Hàm lồi schur và ứng dụng trong toán sơ cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ HIỆP HÀM LỒI SCHUR VÀ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC BÌNH ĐỊNH, NĂM 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN[.]

NGUYỄN THỊ HIỆP

HÀM LỒI SCHUR VÀ ỨNG DỤNG

TRONG TOÁN SƠ CẤP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

BÌNH ĐỊNH, NĂM 2022

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN THỊ HIỆP

HÀM LỒI SCHUR VÀ ỨNG DỤNG

TRONG TOÁN SƠ CẤP

CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

MÃ SỐ: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn: TS LÊ QUANG THUẬN

BÌNH ĐỊNH, NĂM 2022

Mở đầu 3

1.1 Hàm lồi và hàm đối xứng 6

1.1.1 Tập lồi và hàm lồi 6

1.1.2 Tập đối xứng và hàm đối xứng 7

1.2 Bộ trội trên Rn 8

1.3 Ma trận hoán vị, ma trận ngẫu nhiên kép 9

2 Hàm lồi Schur và một số tính chất 12 2.1 Hàm lồi Schur và một số đặc trưng 12

2.1.1 Hàm lồi Schur 12

2.2 Các kết quả liên quan đến hàm lồi Schur 16

2.2.1 Hàm lồi Schur trên tập con của Rn 16

2.2.2 Hàm lồi Schur trên tập Rn 18

2.3 Một số kiểu hàm lồi Schur thường gặp 19

3 Một số ứng dụng của hàm lồi Schur 22 3.1 Bất đẳng thức đẳng liên quan các góc của tam giác 22

3.2 Bất đẳng thức liên quan đến các cạnh của tam giác 33

3.3 Bất đẳng thức đẳng chu 40

3.3.1 Bất đẳng thức đẳng chu giải tích 41

3.3.2 Bất đẳng thức đẳng chu hình học 47

1

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn với tiêu đề Hàm lồi Schur và ứng dụng trong

toán sơ cấp là kết quả nghiên cứu khoa học của tôi dưới sự hướng dẫn của

TS Lê Quang Thuận, trên cơ sở tham khảo các tài liệu trích dẫn, làm rõ

và trình bày lại theo cách hiểu của bản thân Nội dung không sao chép củabất kỳ ai và chưa được công bố dưới bất kỳ hình thức nào, các kết quảkhông phải của riêng tôi đều được trích dẫn có nguồn gốc rõ ràng

Bình Định, ngày 29 tháng 07 năm 2022

Học viên thực hiện

Nguyễn Thị Hiệp

2

Năm 1923, khi nghiên cứu để đưa ra chứng minh sơ cấp cho các bất đẳngthức định thức của Hadamard, I Schur [4] đã đưa ra một lớp các hàm quantrọng mà ngày nay người ta hay gọi là hàm lồi Schur Trong toán học, tabiết rằng một lượng lớn các bất đẳng thức có thể nhận được với một quan

hệ thứ tự riêng phần và các hàm bảo toàn thứ tự được xác định Giả sử

ď là một quan hệ thứ tự từng phần hoặc tiền sắp thứ tự định nghĩa trênmột tập con A của Rn Một hàm φ : A Ñ R được gọi là bảo toàn thứ tự

nếu

x, y P A, x ď y ùñ φpxq ď φpyq.

Với quan hệ tiền sắp thứ tự là sự trội hóa ă, định lý của Muirhead (1903)xác định một lớp các hàm bảo toàn thứ tự Thêm vào các hàm như thếđược nhận dạng bởi Dalton (1920) Động cơ nghiên cứu của Dalton là địnhgiá sự đo các bất đẳng thức thu nhập, bao gồm

Với mong muốn tìm hiểu sâu một số vấn đề về hàm lồi Schur và ứngdụng của chúng trong việc thiết lập các bất đẳng thức, học viên đã chọn

đề tài “Hàm lồi Schur và ứng dụng trong toán sơ cấp” để nghiên cứu cho

luận văn thạc sĩ của mình

Ngoài phần mở đầu, kết luận, và tài liệu tham khảo, nội dung chính củaluận văn gồm ba chương

