tìm hiểu về đại số đa tuyên tính luan văn khoa học toán

Với những lý do trên, tác giả nhận thấy việc tìm hiểu một số nội dungcủa đại số đa tuyến tính theo quan điểm đại số hiện đại là cần thiết.Luận văn trình bày những kiến thức cơ bản, trong

Mục lục

1.1 Tích tensor của các module 5

1.2 Các tính chất cơ bản của tích tensor 12

1.3 Một số đẳng cấu hàm tử 17

1.4 Tích tensor và dãy khớp 22

1.5 Mở rộng vô hướng 24

1.6 Tích tensor của các đại số 26

2 Đại số tensor 28 2.1 Đại số tensor của một module 28

2.2 Các tính chất hàm tử của đại số tensor 30

2.3 Mở rộng vô hướng 35

2.4 Đại số tensor của tổng trực tiếp và của module tự do 36

3 Đại số đối xứng 38 3.1 Đại số đối xứng của một module 38

3.2 Các tính chất hàm tử của đại số đối xứng 40

3.3 Mở rộng vô hướng 42

3.4 Đại số đối xứng của tổng trực tiếp và của module tự do 43 4 Đại số ngoài 47 4.1 Đại số ngoài của một module, tích ngoài 47

4.2 Các tính chất hàm tử của đại số ngoài 49

4.3 Mở rộng vô hướng 52

4.4 Đại số ngoài của tổng trực tiếp và của module tự do 53

4.5 Tiêu chuẩn độc lập tuyến tính 57

1

MỤC LỤC 2

5.1 Định thức của một tự đồng cấu 615.2 Đa tạp Grassmann 645.3 Phức Koszul 67

Lời nói đầu

Một mở rộng trực tiếp của khái niệm ánh xạ tuyến tính là khái niệmánh xạ đa tuyến tính, nghĩa là một ánh xạ nhiều biến và tuyến tínhmột cách độc lập theo từng biến Như tên gọi của nó, đại số đa tuyếntính nghiên cứu các ánh xạ đa tuyến tính và các đối tượng liên quan.Được phát triển bởi các nhà toán học Grassmann, Ricci–Curbastro, Levi-Civita , đại số đa tuyến tính đã được tổng quát và hệ thống hóa nhưngày nay, với các tư tưởng của lý thuyết phạm trù, bởi nhóm Bourbaki.Cũng như đại số tuyến tính, đại số đa tuyến tính có rất nhiều ứngdụng khác nhau Khái niệm dạng vi phân trong giải tích nhiều biến làmột trong những ứng dụng hay gặp nhất của nó Tuy nhiên, đại số đatuyến tính lại ít được giảng dạy trong các chương trình đào tạo đại học

và sau đại học Các tài liệu trình bày đầy đủ về đại số đa tuyến tínhcũng không nhiều, với [2] là cuốn sách chuyên khảo đầu tiên bằng tiếngViệt (theo hiểu biết của tác giả)

Với những lý do trên, tác giả nhận thấy việc tìm hiểu một số nội dungcủa đại số đa tuyến tính theo quan điểm đại số hiện đại là cần thiết.Luận văn trình bày những kiến thức cơ bản, trong đó nhấn mạnh tínhphổ dụng, các đẳng cấu hàm tử, tính đối ngẫu trong đại số đa tuyếntính Cụ thể, luận văn gồm có 5 chương:

Chương 1 Tích tensor, trình bày những vấn đề chung nhất về tíchtensor, một số đẳng cấu hàm tử của tích tensor, tích tensor và dãy khớp,

mở rộng vô hướng và tích tensor của các đại số Chương này cũng làchương chuẩn bị cho các chương tiếp theo

Chương 2 Đại số tensor, bao gồm các vấn đề: đại số tensor củamột module, các tính chất hàm tử của đại số tensor, mở rộng vô hướng,đại số tensor của tổng trực tiếp và của module tự do Một kết quả đángchú ý của chương đó là đại số tensor của một module tự do hạng n thìđẳng cấu với đại số kết hợp tự do của n biến

Chương 3 Đại số đối xứng, có cấu trúc tương tự chương 2 Kết

3

MỤC LỤC 4

quả tương ứng với kết quả nói trên là đại số đối xứng của một module

tự do hạng n thì đẳng cấu với đại số đa thức của n biến Đây là mộtứng dụng hay gặp của đại số đối xứng, chẳng hạn khi người ta muốn sửdụng một vành đa thức nào đó mà không quan tâm tới các biến cụ thể.Chương 4 Đại số ngoài, bên cạnh các nội dung như đại số ngoàicủa một module, tích ngoài, tính đối ngẫu còn có tiêu chuẩn độc lậptuyến tính thông qua tích ngoài Các tiêu chuẩn này sẽ được áp dụng ởchương tiếp theo Đại số ngoài và tích ngoài có rất nhiều ứng dụng khácnhau trong toán học

Chương 5 Một số ứng dụng của đại số ngoài, trình bày một

số ứng dụng đơn giản của đại số ngoài: định thức của một tự đồng cấu(đại số tuyến tính), đa tạp Grassmann (hình học đại số), phức Koszul(đại số giao hoán) Vì nhiều lý do, luận văn không trình bày một ứngdụng nổi bật của đại số ngoài và tích ngoài là dạng vi phân trên đa tạp.Bạn đọc nào quan tâm có thể tham khảo trong các cuốn sách về hìnhhọc vi phân

Trong suốt quá trình làm luận văn, tác giả luôn nhận được sự hướngdẫn tận tình của T.S Nguyễn Quang Lộc Từ sâu đáy lòng, tác giả xingửi tới thầy lời cảm ơn chân thành nhất!

Gia đình đã luôn ở bên động viên và tạo điều kiện cho tác giả tậptrung làm luận văn Tác giả xin gửi tới gia đình mình lời cảm ơn sâu sắcnhất!

