một số phương pháp tìm cực trị của hàm nhiều biến và ứng dụng trong toán sơ cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ĐÀO NGUYÊN THẢO LUẬN VĂN THẠC SĨ ĐỀ TÀI MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN VÀ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN SƠ CẤP Chuyên ngành Phương pháp toán sơ[.]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

ĐÀO NGUYÊN THẢO

LUẬN VĂN THẠC SĨ

ĐỀ TÀI

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP

TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

VÀ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN SƠ CẤP

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 8460113

Người hướng dẫn: TS Nguyễn Ngọc Quốc Thương

Bình Định - 2022

grange 312.2 Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức cổ điển 342.2.1 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức AM-GM 342.2.2 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 422.3 Phương pháp đạo hàm 442.3.1 Sử dụng phương pháp đạo hàm cho bài toán cực trị hai biến

số 442.3.2 Sử dụng phương pháp đạo hàm cho bài toán cực trị ba biến số 522.3.3 Một số bài toán cực trị giải bằng phương pháp đạo hàm 57

1

Chương 3 Một số bài toán thi học sinh giỏi và Olympic Toán học 63

Mở đầu

Các bài toán về tìm cực trị của hàm số là một trong những vấn đề quan trọngcủa toán cao cấp lẫn toán sơ cấp Chúng có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khácnhau của toán học cũng như nhiều ngành khoa học khác như Vật lý, Kỹ thuật,Kinh tế, Y học, Ở Toán phổ thông, rất dễ bắt gặp các bài toán này trong các kìthi tuyển sinh Đại học và Cao đẳng môn Toán học, kì thi học sinh giỏi quốc gia

và quốc tế, kì thi Olympic toán học

Để giải quyết các bài toán này, có nhiều phương pháp khác nhau Trong đề tàinày, tôi tìm hiểu, tổng hợp và hệ thống lại một cách đầy đủ, rõ ràng về một sốphương pháp tìm cực trị của hàm số nhiều biến số Bên cạnh đó, luận văn cũngtập trung tìm hiểu những ứng dụng của các phương pháp tìm cực trị của hàm sốnhiều biến số vào giải một số dạng toán sơ cấp ở THPT, đề thi tuyển sinh đại học,

đề thi học sinh giỏi và Olympic Toán học các cấp

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của luậnvăn “Một số phương pháp tìm cực trị của hàm nhiều biến và ứng dụngtrong toán sơ cấp” gồm có 3 chương

Chương 1: Cực trị của hàm số

Chương này giới thiệu một số định nghĩa và định lý cơ bản về cực trị của hàm

số một biến số, cực trị của hàm số nhiều biến số, điểm tới hạn, điểm yên ngựa, giátrị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số nhiều biến số

Chương 2: Một số phương pháp tìm cực trị của hàm số nhiều biến sốChương này tập trung trình bày một cách hệ thống, chi tiết về các phươngpháp tìm cực trị của hàm số nhiều biến số

2.1 Phương pháp nhân tử Lagrange

2.2 Phương pháp bất đẳng thức

2.3 Phương pháp đạo hàm

3

Chương 3: Một số bài toán thi học sinh giỏi, thi Đại học và OlympicToán học

Chương này tập trung trình bày về ứng dụng các phương pháp tìm cực trị củahàm số nhiều biến số vào giải một số dạng toán ở THPT, đề thi tuyển sinh đạihọc, đề thi học sinh giỏi và Olympic Toán học các cấp

Cực trị của hàm số

1.1 Cực trị của hàm một biến

Cho I “ pa, bq là một khoảng, trong đó a có thể là ´8 và b có thể là `8.Định nghĩa 1.1 (Cực trị địa phương) Cho hàm số y “fpxq liên tục trên I Xétđiểm x0 PI Ta nói hàm số fpxq

1 đạt cực đại tại x0 nếu tồn tại một lân cận Vεpx0q của điểm x0 sao cho

Định lý 1.1 (Định lí Fermat) Nếu hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 và có đạohàm tại điểm x0 thì f1 px0q “0

