1 Phần 1 MỞ ĐẦU 1 1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong các kỳ thi THPT Quốc gia của những năm trước đây và bây giờ là kì thi tốt nghiệp THPT, một trong những dạng toán gây không ít khó khăn cho thí sinh là các b[.]
Trang 1Phần 1 MỞ ĐẦU.
1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Trong các kỳ thi THPT Quốc gia của những năm trước đây và bây giờ là kì thi tốt nghiệp THPT, một trong những dạng toán gây không ít khó khăn cho thí sinh là các bài toán tìm nguyên hàm hoặc tích phân liên quan đến hàm ẩn
Với các bài toán trắc nghiệm tìm nguyên hàm, tính tích phân đơn thuần, học sinh có thể sử dụng máy tính cầm tay để tìm nhanh ra kết quả mà không cần biết bản chất vấn đề Như vậy việc đánh giá sự hiểu biết của người học về nội dung này sẽ không toàn diện Việc xuất hiện khái niệm “hàm ẩn” trong bài toán tìm nguyên hàm hay tính tích phân giúp việc kiểm tra kiến thức người học bằng toán trắc nghiệm sẽ chính xác hơn Tuy nhiên dạng toán này đã gây không ít khó khăn cho các bạn đồng nghiệp và các em học sinh khi tiếp cận, bởi trong sách giáo khoa giải tích 12 không đề cập và tài liệu viết về dạng toán này dành cho học sinh THPT còn hạn chế Bản chất của bài toán này là gì? Liệu nó có quá xa vời với các kiến thức được trình bày trong sách giáo khoa giải tích 12 hay không? Và trong
kì thi tốt nghiệp THPT của những năm gần đây, có những dạng toán nào liên quan?
Xuất phát từ những câu hỏi như vậy, tôi đã mạnh dạn tìm hiểu và viết lên sáng kiến kinh nghiệm “Một số dạng nguyên hàm – tích phân hàm ẩn”
1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.
Tìm ra hướng tiếp cận đơn giản và hiệu quả đến dạng toán “mới lạ” này
Rèn luyện kỹ năng thực hành, hoạt động nhóm cho học sinh
Rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học cho bản thân, qua đó tăng khả năng
xử lí tình huống trong giảng dạy cũng như trong đời sống hằng ngày
1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.
Quá trình dạy học chương III – Giải tích 12 tại trường THPT Bá Thước
Các phương pháp và kỹ thuật dạy học theo hướng phát triển năng lực, kỹ năng thực hành và vận dụng kiến thức trong học tập và liên hệ thực tiễn của bộ môn Toán
Trang 2Là giáo viên dạy Toán tại trường THPT Bá Thước, học sinh trường THPT Bá Thước
Đối tượng sử dụng đề tài: Học sinh THPT và giáo viên dạy môn Toán THPT
1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.
Các tài liệu về lí luận dạy học, phương pháp và kĩ thuật dạy học theo hướng phát triển năng lực bộ môn Toán
Nghiên cứu thực trạng dạy và học môn Toán ở trường THPT Bá Thước
Liệt kê một số dạng toán về nguyên hàm – tích phân liên quan đến hàm ẩn
Nhiệm vụ nghiên cứu:
Nghiên cứu cơ sở lí luận của việc đổi mới chương trình giáo dục môn Toán
Nghiên cứu chương trình chuẩn kiến thức, kĩ năng, mục tiêu chương trình môn Toán THPT để xây dựng hệ thống “Bài toán nguyên hàm, tích phân hàm ẩn” phát huy tính tích cực, chủ động tư duy, kĩ năng thực hành cho học sinh nhằm tăng hứng thú, say mê học tập bộ môn
Nghiên cứu quá trình dạy học môn Toán tại trường THPT Bá Thước
Phần 2 NỘI DUNG 2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI.
Kiến thức cơ bản về nguyên hàm, tích phân
2.1.1 Kiến thức cơ bản về nguyên hàm
2.1.1.1 Định nghĩa:
Cho hàm số xác định trên Hàm số được gọi là nguyên hàm
của trên nếu với mọi thuộc
2.1.1.2 Định lý: Giả sử hàm số là một nguyên hàm của hàm số trên
Khi đó:
Với mỗi hằng số C, hàm số cũng là một nguyên hàm của trên
Trang 3 Nếu là một nguyên hàm của hàm số trên thì mọi nguyên hàm của trên đều có dạng , với là một hằng số
