Chuyên đề Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Toán 9 A Lý thuyết 1 Ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn a) Đường thẳng và đường tròn cắt nhau Khi một đường thẳng có hai điểm ch[.]
Trang 1Chuyên đề Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn - Toán 9
A Lý thuyết
1 Ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
a) Đường thẳng và đường tròn cắt nhau
Khi một đường thẳng có hai điểm chung A, B với đường tròn (O) ta nói đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt Khi đó ta có những kết quả quan trọng sau:
Theo định lý Pitago ta có: OH2 = MO2 - MH2
Mặt khác ta cũng có: OH2 = R2 - AH2 nên suy ra
MO2 - MH2 = R2 - AH2 ⇔ MH2 - AH2 = MO2 - R2
Trang 2⇔ (MH - AH)(MH + AH) = MO2 - R2
+ Nếu M nằm ngoài đoạn AB thì MA.MB = MO2 - R2
+ Nếu M nằm trong đoạn AB thì MA.MB = R2 - MO2
Mối liên hệ khoảng cách và dây cung: R2 = OH2 + AB2/4
b) Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau
Khi một đường thẳng Δ chỉ có một điểm chung H với đường tròn (O), ta nói đường thẳng tiếp xúc với đường tròn, hay Δ là tiếp tuyến của đường tròn (O) Điểm H gọi là tiếp điểm của tiếp tuyến với đường tròn (O)
Như vậy nếu Δ là tiếp tuyến của (O) thì Δ vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm
Ta có OH = R
c) Đường thẳng và đường tròn không giao nhau
Khi một đường thẳng Δ và đường tròn (O) không có điểm chung ta nói đường thẳng Δ
và đường tròn (O) không giao nhau Khi đó OH > R
Trang 32 Hệ thức giữa khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng và bán kính của đường tròn
Vị trí tương đối của đường thẳng và đường
tròn
Số điểm chung
Hệ thức giữa d và R
Đường thẳng và đường tròn cắt nhau 2 d < R
Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau 1 d = R
Đường thẳng và đường tròn không giao nhau 0 d > R
Trang 4Lời giải:
Đường thẳng và đường tròn có nhiều nhất hai điểm chung
Chọn đáp án B
Câu 2: Nếu đường thẳng và đường tròn có duy nhất một điểm chung thì
A đường thẳng tiếp xúc với đường tròn
Trang 5Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính
đi qua tiếp điểm
Nên d ⊥ OA tại tiếp điểm A
Chọn đáp án C
Câu 4: Cho đường tròn (O) và đường thẳng a Kẻ OH ⊥ a tại H, biết OH > R khi đó
đường thẳng a và đường tròn (O)
Trang 6Chọn đáp án B
Câu 5: Điền vào các vị trí (1); (2) trong bảng sau (R là bán kính của đường tròn, d là
khoảng cách từ tâm đến đường thẳng):
+ Vì d < R (4cm < 5cm) nên đường thẳng cắt đường tròn
+ Vì đường thẳng tiếp xúc với đường tròn nên d = R = 8cm
Chọn đáp án A
Câu 6: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A( 5; 6) Xác định vị trí tương đối của
đường tròn (A; 5) với các trục tọa độ?
A Đường tròn tiếp xúc trục Oy
B Đường tròn tiếp xúc với trục Ox
C Đường tròn không cắt trục Ox
D Đường tròn không cắt trục Oy
Trang 7Câu 7: Cho đường tròn tâm (O; 3) và điểm A cách O một khoảng 5 cm Kẻ tiếp tuyến
AB với đường tròn (B là tiếp điểm) Tính AB
Do AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) với B là tiếp điểm nên ta có:
OA2 = OB2 + AB2
⇒ AB2 = OA2 - OB2 = 52 - 32 = 16
⇒ AB = 4cm
Chọn đáp án C.
Câu 8: Cho đường tròn (O; 6cm) Điểm M cách điểm O một khoảng 4cm Hỏi qua M
kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến đường tròn?
A 1
Trang 8Do đó, điểm M nằm trong đường tròn (O)
Suy ra, qua điểm M không kẻ được tiếp tuyến nào đến đường tròn
Chọn đáp án D.