Định lý 1.2 (Điều kiện đủ loại I) Giả sử hàm số fpxq liên tục trên khoảng

K “ px0´h; x0`hq, với hą0, và có đạo hàm trên K hoặc trên Kz tx0u

1

4 Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Định lý 1.3 (Điều kiện đủ loại II) Giả sử hàm số fpxq có đạo hàm cấp hai trongkhoảng px0´h; x0`hq, với hą0 Khi đó

px0q ă0 thì x0 là điểm cực đại của hàm số fpxq

Áp dụng Định lí 1.3 , ta có quy tắc sau đây để tìm các điểm cực trị của một hàmsố

4 Dựa vào dấu của f2

pxiq suy ra tính chất cực trị của điểm xi.Định nghĩa 1.2 (Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất) Cho hàm số fpxq xác địnhtrên tập D ĂR Hàm số fpxq được gọi là

1 đạt giá trị lớn nhất trên D nếu tồn tại x0 P D sao cho

Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trênmột đoạn:

1 Tìm các điểm x1, x2, , xn trên khoảng pa; bq, tại đó f1

pxq bằng 0 hoặc f1

pxqkhông xác định

1.2 Cực trị của hàm nhiều biến

Đạo hàm thường được dùng để xác định cực trị của hàm số Trong phần này,

ta sẽ tìm hiểu cách sử dụng đạo hàm riêng xác định cực trị của hàm hai biến.Nhìn vào đồ thị của Hình 1, ta thấy hàm f có cực đại địa phương tại hai điểm.Giá trị lớn hơn trong hai cực đại được gọi là giá trị lớn nhất Tương tự, f có cựctiểu địa phương tại hai điểm Giá trị nhỏ hơn trong hai cực tiểu được gọi là giá trịnhỏ nhất

Định nghĩa 1.3 (Cực trị địa phương) Cho hàm z “ fpx, yq liên tục trên tập

Định lý 1.5 ([2], Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị) Nếu hàm số z “fpx, yq cócác đạo hàm riêng cấp một tại điểm M0px0; y0q và đạt cực trị tại tại điểm đó thì

Ví dụ 1.1 ([2]) Cho hàm số fpx, yq “x2`y2´2x´6y`14 Giải hệ phương trình

Định nghĩa 1.5 ([2], Điểm yên ngựa) Giả sử M0px0; y0q là điểm tới hạn của hàm

số khả vi fpx, yq Ta nói M0 là điểm yên ngựa của hàm số f nếu với mọi lân cận

mở VεpM0q của M0, tồn tại các điểm M1px1; y1q, M2px2; y2q P VεpM0qztM0u sao cho

fpM0q ă fpM1q, fpM0q ąfpM2q.Khi đó điểm `x0, y0, fpx0, y0q˘được gọi là điểm yên ngựa của mặt pSq: z “fpx, yq

Hình 1.3: Gốc toạ độ là điểm yên ngựa của hàm số z “fpx, yq “ y2´y4´x2

Định lý sau đây cho ta một điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị tại điểm tới hạn

M0

Định lý 1.6 ([2], Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị) Giả sử hàm số fpx, yq cócác đạo hàm riêng đến cấp hai liên tục trong lân cận của điểm M0 px0; y0q và thoảmãn f1

• Nếu ∆ą0 và A ą0 thì M0 là điểm cực tiểu của hàm số f

• Nếu ∆ą0 và A ă0 thì M0 là điểm cực đại của hàm số f

• Nếu ∆ă0 thì M0 là điểm yên ngựa của hàm số, và do đó M0 không phải làđiểm cực trị của hàm số f

• Nếu ∆“0 thì ta chưa có kết luận về cực trị của hàm số f

Suy ra các điểm tới hạn là

∆px, yq “ 8`12x2´1˘ `3y2´1˘.

Vì vậy, các điểm M2, M3, M4, M7 không phải là điểm cực trị.

Các điểm M1, M5, M6, M8, M9 là các điểm cực trị, đồng thời tại điểm M1p0, 0q đạtcực đại (vì z2

Để thử lại điều kiện đủ tại các điểm thuộc đường tròn x2`y2 “ 1, ta xét hàm znhư hàm một biến t “x2`y2 : z “ te´t Đối với hàm này t “ 1 là điểm tới hạn

Vì đạo hàm cấp hai z2

“ pt´2qe´t âm khi t “1, nên hàm z có cực đại Như vậy,hàm đã cho zpx, yq có zmax “e´1 tại các điểm của đường tròn x2`y2 “1

