có:
HI2 = AI2 – AH2 = 202 – 122 = 256 nên HI = 16 cm
Câu 10: Cho hai đường tròn (A; 6cm) và (B; 3cm) Tìm điều kiện để hai đường tròn
đã cho ở ngoài nhau?
A AB > 9cm
B AB < 9cm
Trang 11II Bài tập tự luận có lời giải
Câu 1: Cho đường tròn tâm O bán kính OA và đường tròn đường kính OA Xác định
tính tương đối của hai đường tròn
Lời giải:
Gọi đường tròn (O') là đường tròn đường kính OA
Ta có:
Trang 12⇒ (O) và (O') tiếp xúc trong
Câu 2: Cho hai đường tròn (O; 20) và (O'; 15) cắt nhau tại A và B Tính đoạn thẳng
nối OO' biết rằng AB = 24
Lời giải:
Ta có 2 trường hợp xảy ra:
Gọi C là giao điểm của đường thẳng AB và OO'
Trang 13Câu 3: Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; r) cắt nhau tại hai điểm A và B Vẽ đường
kính AOC và đường kính AO'D
a) Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng
b) Qua A vẽ cát tuyến cắt (O) và (O') lần lượt tại M và N CMR: MN ≤ CD
Lời giải:
Trang 14a) Tam giác ABC có AC là đường kính nên tam giác ABC vuông tại B hay AB ⊥ BC Tam giác ABD có AD là đường kính nên tam giác ABD vuông tại B hay AB ⊥ BD
⇒ C, B, D cùng thuộc đường thẳng qua B và vuông góc với AB
b) Xét tam giác ACD có OO' là đường trung bình nên OO' = 1/2 CD
Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của O và O' nên MN
Khi đó E, F lần lượt là trung điểm của AM và AN
⇒ EF = 1/2 MN
Ta đưa việc so sánh CD với MN qua so sánh OO' với EF
Xét 2 đường thẳng OE và O'F song song với nhau
EF vuông góc với cả hai đoạn thẳng nên EF là đoạn thẳng nhỏ nhất trong các đoạn nối
từ 1 điểm trên OE tới 1 điểm trên O'F Khi đó: EF ≤ OO' ⇒ MN ≤ CD
Câu 4: Cho hai đường tròn (O); (O’) tiếp xúc ngoài tại A Kẻ tiếp tuyến chung ngoài
MN với M ∈ (O); N ∈ (O’) Gọi P là điểm đối xứng với M qua OO’; Q là điểm đối xứng với N qua OO’ Khi đó, tứ giác MNQP là hình gì?
Lời giải:
Trang 15Vì P là điểm đối xứng với M qua OO’
Q là điểm đối xứng với N qua OO’ nên MN = PQ
P ∈ (O); Q ∈ (O’) và MP ⊥ OO’; NQ ⊥ OO’ ⇒ MP // NQ mà MN = PQ
nên MNPQ là hình thang cân
Câu 5: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) (R > R’) tiếp xúc ngoài tại A Vẽ các
bán kính OB // O’D với B, D ở cùng phía nửa mặt phẳng bờ OO’ Đường thẳng DB và OO’ cắt nhau tại I Tiếp tuyến chung ngoài GH của (O) và (O’) với G, H nằm ở nửa mặt phẳng bờ OO’ không chứa B, D Tính PI theo R và R’
Lời giải:
Trang 16Câu 6: Cho hai đường tròn (O; 8cm) và (O’; 6cm) cắt nhau tại A, B sao cho OA là
tiếp tuyến của (O’) Tính độ dài dây AB
Lời giải:
Vì OA là tiếp tuyến của (O’) nên ∆OAO’ vuông tại A
Vì (O) và (O’) cắt nhau tại A, B nên đường nối tâm OO’ là trung trực của đoạn AB
Trang 17Gọi giao điểm của AB và OO’ là I thì AB ⊥ OO’ tại I là trung điểm của AB
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAO’ ta có:
Câu 7: Cho hai đường tròn (O; 6cm) và (O’; 2cm) cắt nhau tại A, B sao cho OA là
tiếp tuyến của (O’) Tính độ dài dây AB
Lời giải:
Vì OA là tiếp tuyến của (O’) nên OAO’ vuông tại A
Vì (O) và (O’) cắt nhau tại A, B nên đường nối tâm OO’ là trung trực của đoạn AB Gọi giao điểm của AB và OO’ là I thì AB ⊥ OO’ tại I là trung điểm của AB
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAO’ ta có:
Trang 18Câu 8: Cho đường tròn tâm O bán kính OA và đường tròn đường kính OA Xác định
tính tương đối của hai đường tròn
Trang 19Câu 9: Cho hai đường tròn (O); (O’) tiếp xúc ngoài tại A Kẻ tiếp tuyến chung ngoài
MN với M ∈ (O); N ∈ (O’) Gọi P là điểm đối xứng với M qua OO’; Q là điểm đối xứng với N qua OO’ MN + PQ bằng:
Lời giải:
Vì P là điểm đối xứng với M qua OO’
Q là điểm đối xứng với N qua OO’ nên MN = PQ
P ∈ (O); Q ∈ (O’) và MP ⊥ OO’; NQ ⊥ OO’ ⇒ MP // NQ mà MN = PQ
nên MNPQ là hình thang cân
Kẻ tiếp tuyến chung tại A của (O); (O’) cắt MN; PQ lần lượt tại B; C
Trang 20⇒ OP ⊥ PQ tại P ∈ (O) nên PQ là tiếp tuyến của (O).