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi nhắclại một số kiến thức cơ bản có liên quan nhằm phục vụ cho Chương 2 vàChương 3

Chương 2: Hàm lồi Schur và một số tính chất Nội dung chính của chương

là trình bày khái niệm hàm lồi Schur, thiết lập các đặc trưng tương đương

và các tính chất của chúng Chúng tôi trình bày các kết quả liên quan đếnhàm lồi Schur và một số trường hợp đặc biệt của hàm lồi Schur

Chương 3: Một số ứng dụng của hàm lồi Schur Trong chương này, chúngtôi sử dụng hàm lồi Schur vào việc chứng minh các bất đẳng thức hình họctrong tam giác như: Các bất đẳng thức về các góc của tam giác, các bấtđẳng thức về các cạnh của tam giác, các bất đẳng thức đẳng chu giải tích

và bất đẳng thức đẳng chu hình học

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của TS LêQuang Thuận, Khoa Toán và Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn Nhân

dịp này tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy đãgiúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn.

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu Trường Đại học QuyNhơn, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Toán và Thống kê, cùng quýthầy cô giáo giảng dạy lớp cao học Phương pháp Toán sơ cấp khóa 23 đãdày công giảng dạy trong suốt khóa học, tạo điều kiện thuận lợi cho tôitrong quá trình học tập và thực hiện đề tài

Nhân đây tôi cũng xin chân thành cảm ơn sự hỗ trợ về mặt tinh thầncủa gia đình, đồng nghiệp, bạn bè đã luôn tạo mọi điều kiện giúp đỡ đểtôi hoàn thành tốt khóa học và luận văn này

Mặc dù luận văn được thực hiện với sự nỗ lực cố gắng hết sức củabản thân, nhưng do điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức và kinhnghiệm nghiên cứu còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếusót Tôi rất mong nhận được những góp ý của quý thầy cô giáo để luậnvăn được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn

Bình Định, ngày 29 tháng 07 năm 2022

Học viên

Nguyễn Thị Hiệp

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị về tậplồi, hàm lồi, tập đối xứng và hàm đối xứng Sau đó, chúng tôi trình bàycác khái niệm về sự trội hóa, ma trận hoán vị, ma trận ngẫu nhiên kép vàcác tính chất của chúng để chuẩn bị cho các chương sau

Định lý 1.1 Cho hàm ϕ liên tục trên tập lồi A là con của R n Hàm ϕ là hàm lồi trên A nếu và chỉ nếu

Mệnh đề 1.1 Cho f là hàm lồi trên tập lồi A và g là hàm lồi không giảm

trên R Khi đó φ pxq “ g pf pxqq là hàm lồi trên A Hơn nữa, nếu f là hàm lồi ngặt và g là hàm lồi và tăng ngặt thì φ là hàm lồi ngặt trên A.

Chứng minh Theo định nghĩa của hàm φ thì

Định nghĩa 1.6. Với x “ px1, x2, , x nq P Rn, ta ký hiệu

aq xr1s ě xr2s ě ¨ ¨ ¨ ě x rns là các thành phần của x được sắp xếp theo

b) řn i“1 x ris “ řn i“1 y ris và

ˆ1

Định nghĩa 1.7. Ma trận hoán vị là một ma trận có được bằng cách hoán

vị các hàng và cột (hoặc cột và hàng) của một ma trận đơn vị cấp n ˆ n.

Như vậy, ma trận hoán vị là một ma trận vuông mà mỗi hàng và mỗi

cột chỉ có một phần tử có giá trị 1, các phần tử còn lại có giá trị 0.

0 1 2

1 2 1

2 0 1

2 1

b) Tồn tại một ma trận ngẫu nhiên kép S sao cho x “ yS.

Ví dụ 1.6. Giả sử a1, a2, a3 là độ dài 3 cạnh của một tam giác Gọi s “

pa1 ` a2 ` a3q {2 là nửa chu vi của tam giác và s1 ” 2 ps ´ a1q “ ´a1 `

a2` a3, s2 ” 2 ps ´ a2q “ a1 ´ a2` a3, s3 ” 2 ps ´ a3q “ a1 ` a2´ a3. Khiđó

a1 “ 1

2ps2 ` s3q , a2 “ 1

2ps1 ` s3q , a3 “ 1

2ps1 ` s2q

0 1 2

1 2 1

2 0 1

2 1

.

Từ đây, theo Định lý 1.3 ta suy ra

pa1, a2, a3q ă ps1, s2, s3q

Chương 2

Hàm lồi Schur và một số tính chất

Hàm lồi Schur được giới thiệu bởi I Schur năm 1923 [4] Trong chươngnày, chúng tôi tìm hiểu khái niệm hàm lồi Schur và một số đặc trưng, tínhchất của hàm lồi Schur Các khái niệm và kết quả trình bày ở đây đượctham khảo từ sách chuyên khảo [1]

2.1 Hàm lồi Schur và một số đặc trưng

Các hàm bảo toàn thứ tự của sự trội hóa được gọi là hàm lồi Schur hay lồitheo nghĩa của Schur

Định nghĩa 2.1. Cho A Ă Rn là một tập không rỗng Hàm số ϕ : A Ñ R

được gọi là lồi Schur nếu

12

Nhận xét 2.1. Hàm ϕ là lõm Schur khi và chỉ khi hàm ´ϕ là lồi Schur.

Nhận xét 2.2. Vì trên Rn quan hệ trội hóa ă có tính chất x ă xP ă x với mọi ma trận hoán vị P, nên nếu ϕ là hàm lồi Schur trên tập đối xứng

A thì ϕ là hàm đối xứng trên A Do vậy, nếu ϕ là hàm đối xứng trên tập đối xứng A và lồi Schur trên D X A thì ϕ là lồi Schur trên A, trong đó

D “ tx : x1 ě ě x n u

Với nhận xét trên, trước hết chúng ta hãy xét tính chất của hàm lồi

Schur xác định trên D.

Mệnh đề 2.1 Cho ϕ là hàm thực xác định và liên tục trên D Khi đó ϕ

là hàm lồi Schur khi và chỉ khi @z P D và k “ 1, , n ´ 1,

ϕ pz1, , z k´1 , z k ` ε, z k`1 ´ ε, z k`2 , , z nq (2.1)

tăng theo ε với

0 ď ε ď min tz k´1 ´ z k , z k`1 ´ z k`2 u , k “ 1, , n ´ 2,

0 ď ε ď z n´2 ´ z n´1 , k “ n ´ 1.

Mệnh đề 2.2 Cho ϕ là hàm thực xác định và liên tục trên D Khi đó, ϕ

là hàm lồi Schur chặt khi và chỉ khi (2.1) là tăng chặt theo ε đã chỉ ra.

đối với mỗi bộ cố định s, x3, , x n

Để thấy điều này, lưu ý rằng tính đơn điệu của (2.1) theo ε có thể dễ dàng thu được bằng cách sử dụng tính đối xứng của hàm ϕ.

Các điều kiện của Mệnh đề 2.1 có thể được biểu diễn dưới dạng khác nếu

ϕ là hàm khả vi Trong trường hợp này, đạo hàm riêng của ϕ k được xácđịnh bởi

ϕ pkq pzq “ Bϕ pzq

Bz k

.

Định lý 2.1 Cho ϕ là hàm thực, xác định, liên tục trên D và khả vi,

liên tục trên phần trong của D Khi đó, ϕ là hàm lồi Schur khi và chỉ khi

trong đó pz1, , z k´1 , z k ` ε, z k`1 ´ ε, z k`2 , , z nq thuộc phần trong của

D. Kết hợp với Mệnh đề 2.1 thì Định lý đã được chứng minh

Định lý 2.2 (Schur, 1923) Cho ϕ là hàm thực, xác định trên D và

khả vi cấp hai trên phần trong của D Giả sử ϕ là hàm lồi Schur trên D Nếu ϕ pkq pzq “ ϕ pk`1q pzq suy ra

ϕ pk,kq pzq ´ ϕ pk,k`1q pzq ´ ϕ pk`1,kq pzq ` ϕ pk`1,k`1q pzq ą 0, (2.2)

thì ϕ là hàm lồi Schur chặt trên D.

Chứng minh Giả sử ϕ là một hàm thực xác định trên một tập đóng ra, bs Ă

R và khả vi cấp hai trên pa, bq Nếu ϕ1pxq ě 0, @x P pa, bq và ϕ2

pxq ą 0, @x sao cho ϕ1

pxq “ 0, thì ϕ là hàm tăng chặt trên ra, bs Theo Mệnh đề 2.1

thì Định lý đã được chứng minh

Định lý sau đây là sự kết hợp của Định lý 2.1 và Nhận xét 2.2

Định lý 2.3 (Schur, 1923; Ostrowski, 1952) Giả sử I Ă R là một

khoảng mở và ϕ : I n

Ñ R là hàm khả vi, liên tục Điều kiện cần và đủ để

ϕ lồi Schur trên I n là

ϕ đối xứng trên I n (2.3)

và

ϕ piq pzq là giảm với i “ 1, , n @z P D X I n (2.4)

Ngoài ra, ϕ là lồi Schur trên I n khi và chỉ khi (2.3) xảy ra và với mọi

i ‰ j, thì

pz i ´ z jq“ϕ piq pzq ´ ϕ pjq pzq‰ ě 0, @z P I n (2.5)

Schur (1923) đưa ra Định lý 2.3 trong trường hợp I “ p0, 8q và

Os-trowski (1952) đưa ra kết quả đối với một khoảng mở tùy ý

Kết hợp kết quả của (2.3) và (2.5) ta được kết quả đơn giản hơn để kiểmtra hàm lồi Schur là

Định lý 2.4 Giả sử ϕ : Rn

Ñ R là hàm khả vi cấp hai, nếu điều kiện

(2.3) và (2.4) thỏa mãn và nếu ϕ pkq pzq “ ϕ pk`1q pzq suy ra (2.2) Khi đó,

ϕ là lồi Schur chặt trên R n

Kết quả này được suy ra từ Định lý 2.2

Nhận xét 2.4. Do tính đối xứng của hàm ϕ nên để chứng minh hàm ϕ là hàm lồi Schur chúng ta thường xét trong trường hợp n “ 2 mà vẫn không

làm mất tính tổng quát của nó

2.2 Các kết quả liên quan đến hàm lồi Schur

Ta xét mệnh đề sau

Mệnh đề 2.4 Cho A Ă R n , các hàm thực ϕ1, , ϕ k xác định trên A và

h là hàm thực xác định trên R k , xét hàm ψ pxq “ h pϕ1pxq , , ϕ k pxqq

Khi đó, chúng ta có các trường hợp sau

(1) Nếu h tăng trên R k và mỗi ϕ i là lồi Schur trên A thì ψ là lồi Schur trên A.

(2) Nếu h giảm trên R k và mỗi ϕ i là lồi Schur trên A thì ψ là lõm Schur trên A.

(3) Nếu h tăng trên R k và mỗi ϕ i là lõm Schur trên A thì ψ là lõm Schur trên A.

(4) Nếu h giảm trên R k và mỗi ϕ i là lõm Schur trên A thì ψ là lồi Schur trên A.

(5) Nếu h tăng trên R k và mỗi ϕ i là tăng và lồi Schur trên A thì ψ là tăng và lồi Schur trên A.

(6) Nếu h giảm trên R k và mỗi ϕ i là tăng và lồi Schur trên A thì ψ là giảm và lõm Schur trên A.

(7) Nếu h tăng trên R k và mỗi ϕ i là giảm và lõm Schur trên A thì ψ là giảm và lõm Schur trên A.

(8) Nếu h giảm trên R k và mỗi ϕ i là giảm và lõm Schur trên A thì ψ là tăng và lồi Schur trên A.