1.3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm

Định lý 1.7 (Weierstrass) Nếu hàm số fpx, yq liên tục trên tập đóng và bị chặn

D ĂR thì fpx, yq đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên D

Ta xét bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số hai biến số

fpx, yq liên tục trên miền đóng và bị chặn D

Cũng như với hàm số một biến số, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất có thể đạtđược tại các điểm cực trị ở trong miền D hoặc trên biên của D Do đó, muốn tìmgiá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm fpx, yqtrên miền D, ta cần tìm các điểmcực trị ở trong miền D và tìm các điểm cực trị ở trên biên của D

Các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm hai biến trênmiền đóng và bị chặn[[2]]

• Bước 1: Tìm các điểm tới hạn của f thuộc miền trong của D

• Bước 2: Tìm các điểm tới hạn của f trên biên của D

• Bước 3: Tính giá trị hàm số tại tất cả các điểm tới hạn tìm được ở bước 1

và bước 2 ở trên Giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) tìm được chính là giá trị lớnnhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên D

Ví dụ 1.8 ([2]) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

fpx, yq “x2´2xy`2ytrên miền D “ tpx, yq |0ďxď 3, 0ďy ď2u

Lời giải Vì f là hàm đa thức nên f liên tục trên miền đóng, bị chặn D, do đó f

Tiếp theo, ta tìm các điểm tới hạn của f trên biên của D (gồm bốn đoạn thẳng

L1, L2, L3, L4 như hình sau) và tính giá trị hàm số tại các điểm đó

• Trên L1 ta có y “ 0 và fpx, 0q “ x2, 0 ď x ď 3 là hàm tăng nên có cực đại

hạn và rút ra kết luận: giá trị lớn nhất của f trên D là fp3, 0q “9 và giá trị nhỏnhất là fp0, 0q “fp2, 2q “ 0.

Hình 1.6: Đồ thị của hàm số z “fpx, yq “x2´2xy`2y

Ví dụ 1.9 ([5]) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

fpx, yq “ x3

2 ´x

3y2´x2y2´xtrên miền r´1, 1s ˆ r´1, 1s

Chứng minh Vì f là hàm đa thức nên f liên tục trên miền đóng, bị chặnr´1, 1s ˆ

• Với x“0, phương trình p1q ô ´1“0 (vô lý)

• Với x“ ´1, điểm này trên biên của miền nên ta sẽ xét ở phần b

Ta có giá trị của hàm f tại hai điểm trên là:

• x“0 và x2`y2 “1 Có hai điểm thỏa mãn là p0, 1q và p0,´1q, vì chúng đềunằm trên biên nên ta sẽ xét ở phần b.

Ví dụ 1.11 ([5]) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

• x “ 0, y “ 0, và x2 ` y2 `z2 “ 1 Có hai điểm thỏa mãn là p0, 0, 1q và

p0, 0,´1q, vì chúng đều nằm trên biên pBBq nên ta sẽ xét ở phần b

• x “ 0, x2 `y2 `z2 “ 1, và z “ 0 Tương tự cũng có hai điểm thỏa mãn

p0, 1, 0q and p0,´1, 0q và chúng nằm trên biên BB

• x“0, x2`y2`z2 “1, và x2`y2`z2 “1 Có vô số điểm thỏa mãn phươngtrình trên

b) Biên của tập B (kí hiệu là BB) biểu diễn bởi phương trình `x2`y2`z2 “1 Hàm f trên biên BB có thể viết dưới dạng hàm một biến như sau

Lời giải Gọi miền D “ px; yq PR2 |xě0, y ě0, x`y ď 9( là miền đóng và bịchặn, được biểu diễn như hình dưới đây

Vì f khả vi nên f nhận cực trị tại các điểm tới hạn thuộc miền trong của D vàtrên biên của D

• Trên đoạn thẳng OA có y “0 và fpx, yq “ fpx, 0q “ 2`2x´x2, 0ďxď 9.Giá trị cực trị có thể xảy ra tại hai điểm đầu mút

px, 9´xq “ 16´4x“0ñx“ 4

Suy ra y “5 và fpx, yq “fp4, 5q “ ´11

Cuối cùng, ta so sánh và rút ra kết luận: giá trị lớn nhất của f là 7 tại điểm p1, 2q

và giá trị nhỏ nhất của f là ´61 tại điểm p9, 0q

Hình 1.9: Đồ thị của hàm số z “ fpx, yq “ 2`2x`4y´x2 ´y2 giới hạn bởi cácđường x “0, y“0 và y “ 9´x.