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới bạn bè, đồng nghiệp đã luôn ởbên cổ vũ; Phòng sau đại học, Giáo vụ khoa đã tạo điều kiện thuận lợicho tác giả hoàn thành luận văn

Do trình độ còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếusót Tác giả rất mong nhận được sự thông cảm và những đóng góp chânthành của quý bạn đọc

Tác giả

Ngô Thị Phương

Chương 1

Tích tensor

1.1 Tích tensor của các module

Ta luôn giả sử A là một vành giao hoán có đơn vị

Cho E và F là các A-module Nhắc lại rằng ánh xạ g : E → F đượcgọi là một ánh xạ tuyến tính hay một A-đồng cấu nếu

g(x + y) = g(x) + g(y),g(ax) = ag(x),

với mọi x, y ∈ E và với mọi a ∈ A

Định nghĩa 1.1 Cho E1, E2, , En và F là các A-module Ánh xạ

f : E1 × E2 × × En → Fđược gọi là một ánh xạ đa tuyến tính (n-tuyến tính) nếu nó tuyến tínhđối với từng biến, tức là nếu cố định n − 1 biến bất kỳ thì được một ánh

xạ tuyến tính theo biến còn lại

Ta ký hiệu bởi Ln(E1, , En; F ) tập các ánh xạ n-tuyến tính từ

E1 × × En vào F Khi n = 1, tập các ánh xạ tuyến tính từ E vào Fđược ký hiệu bởi L(E, F ) Khi n = 2, một ánh xạ 2-tuyến tính cũng cònđược gọi là một ánh xạ song tuyến tính

Dễ thấy Ln(E1, , En; F ) là một A-module với phép cộng và phépnhân ngoài được xác định như sau: với f, g ∈ Ln(E1, , En; F ), a ∈ A

và với mọi (x1, , xn) ∈ E1 × En, ta đặt

(f + g)(x1, , xn) = f (x1, , xn) + g(x1, , xn),

(af )(x1, , xn) = af (x1, , xn)

5

1.1 Tích tensor của các module 6

Định nghĩa 1.2 Cho E1, E2, , En là các A-module Tích tensor củachúng là một cặp (T, θ), trong đó T là một A-module và θ : E1×E2× .×

En → T là một ánh xạ đa tuyến tính thỏa mãn tính chất phổ dụng: vớimỗi A-module T0 và một ánh xạ đa tuyến tính f : E1×E2× .×En → T0,tồn tại duy nhất một đồng cấu A-module g : T → T0 sao cho gθ = f , tức

là biểu đồ sau giao hoán:

Q Q Q Q f

Nhận xét rằng A-module T nếu tồn tại thì là duy nhất, sai khác mộtđẳng cấu Thật vậy, giả sử có một A-module T0 cùng với một ánh xạ đatuyến tính θ0 có tính chất như cặp (T, θ) Khi đó tồn tại các đồng cấu

j : T → T0 và k : T0 → T để θ0 = jθ và θ = kθ0 Từ đó rút ra θ = (kj)θ.Mặt khác θ = IdT θ Do tính duy nhất của g trong định nghĩa của cặp(T, θ), ta nhận được kj = IdT Tương tự ta cũng có jk = IdT 0 Vậy T và

T0 là đẳng cấu

Bây giờ ta sẽ chỉ ra sự tồn tại của tích tensor

Gọi C là A-module tự do sinh bởi tập S = E1 × × En Như vậy,các phần tử của C là các tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các phần tử(x1, , xn) ∈ E1× × En với hệ số thuộc A Gọi D là module con của

C sinh bởi tất cả các phần tử có dạng

(x1, , xi + x0i, , xn) − (x1, , xi, , xn) − (x1, , x0i, , xn)(x1, , axi, , xn) − a(x1, , xi, , xn),

với i = 1, , n; a ∈ A

Gọi u : S → C là ánh xạ nhúng và p : C → C/D là phép chiếu chínhtắc Đặt θ = pu : S → C/D Ta chứng minh cặp (C/D, θ) thỏa mãn cácđiều kiện trong định nghĩa tích tensor

Bởi cách xây dựng, dễ thấy θ là một ánh xạ đa tuyến tính Cho

f : S → T0 là một ánh xạ đa tuyến tính Vì C là module tự do sinh bởitập S nên có một đồng cấu A-module f∗ : C → T0 là mở rộng của f Do

1.1 Tích tensor của các module 7

f là một ánh xạ đa tuyến tính nên với mọi xi, x0i ∈ Ei, i = 1, , n, tacó:

x1⊗· · ·⊗(xi+x0i)⊗· · ·⊗xn = x1⊗· · ·⊗xi⊗· · ·⊗xn+x1⊗· · ·⊗x0i⊗· · ·⊗xn

x1 ⊗ · · · ⊗ axi⊗ · · · ⊗ xn = a(x1 ⊗ · · · ⊗ xn)

Mỗi phần tử của tích tensor E1 ⊗ · · · ⊗ En có thể được viết như là mộttổng của các hạng tử x1 ⊗ · · · ⊗ xn với xi ∈ Ei, vì các phần tử như thếsinh ra module E1⊗ · · · ⊗ En trên A, và a(x1⊗ · · · ⊗ xn) = ax1⊗ · · · ⊗ xnvới a ∈ A Chú ý rằng biểu diễn tổng này nói chung không phải là duy

1.1 Tích tensor của các module 8

nhất Để xây dựng một đồng cấu từ tích tensor vào một module chotrước, ta phải sử dụng tính chất phổ dụng của tích tensor

Ví dụ Zm⊗ZZn = {0} nếu (m, n) = 1 Thật vậy, vì (m, n) = 1 nên tồntại a, b ∈ Z sao cho am + bn = 1 Khi đó với mọi x ∈ Zm, y ∈ Zn, ta có:

E1 ⊗ (E2 ⊗ E3) → (Eθ 1 ⊗ E2) ⊗ E3 → Eη 1 ⊗ E2 ⊗ E3

sao cho

x ⊗ (y ⊗ z) 7→ (x ⊗ y) ⊗ z 7→ x ⊗ y ⊗ zvới x ∈ E1, y ∈ E2, z ∈ E3

Chứng minh Sự duy nhất của θ: vì các phần tử dạng (x ⊗ y) ⊗ z sinh

ra tích tensor (E1 ⊗ E2) ⊗ E3 nên tính duy nhất của đồng cấu θ trên làhiển nhiên

Sự tồn tại của θ: lấy x ∈ E1 Ánh xạ

λx : E2 × E3 → (E1 ⊗ E2) ⊗ E3

(y, z) 7→ (x ⊗ y) ⊗ z

là song tuyến tính và do đó có đồng cấu cảm sinh

λx : E2 ⊗ E3 → (E1 ⊗ E2) ⊗ E3.Tiếp theo, ánh xạ

1.1 Tích tensor của các module 9

Mệnh đề 1.4 Cho E và F là các A-module Khi đó tồn tại duy nhấtđẳng cấu

E ⊗ F → F ⊗ Esao cho x ⊗ y 7→ y ⊗ x với x ∈ E, y ∈ F

Chứng minh Ánh xạ

E × F → F ⊗ E(x, y) 7→ y ⊗ x

là song tuyến tính, do đó cảm sinh đồng cấu

Mệnh đề 1.5 Cho E1, , En, En+1 là các A-module Khi đó tồn tạiduy nhất đẳng cấu

(E1 ⊗ · · · ⊗ En) ⊗ En+1 → E1 ⊗ · · · ⊗ En ⊗ En+1sao cho

(x1 ⊗ · · · ⊗ xn) ⊗ xn+1 7→ x1 ⊗ · · · ⊗ xn ⊗ xn+1với xi ∈ Ei; i = 1, , n + 1

1.1 Tích tensor của các module 10

Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp theo n Khẳng định là đúngvới n = 2 theo Mệnh đề 1.3

Theo giả thiết quy nạp, ta có các đẳng cấu

E1 × · · · × En+1 → (E1 ⊗ · · · ⊗ En) ⊗ En+1biến (x1, , xn+1) thành (x1 ⊗ · · · ⊗ xn) ⊗ xn+1 là một ánh xạ đa tuyếntính Do đó, nó cảm sinh một đồng cấu ψ trên tích tensor Dễ thấy ϕ

và ψ là các ánh xạ ngược của nhau Từ đó ta được điều phải chứngminh

Hệ quả 1.6 Cho E1, , Er, Er+1, , Es là các A-module Khi đó tồntại duy nhất đẳng cấu

1.1 Tích tensor của các module 11

Giả sử fi : Ei0 → Ei (i = 1, , n) là một bộ các ánh xạ tuyến tính

Ta có ánh xạ cảm sinh của các tích Đề-các:

Y

fi : YEi0 → YEi

Nếu ta lấy hợp thành của Q fi với ánh xạ θ : E1 × E2 × × En →

E1 ⊗ ⊗ En thì được một ánh xạ đa tuyến tính và do đó có ánh xạcảm sinh

T (f1, , fn) : E10 ⊗ ⊗ En0 → E1 ⊗ ⊗ Enlàm cho biểu đồ sau giao hoán:

θ

Chú ý rằng T (f1, , fn) là ánh xạ tuyến tính duy nhất mà tác độngcủa nó lên phần tử x01 ⊗ ⊗ x0

và dễ thấy rằng ánh xạ này là đa tuyến tính

Ta sẽ xem xét tường minh trong trường hợp hai nhân tử Khi đó ánh

xạ của ta có thể viết là

(f, g) 7→ T (f, g)

1.2 Các tính chất cơ bản của tích tensor 12

Cho các đồng cấu f : F0 → F và g1, g2 : E0 → E thì

T (f, g1 + g2) = T (f, g1) + T (f, g2)

T (f, ag1) = aT (f, g1), a ∈ A

Đặc biệt, cố định một A-module F và xét hàm tử τ = τF (từ phạm trùcác A-module tới phạm trù các A-module) sao cho

1.2 Các tính chất cơ bản của tích tensor

Hệ thức cơ bản nhất liên hệ các ánh xạ tuyến tính, ánh xạ song tuyếntính và tích tensor là hệ thức sau đây đối với ba module E, F, G:

L(E, L(F, G)) ∼= L2(E, F ; G) ∼= L(E ⊗ F, G) (1.1)(i) L2(E, F ; G) → L(E, L(F, G))

Nếu f : E × F → G là ánh xạ song tuyến tính và x ∈ E thì ánh xạ

1.2 Các tính chất cơ bản của tích tensor 13

là song tuyến tính Khi đó ϕ 7→ fϕ xác định (ii)

Rõ ràng các đồng cấu ở (i) và (ii) là ngược nhau và vì thế cho tađẳng cấu của hai module đầu trong hệ thức (1.1)

(iii) L2(E, F ; G) → L(E ⊗ F, G)

Đó là ánh xạ f 7→ f∗, với f∗ là ánh xạ tuyến tính cảm sinh trên tíchtensor bởi ánh xạ song tuyến tính f Tương ứng f 7→ f∗ là đơn ánh (vì f∗được xác định duy nhất bởi f ) và là toàn ánh, vì một ánh xạ tuyến tínhbất kì của tích tensor hợp thành với ánh xạ chính tắc E × F → E ⊗ F

sẽ xác định một ánh xạ song tuyến tính trên E × F

Nhận xét Các đẳng cấu trên đúng cho (n+1) module E1, E2, , En, G

Ta có:

L(E1, L(E2, , L(En, G) )) ∼ = Ln(E1, E2, , En; G) ∼ = L(E1⊗ E2⊗ ⊗ En, G).

Mệnh đề 1.7 Cho E, F là những A-module Giả sử E phân tích đượcthành tổng trực tiếp E = L

1.2 Các tính chất cơ bản của tích tensor 14

Từ tính phổ dụng của tổng trực tiếp suy ra có ánh xạ tuyến tính

Bây giờ cho E là một A-module tự do hạng 1 Giả sử {v} là một cơ

sở của E Xét tích tensor F ⊗ E Mọi phần tử của F ⊗ E có thể đượcviết dưới dạng tổng của các hạng tử y ⊗ av, trong đó y ∈ F, a ∈ A Tuynhiên, y ⊗ av = ay ⊗ v Hơn nữa, khi lấy tổng các hạng tử đó, ta có thểdùng tính chất tuyến tính bên trái

F ⊗ E → F

Ta cũng có ánh xạ tuyến tính

F −→ F ⊗ E

y 7−→ y ⊗ v

1.2 Các tính chất cơ bản của tích tensor 15

Chứng minh Suy ra ngay từ trường hợp hạng một và từ Mệnh đề 1.7

Hệ quả 1.9 Cho F, E là các A-module tự do với các cơ sở tương ứng

là {vi}i∈I và {wj}j∈J Thế thì F ⊗ E là một A-module tự do với cơ sở là{vi⊗ wj}i∈I,j∈J Do đó rk(F ⊗ E) = (rk F )(rk E)