Câu 9: Cho đường tròn , cho điểm A thỏa mãn: IA = 2√2 Hỏi qua điểm A
kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến đường tròn?
Trang 9Do đó, điểm A nằm trên đường tròn đã cho Khi đó, qua điểm A ta vẽ được đúng 1 tiếp tuyến đến đường tròn (I)
Chọn đáp án A.
Câu 10: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm và BC = 10 cm Vẽ đường
tròn ( A; 6) Hỏi qua C dựng được bao nhiêu tiếp tuyến đến đường tròn?
Ta có: AC > R (8 > 6) nên điểm C nằm ngoài đường tròn (A ; 6)
Do đó, qua điểm C ta vẽ được hai tiếp tuyến đến đường tròn
Chọn đáp án C
II Bài tập tự luận có lời giải
Câu 1: Cho đường tròn tâm O bán kính bằng 6cm và một điểm A cách O 10cm Kẻ
tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm) Tính độ dài đoạn AB
Lời giải:
Trang 10Câu 2: Cho hình vuông ABCD Trên đường chéo BD lấy điểm H sao cho BH = BA ,
qua H vẽ đường thẳng vuông góc với BD cắt AD tại O
a) So sánh OA, OH và HD
b) Xác định vị trí tương đối của BD với (O; OA)
Lời giải:
Trang 11Câu 3: Cho đường tròn (O; 5) Từ M ngoài O vẽ hai tiếp tuyến MA, MB sao cho MA
⊥ MB tại M
a) Tính MA, MB
b) Gọi I là giao điểm của OM với (O) Kẻ tiếp tuyến với (O) tại I cắt OA, OB lần lượt
ở C và D Tính CD
Trang 12Lời giải:
a) Ta có: MA, MB là hai tiếp tuyến nên khoảng cách từ O đến MA và MB lần lượt là
OA và OB (do A, B là các tiếp điểm duy nhất với (O))
Từ đó ta có: OA ⊥ MA, OB ⊥ MB
Tứ giác OAMB có 3 góc vuông và OA = OB = R nên OAMB là hình vuông
⇒ MA = MB = R = 5
b) Dễ dàng chứng minh
Trang 13Câu 4: Cho đường tròn tâm O bán kính bằng 6cm và một điểm A cách O 10cm Kẻ
tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm) Tính độ dài đoạn AB
Câu 5: Trên mặt phẳng tọa độ cho điểm I có tọa độ (-3; 2) Nếu vẽ đường tròn tâm I
bán kính bằng 2 thì đường tròn đó có vị trí như thế nào đối với các trục tọa độ ?
Lời giải:
Trang 14Kẻ IA⊥Ox tại A
Ta có: IA = 2 = R (do điểm I có tọa độ (-3; 2))
Do đó, đường tròn (I) tiếp xúc với trục hoành
Kẻ IB⊥Oy tại B
Ta có IB = 3 > R (do điểm I có tọa độ (-3; 2))
Do đó, đường tròn (I) và trục tung không có điểm chung
Câu 6: Cho đường thẳng a Tâm I của tất cả các đường tròn có bán kính 5cm và tiếp
xúc với đường thẳng a nằm trên đường nào ?
Lời giải:
Trang 15Vì đường tròn tâm I bán kính 5cm tiếp xúc với đường thẳng a nên khoảng cách từ I đến a là 5cm.
Vậy I nằm trên hai đường thẳng x và y song song với a, cách a một khoảng bằng 5cm
Câu 7: Cho điểm A cách đường thẳng xy là 12cm Vẽ đường tròn (A ; 13cm)
a) Chứng minh rằng đường tròn (A) có hai giao điểm với đường thẳng xy
b) Gọi hai giao điểm nói trên là B và C Tính độ dài BC
Trang 16Câu 8: Cho đường tròn (O) bán kính bằng 2cm Một đường thẳng đi qua điểm A nằm
bên ngoài đường tròn và cắt đường tròn tại B và C, trong đó AB = BC Kẻ đường kính COD Tính độ dài AD
Lời giải:
Xét tam giác ACD, ta có :
B là trung điểm của AC (gt)
O là trung điểm của CD (tâm – đường kính)
Do đó, OB là đường trung bình của tam giác ACD
Trang 17BAD^=ADE^=90o (theo đề bài)
BED^=90o (do BE vuông góc với CD tại E)
Do đó, ABED là hình chữ nhật
Trang 18I là trung điểm của BC
Mà CD, AB vuông góc với AD A^=D^=90o
⇒ IH // CD // AB
Do đó, H là trung điểm của AD
Hay IH là đường trung bình của hình thang ABCD
⇒IH=AB+CD2=4+92=6,5 (cm) (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra IB = IH = IC = BC2
Trang 19Vậy đường tròn (I; BC2) tiếp xúc với đường thẳng AD
Câu 10: Cho đường tròn (O), bán kính OA, dây CD là đường trung trực của OA.