fx1 “2px´1q ´2p6´x´2yq “4x`4y´14 “0

f1

y “2y´4p6´x´2yq “4x`10y´24 “0

ta được điểm tới hạn duy nhất là

ˆ

11

6 ,

53

56

˙ 2

`

ˆ

53

˙ 2

`

ˆ

56

Lời giải Gọi x, y, z lần lượt là chiều dài, chiều rộng và chiều cao của chiếc hộp(x, y, z ą0) Khi đó chu vi mặt cắt ngang là 2y`2z Ta cần tìm thể tích V “xyzlớn nhất thỏa x`2y `2z “ 108 (theo yêu cầu của công ty giao hàng) Thể tíchcủa chiếc hộp có thể được viết dưới dạng

Vpy, zq “ p108´2y´2zqyz

“108yz´2y2z´2yz2.Xét các đạo hàm riêng cấp một bằng không,

Kích thước của chiếc hộp cần tìm là x“ 108´2p18q ´2p18q “36 dm, y “18 dm,

z “18 dm có thể tích lớn nhất là V “36.18.18 “11664 dm3

Một số phương pháp tìm cực trị của hàm nhiều biến

2.1 Phương pháp nhân tử Lagrange

Trong Ví dụ 1.14 của chương trước, ta đã tìm cách tối đa hóa thể tích V “xyzvới điều kiện 2xz`2yz`xy “ 12 Trong phần này, để giải bài toán tìm cực trị củahàm fpx, y, zq với điều kiện có dạng gpx, y, zq “k, ta sử dụng phương pháp nhân

giá trị c lớn nhất sao cho gpx, yq “ k tiếp xúc tiếp tuyến với đường đồng mức

fpx, yq “c (tại điểm px0, y0q) Vì chúng có tiếp tuyến chung nên các vectơ gradientsong song, nghĩa là ∇fpx0, y0q “λ∇gpx0, y0q với λ là hệ số

Lập luận này cũng có thể áp dụng tương tự cho bài toán tìm cực trị của hàm

ba biến fpx, y, zq với điều kiện gpx, y, zq “ k Thay vì xét trên đường đồng mứcnhư ví dụ trước, ta xét mặt đồng mức fpx, y, zq “ c và lập luận rằng nếu giá trịlớn nhất của f là fpx0, y0, z0q “ c, thì mặt đồng mức fpx, y, zq “ c tiếp tuyến với

gpx, y, zq “ k và do vậy các vectơ gradient tương ứng song song Ta phát biểu lậpluận trực quan này như sau

Định lý 2.1 ([1]) Giả sử hàm số fpx, y, zq khả vi trong một miền mà phần trongcủa nó chứa đường cong trơn

¯

.Giá trị của hàm số f trên pCq được xác định bởi hàm số hợp f`xptq, yptq, zptq˘, vàđạo hàm của nó theo biến t là

2.1.1 Phương pháp nhân tử Lagrange với một điều kiện

Ta cần tìm cực trị của hàm số fpx, y, zq với ràng buộc gpx, y, zq “ k Để giảiquyết bài toán này, ta dùng phương pháp nhân tử Lagrange sau đây:

Phương pháp nhân tử Lagrange ([2]): Giả sử fpx, y, zq và gpx, y, zq khả vi,

∇g ‰ 0 khi gpx, y, zq “ 0 Để tìm cực trị của fpx, y, zq với điều kiện gpx, y, zq “ k

ta làm như sau

• Tìm tất cả các giá trị của x, y, z, λ sao cho

∇fpx, y, zq “λ∇gpx, y, zq và gpx, y, zq “khay nói cách khác ta giải hệ phương trình bốn ẩn x, y, z, λ

Tương tự, đối với hàm hai biến, để tìm cực trị của fpx, yq có điều kiện gpx, yq “ k,

ta tìm những giá trị x, y, λ sao cho ∇fpx, yq “ λ∇gpx, yq và gpx, yq “ k, nói cáchkhác là ta giải hệ phương trình ba ẩn sau

gpx, y, zq “2xz `2yz`xy “12

Áp dụng phương pháp nhân tử Lagrange, ta tìm các giá trị x, y, z, λ sao cho

∇V “λ∇g và gpx, y, zq “12, nghĩa là giải hệ sau

xyz“λp2xz `xyq p4q

xyz“λp2yz`xyq p5q

xyz“λp2xz `2yzq p6qNếu λ “0 thì từ (1) (2) (3) ta có yz “xz “xy “0, mâu thuẫn với 2xz`2yz`xy “