Do Fi và Ej là các A-module tự do hạng 1 nên Fi⊗ Ej là một A-module

tự do hạng 1 với cơ sở vi ⊗ wj Từ đó suy ra điều phải chứng minh

So sánh với ví dụ ở 1.1, ta thấy rằng khi E là A-module tự do thìtrong tích tensor F ⊗ E không xảy ra sự triệt tiêu nào Mọi phần tử của

F ⊗ E có thể coi như một tổ hợp tuyến tính hình thức của các phần tửthuộc cơ sở của E với các hệ tử thuộc F Đặc biệt, ta thấy F đẳng cấuvới tích tensor F ⊗ A qua tương ứng x 7→ x ⊗ 1

Định lí 1.10 Cho E, F là các A-module tự do hạng hữu hạn Khi đó

EndA(E) ⊗ EndA(F ) −→ End∼ A(E ⊗ F )qua ánh xạ tuyến tính duy nhất thỏa mãn f ⊗ g 7→ T (f, g), với f ∈EndA(E) và g ∈ EndA(F )

1.2 Các tính chất cơ bản của tích tensor 16

Chứng minh Giả sử {vi} là một cơ sở của E, {wj} là một cơ sở của F Khi đó {vi ⊗ wj} là một cơ sở của E ⊗ F Với mỗi cặp chỉ số (i, j) và(i0, j0), tồn tại các tự đồng cấu xác định duy nhất fi,i 0 của module E và

gj,j 0 của module F sao cho

fi,i0(vi) = vi0 và fi,i0(vα) = 0 nếu α 6= i,

Vậy họ {T (fi,i0, gj,j0)} là một cơ sở của EndA(E ⊗ F ) Vì họ {fi,i0 ⊗ gj,j0}

là một cơ sở của EndA(E) ⊗ EndA(F ) nên ta có điều khẳng định trongđịnh lí

Định lý trên chứng tỏ rằng ký hiệu f ⊗ g thực ra không phải là hainghĩa trong trường hợp riêng quan trọng, ấy là khi các module là tự dohạng hữu hạn

Mệnh đề 1.11 Cho a là một ideal của A và E là một A-module Khi

đó ánh xạ

(A/a) × E → E/aEcho bởi (a + a, x) 7→ ax + aE, với a ∈ A, x ∈ E, là song tuyến tính vàcảm sinh đẳng cấu

(A/a) ⊗ E → E/aE.∼Chứng minh Rõ ràng ánh xạ (a, x) 7→ ax + aE cảm sinh ánh xạ songtuyến tính

Nếu L, M là hai hàm tử như thế, thì cấu xạ

H : L → M

là một quy tắc đặt tương ứng mỗi vật X của phạm trù A với cấu xạ

HX : L(X) → M (X) của phạm trù B sao cho đối với một cấu xạ bất kì

f : X → Y của phạm trù A, biểu đồ sau giao hoán

- song tuyến tính Trong trường hợp đó, hàm tử L được gọi là hàm tửcộng tính nếu

L(f + g) = L(f ) + L(g)

Ta sẽ xét các hàm tử cộng tính từ phạm trù các A-module vào chính

nó Ví dụ hàm tử chuyển thành module đối ngẫu:

E 7→ E∗ = L(E, A) = HomA(E, A)

1.3 Một số đẳng cấu hàm tử 18

Tương tự có hàm tử hai biến:

(E, F ) 7→ L(E, F ) = HomA(E, F )phản biến theo biến thứ nhất, hiệp biến theo biến thứ hai và song cộngtính

Trước hết, ta có một tiêu chuẩn để một cấu xạ hàm tử là một đẳngcấu:

Mệnh đề 1.12 Giả sử L, M là hai hàm tử cộng tính (cùng hiệp biếnhoặc phản biến) từ phạm trù các A-module vào chính nó Giả sử H :

L → M là một cấu xạ của các hàm tử Nếu HE : L(E) → M (E) là mộtđẳng cấu với mọi A-module tự do hạng một E, thì HE là một đẳng cấuvới mọi A-module tự do hạng hữu hạn

Chứng minh Ta bắt đầu với một bổ đề đơn giản:

m

Y

i=1

Ei → E(x1, , xm) 7→ ϕ1(x1) + + ϕm(xm)

là các đẳng cấu Đảo lại, nếu E =

m

L

i=1

Ei và ϕi : Ei → E là phép nhúngchính tắc, ψi : E → Ei là phép chiếu chính tắc, thì ϕi, ψi có các tínhchất trên

1.3 Một số đẳng cấu hàm tử 19

Chú ý rằng các họ {ϕi} và {ψi} thoả mãn các tính chất đã chỉ ratrong bổ đề tác dụng theo kiểu hàm tử: nếu T là một hàm tử cộng tínhphản biến, thì các họ {T (ψi)} và {T (ϕi)} cũng thoả mãn các tính chấtcủa bổ đề Tương tự nếu T là hàm tử hiệp biến

Ta áp dụng bổ đề bằng cách lấy Ei là các module tự do hạng 1 khiphân tích E theo một cơ sở nào đó Giả sử L, M là hai hàm tử hiệp biến.Với mỗi module Ei ta có biểu đồ giao hoán

-H E

?