a) Tứ giác OCAD là hình gì? Vì sao?
b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại C, tiếp tuyến này cắt đường thẳng OA tại I Tính
độ dài CI biết OA = R
Lời giải:
a)
Gọi H là giao điểm của OA và CD
Vì CD là đường trung trực của OA nên:
Trang 20Vì ACOD là hình thoi nên AC = OC
Mà OC = OA = R nên AC = OC = OA
Do đó, tam giác OAC đều
⇒OAC^=60o hay COI^=60o
Mà CI⊥OC (tính chất của tiếp tuyến)
Xét tam giác OCI vuông tại C
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:
CI=OC.tanCOI^=R.tan60o=R3
III Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho a, b là hai đường thẳng song song và cách nhau một khoảng 2,5cm Lấy
điểm I trên a và vẽ đường tròn (I; 2,5cm) Khi đó đường tròn với đường thẳng b
Câu 2: Cho a, b là hai đường thẳng song song và cách nhau một khoảng 3cm Lấy
điểm I trên a và vẽ đường tròn (I; 3,5cm) Khi đó đường tròn với đường thẳng b
Câu 3: Cho Đường tròn (I) là đường tròn tiếp xúc với cả hai cạnh Ox; Oy Khi đó điểm I chạy trên đường nào?
Câu 4: Cho đường tròn tâm O bán kính 3cm và một điểm A cách O là 5cm Kẻ tiếp
tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm) Tính độ dài AB
Câu 5: Cho đường tròn tâm O bán kính 6cm và một điểm A cách O là 10cm Kẻ tiếp
tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm) Tính độ dài AB
Câu 6: Cho hình vuông ABCD Trên đường chéo BD lấy điểm H sao cho BH = BA ,
qua H vẽ đường thẳng vuông góc với BD cắt AD tại O
Trang 21a) So sánh OA, OH và HD
b) Xác định vị trí tương đối của BD với (O; OA)
Câu 7: Cho đường tròn (O; 5) Từ M ngoài O vẽ hai tiếp tuyến MA, MB sao cho MA
⊥ MB tại M
a) Tính MA, MB
b) Gọi I là giao điểm của OM với (O) Kẻ tiếp tuyến với (O) tại I cắt OA, OB lần lượt
ở C và D Tính CD
Câu 8: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Vẽ các tia tiếp tuyến Ax, By với nửa
đường tròn Lấy điểm M di động trên tía Ax, điểm N di động trên tia Oy sao cho AM.BN
= R2 Chứng minh rằng
a) MN là tiếp tuyến của đường tròn (O)
b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định
Câu 9: Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với
đường tròn (B, C là các tiếp điểm) Trên AO lấy điểm M sao cho AM = AB Các tia
BM và CM lần lượt cắt đường tròn tại một điểm thứ hai là D và E Chứng minh rằng: a) M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OBC
b) DE là đường kính của đường tròn (O)
Câu 10: Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R; bán kính OC vuông góc với AB
Lấy điểm F thuộc đoạn OB Kẻ CF cắt đường tròn (O) tại D Vẽ tiếp tuyến tại D của (O) cắt AB tại E Chứng minh rằng EF = ED
Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:
Chuyên đề Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
Chuyên đề Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
Chuyên đề Vị trí tương đối của hai đường tròn
Trang 22Chuyên đề Ôn tập chương 2
Chuyên đề Phương trình bậc nhất hai ẩn