12, nên λ ‰0

Từ phương trình p4q,p5q ta có 2xz `xy “ 2yz `xy ñ xz “ yz Mà z ‰ 0 nên

x“ y

Từ phương trình p5q,p6q ta có 2yz`xy “2xz `2yz, suy ra y “2z

Thay x “y “2z vào phương trình 2xz`2yz`xy “12 ta được

4z2`4z2`4z2 “12

Vì x, y, z ą0 nên z “1, x “2, y“2

So sánh với đáp án của Ví dụ 1.14, ta thấy hai phương pháp đều có chung một kếtquả

Ví dụ 2.2 ([2]) Tìm cực trị của hàm fpx, yq “x2`2y2trên đường tròn x2`y2 “1

Lời giải Bài toán yêu cầu ta tìm cực trị của f với điều kiện gpx, yq “x2`y2 “1

Áp dụng phương pháp nhân tử Lagrange, ta giải phương trình ∇f “ λ∇g và

gpx, yq “1, nghĩa là giải hệ sau

Khi x “0, từ phương trình p3q có y “ ˘1 Khi λ “1, từ phương trìnhp2q có y “0

và suy ra từ phương trình p3q có x “ ˘1 Nên f có thể có cực trị tại các điểm

p0, 1q,p0,´1q,p1, 0q, và p´1, 0q Tính giá trị của f tại các điểm đó, ta có

fp0, 1q “2, fp0,´1q “2, fp1, 0q “1, fp´1, 0q “1

Vậy trên đường tròn x2 ` y2 “ 1 cực đại của f là fp0,˘1q “ 2 và cực tiểu là

fp˘1, 0q “1

Ta có thể quan sát trực quan kết quả này trong hai hình sau

Về mặt hình học, Ví dụ 2.2 yêu cầu tìm điểm cao nhất và thấp nhất của đườngcong C nằm trên paraboloid z “x2`2y2 và ngay phía trên đường tròn điều kiện

x2`y2 “1

Biểu diễn hình học của phương pháp nhân tử Lagrange được thể hiện như sau:hai cực trị của hàm fpx, yq “x2`2y2 tương ứng với hai đường mức tiếp xúc đườngtròn điều kiện x2`y2 “1

Ví dụ 2.3 ([2]) Tìm cực trị của hàm fpx, yq “ x2 `2y2 trên hình tròn đóng

x2`y2 ď1

Lời giải Vì f1

x “2x và f1

y “2y nên điểm tới hạn là p0, 0q Để tìm cực trị của hàm

f , ta so sánh giá trị của f tại điểm tới hạn và tại các điểm trên biên đã được tính

d2 “fpx, y, zq “ px´3q2` py´1q2` pz`1q2.Điều kiện là điểm px, y, zq nằm trên mặt cầu, nghĩa là gpx, y, zq “x2`y2`z2 “4.

Áp dụng phương pháp nhân tử Lagrange, ta giải phương trình ∇f “ λ∇g và

1´λ, z “ ´

1

1´λ.Thế vào phương trình p4q được

2.1.2 Phương pháp nhân tử Lagrange với hai điều kiện

Nhiều bài toán yêu cầu chúng ta tìm cực trị của hàm fpx, y, zqvới hai điều kiện

có dạng gpx, y, zq “ k và hpx, y, zq “ c Về mặt hình học, điều này có nghĩa là tatìm cực trị của hàm f khi px, y, zqbị giới hạn nằm trên đường cong trơn C là giaocủa hai mặt mức gpx, y, zq “ k và hpx, y, zq “c, được minh họa trong hình sau

Giả sử f có cực trị tại điểm Ppx0, y0, z0q, khi đó ∇f trực giao với C tại P Lại

có, ∇g trực giao với gpx, y, zq “k và ∇h trực giao với hpx, y, zq “c, nên ∇g và ∇hcùng trực giao với C Điều này nghĩa là vectơ gradient ∇f px0, y0, z0q nằm trongmặt phẳng xác định bởi ∇gpx0, y0, z0q và ∇hpx0, y0, z0q (giả sử các vectơ gradientkhông song song và khác vectơ không) Khi đó, tồn tại hai số λ và µ (được gọi làcác nhân tử Lagrange) sao cho