M (ψ i ) -

HEi

Từ đó ta nhận được một sự phân tích thành tổng trực tiếp của L(E), sựphân tích này được xác định bởi các ánh xạ L(ψi) và L(ϕi) Tương tựđối với M (E) và các ánh xạ M (ψi), M (ϕi) Theo giả thiết, HEi là mộtđẳng cấu Từ đó suy ra HE là một đẳng cấu Chẳng hạn để chứng minhtính đơn ánh, ta viết phần tử v ∈ L(E) dưới dạng

v = 0 Chứng minh tính toàn ánh cũng tương tự như vậy

Khi làm việc với một hàm tử nhiều biến, cộng tính theo mỗi biến thì

ta áp dụng mệnh đề bằng cách giữ cho các biến cố định, trừ một biến

Ta làm như vậy trong hệ quả sau:

1.3 Một số đẳng cấu hàm tử 20

Hệ quả 1.14 Giả sử E0, E, F0, F là các A-module tự do hạng hữu hạn.Khi đó có một đẳng cấu hàm tử

L(E0, E) ⊗ L(F0, F ) → L(E0 ⊗ F0, E ⊗ F )sao cho f ⊗ g 7→ T (f, g)

Chứng minh Ta cố định E, F0, F và xem L(E0, E) ⊗ L(F0, F ) như làhàm tử của biến E0 Tương tự ta xem L(E0⊗ F0, E ⊗ F ) như là hàm tửcủa biến E0 Ánh xạ

f ⊗ g 7→ T (f, g)

có tính chất hàm tử và do đó theo mệnh đề trên, chỉ cần chỉ ra nó chomột đẳng cấu khi hạng của E0 bằng 1 Bây giờ cố định E0 với hạng bằng

1 và xét hai biểu thức nói trong hệ quả như là các hàm tử của biến E

Áp dụng mệnh đề một lần nữa, ta thấy chỉ cần chứng minh rằng ánh xạtrên là đẳng cấu khi hạng của E bằng 1 Tương tự ta có thể giả sử rằng

F, F0 có hạng bằng 1 Trong trường hợp đó, việc thử rằng ánh xạ trên

là đẳng cấu là đơn giản và hệ quả được chứng minh

Hệ quả 1.15 Cho E, F là các A-module tự do Khi đó ánh xạ

ϕ : F ⊗ E∗ → L(E, F )

y ⊗ λ 7→ fλ,y; fλ,y(x) = λ(x)y

là một đơn cấu Ánh xạ này là đẳng cấu khi F hoặc E có hạng hữu hạn.Chứng minh Trước hết ta chứng minh ϕ là đơn ánh Giả sử α ∈ Kerϕ, α =P

ivi ⊗ λi, với {vi}i là một cơ sở của F (Định lý 1.8) Khi đó với mọi

1.3 Một số đẳng cấu hàm tử 21

Trường hợp F có hạng hữu hạn: ta áp dụng Mệnh đề 1.12 cho module

F (cố định module E) Trường hợp rk F = 1 khẳng định là hiển nhiên.Trong trường hợp tổng quát, biểu diễn F dưới dạng tổng trực tiếp củacác module con hạng 1 Vì ϕ tương tích với các ánh xạ cấu trúc của mộttổng trực tiếp nên ta suy ra điều phải chứng minh

Hệ quả 1.16 Cho E, F, G là các A-module, trong đó F là module tự dohạng hữu hạn Khi đó có một đẳng cấu hàm tử:

Từ đó ta được điều phải chứng minh

Hệ quả 1.17 Cho E, F là các A-module tự do hạng hữu hạn Khi đó

có một đẳng cấu hàm tử:

E∗ ⊗ F∗ → (E ⊗ F )∗.Chứng minh Áp dụng Hệ quả 1.16 cho module G = A, ta được

(E ⊗ F )∗ = L(E ⊗ F, A) ∼= L(E, A ⊗ F∗) ∼= L(E, F∗) ∼= F∗ ⊗ E∗.Mặt khác, theo Mệnh đề 1.4,

F∗ ⊗ E∗ ∼= E∗ ⊗ F∗

Từ đó ta được điều phải chứng minh

Kết quả trên cũng có thể được chứng minh trực tiếp bằng cách sửdụng Hệ quả 1.15 và hệ thức (1.1)

Chứng minh Với x00 ∈ E00 và y ∈ F thì tồn tại x ∈ E sao cho x00 = ψ(x)

và do đó y ⊗ x00 là ảnh của y ⊗ x qua ánh xạ tuyến tính

Ngược lại, giả sử I = Im(IdF ⊗ψ) và xét ánh xạ

f : (F ⊗ E)/I → F ⊗ E00

là ánh xạ cảm sinh bởi IdF ⊗ψ Ta sẽ xây dựng đồng cấu

g : F ⊗ E00 → (F ⊗ E)/Isao cho g ◦ f = Id Khi đó f là đơn ánh và do đó Ker(IdF ⊗ψ) = I =Im(IdF ⊗ϕ) Từ đó suy ra dãy thứ hai là khớp

Thật vậy, giả sử y ∈ F và x00 ∈ E00 Ta lấy phần tử x ∈ E màψ(x) = x00 Ta xác định một ánh xạ

θ : F × E00 → (F ⊗ E)/I(y, x00) 7→ y ⊗ x (mod I)

1.4 Tích tensor và dãy khớp 23

Ta thấy rằng ánh xạ đó là được xác định và không phụ thuộc vào việcchọn phần tử x sao cho ψ(x) = x00 Thật vậy, nếu ψ(x1) = ψ(x2) = x00thì ψ(x1− x2) = 0 Từ đó suy ra x1− x2 = ϕ(x0) với x0 ∈ E0 nào đó Khiđó

y ⊗ x1 − y ⊗ x2 = y ⊗ (x1 − x2) = y ⊗ ϕ(x0)Suy ra y ⊗ x1 ≡ y ⊗ x2 (mod I) và chứng tỏ rằng ánh xạ θ được xác địnhđúng đắn

Rõ ràng θ là song tuyến tính và do đó có ánh xạ tuyến tính cảm sinh

n ∈ Z Tensor dãy khớp này vớiZ2 ta được dãy

0 −→ F ⊗ E0 −→ F ⊗ E −→ F ⊗ E00 −→ 0

là khớp

Ánh xạ này cảm sinh một ánh xạ A-tuyến tính

A0 ⊗ (A0 ⊗ E) → A0⊗ E,

và do đó có một ánh xạ A-song tuyến tính

A0 × (A0 ⊗ E) → A0⊗ E

Ta thấy rằng ánh xạ sau cùng này biến A0 ⊗ E thành một A0-module

Ta gọi A0 ⊗ E là mở rộng của module E trên vành A0 và kí hiệu là EA 0

Ta cũng nói rằng EA 0 là module thu được nhờ sự mở rộng vành cơ sở từ

A tới A0

Ví dụ Giả sử a là một ideal của vành A và A → A/a là toàn cấu chínhtắc Khi đó mở rộng của E trên A/a cũng được gọi là rút gọn của Etheo module a Tình huống này thường gặp trên vành các số nguyên khi

ta tiến hành rút gọn theo modulo nguyên tố p (tức là theo ideal nguyên

tố (p))

Mệnh đề 1.20 Cho E là một A-module tự do với cơ sở {vi}i∈I Đặt

vi0 = 1A 0 ⊗ vi, khi đó EA 0 là A0-module tự do với cơ sở {vi0}i∈I

Chứng minh Ta có ánh xạ song tuyến tính

A0 × (A0 ⊗ E) −→ A0 ⊗ E(a, b ⊗ x) 7−→ ab ⊗ x

do đó EA 0 là một A0-module Mặt khác ta lại có đẳng cấu chính tắc

A0 ⊗ E ∼= E, mà E là module tự do nên EA 0 là module tự do với cơ sở

là {vi0}i∈I

1.5 Mở rộng vô hướng 25

Trường hợp đặc biệt của mệnh đề được dùng để chứng minh rằnghạng của một module tự do trên một vành giao hoán là xác định, tức làhai cơ sở bất kì thì có cùng lực lượng Thật vậy, trong trường hợp đó tatiến hành rút gọn theo một ideal tối đại nào đó của vành, điều đó chophép ta đưa vấn đề về trường hợp các không gian véctơ trên một trường

Khi có nhiều hơn hai vành thì việc chỉ rõ A trong tích tensor là cầnthiết:

EA0 = A0 ⊗ E = A0 ⊗A E

Ta có tính chất bắc cầu của sự mở rộng vành cơ sở, cụ thể là nếu

A → A0 → A00 là một dãy các đồng cấu của các vành giao hoán thì cómột đẳng cấu của các A00-module

A00 ⊗ E ∼= A00 ⊗A0 (A0 ⊗AE)

Nếu E có một cấu trúc nhân thì ta cũng có thể mở rộng vành cơ sởđối với cấu trúc đó Giả sử A → K là một đồng cấu vành sao cho mọiphần tử thuộc ảnh của A trong K giao hoán được với tất cả các phần

tử thuộc K (khi đó K là một A-đại số) Giả sử A → A0 là một đồng cấucủa các vành giao hoán Xét ánh xạ 4-tuyến tính

A0× K × A0 × K −→ A0 ⊗ K

(a, x, b, y) 7−→ ab ⊗ xyKhi đó có một ánh xạ A-tuyến tính cảm sinh

A0 −→ A0⊗ K

a 7−→ a ⊗ 1

1.6 Tích tensor của các đại số 26

Vậy A0 ⊗ K = KA0 là một A0-đại số Chú ý rằng ánh xạ x 7→ 1 ⊗ x làmột đồng cấu vành từ K tới A0 ⊗ K và ta được một biểu đồ giao hoáncủa các đồng cấu vành



H H H H H H

1.6 Tích tensor của các đại số

Cho M, N là các A-đại số Ta sẽ biến M ⊗A N thành một A-đại số.Lấy (a, b) ∈ M × N , khi đó có một ánh xạ song tuyến tính

Nhưng ma,b phụ thuộc song tuyến tính vào a và b, nên từ hệ thức (1.1),

ta được một ánh xạ song tuyến tính duy nhất

M ⊗ N × M ⊗ N −→ M ⊗ N(a ⊗ b, a0 ⊗ b0) 7−→ aa0 ⊗ bb0

Dễ thấy ánh xạ này là kết hợp và có một đồng cấu vành tự nhiên

1.6 Tích tensor của các đại số 27

(i = 1, 2) là các đồng cấu A-đại số Khi đó tồn tại duy nhất một đồngcấu A-đại số

g : M1 ⊗ M2 −→ Fthỏa mãn gi = g ◦ fi, trong đó

f1 : M1 −→ M1⊗ M2, x1 7→ x1⊗ 1; f2 : M2 −→ M1⊗ M2, x2 7→ 1 ⊗ x2.Chứng minh Ta luôn có một ánh xạ song tuyến tính θ : M1 × M2 −→

M1 ⊗ M2

Dễ thấy ánh xạ

ϕ : M1 × M2 −→ F(x1, x2) 7−→ g1(x1)g2(x2)

là song tuyến tính Khi đó theo tính chất phổ dụng của tích tensor, tồntại duy nhất ánh xạ tuyến tính

g : M1 ⊗ M2 −→ Fthỏa mãn ϕ = g ◦ θ

Ta chứng minh g chính là ánh xạ thỏa mãn yêu cầu Thật vậy, vớimọi x1 ∈ M1, ta có

g ◦ f1(x1) = g(x1 ⊗ 1) = g(θ(x1, 1)) = ϕ(x1, 1)

= g1(x1)g2(1) = g1(x1)

Vậy g ◦ f1 = g1 Tương tự, ta cũng có g ◦ f2 = g2

Chương 2

Đại số tensor

2.1 Đại số tensor của một module

Cho A là một vành giao hoán có đơn vị và M là một A-module Vớimỗi số nguyên n ≥ 1, ta đặt

mpq : Tp(M ) ⊗A Tq(M ) → Tp+q(M )

Với p > 0 và q > 0 thì mpq là đẳng cấu kết hợp ở Hệ quả 1.6; khi

p = 0 (tương ứng q = 0) thì m0q là đẳng cấu chính tắc từ A ⊗A Tq(M )vào Tq(M ) (tương ứng mp0 là đẳng cấu chính tắc từ Tp(M ) ⊗A A vào

Tp(M )) Do đó, với mỗi xi ∈ M, a ∈ A ta định nghĩa

2.1 Đại số tensor của một module 29

nhân được định nghĩa ở (2.1) Phép nhúng chính tắc φ : T1(M ) → T (M )được gọi là phép nhúng chính tắc của M vào T (M )

Mệnh đề 2.2 Giả sử E là một A-đại số và f : M → E là một ánh xạA-tuyến tính Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu A-đại số g : T (M ) → Esao cho f = g ◦ φ

