Đề thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ An năm 2013 môn toán 12 bảng B potx

0 Tìm các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm thực.. Cho lăng trụ ABC.A 'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a.. Hình chiếu vuông góc của điểm A ' lên mặt phẳng ABC trùng với t

SỞ GD & ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12

NĂM HỌC 2012 - 2013 (Đề thi gồm 01 trang)

Môn thi: TOÁN 12 THPT - BẢNG B

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I: (3,0 điểm)

Cho hàm số y 3x 4

3x 3





 có đồ thị (C)

Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng d : yxm cắt đồ thị  C tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tam giác OAB đều ( với O là gốc tọa độ )

Câu II: (6,0 điểm)

1 Cho phương trình 12x  12x x2 m 0

Tìm các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm thực

x, y









Câu III: (6,0 điểm)

1 Cho lăng trụ ABC.A 'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của điểm A ' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng

cách giữa hai đường thẳng AA ' và BC bằng a 3

4 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A 'B'C '

2 Cho điểm I nằm trong tứ diện ABCD Các đường thẳng AI, BI, CI, DI lần lượt cắt các mặt phẳng (BCD), (CDA), (DAB), (ABC) tại A', B', C', D' thỏa mãn đẳng thức

12

A 'I B'IC'I  D 'I Gọi V, V lần lượt là thể tích của các khối tứ diện 1 ABCD

và IBCD Chứng minh rằng V4V 1

Câu IV: (2,5 điểm)

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn

  2 2

T :x y 4x 2y0 và đường phân giác trong của góc A có phương trình

xy Biết diện tích tam giác ABC bằng ba lần diện tích tam giác IBC ( với I là tâm 0 của đường tròn  T ) và điểm A có tung độ dương Viết phương trình đường thẳng BC

Câu V: (2,5 điểm)

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn y2 xz và z2 xy Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P x y 3z

- - Hết - -

Họ tên thí sinh: ……… Số báo danh: ………

Đề thi chính thức

SỞ GD& ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12

NĂM HỌC 2012 - 2013

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN 12 THPT- BẢNG B

(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)

I

(3,0đ)

Phương trình hoành độ giao điểm: 2  

3x 3mx3m 4 0 1 với x   1 0,5 Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình

 1 có hai nghiệm phân biệt khác

2

1

0.m 1 0

  

 



(đúng m ) 0,5

Gọi x , x là các nghiệm của phương trình (1), ta có: 1 2

 

1 2

3m 4

x x

3







 Giả sử A x ; x 1 1m, B x ; x 2 2 m

0,5

OA x  x m ,OB x  x m Kết hợp  * ta được 2 2

OAOB x x Suy ra OAB cân tại O

0,5

Ta có AB 2 x 1x22 Tam giác OAB đều OA2 AB2

 2  2

0,5







Vậy giá trị cần tìm là m2, m 4 0,5

II

1,

(3,0đ)

ĐKXĐ: 1 x 1



Ta có:  

16

Khi đó phương trình đã cho trở thành: t4 4t2 16t 16m

0,5 Xét hàm số   4 2

f t t 4t 16t với t 2;2

Ta có hàm số f t liên tục trên đoạn    2;2

f ' t 4t 8t16, f ' t   0 t 2

0,5

Suy ra  

2 ; 2

Min f t 32

 

 

  ,  

2 ; 2

Max f t 4 16 2

 

 

Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: 32 16m   4 16 2

Suy ra giá trị cần tìm của m là:  2 m  1 4 2 0,5

A'

C' B'

C

B

G A

D

II

2,

(3,0đ) ĐKXĐ:

x 1 3 y 2













Hệ phương trình tương đương:

(xy x ) x y 2x 2y







0,5

x y 1 x 2y 0



 



1 x 2y 0

  

 





0,5

 

2y x 1



 



PT  *

2

x 4





 



0,5

 2 2

2

x 4

 

0,5

 

x 5

 





Với x 5 y Vậy nghiệm của hệ phương trình là: 2 x; y  5; 2 0,5

III

1,

(3,0đ)

Diện tích đáy là

2

ABC

S

4

 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

0,5

Gọi E là trung điểm BC Ta có BC AE BC AA'E

BC A 'G









 Gọi D là hình chiếu vuông góc của E lên đường thẳng AA '

0,5

Do đó BCDE, AA'DE

Suy ra DE là khoảng cách giữa hai đường thẳng AA ' và BC 0,5 Tam giác ADE vuông tại D suy ra sin DAE DE 1 DAE 300

Xét tam giác A 'AG vuông tại G ta có A 'G AG.tan 300 a

3

( loại )

B

C

D A'

B'

C'

Vậy VABC.A ' B 'C ' A 'G.SABC a 3

12

III

2,

(3,0đ)

Gọi V , V , V lần lượt là thể tích 2 3 4

của tứ diện ICDA, IDAB, IABC

0,5

Ta có :

 

 

d A, BCD

Tương tự ta có : 1 3 4  

2

IB

2

3

IC

3

 

4

ID

4



0,5

Từ      1 , 2 , 3 và  4 ta có :  AI  BI  CI  DI 

VT

A ' I B'I C' I D'I

0,5

             

0,5

Đẳng thức xảy ra khi V1 V2 V3 V4 V

4

    Suy ra V4V1(đpcm) 0,5

IV

(2,5đ)

Gọi d là đường phân giác trong của góc A

Đường tròn  T có tâm I 2;1 , bán kính R   5

Khi đó đường thẳng d cắt đường tròn  T tại A và

A 'có tọa độ là nghiệm của hệ





x 0

y 0





 





hoặc x 3

y 3









 Điểm A có tung độ dương suy ra A 3;3 và  

 

A ' 0;0

0,5

Vì d là phân giác trong của góc A nên BA 'CA ' IA 'BC

Phương trình đường thẳng BC có dạng: BC : 2xym 0 0,5 Mặt khác ta có:

ABC IBC

S 3S  d A, BC BC3 d I, BC BCd A, BC 3.d I, BC 0,5

I A

A'

m 3

 

Với m 3 khi đó BC : 2x y  3 0

Tọa độ các điểm B, C là: 6 21 3 2 21; , 6 21 3 2 21;

, suy ra

B, C nằm khác phía đối với đường thẳng d ( TM )

Với m  khi đó BC : 2x6 y6 0

Tọa độ các điểm B, C là: 12 2 6 6; 4 6 , 12 2 6 6; 4 6

, suy ra

B, C nằm khác phía đối với đường thẳng d ( TM )

Do đó phương trình đường thẳng BC là : 2xy  và 2x3 0 y6 0

0,5

V

(2,5đ) Ta có:

P

, đặt a y;b z;c x

   kết hợp với giả thiết ta

suy ra a b c 0 0 c 1



0,5

1a 1b 1 ab     (đúng do ab 1 )

1a 1b c 1

0,5

c 1





Đặt t c   0 t 1

Xét hàm số f t  2t 3

t 1





 với 0 t 1 Ta có hàm số f t liên tục trên   0;1 , 

 

1

t 1

0,5

Hàm số f t nghịch biến trên   0;1 Suy ra  f t  f 1  5

2

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 5

2 khi và chỉ khixyz

0,5

- - Hết - -

Chú ý: - Học sinh giải cách khác đúng cho điểm phần tương ứng

- Khi chấm giám khảo không làm tròn điểm