(9) Nếu h tăng trên R k và mỗi ϕ i là giảm và lồi Schur trên A thì ψ là giảm và lồi Schur trên A.

(10) Nếu h giảm trên R k và mỗi ϕ i là tăng và lõm Schur trên A thì ψ là giảm và lồi Schur trên A.

(11) Nếu h tăng trên R k và mỗi ϕ i là tăng và lõm Schur trên A thì ψ là tăng và lõm Schur trên A.

(12) Nếu h giảm trên R k và mỗi ϕ i là giảm và lồi Schur trên A thì ψ là tăng và lõm Schur trên A.

Chứng minh Trường hợp (1 )

Giả sử x ă y trên D, vì mỗi ϕ i là lồi Schur nên ϕ i pxq ď ϕ i pyq , i “

1, , k Mà h tăng nên h pϕ1pxq , , ϕ k pxqq ď h pϕ1pyq , , ϕ k pyqq Khi

đó, trường hợp (1 ) đã được chứng minh Các trường hợp còn lại chứng

minh tương tự

Sau đây là một số trường hợp đặc biệt

Mệnh đề 2.5 Nếu ϕ1, , ϕ k là những hàm lồi Schur thì

min pϕ1, , ϕ k q và max pϕ1, , ϕ kqcũng là những hàm lồi Schur.

Mệnh đề 2.6 Nếu ϕ1, , ϕ k là những hàm lồi Schur và ϕ i pxq ě 0 với

Khi đó, ψ t là hàm lồi Schur trên A.

Điều đó có nghĩa là hàm tx|ϕ pxq ě tu là lồi Schur khi ϕ là lồi Schur.

Ta xét mệnh đề sau

Mệnh đề 2.8 Cho ϕ : Rn

Ñ R và g : R Ñ R, xét hàm ψ pxq “

ϕ pg px1q , , g px n qq , trong đó x “ px1, , x n q Khi đó, chúng ta có các trường hợp sau

(1) Nếu ϕ là hàm tăng và lồi Schur, g là hàm lồi thì ψ là hàm lồi Schur (2) Nếu ϕ là hàm giảm và lồi Schur, g là hàm lõm thì ψ là hàm lồi Schur (3) Nếu ϕ là hàm tăng và lồi Schur, g là hàm tăng và lồi thì ψ là hàm tăng và lồi Schur.

(4) Nếu ϕ là hàm giảm và lồi Schur, g là hàm giảm và lõm thì ψ là hàm tăng và lồi Schur.

(5) Nếu ϕ là hàm tăng và lồi Schur, g là hàm giảm và lồi thì ψ là hàm giảm và lồi Schur.

(6) Nếu ϕ là hàm giảm và lồi Schur, g là hàm tăng và lõm thì ψ là hàm giảm và lồi Schur.

Chứng minh. Do Nhận xét 2.4, nên chúng ta chỉ xét trong trường hợp

n “ 2.

Xét trường hợp (1 ) Giả sử x “ px1, x2q , y “ py1, y2q với α P r0, 1s , α “ 1´α

và x1 “ αy1 ` αy2, x2 “ αy1 ` αy2 Vì ϕ là hàm tăng và g lồi nên

ϕ pg px1q , g px2qq “ ϕ pg pαy1 ` αy2q , g pαy1 ` αy2qq

là hàm lồi Schur trên I n

Chứng minh. Do Nhận xét 2.4, chúng ta chỉ cần xét trong trường hợp

n “ 2 Giả sử x “ px1, x2q , y “ py1, y2q và x1 “ αy1 ` αy2, x2 “ αy1 ` αy2,

với α P r0, 1s , α “ 1 ´ α Nếu x ă y thì theo tính lồi của hàm g ta có

g px1q ` g px2q “ g pαy1 ` αy2q ` g pαy1 ` αy2q

ď rαg py1q ` αg py2qs ` rαg py1q ` αg py2qs

“ g py1q ` g py2q

Hay

x ă y ñ ϕ pxq ď ϕ pyq

Vậy ϕ là hàm lồi Schur.