Kí hiệu: với C là hằng số bất kì là họ tất cả các nguyên hàm của hàm số trên
2.1.1.3 Các tính chất
Tính chất 2: , là hằng số khác
2.1.1.4 Sự tồn tại nguyên hàm: Mọi hàm số liên tục trên đều có nguyên hàm trên
2.1.1.5 Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
Trang 4
2.1.2 Kiến thức cơ bản về tích phân.
2.1.2.1 Định nghĩa
Cho hàm số liên tục trên và , là hai số thực bất kì thuộc Nếu là một nguyên hàm của trên thì hiệu số gọi là tích phân của từ đến , ký hiệu Nếu thì gọi
là tích phân của trên đoạn Hiệu số còn được ký hiệu là Do đó nếu là một
Vì là một nguyên hàm bất kỳ của nên ta có
Ta gọi là cận dưới, là cận trên, là biến lấy tích phân, là hàm số dưới dấu tích phân, là biểu thức dưới dấu tích phân
Chú ý:
Tích phân chỉ phụ thuộc vào cận tích phân và biểu thức dưới dấu tích phân, không phụ thuộc vào biến lấy tích phân, tức là:
Trang 5Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số liên tục và không âm trên đoạn thì tích phân là diện tích của hình thang cong giới hạn bởi
đồ thị của hàm số , trục và hai đường thẳng , Vậy
2.1.2.2 Tính chất
Với hai hàm số liên tục trên và là 3số thực bất kỳ thuộc , ta có:
;
;
;
;
Dùng định nghĩa tích phân, ta chứng minh được 2 tính chất sau:
Nếu trên thì Nếu trên thì
Với hàm số liên tục và số thực dương , ta có hai tính chất sau đây:
Nếu là hàm số lẻ trên đoạn thì
Nếu là hàm số chẵn trên đoạn thì
2.1.2.3 Một số bài toán thường gặp về hàm ẩn và cách giải nhanh.
Trang 6+
(trong đó là một nguyên hàm của )
2.2 THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI.
Với lượng kiến thức trên, việc tiếp thu và ghi nhớ chắc sẽ không quá khó với học sinh Nhưng vấn đề đặt ra là vận dụng kiến thức đó như thế nào trong việc giải toán? Đặc biệt là các bài toán liên quan đến hàm ẩn thì không phải lúc nào cũng dễ dàng
2.3 CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN.
2.3.1 Giải pháp
Từ các vấn đề đã nêu ở trên, chúng ta thấy việc tìm nguyên hàm hoặc tính một tích phân thuần túy đã không còn là dạng toán phổ biến trong các kì thi trắc nghiệm, bởi các thí sinh có thể đi tắt đến đáp án bằng việc sử dụng máy tính điện
tử bỏ túi Ngược lại bài toán nguyên hàm, tích phân hàm ẩn thì máy tính bỏ túi chỉ đơn thuần là công cụ hỗ trợ, khi đó nếu học sinh không hiểu bản chất thì việc vượt qua dạng toán này là vô cùng khó khăn
Để giúp bạn đọc có cái nhìn tổng quát về một số dạng toán tìm nguyên hàm hay tính tích phân hàm ẩn, sau đây tôi xin được nêu ra một vài dạng để chúng ta cùng tìm hiểu và xây dựng
2.3.2 Phân loại các dạng toán.
2.3.2.1 Dùng định nghĩa, tính chất của tích phân
Tính tích phân
Lời giải
Trang 7Xét
Ví dụ 2 Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn và thỏa mãn
Lời giải
Ta có:
Ví dụ 3 Cho hàm số xác định trên thỏa mãn ,
, Tính
Lời giải
Ví dụ 4 Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên , thỏa mãn
Biết rằng Tính ?
Lời giải
Ta có Suy ra Do đó
Trang 8Ví dụ 5 (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hàm số thoả mãn
và với mọi Tính giá trị
Lời giải
Ta có
Theo giả thiết:
2.3.2.2 Dùng phương pháp đổi biến số
Ví dụ 1 (Đề tham khảo lần 2 - BGD&ĐT năm 2017) Cho hàm số liên tục trên và thoả mãn ,
Tính
Lời giải
Đặt Khi đó
Trang 9Ví dụ 2 Cho hàm số , liên tục trên đoạn và thỏa mãn
với Tính tích phân
Nhận xét: Từ giả thiết ta có , biểu thức vế trái có dạng
Từ đó ta có lời giải.
Lời giải
Ta có
, do Nên ta có
Khi đó
Ví dụ 3 Cho hàm số liên tục, không âm trên và thỏa mãn
với và Tính tích phân
Nhận xét: Từ giả thiết ta có , biểu thức vế trái có dạng
Lời giải
Ta có
Do nên ta có
(vì không âm trên )
Trang 10Khi đó
Ví dụ 4 Cho hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn
Tính tích phân
Lời giải
Từ giả thiết ta có
Ví dụ 5 Cho hàm số đồng biến, có đạo hàm cấp hai trên đoạn và
, Tính tích
Nhận xét: Từ giả thiết ta có , biểu thức vế trái có dạng
Từ đó ta có lời giải.
Lời giải
Do đồng biến trên đoạn nên thì
Ta có
Trang 11Mà nên ta có
Do
2.3.2.3 Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần.
Ví dụ 1 (Đề tham khảo lần 2 - BGD&ĐT năm 2017) Cho hàm số thỏa
Lời giải
Tính
Lời giải
Đặt
Trang 12
Lời giải
Đặt
Do đó
Xét
Đổi cận:
0
Vậy:
Tính tích phân
Lời giải
Ta có Đặt
Trang 13Ví dụ 5 Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn
, , Tính
Lời giải
Đặt
Khi đó
.