Áp dụng phương pháp nhân tử Lagrange, ta giải phương trình ∇f “λ∇g`µ∇h,nghĩa là giải hệ sau

µ2 ` 254µ2 “1, giải ra µ “ ˘

2.1.3 Một số bài toán cực trị giải bằng phương pháp nhân tử

Lagrange

Bài toán 2.1 ([7]) Cho ba số thực x, y, z không âm thỏa mãn x`y`z “ 1

9 Tìmgiá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P “x2`2y2`3z3

Lời giải Ta thiết lập hàm Lagrange như sau:

˙

Khi đó thay vào biểu thức ban đầu ta được P “ 14

6561.Tiếp theo ta so sánh giá trị này với các giá trị đặc biệt khác cụ thể là các giá trị biên.Các giá trị biên là x “0, y “0, z “0,px, yq “ p0, 0q ,py, zq “ p0, 0q,pz, xq “ p0, 0q.Với z “0ñx`y “ 1

y “ 127

z “ 427

Khi đó giá trị của P “ 2

243.Tương tự xét với các trường hợp còn lại, P P

81 và

14

6561.Bài toán 2.2 ([7]) (Đề thi thử THPT Quốc gia 2016-2017 THPT ThăngLong - Hà Nội) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x2`y2` pz´1q2 “9 Tìm giá

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là ´3`?10.

Bài toán 2.3 ([7]) Cho số phức z thỏa mãn

ˇ ˇ ˇ ˇ

z`1z

ˇ ˇ ˇ

ˇ “ 3 Tìm giá trị lớn nhất vàgiá trị nhỏ nhất của |z|

Lời giải Đặt z “a`bipa, bPRq

Biến đổi giả thiết ta được ˇˇz2`1ˇˇ “3|z| ô `a2´b2`1˘2`4a2b2 “9`a2`b2˘

Đặt`a2, b2˘“ px, yqpx, y ě0q, ta sẽ chuyển bài toán về tìm giá trị lớn nhất và giá trịnhỏ nhất của T “x`y với x, y thỏa mãn điều kiện x2`y2`2xy´7x´11y`1 “0.Thiết lập hàm Lagrange ta được:

zpx, yq “ x`y`λ`x2 `y2 `2xy´7x´11y`1˘.Khi đó điểm cực trị là nghiệm của hệ phương trình

Vì hệ này vô nghiệm nên chắc chắn điểm rơi của bài toán đạt được tại biên.Cho x “0ñ

»

—

— –

Lời giải Độ dài đoạn M D “a´x

Diện tích tứ giác AMCB là:

S “SABCD ´SM CD “a2´1

2apa´xq “

12

`

a2`ax˘.Khi đó thể tích của khối chóp S.ABCM là:

zpx, yq “ a2y `axy`λ`x2`y2´a2˘.Khi đó điểm cực trị của hàm số sẽ là nghiệm của hệ phương trình:

3 ?

3

8 .

2.2 Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức cổ

điển

2.2.1 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức AM-GM

Bất đẳng thức AM-GM cho hai số không âm

Cho a, b là hai số thực không âm Khi đó

a`b

?

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a“b

Bất đẳng thức AM-GM cho ba số không âm

Cho a, b, c là ba số thực không âm Khi đó

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a“b “c

Bất đẳng thức AM-GM cho n số không âm

Cho a1, a2, , an là n số thực không âm Khi đó

a) Kỹ thuật đánh giá giữa trung bình cộng và trung bình nhân

Ta xét bất đẳng thức (2.2) Nếu tổng a`b`c“S không đổi thì ta có

P “abc ď

´S3

¯ 3

.Tương tự, nếu tích abc “P không đổi thì ta có

S “a`b`cě3?3P Khi đó

min S “3?3P Sau đây ta xét một số ví dụ vận dụng kỹ thuật trên đây

Ví dụ 2.6 ([4], Đề thi tuyển sinh Đại học, Khối D năm 2005) Cho các số thựcdương x, y, z thoả mãn xyz “1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức