Chuyên đề liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây (2022)

Chuyên đề Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây Toán 9 A Lý thuyết 1 Định lý 1 Trong một đường tròn a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau Áp dụng vào hìn[.]

Chuyên đề Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây - Toán 9

A Lý thuyết

1 Định lý 1

Trong một đường tròn:

a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm

b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau

Áp dụng vào hình vẽ như sau:

Ta có OH ⊥ AB; OK ⊥ CD

AB = CD ⇔ OH = OK

2 Định lý 2

Trong hai dây của một đường tròn:

a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn

b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn

Áp dụng vào hình vẽ như sau:

Ta có: OA = OB = OC = OD = R

OH < OK ⇒ AB > CD

Do

3 Ví dụ cụ thể

Câu 1: Cho đường tròn tâm O có bán kính là 5cm, dây AB dài 8cm

a) Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB

b) Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI = 1cm Kẻ dây CD qua I vuông góc với AB

Chứng minh rằng CD = AB

Ta có OKIH là hình chữ nhật mà có OH = IH = 3cm ⇒ OKIH là hình vuông

Nhận xét: Khoảng cách từ O đến AB bằng khoảng cách từ O đến CD nên

Giải thích:

Trong đường tròn thì đường kính là dây lớn nhất của đường tròn đó

Vậy dây lớn nhất của đường tròn là 50

Chọn đáp án C

Câu 2: Cho đường tròn (O; R = 20) Cho dây cung MN có độ dài 36 Khoảng cách từ

tâm O đến dây cung là?

A 15

B √35

Câu 5: Cho đường tròn (O; 5cm) Dây AB và CD song song, có độ dài lần lượt là 8

cm và 6 cm Tính khoảng cách giữa hai dây

Qua O dựng đường thẳng vuông góc với AB và CD, cắt AB và CD lần lượt tại M và

N

Ta có:

Áp dụng định lí Py tago vào tam giác vuông OND và OMB ta có:

Khoảng cách hai dây AB và CD là: MN = OM + ON = 3 + 4 = 7 cm

Chọn đáp án C

Câu 6: Cho đường tròn (O) đường kính AB = 13 cm, dây CD có độ dài 12 cm vuông

góc với AB tại H ( H nằm giữa O và A) Tính HB

A 6cm

B 8cm

C.9cm

D 10 cm

Lời giải:

Do AB là đường kính nên bán kính đường tròn là:

Chọn đáp án B

Câu 7: Cho đường tròn tâm O bán kính 3 cm và hai dây AB và AC Biết AB = 5cm,

AC = 2cm Trong 2 dây AB và AC dây nào gần tâm hơn?

A AB

B AC

C Chưa thể kết luận được

D Hai dây cách đều tâm

Lời giải:

Ta có: AB > AC ( 5 cm > 3 cm) nên dây AB gần tâm hơn

Chọn đáp án A

Câu 8: Cho đường tròn tâm O, bán kính R = 6cm ngoại tiếp tam giác ABC vuông tại

A có AB = 6cm, AC = 8 cm Trong các dây AB , BC và AC thì dây nào gần tâm hơn?

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC ta có:

BC2 = AB2 + AC2 = 62 + 82 = 100 nên BC =10 cm

Ta có: AB < AC < BC ( 6 cm < 8 cm < 10 cm )

Do đó, dây BC gần tâm nhất, dây AB xa tâm nhất

Chọn đáp án B

Câu 9: Cho đường tròn tâm O, bán kính R = 10cm Tam giác ABC nội tiếp đường

tròn tâm O, biết góc A là góc tù Hỏi trong các dây AB, BC và AC thì dây nào gần tâm nhất?

Lời giải:

Tam giác ABC có góc A là góc tù nên

Mà cạnh đối diện với góc A là cạnh BC

Áp dụng định lí: trong 1 tam giác cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn ta được:

BC > AC và BC > AB

Vậy tam giác ABC có độ dài cạnh BC là lớn nhất nên dây BC gần tâm nhất

Chưa thể kết luận dây nào xa tâm nhất

C Dây BC gần tâm hơn dây AC

D Dây AB gần tâm hơn dây BC

Lời giải:

Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC

Suy ra: hai dây AB và AC cách đều tâm

Ta chưa thể so sánh độ dài AB và BC; AC và BC nên ta chưa thể kết luận dây nào gần tâm hơn, dây nào xa tâm hơn hay các dây cách đều tâm