Hệ quả 2.1 Giả sử I Ă R là một khoảng mở và ϕ pxq “

Định lý 2.6 ( [1] ) Nếu ϕ là hàm đối xứng và lồi thì ϕ là hàm lồi Schur.

Chứng minh. Do nhận xét 2.4, nên chúng ta chỉ xét trong trường hợp

n “ 2 Giả sử x “ px1, x2q , y “ py1, y2q , với α P r0, 1s , α “ 1 ´ α và

x1 “ αy1 ` αy2, x2 “ αy1 ` αy2 Vì ϕ là hàm lồi nên nếu x ă y thì

ϕ px1, x2q “ ϕ pαy1 ` αy2, αy1 ` αy2q “ ϕ rα py1, y2q ` α py2, y1qs

ď αϕ py1, y2q ` αϕ py2, y1q “ ϕ py1, y2q

Hay

x ă y ñ ϕ pxq ď ϕ pyq

Hệ quả 2.3 Nếu ϕ là đối xứng và lồi trong mỗi cặp đối số, các đối số

khác được cố định thì ϕ là hàm lồi Schur.

Hệ quả 2.4 Nếu ϕ là đối xứng và ϕ px1, s ´ x1, x3, , x n q lồi theo x1 với mỗi s, x3, , x n cố định thì ϕ là hàm lồi Schur.

Chương 3

Một số ứng dụng của hàm lồi Schur

Hàm lồi Schur được giới thiệu bởi I Schur năm 1923 [4] và có nhiều ứngdụng quan trọng trong bất đẳng thức Mục đích của chương này nhằmtrình bày lại một số bất đẳng thức hình học liên quan trong tam giác dướicách nhìn từ tính chất của hàm lồi Schur Chúng tôi cũng tìm hiểu một

số ứng dụng tính chất của hàm lồi Schur trong việc mở rộng các bất đẳngthức đẳng chu giải tích và bất đẳng thức đẳng chu hình học Các kết quảtrình bày ở đây được sưu tầm và làm rõ từ tài liệu tham khảo [1] và [3]

3.1 Bất đẳng thức đẳng liên quan các góc

của tam giác

Để thiết lập các bất đẳng thức liên quan đến các góc của một tam giác

dùng định nghĩa hàm lồi Schur, ta thiết lập các bộ trội sau đây: Với A, B, C

là các góc cho trước của tam giác ABC, ta có A ` B ` C “ π và tồn tại

nếu tam giác ABC là tam giác tù Do đó, nếu ϕ : R3

Ñ R là hàm lồi Schurthì

nếu tam giác ABC là tam giác tù.

Như vậy, bằng cách chọn hàm lồi Schur khác nhau, ta sẽ đưa ra đượccác bất đẳng thức khác nhau liên quan đến các góc của tam giác Trong

các kết quả về hàm lồi Schur trong phần này, hàm lồi Schur ϕ theo 3 biến

sẽ được lấy ở dạng

ϕpx1, x2, x3q “ gpx1q ` gpx2q ` gpx3q,

trong đó g là hàm lồi một biến cho trước.

Trong các bài toán sau, các bất đẳng thức được đưa ra với các hàm

lượng giác thường gặp sin, cos và tan

Bài toán 1. Chứng minh rằng:

a) Với mọi tam giác ABC, ta có

0 ă sin A ` sin B ` sin C ď 3

?3

b) Với mọi tam giác ABC nhọn, ta có

2 ă sin A ` sin B ` sin C ď 3

?3

c) Với mọi tam giác ABC tù, ta có

0 ă sin A ` sin B ` sin C ď 1 `?2. (3.9)

ϕ px1, x2, x3q “ ´sin x1 ´ sin x2 ´sin x3

là hàm lồi Schur trên p0, πq3

a) Với ABC là tam giác bất kỳ cho trước, tồn tại ε ą 0 đủ nhỏ sao cho

2 .Bất đẳng thức đã được chứng minh

b) Với ABC là tam giác nhọn cho trước, tồn tại ε ą 0 đủ nhỏ sao cho