Ta có
Vì nên Vậy
2.3.2.4 Bài tập áp dụng.
Câu 1 (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Cho là một nguyên hàm
của hàm số Tìm nguyên hàm của hàm số
Trang 14A B .
Câu 2 (Mã đề 103 BGD&ĐT năm 2018) Cho hàm số thỏa mãn
và với mọi Giá trị của bằng
A B C D
Câu 3 (Đề minh họa BGD&ĐT năm 2020) Cho hàm số liên tục trên Biết là một nguyên hàm của hàm số , họ tất cả các nguyên hàm của hàm số là
A. B.
C D.
Câu 4. Cho hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn thỏa mãn và Tích phân
bằng
A B. C. D.
Câu 5 Cho hàm số có đạo hàm và liên tục trên thỏa mãn và Tính bằng
A B C D
ĐÁP ÁN: 1A; 2B; 3C; 4A; 5B 2.4 HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
Qua hai năm học 2019 - 2020; 2020 - 2021, giáo viên bộ môn Toán tại trường THPT Bá Thước sau khi tiếp cận với sáng kiến đã không còn thấy khó khăn trong việc giảng dạy cho học sinh ở dạng toán này.Về phía học sinh, thời gian đầu khi mới tiếp cận cũng rất mơ hồ về dạng toán, tuy nhiên cùng với sự nổ lực của bản thân và sự hướng dẫn nhiệt tình của các thầy cô giáo trong tổ bộ môn, kết quả thu được rất tích cực, cụ thể như sau:
* Năm học: 2019 - 2020:
Lớp chưa được triển khai dạy chi tiết dạng toán
Lớp Sĩ số Giỏi (%) Khá (%) Trung bình ( %) Yếu (%) 12A2 36 1 2.8 10 27.8 25 69.4 0.0 00 12A6 37 1 2.7 10 27.0 25 67.6 01 2.7
Lớp được triển khai dạy chi tiết dạng toán
Trang 1512A1 41 5 12.2 25 61 11 26.8 0.0 0.0 12A8 37 4 10.8 17 45.9 16 54.1 0.0 0.0
* Năm học: 2020 - 2021:
Lớp chưa được triển khai dạy chi tiết dạng toán
Lớp Sĩ số Giỏi (%) Khá (%) Trung bình ( %) Yếu (%) 12A3 41 00 0.0 9 21.9 26 63.4 6 14.6 12A5 38 00 0.0 8 21.1 21 55.3 9 23.7
Lớp được triển khai dạy chi tiết dạng toán
Lớp Sĩ số Giỏi (%) Khá (%) Trung bình ( %) Yếu (%) 12A1 38 05 13.2 16 42.1 17 44.7 0 0 12A9 30 08 26.7 10 33.3 12 40 01 3.3
Phần 3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1 Kết luận.
Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng của nó là một nội dung kiến thức vô cùng quan trọng, chiếm một tỉ trọng lớn trong chương trình toán THPT Việc viết sáng kiến kinh nghiệm này góp phần không nhỏ trong việc làm vững chắc thêm nền tảng kiến thức trong giảng dạy của giáo viên và học tập của học sinh, từ đó làm tăng kĩ năng giải toán và thực hành toán học
Tuy nhiên do khuôn khổ bài viết còn nhỏ nên chưa thể bao quát hết tất cả các dạng toán Vì vậy tôi rất mong được sự đóng góp chân thành từ các thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp và các đọc giả khác Và sau khi nhận được những ý kiến đóng góp, tôi sẽ tiếp tục hoàn thiện và phát triển mở rộng đề tài hơn
3.2 Kiến nghị.
3.2.1 Đối với nhà trường.
Nhà trường trang bị thêm các tài liệu về giảng dạy và học tập toán
Trang bị thêm thiết bị dạy học
Tổ chức các buổi trao đổi, thảo luận về phương pháp dạy học
3.2.2 Đối với Sở Giáo dục và đào tạo Thanh Hóa
Cấp thêm thiết bị cho các trường
Tổ chức các chuyên đề, hội thảo để giáo viên có điều kiện trao đổi và học tập chuyên môn - nghiệp vụ
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép của người khác
NGƯỜI VIẾT Nguyễn Bá Hiệp
Trang 16
Phần 4 TÀI LIỆU THAM KHẢO
Sách giáo khoa giải tích 12 cơ bản - Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên)
Các đề thi THPT Quốc gia môn Toán các năm học 2017, 2018, 2019; 2020
đề minh họa thi TN THPT môn Toán năm 2021
.Facebook: STRONG TEAM TOÁN VDVDC Admin: Nguyễn Văn Quý -THPT Chuyên Bắc Ninh, tỉnh Bắc Ninh
Facebook: TOÁN THPT THANH HÓA Admin: Trần Đức Nội - THPT Đông Sơn 1, tỉnh Thanh Hóa
Facebook: Tổ 4 - Strong Team Admin: Nguyễn Việt Hải - THPT Chuyên Quang Trung, tỉnh Bình Phước
Nguồn Internet khác