Chọn đáp án A

II Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Cho đường tròn tâm O có bán kính là 5cm, dây AB dài 8cm

a) Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB

b) Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI = 1cm Kẻ dây CD qua I vuông góc với AB Chứng minh rằng CD = AB

Ta có OKIH là hình chữ nhật mà có OH = IH = 3cm ⇒ OKIH là hình vuông

Nhận xét: Khoảng cách từ O đến AB bằng khoảng cách từ O đến CD nên

a) Gọi E là hình chiếu của O lên AB

Khoảng cách từ O đến AB chính là độ dài đoạn OE

Ta có:

b) Gọi F là hình chiếu của O lên CD

Khi đó khoảng cách của O đến CD chính là OF

Tứ giác OFIE có ba góc vuông nên là hình chữ nhật

Do đó: OF = EI = AE - AI = 4 - 1 = 3

Suy ra OE = OF theo định lí 1 nên AB = CD

Câu 3: Cho đường tròn (O; R) Lấy các điểm A và B trên đường tròn Trên bán kính

OA, OB lấy các điểm M, N sao cho OM = ON Vẽ dây CD đi qua MN; M giữa C và

N

a) Chứng minh: CM = DN

b) Giả sử Tính OM theo R sao cho CM = MN = ND

Lời giải:

a) Xét hai tam giác COM và DON có:

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên MN

Câu 4: Cho hình vẽ sau, trong đó MN=PQ Chứng minh rằng:

Suy ra ΔAOE = ΔAOF ( cạnh huyền-cạnh góc vuông)

Suy ra AE=AF( 2 cạnh tương ứng)(1)

Vì OE⊥MN nên ME=NE (tính chất đường kính và dây cung)

Vì OF⊥PQ nên PF=QF (tính chất đường kính và dây cung)

Mà MN=PQ

Suy ra ME=NE=PF=QF.(2)

Từ (1) và (2) suy ra AN=AQ

Câu 5: Cho đường tròn(O), dây AB và dây CD, AB < CD Giao điểm K của các đường

thẳng AB, CD nằm ngoài đường tròn Đường tròn (O;OK) cắt KA và KC tại M và N Chứng minh KM < KN

Lời giải:

Kẻ OI ⊥AB, OE ⊥ CD

Xét đường tròn (O;OA) có: AB và CD là dây cung, AB < CD Suy ra OI > OE

Xét đường tròn (O;OK) có KN và KM là dây cung và OI > OE Suy ra KM < KN

Câu 6: Cho đường tròn (O), hai dây AB, CD bằng nhau và cắt nhau tại điểm I nằm bên

trong đường tròn Chứng minh rằng:

a, IO là tia phân giác của một trong hai góc tạo bởi hai dây AB và CD

b, Điểm I chia AB, CD thành các đoạn thẳng bằng nhau đôi một

Lời giải:

a, Kẻ OH ⊥ AB; OK ⊥ CD

Vì CD=AB nên OK=OH

Xét tam giác vuông IKO và tam giac vuông IOH ta có:

OK=OH

IO: chung

Suy ra Δ IKO = ΔIOH ( cạnh huyền-cạnh góc vuông)

=> ∠KIO = ∠OIH ( 2 góc tương ứng)

Suy ra OI là tia phân giác của góc BID

b, Theo câu a, Δ IKO = ΔIOH ( cạnh huyền-cạnh góc vuông)

Suy ra AI=CI

Vì CD=AB, mà AI=CI(chứng minh trên) nên ta suy ra ID=IB

Câu 7: Cho đường tròn (O), các bán kính OA và OB Trên cung nhỏ AB lấy các điểm

M và N sao cho AM=BN Gọi C là giao điểm của các đường thẳng AM và BN Chứng minh rằng:

a, OC là tia phân giác của góc AOB

b, OC vuông góc AB

Lời giải:

Xét đường tròn tâm (O) có AM=BN

Từ đó ta suy ra OE=OD (tính chất quan hệ giữa đường kính và dây cung)

Xét tam giác vuông AOD và tam giác vuông BOE có:

OA=OB(cùng bằng bán kính)

OE=OD(chứng minh trên)

=> ΔAOD = ΔBOE (cạnh huyền-cạnh góc vuông)

=> ∠O1 = ∠O4 (2 góc tương ứng)(1)

Tương tự ta có: ∠O2 = ∠O3 (2)

Ta có: ∠AOC = ∠O1 + ∠O2

∠BOC = ∠O3 + ∠O4

Từ (1) và (2) ta suy ra ∠AOC= ∠BOC

Suy ra OC là tia phân giác của góc AOB

Xét tam giác OBF và tam giác OAF có:

∠AOC = ∠BOC (chứng minh trên)

Suy ra ΔAOE = ΔAOF ( cạnh huyền-cạnh góc vuông)

Suy ra AE=AF( 2 cạnh tương ứng)(1)

Vì OE⊥MN nên ME=NE (tính chất đường kính và dây cung)

Vì OF⊥PQ nên PF=QF (tính chất đường kính và dây cung)

Mà MN=PQ

Suy ra ME=NE=PF=QF.(2)

Từ (1) và (2) suy ra AN=AQ

Câu 9: Cho đường tròn(O), dây AB và dây CD, AB < CD Giao điểm K của các đường

thẳng AB, CD nằm ngoài đường tròn Đường tròn (O;OK) cắt KA và KC tại M và N Chứng minh KM < KN

Lời giải:

Kẻ OI ⊥AB, OE ⊥ CD

Xét đường tròn (O;OA) có: AB và CD là dây cung, AB < CD Suy ra OI > OE

Xét đường tròn (O;OK) có KN và KM là dây cung và OI > OE Suy ra KM < KN

Câu 10: Cho đường tròn (O), hai dây AB, CD bằng nhau và cắt nhau tại điểm I nằm

bên trong đường tròn Chứng minh rằng:

a, IO là tia phân giác của một trong hai góc tạo bởi hai dây AB và CD

b, Điểm I chia AB, CD thành các đoạn thẳng bằng nhau đôi một

Lời giải:

a, Kẻ OH ⊥ AB; OK ⊥ CD

Vì CD=AB nên OK=OH

Xét tam giác vuông IKO và tam giac vuông IOH ta có:

OK=OH

IO: chung

Suy ra Δ IKO = ΔIOH ( cạnh huyền-cạnh góc vuông)

=> ∠KIO = ∠OIH ( 2 góc tương ứng)

Suy ra OI là tia phân giác của góc BID

b, Theo câu a, Δ IKO = ΔIOH ( cạnh huyền-cạnh góc vuông)

Câu 2: Cho đường tròn (O; R) Lấy các điểm A và B trên đường tròn Trên bán kính

OA, OB lấy các điểm M, N sao cho OM = ON Vẽ dây CD đi qua MN; M giữa C và

N

a) Chứng minh: CM = DN

b) Giả sử Tính OM theo R sao cho CM = MN = ND

Câu 3: Cho đường tròn (O), các bán kính OA và OB Trên cung nhỏ AB lấy các điểm

M và N sao cho AM=BN Gọi C là giao điểm của các đường thẳng AM và BN Chứng minh rằng:

a, OC là tia phân giác của góc AOB

b, OC vuông góc AB

Câu 4: Cho đường tròn (O), các bán kính OA và OB Trên cung nhỏ AB lấy các điểm

M và N sao cho AM=BN Gọi C là giao điểm của các đường thẳng AM và BN Chứng minh rằng:

a, OC là tia phân giác của góc AOB

b, OC vuông góc AB

Câu 5: Cho đường tròn (O), các bán kính OA và OB Trên cung nhỏ AB lấy các điểm

M và N sao cho AM=BN Gọi C là giao điểm của các đường thẳng AM và BN Chứng minh rằng:

a, OC là tia phân giác của góc AOB

b, OC vuông góc AB

Câu 6: Cho hình bên, trong đó có hai dây CD, EF bằng nhau và vuông góc với nhau

tại I, IC = 2cm, ID = 14cm Tính khoảng cách từ O đến mỗi dây

Câu 7: Cho hình bên, trong đó MN = PQ Chứng minh rằng:

a) AE = AF

b) AN = AQ

Câu 8: Cho đường tròn tâm O bán kính 25cm Hai dây AB, CD song song với nhau và

có độ dài theo thứ tự bằng 40cm, 48cm Tính khoảng cách giữa hai dây ấy

Câu 9: Cho đường tròn (O), các bán kính OA, OB Trên cung nhỏ AB lấy các điểm M

và N sao cho AM = BN Gọi C là giao điểm của các đường thẳng AM và BN Chứng minh rằng:

a) OC là tia phân giác của góc AOB

b) OC vuông góc với AB

Câu 10: Cho đường tròn (O) và điểm I nằm bên trong đường tròn Chứng minh rằng

dây AB vuông góc với IO tại I ngắn hơn mọi dây khác đi qua I

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Chuyên đề Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

Chuyên đề Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Chuyên đề Vị trí tương đối của hai đường tròn

Chuyên đề Ôn tập chương 2