Chứng minh tương tự ta có PQ là tiếp tuyến của (O’)
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
BA = BM = BAO NHIÊU; CP = CA = CQ suy ra B; C lần lượt là trung điểm của MN;
PQ và MN + PQ = 2MB + 2 PC = 2AB + 2AC = 2BC
Lại có BC là đường trung bình của hình thang MNPQ nên MP + NQ = 2BC
Do đó MN + PQ = MP + NQ
Câu 10: Cho hình 76, trong đó hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc với nhau tại A
Chứng minh rằng các tiếp tuyến Bx và Cy song song với nhau
Trang 22Tam giác O’AC cân tại O’
Câu 1: Cho hai đường tròn (O; 20) và (O'; 15) cắt nhau tại A và B Tính đoạn thẳng
nối OO' biết rằng AB = 24
Câu 2: Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; r) cắt nhau tại hai điểm A và B Vẽ đường
kính AOC và đường kính AO'D
a) Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng
b) Qua A vẽ cát tuyến cắt (O) và (O') lần lượt tại M và N CMR: MN ≤ CD
Câu 3: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD), hai đường chéo cắt nhau tại O Vẽ
đường tròn (I) ngoại tiếp tam giác AOB, đường tròn (K) ngoại tiếp tam giác COD Chứng minh rằng hai đường tròn (I) và (K) tiếp xúc với nhau
Trang 23Câu 4: Cho các đường tròn (A; 10), (B; 15), (C; 15) tiếp xúc ngoài với nhau đôi một
Hai đường tròn (B) và (C) tiếp xúc với nhau tại A’ Đường tròn (A) tiếp xúc vớ đường tròn (B) và (C) lần lượt tại C’ và B’
a) Chứng minh rằng AA’ là tiếp tuyến chung của đường tròn (B) và (C) Tính độ dài AA’
b) Tính diện tích tam giác A’B’C’
Câu 5: Cho đường tròn (O; R) và đường tròn (O’; R’) với R > R’ tiếp xúc trong với
nhau tại A Đường nối tâm OO’ cắt đường tròn (O) và (O’) lần lượt tại B và C (B, C khác A) Vẽ các đường tròn (M) và (N) có đường kính lần lượt là BC và OO’
a) Chứng minh rằng BC = 2 OO’ và AM = 2 AN
b) Từ A vẽ tiếp tuyến AE với đường tròn (N) Chứng minh rằng AE cũng là tiếp tuyến của đường tròn (M)
Câu 6: Cho đường thẳng xy và đường tròn (O; R) không giao nhau Gọi M là một điểm
di động trên xy Vẽ đường tròn đường kính OM cắt đường tròn (O) tại A và B Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định
Câu 7: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) (R > R’) tiếp xúc ngoài tại A Vẽ các
bán kính OB // O’D với B, D ở cùng phía nửa mặt phẳng bờ OO’ Đường thẳng DB và OO’ cắt nhau tại I
a) Tính góc BAD?
b) Tính OI biết R = 3 cm; R’ = 2 cm
c) Tính OI theo R và R’
d) Chứng minh rằng BD, OO’ và tiếp tuyến chung ngoài của (O) và (O’) đồng quy
Câu 8: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB Đường thẳng d tiếp xúc với nửa
đường tròn (O) tại C Gọi D và E theo thứ tự là hình chiếu của A và B trên d
a) Xác định vị trí tương đối của các đường tròn (A; AD) và (B; BE)
b) Chứng minh rằng AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE
Trang 24Câu 9: Xét ΔABC có các góc B, C nhọn Các đường tròn đường kính AB và AC cắt
nhau tại điểm thứ hai H Một đường thẳng d bất kì qua A và cắt hai đường tròn nói trên lần lượt tại M và N
Câu 10: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B, trong đó O’ nằm trên
đường tròn (O) Kẻ đường kính O’OC của đường tròn (O)
a) Chứng minh rằng CA, CB là các tiếp tuyến của đường tròn (O’)
b) Đường vuông góc với AO’ tại O’ cắt CB ở I Đường vuông góc với AC tại C cắt đường thẳng O’B ở K Chứng minh rằng ba điểm O, I, K thẳng hàng
Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:
Chuyên đề Ôn tập chương 2
Chuyên đề Phương trình bậc nhất hai ẩn
Chuyên đề Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Chuyên đề Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Chuyên đề Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số