Chứng minh Giả sử tồn tại g thoả mãn yêu cầu bài toán Ta chứngminh tính duy nhất của g Với mọi họ hữu hạn (xi)1≤i≤n các phần tửthuộc M , bởi định nghĩa của tích trong T (M ), ta có x1⊗ x2⊗ ⊗ xn =φ(x1)φ(x2) φ(xn) Do đó

là một ánh xạ đa tuyến tính, do đó có ánh xạ tuyến tính cảm sinh

nó lên Tn(M ) bằng gn (n ≥ 0) Dễ thấy g ◦ φ = g1 = f Ta còn phảichứng minh g là một đồng cấu A-đại số Bởi sự xây dựng, g(1) = e và

vì g là tuyến tính nên chỉ cần chứng minh

g(uv) = g(u)g(v),với u ∈ Tp(M ) và v ∈ Tq(M ) (p, q > 0) Điều này là đúng với u =

x1⊗ ⊗ xp và v = xp+1⊗ ⊗ xp+q (xi ∈ M ) Do đó nó đúng với mọi

u ∈ Tp(M ) và v ∈ Tq(M )

2.2 Các tính chất hàm tử của đại số tensor 30

Nhận xét Cho E là một A-đại số phân bậc với các thành phần thuầnnhất là (En) và giả sử rằng f (M ) ⊂ E1 Khi đó từ g(x1⊗ x2⊗ ⊗ xn) =

f (x1)f (x2) f (xn) suy ra g(Tn(M )) ⊂ En với mọi n ≥ 0 và do đó g làmột đồng cấu đại số phân bậc

Nhận xét Từ định nghĩa của tích tensor ta thấy rằng với mọi số nguyên

n ≥ 1, module Tn(M ) (gọi là lũy thừa tensor thứ n của M ) có tính chấtphổ dụng sau:

Với mỗi A-module F và một ánh xạ n-tuyến tính f : M × × M −→

F , tồn tại duy nhất ánh xạ tuyến tính g : Tn(M ) −→ F làm cho biểu

đồ sau giao hoán

2.2 Các tính chất hàm tử của đại số tensor

Mệnh đề 2.3 Cho A là một vành giao hoán, M và N là các A-modulevà

u : M → N

là một ánh xạ A-tuyến tính Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu A-đại số

T (u) : T (M ) → T (N )sao cho biểu đồ

u

giao hoán Hơn nữa, T (u) là một đồng cấu đại số phân bậc

Chứng minh Sự tồn tại và duy nhất của T (u) được suy ra từ việc ápdụng Mệnh đề 2.2 cho đại số T (N ) và ánh xạ tuyến tính f = φNu :

M → T (N ) Vì

f (M ) ⊂ T1(N ) = N

2.2 Các tính chất hàm tử của đại số tensor 31

nên theo nhận xét ở trên, T (u) là một đồng cấu đại số phân bậc

Nếu P là một A-module và v : N → P là một ánh xạ A-tuyến tínhthì

T (v ◦ u) = T (v) ◦ T (u),với T (v) ◦ T (u) là đồng cấu đại số làm cho biểu đồ

v◦u

Tn(u)(x1 ⊗ ⊗ xn) = u(x1) ⊗ ⊗ u(xn)

Chứng minh Do T (u)(x1⊗ x2⊗ ⊗ xp) = u(x1) ⊗ u(x2) ⊗ ⊗ u(xp)

và u là toàn ánh nên dễ thấy T (u) là toàn ánh

Giả sử I(K) là ideal sinh bởi K Đặt Ip(K) = I(K) ∩ Tp(M ) Vớimọi p ≥ 1, Ip(K) là module con của Tp(M ) sinh bởi tất cả các tích

x1 ⊗ x2 ⊗ ⊗ xp , ở đó x1, , xp ∈ M và ít nhất một xi ∈ K

2.2 Các tính chất hàm tử của đại số tensor 32

Ta sẽ chỉ ra Ker(T (u)) được chứa trong I(K) Thật vậy, cho

h : T (M ) → T (M )/I(K)

là toàn cấu tự nhiên của các đại số phân bậc Vì T1(M ) = M và I1(K) =

K nên module con của T (M )/I(K) gồm các phần tử thuần nhất bậc 1

có thể được đồng nhất với M/K Do đó trong trường hợp bậc 1, h cảmsinh toàn cấu tự nhiên M → M/K

Mặt khác, u cảm sinh một đẳng cấu: M/K → N Giả sử g : N →M/K là ánh xạ ngược của đẳng cấu trên Khi đó ta có một đồng cấucủa các A-module

ra Ker(T (u)) ⊂ Ker(h), tức là Ker(T (u)) ⊂ I(K) Dễ thấy I(K) ⊂Ker(T (u)) Vậy ta có điều phải chứng minh

Nhận xét Nếu u : M −→ N là một đơn cấu thì nói chung T (u) khôngphải là đơn ánh Tuy nhiên, T (u) sẽ là đơn ánh nếu u là một đơn cấusao cho u(M ) là một hạng tử trực tiếp của N Khi đó tồn tại một ánh

xạ tuyến tính v : N −→ M sao cho v ◦ u = IdM và do đó

T (v ◦ u) = T (v) ◦ T (u) = IdT (M ).Suy ra T (u) là đơn ánh và T (M ) ∼= Im(T (u)) là một hạng tử trực tiếpcủa T (N )

Mệnh đề 2.5 Giả sử N và P là hai module con của một A-module Msao cho N + P là hạng tử trực tiếp của M và N ∩ P là hạng tử trực tiếpcủa N và của P Khi đó các đồng cấu T (N ) → T (M ), T (P ) → T (M )và

T (N ∩ P ) → T (M ),

2.2 Các tính chất hàm tử của đại số tensor 33

là các đơn ánh Nếu T (N ), T (P ) và T (N ∩ P ) được đồng nhất với cácđại số con của T (M ) qua các đơn cấu này thì

T (N + P ) → T (M ); T (N ) → T (M )

T (P ) → T (M ); T (N ∩ P ) → T (M )

Các đại số T (N ), T (P ), T (N ∩ P ) do đó là các đại số con của T (N + P )

và chúng đều là các đại số con của T (M )

Đặt Q = N ∩ P , khi đó nếu coi T (Q), T (N0⊕ Q) và T (P0⊕ Q) là cácđại số con của T (N0 ⊕ P0 ⊕ Q) thì điều phải chứng minh tương đươngvới

T (N0 ⊕ Q) ∩ T (P0 ⊕ Q) = T (Q) (∗)Xét biểu đồ giao hoán

γ

-?

α

? β

λ

-ở đó α, β là các phép chiếu chính tắc và γ, λ là các phép nhúng chínhtắc

Khi đó, ta có biểu đồ giao hoán

2.2 Các tính chất hàm tử của đại số tensor 34

T (N0⊕ Q) T (N0⊕ P0 ⊕ Q)

u

-?

r

? s

v

-ở đó r, s là các toàn cấu và u, v là các đơn cấu Để chứng minh (*), tachú ý rằng

T (Q) ⊂ T (N0 ⊕ Q) ∩ T (P0 ⊕ Q)

Ngược lại, nếu x ∈ T (N0 ⊕ Q) ∩ T (P0 ⊕ Q) thì x ∈ T (Q) Thật vậy, từđịnh nghĩa của s suy ra hạn chế của nó lên T (P0 ⊕ Q) là ánh xạ đồngnhất, do đó s(u(x)) = x và vì vậy v(r(x)) = x Suy ra x thuộc ảnh của

T (Q) trong T (P0 ⊕ Q), do đó x ∈ T (Q) Từ đó suy ra điều phải chứngminh

Nhận xét Các giả thiết của Mệnh đề 2.5 luôn đúng với các modulecon tuỳ ý N, P của M khi A là một trường Hơn nữa, nếu N P thì

Tn(N ) 6= Tn(P ) với mọi n ≥ 1, vì với R là phần bù của N trong P thì

Tn(N ) ∩ Tn(R) = {0} và Tn(R) 6= {0}

Hệ quả 2.6 Cho K là một trường và M là một K-không gian véctơ.Với mọi z ∈ T (M ), tồn tại một không gian véctơ con nhỏ nhất N của

M sao cho z ∈ T (N ) và N là K-không gian véctơ hữu hạn chiều

Chứng minh Hệ quả được hiểu là với mọi không gian véctơ con P của Mthì T (P ) được đồng nhất với một đại số con của T (M ) Giả sử z ∈ T (M ),

z có thể được biểu diễn như là một tổ hợp tuyến tính của các phần tử

mà mỗi phần tử là một tích hữu hạn của các phần tử trong M = T1(M ).Tất cả các phần tử của M xuất hiện trong những tích này sinh ra mộtkhông gian véctơ con Q hữu hạn chiều và z ∈ T (Q)

Giả sử F 6= ∅ là tập các không gian véctơ con P hữu hạn chiều saocho z ∈ T (P ) Mọi dãy giảm các phần tử của F đều dừng, vì chúng là cáckhông gian véctơ hữu hạn chiều Do đó F có phần tử nhỏ nhất N Điều

đó có nghĩa là với mọi P ∈ F , P ⊃ N Thật vậy: z ∈ T (P ) ∩ T (N ) =

T (P ∩ N ) ⇒ N ∩ P = N ⇒ P ⊃ N

2.3 Mở rộng vô hướng 35

2.3 Mở rộng vô hướng

Cho A, A0 là các vành giao hoán, ρ : A → A0 là một đồng cấu vành, M

là một A-module, M0 là một A0-module và u : M → M0 là một A-đồngcấu Vì phép nhúng chính tắc φM 0 : M0 → TA0(M0) cũng là một A-đồngcấu, do đó hợp thành

giao hoán Nếu δ : A0 → A00 là một đồng cấu vành giao hoán, M00 là

A00-module và v : M0 → M00 là A0-đồng cấu, thì tính duy nhất ở trên chỉ

1B ⊗ φM : B ⊗A M → B ⊗ATA(M )

là một đẳng cấu của các B-đại số phân bậc

Chứng minh Xét hai đồng cấu A-đại số:

2.4 Đại số tensor của tổng trực tiếp và của module tự do 36

thoả mãn: với β ∈ B; xi ∈ M (1 ≤ i ≤ n),

ψ0(β ⊗ (x1 ⊗ · · · ⊗ xn)) = β((1 ⊗ x1) ⊗ (1 ⊗ x2) ⊗ · · · ⊗ (1 ⊗ xn)).Suy ra ψ0 cũng là một đồng cấu B-đại số

Ta có

(

ψ ◦ ψ0 = IdB⊗AT (M )

ψ0 ◦ ψ = IdT (B⊗AM ).Thật vậy, B ⊗AT (M ) và T (B ⊗AM ) là hai đại số được sinh bởi B ⊗AM

và dễ thấy ψ ◦ ψ0 và ψ0 ◦ ψ trùng với ánh xạ đồng nhất trên B ⊗A M

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

2.4 Đại số tensor của tổng trực tiếp và của module

tự do

Cho A là một vành giao hoán và M = L

λ∈L

Mλ là tổng trực tiếp củamột họ các A-module Khi đó có phép nhúng chính tắc

Mλ1 ⊗ Mλ2 ⊗ · · · ⊗ Mλn → Tn(M ) = M

(λi)∈L n

(Mλ1 ⊗ ⊗ Mλn)

Đồng nhất Mλ1 ⊗ Mλ2 ⊗ · · · ⊗ Mλn với ảnh của nó, ta được T (M )

là tổng trực tiếp của tất cả các module Mλ1 ⊗ Mλ2 ⊗ · · · ⊗ Mλn, ở đó(λi) ∈ Ln với mỗi n ∈ N

Định lí 2.8 Cho M là một A-module tự do và (eλ)λ∈L là một cơ sở của

M Khi đó các phần tử es = eλ1 ⊗ eλ2 ⊗ · · · ⊗ eλn, ở đó s = (λ1, , λn)chạy trong tập tất cả các dãy hữu hạn các phần tử của L và e∅ là phần

tử đơn vị của T (M ), tạo thành một cơ sở của A-module T (M )

Chứng minh Ta biết rằng T0(M ) là một A-module tự do có cơ sở làphần tử đơn vị của T (M ) Theo Hệ quả 1.9, Tp(M ) là một A-module tự

do với cơ sở là tập tất cả các tích eλ1 ⊗ eλ2 ⊗ · · · ⊗ eλp, ở đó λi ∈ L vớimọi i = 1, , p Do đó T (M ) là một A-module tự do với cơ sở là phần

tử đơn vị của T (M ) và tất cả các phần tử es = eλ1 ⊗ eλ2 ⊗ · · · ⊗ eλn, ở

đó s = (λ1, , λn) chạy trong tập tất cả các dãy hữu hạn các phần tửcủa L