Hàm gg l˙i và ứng dụng trong toán sơ cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HUỲNH THỊ THANH HÀ HÀM GG LỒI VÀ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định Năm 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN H[.]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

HUỲNH THỊ THANH HÀ

HÀM GG-LỒI VÀ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN SƠ CẤP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Bình Định - Năm 2022

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

HUỲNH THỊ THANH HÀ

HÀM GG-LỒI VÀ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN SƠ CẤP

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8460113

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN

TS NGUYỄN VĂN THÀNH

Tôi xin cam đoan luận văn này là của tôi dưới sự hướng dẫn của Thầy TS.Nguyễn Văn Thành Luận văn không sao chép bất kỳ một luận án, luận văn haytài liệu nào đã có trước đó.

Các kết quả được sử dụng trong luận văn đều được tôi trích dẫn rõ ràng,trung thực và tuân thủ theo đúng quy định

Bình Định, tháng 8 năm 2022

Mở đầu 1

1.1 Kiến thức cơ sở của hàm lồi 4

1.2 Bất đẳng thức Jensen và một số hệ quả 9

1.2.1 Bất đẳng thức Jensen 9

1.2.2 Một số hệ quả 10

1.3 Các tính chất của hàm lồi 15

1.3.1 Tính trơn 15

1.3.2 Đạo hàm cấp hai 21

1.3.3 Dưới vi phân 22

1.4 Bất đẳng thức Hermite-Hadamard và Bất đẳng thức Karamata 24 1.4.1 Bất đẳng thức Hermite-Hadamard 24

1.4.2 Bất đẳng thức Karamata 25

2 Hàm GG-lồi và các tính chất cơ bản 29 2.1 Định nghĩa hàm GG-lồi và mối quan hệ giữa hàm GG-lồi với hàm lồi 29

2.1.1 Định nghĩa hàm GG-lồi 29

2.1.2 Mối quan hệ giữa hàm GG-lồi với hàm lồi 29

2.2 Các tính chất chung của hàm GG-lồi 30

2.3 Tính lồi nhân tính của các hàm đặc biệt 34

2.5 Bất đẳng thức Hermite-Hadamard và Bất đẳng thức Karamata 42 2.5.1 Các vấn đề liên quan đến Bất đẳng thức Hermite-Hadamard 42

2.5.2 Bất đẳng thức Karamata 48

3 Ứng dụng hàm GG-lồi 50 3.1 Nhắc lại một số hàm GG-lồi 50

3.2 Một số bài toán áp dụng 52

3.2.1 Một số bất đẳng thức trong toán phổ thông 52

3.2.2 Một số bất đẳng thức về dãy số 55

3.2.3 Một số bất đẳng thức liên quan đến các biến thể của Bất đẳng thức Hermite-Hadamard 64

Tài liệu tham khảo

và các mở rộng của nó là một chủ đề hấp dẫn với nhiều kết quả phong phú vàluôn thu hút sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu.

Các bài toán bất đẳng thức rất phong phú và đa dạng, có nhiều phương phápgiải khác nhau, trong đó phương pháp ứng dụng hàm GG-lồi vào chứng minh cáclớp bất đẳng thức được coi là phương pháp hay và độc đáo; nhưng cũng mới lạ đốivới giáo viên và học sinh phổ thông Việc nghiên cứu các phương pháp giải cácbài toán liên quan đến ứng dụng hàm GG-lồi là một vấn đề thời sự và có nhiềunghiên cứu về lĩnh vực này Trong thời gian gần đây, trên trang web ScienceDirectxuất hiện nhiều bài báo khoa học liên quan đến hàm GG-lồi Chẳng hạn như bàibáo mang tên"Multiplicative convexity and its applications" do Kaizhong Guanviết vào năm 2010 được đăng trên tạp chí Journal of Mathematical Analysis andApplcations đưa ra nhiều kết quả mở rộng liên quan đến hàm GG-lồi Bài báonăm 2019 của S.S.Dragomir viết về nội dung "Inequalities of Hermite-HadamardType for GG-Convex Functions" dựa trên bài báo "Convexity according to thegoemetric mean" năm 2000 của C.P.Niculescu, S.S.Dragomir đã giới thiệu rấtnhiều hàm GG-lồi, từ đó rút ra một số kết quả chính liên quan đến các bất đẳngthức của hàm GG-lồi

Xuất phát từ những ý tưởng trên cùng sự đam mê của bản thân và sự giúp

đỡ tận tình của Thầy TS Nguyễn Văn Thành, tôi thấy cần tìm hiểu thêm vàmuốn được tiếp cận nó

Đó là lí do mà chúng tôi chọn đề tài:"Hàm GG-lồi và ứng dụng trong

toán sơ cấp".

Luận văn đề cập đến hàm GG-lồi và các tính chất của nó Sau đó, chúng tôitìm hiểu và trình bày một số ứng dụng của hàm GG-lồi vào việc chứng minhbất đẳng thức Nội dung trong luận văn được trình bày một cách chặt chẽ vềmặt toán học, được chia thành ba chương

Chương 1 Hàm lồi và các tính chất cơ bản

Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm hàm lồi và các ví dụ; Bấtđẳng thức Jensen và một số hệ quả; một số tính chất của hàm lồi; Bất đẳngthức Hermite-Hadamard và Bất đẳng thức Karamata

Chương 2 Hàm GG-lồi và các tính chất cơ bản

Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm hàm GG-lồi; mối liên quangiữa hàm GG-lồi và hàm lồi; các tính chất liên quan đến hàm GG-lồi; tính lồinhân tính của các hàm đặc biệt; tính lồi nhân tính liên quan đến dãy số; cácbiến thể của Bất đẳng thức Hermite-Hadamard và Bất đẳng thức Karamata chohàm GG-lồi

Chương 3 Ứng dụng của hàm GG-lồi

Trong chương này, chúng tôi trình bày các bài toán chứng minh Bất đẳngthức dựa vào sử dụng các kết quả liên quan đến hàm GG-lồi

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Quy Nhơn dưới

sự hướng dẫn của Thầy TS Nguyễn Văn Thành Nhân đây tôi xin được bày tỏ

sự kính trọng và lòng cảm ơn sâu sắc đến Thầy TS Nguyễn Văn Thành đã tậntình hướng dẫn tôi thực hiện đề tài luận văn này Thầy chính là người đã địnhhướng, tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất và cho tôi những nhận xét quý báu đểtôi có thể hoàn thành luận văn với hiệu quả cao nhất

Tôi cũng xin phép gởi lời biết ơn tất cả các Thầy Cô đã giảng dạy lớp Phươngpháp toán sơ cấp, trường Đại học Quy Nhơn cũng như toàn thể quý Thầy Côcủa Khoa toán và Thống kê đã cho tôi kiến thức và quan tâm tôi trong suốt hainăm học Thạc sĩ

Cuối cùng tôi xin phép gởi lời cảm ơn đến gia đình và những người bạn luônquan tâm, giúp đỡ và động viên tôi trong suốt quãng đường học tập vừa qua.Mặc dù chúng tôi đã rất cố gắng học hỏi, tìm tòi và nghiên cứu trong quátrình hoàn thành luận văn, nhưng do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên

luận văn không thể trách khỏi những thiếu sót Rất mong quý Thầy Cô và bạnđọc góp ý để luận văn được hoàn thiện hơn.

Bịnh Định, tháng 8 năm 2022

Học viên

Huỳnh Thị Thanh Hà

Chương 1

Hàm lồi và các tính chất cơ bản

Phép chứng minh các định lí trong chương này được tham khảo trong [9] và[10] Ở đây, chúng tôi chỉ xét hàm lồi một biến trên I là khoảng cho trước trongR

Định nghĩa 1.1 ([9]) Hàm f : I ÑR được gọi là hàm lồi nếu @x, y P I, @λ P

r0, 1s ta có

fpp1´λqx`λyq ď p1´λqfpxq `λfpyq (1.1)

Ta gọi f là hàm lồi ngặt nếu (1.1) là bất đẳng thức thực sự khi x ‰ y,

@λP p0, 1q Hàm f được gọi là hàm lõm (lõm ngặt) nếu ´f là hàm lồi (lồi ngặt).Hàm f được gọi là hàm affine nếu f vừa là hàm lồi vừa là hàm lõm

Ví dụ 1.2 1 Các hàm sau là hàm lồi: hàm phần dương fpxq “ x` “maxtx, 0u; hàm phần âm fpxq “ x´

“ maxt´x, 0u; hàm trị tuyệt đối

với mọi x P ru, vs, @u, v PI, u ăv Điều này thể hiện đồ thị của hàm lồi f nằmdưới đoạn thẳng nối hai điểm pu, fpuqq và pv, fpvqq trong ru, vs.

Hình 1.1.1Nhận xét 1.4 ([9]) Mọi hàm lồi f xác định trên ru, vs đều bị chặn trên ru, vs,tức là

fpxq ď maxtfpuq, fpvqu, @xP ru, vs.Định lí 1.1 ([9]) Giả sử f : I ÑR là hàm lồi Khi đó, f liên tục tại mọi điểmthuộc phần trong của I

Chứng minh Giả sử @aP intI, @ą0 sao cho ra´, a`s Ă I Khi đó, với mọi

tP r0, 1s ta có a˘t“ p1´tqa`tpa˘q, theo định nghĩa hàm lồi f ta được

fpa˘tq ď p1´tqfpaq `tfpa˘q.Suy ra

fpaq ď 1

t`1fpa˘tq `

t

t`1fpa¯q.

Nhân hai vế với t`1ą0 ta được

fpa˘tq ´fpaq ě ´tpfpa¯q ´fpaqq (1.3)

Từ (1.2) và (1.3) ta được

|fpa˘tq ´fpaq| ďt maxt|fpa´q ´fpaq|,|fpa`q ´fpaq|u

Vậy f liên tục tại a

Định lí 1.2 ([9]) Cho hàm f : I ÑR Khi đó, f lồi (lồi ngặt) nếu và chỉ nếuvới mọi J Ă I là tập compact và mọi hàm affine L ta có sup

J

tf `Lu đạt tại vịtrí đầu mút của J

Chứng minh ñ/ Giả sử f là hàm lồi trên I Xét hàm affine L, với mọi J Ă I,

J “ rx, ys, đặt F “f `L

Vì f là hàm lồi và L là hàm affine nên F là hàm lồi Lấy z P J, @λ P r0, 1s ta

có z “λx` p1´λqy Áp dụng định nghĩa cho hàm lồi F ta được

Fpzq “Fpλx` p1´λqyq ďλFpxq ` p1´λqFpyq.Lấy supremum hai vế ta được

Vì L là hàm affine nên nó tuyến tính, đồng thời vì fpxq “Lpxq, fpyq “Lpyqnên

fpλx` p1´λqyq ďλfpxq ` p1´λqfpyq, @x, y PI

Định lí 1.3 (Jensen, [9]) Hàm f : I Ñ R là hàm lồi nếu và chỉ nếu nó thỏamãn hai điều kiện sau:

(i) f liên tục tại mọi điểm thuộc intI;

(ii) f lồi trung điểm, tức là f

ˆx`y2

Ta có

´φ

ˆ

x`y2

˙

“f

ˆ

x`y2

´φ

ˆ

x`y2

Theo định nghĩa infimum của c, @h ą0 ta có

Nhận xét 1.5 ([9]) Từ kết quả của Định lí 1.3 ta có hệ quả sau:

Cho hàm f : I ÑR là hàm liên tục Khi đó, f lồi nếu và chỉ nếu@x PI, @hą

0 sao cho x´h, x`hP I ta có

fpx`hq `fpx´hq ´2fpxq ě0

Ví dụ 1.6 ([9]) Xét hàm fpxq “ ´log x là hàm lồi trên p0,8q Khi đó, @hą0

ta có

logpx`hq `logpx´hq ď 2 log x

Đặt a “ x`h, b “ x´h là hai số dương, ta được x “ a`b

˙ 2

ô a`b

?ab

Nhận xét 1.7 ([9]) Dùng định nghĩa hàm lồi ta kiểm tra được các phép toánsau:

1 Tổng của hai hàm lồi cùng xác định trên I là hàm lồi trên I Nếu mộttrong hai hàm lồi là lồi ngặt thì tổng của chúng là hàm lồi ngặt trên I

2 Tích của hàm lồi (lồi ngặt) và một số dương là hàm lồi (lồi ngặt)

3 Cho hàm f và g là hai hàm lồi dương xác định trên khoảng I sao cho

pfpxq ´fpyqq pgpxq ´gpyqq ě0, @x, yP I

Khi đó, f g là hàm lồi trên I.

4 Cho J Ă I, f là hàm lồi (lồi ngặt) trên I Khi đó, f cũng là hàm lồi (lồingặt) trên J

5 Hợp của một hàm lồi tăng (giảm) và một hàm lồi (lõm) là một hàm lồi

6 Giả sử f : I Ñ J là song ánh, f tăng ngặt Khi đó, f lồi (lồi ngặt) khi vàchỉ khi f´1 là hàm lõm (lõm ngặt) Ngược lại, nếu f là song ánh và là hàm lồi(lõm) giảm thì f´1 là hàm lồi (lõm)

9 Hợp của một hàm lồi f và hàm affine ax`b là một hàm lồi

λkxk

˙ ď

n ř k“1

λkfpxkq

Trong trường hợp f lồi ngặt, bất đẳng thức trên là thực sự khi xi không trùngnhau với i“1, 2, , n và với mọi λ1, , λn P p0, 1q

Chứng minh ‹ Trước hết, ta chứng minh Bất đẳng thức Jensen cho hàm lồi

ð { Chọn λ1, λ2 P r0, 1s sao cho λ1 `λ2 “ 1 và λ3 “ “ λn “ 0, theo địnhnghĩa hàm lồi ta được f lồi

ñ { Giả sử f là hàm lồi, ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp Thậtvậy, với n“2 bất đẳng thức hiển nhiên đúng.

Giả sử bất đẳng thức đúng với n tức là

f

ˆ n ř k“1

λkxk

˙ ď

n ř k“1

λkfpxkq

Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n`1 Thật vậy, ta có thể viết lại

n`1 ÿ k“1

λkxk “ p1´λn`1q

˜ n ÿ k“1

λkxk

¸

ď p1´λn`1qf

˜ n ÿ k“1

n ř k“1

λkfpxkq

1.2.2 Một số hệ quả

Định lí 1.5 ([9]) Nếu x1, , xn P p0,8q, xi không trùng nhau với mọi i“1, , n

và mọi λ1, , λn P p0, 1q sao cho

n ř k“1

λk “1 thì

n ř k“1

Dấu "“" xảy ra khi ap “bq

Ta gọi (1.5) là Bất đẳng thức Young với a, b ě0 và p, q P p1,8q

Định lí 1.6 (Bất đẳng thức Rogers-Holder, [9]) Cho p, q: P p1,8q,1

p `

1

q “ 1,giả sử f PLppµq, g P Lqpµq Khi đó

ż Ω

|f g|dµ ď }f}Lp }g}Lq

Chứng minh Trường hợp }f}Lp “ 0 hoặc }g}Lq “ 0, bất đẳng thức hiển nhiênđúng Do đó, ta giả sử }f}Lp ą 0 và }g}Lq ą 0, áp dụng Bất đẳng thức Youngvới a“ |fpxq|

ˆ |fpxq|

}f}Lp

˙ p

` 1q

ˆ |fpxq|

}f}Lp

˙ p

dµ` 1qż Ω

|gpxq|qdµ “ }g}qLq nên1

}f}Lp }g}Lq

ż Ω

|fpxqgpxq|dµď1

Định lí 1.7 (Bất đẳng thức Minkowski, [9]) Cho p P r1,8q và f, g P Lppµq tacó

}f `g}Lp ď }f}Lp ` }g}Lp.Chứng minh ‹ Với p “1 kết quả là hiển nhiên đúng

‹ Với p P p1,`8q ta có |f `g|p “ |f `g|p´1|f `g| ď |f `g|p´1p|f| ` |g|q.Suy ra

ż Ω

|f `g|pdµ ď

ż Ω

|f `g|p´1|f|dµ`

ż Ω

Ω

|f `g|p´1|f|dµ ď

ˆż Ω

, (1.7)

(1.8)

Vì pq “p`q nên p´ p

q “1 Do đó kết hợp (1.6), (1.7) và (1.8) ta được}f `g}pLp ď p}f}Lp ` }g}Lp q }f `g}

p q

L p

Định lí 1.8 (Bất đẳng thức Hardy, [9]) Giả sử f P Lpp0,8q, f ě0, pP p1,8q.Khi đó, hàm Fpxq “ 1

x

ż x 0

fptqdt với x ą 0 cũng thuộc Lpp0,8q và }F}Lp ďp

p´1}f}Lp.

Trước hết, ta chứng minh bổ đề sau:

Bổ đề 1.9 ([9]) Giả sử 0ăb ď 8 và ´8 ď aăc ď 8 Nếu u là hàm lồi dươngtrên pa, cq thì

ż b 0

u

ˆ1x

ż x 0

hptqdt

˙dx

x ď

ż b 0

uphpxqq

ˆ

1´ xb

˙dx

x .Chứng minh Áp dụng Bất đẳng thức Jensen cho hàm lồi u và định nghĩa tíchphân theo tổng Reimann ta có

ż b 0

u

ˆ1x

ż x 0

hptqdt

˙dx

x ď

ż b 0

ˆ1x

ż x 0

uphptqqdt

˙dx

ż x 0

uphptqqdt

˙dx

x “

ż b 0

1

x2

˜

ż b 0

uphptqqχr0,xsptqdt

¸dx

˜

ż b t

1

x2dx

¸dt

“

ż b 0

uphptqq

ˆ

1´ tb

˙dt

t .Suy ra

uphptqqχr0,xsptqdt

¸

dx“

ż b 0

uphpxqq

ˆ

1´xb

˙dx

x .

Chứng minh Định lí 1.8 Áp dụng bổ đề trên với upxq “ |x|p, ta được

ż b 0

ˇ ˇ ˇ ˇ

1x

ż x 0

hptqdt

ˇ ˇ ˇ ˇ

p dx

x ď

ż b 0

|hpxq|p

ˆ

1´ xb

˙dx

‹ Xét vế trái của (1.10), bằng phép đổi biến t“sp´p1 ta được

ˆ

p´1p

˙ p ż b 0

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

1x

p

dx

x .Đặt hpsp´p1qs´1p “fpsq, bằng phép đổi biến u “xp ´p1 ta được

ˆ

p´1p

1u

ż u 0

fpsqds

ˇ ˇ ˇ ˇ

˙ p ` 1 p

1u

ż u 0

fpsqds

ˇ ˇ ˇ ˇ

‹ Xét vế phải của (1.10), với cách đặt hpsp´p1qs´1p “ fpsq ta có hpsq “

fpsp ´p1 qsp ´11 Khi đó, vế phải của (1.10) được viết lại là

ż b 0

ˇ ˇ

ˇfpxp ´p1 qxp ´11

ˇ ˇ ˇ

p ˆ

1´ xb

˙dx

Đặt u“xp ´p1, (1.13) trở thành

p´1p

˙ 1 p

b

¸du

˛

‚

1 p

fpsqds

ˇ ˇ ˇ ˇ

p

du

˙ 1 p

ď p

p´1

˜

ż a 0

|fpuq|p

˜

1´

ˆua

˙ p ´ 1 p

¸du

¸ 1 p

Định lí 1.10 ([9]) Cho hàm f : I ÑR là hàm lồi Khi đó, @xP pa, bq ta có

Hình 1.1.2Chứng minh Vì f lồi nên

fpxq ď b´x

b´afpaq `

x´a

b´afpbq, @xP pa, bq. (1.16)Trừ hai vế bất đẳng thức cho fpaq ta được

fpxq ´fpaq ď x´a

b´a pfpbq ´fpaqq.Chia hai vế của bất đẳng thức cho x´aą0 ta được

f´1 paq ďf`1 paq (1.19)Hơn nữa, @x, y, u, v P intI sao cho x ăuďv ăy ta có

f`1 pxq ě lim

zÑx `f`1 pzq (1.22)

Vì f`1 tăng nên ta có f`1 pxq ďf`1 pzq, @xďz Suy ra

fpyq ´fpxq

y´x và f

1

´ liên tục trái trên intI

Mệnh đề 1.12 ([9]) Nếu f : I Ñ R là hàm lồi thì f đơn điệu trên intI hoặctồn tại ξ PintI sao cho f giảm trên p´8, ξs XI và tăng trên rξ,8q XI

Chứng minh Giả sử f không đơn điệu trong intI Khi đó tồn tại a, b, c PintI, a ă c ă b thỏa fpaq ą fpcq ă fpbq hoặc fpaq ă fpcq ą fpbq Vì f lồinên không thể xảy ra fpaq ăfpcq ąfpbq Ta đặt m “inftfpxq: x P ra, bsu

Vì f lồi trên I nên f liên tục trên intI Do vậy f liên tục trên ra, bs Khi đótồn tại ξ P ra, bs sao cho m “fpξq

‹ Với mọi x, y P ra, ξs, giả sử aď xďy ďξ Khi đó

Thu gọn ta có fpyq ďfpxq với a ďxďy ďξ Do vậy hàm f giảm trên ra, ξs.

‹ Với mọi x, y P rξ, bs, giả sử ξ ďxďy ďb Khi đó

pξ´aqfpxq ě px´aqfpξq ` pξ ´xqfpaq ě pξ ´aqfpξq.Khi đó fpxq ě fpξq Tức là f giảm trên p´8, ξs XI Chứng minh tương tựcho xąb ta được f tăng trên rξ,8q XI

Cho hàm lồi f : I Ñ R Khi đó, với ra, bs Ă intI thì hàm f thỏa điều kiệnLipschitz trên ra, bs là

|fpxq ´fpyq| ď L|x´y|với L“max

!ˇ ˇ

ˇf`1 paq

ˇ ˇ

ˇ,

ˇ ˇ

ˇf´1 pbq

ˇ ˇ ˇ

), @x, y P ra, bs Định lí 1.13 ([9]) Cho dãy các hàm lồi tfnu8n“1 xác định trên I, fn hội tụ từngđiểm đến hàm f trên I Khi đó, hàm f là hàm lồi trên I Hơn nữa, nếu xét trêntập compact con của intI thì hội tụ này là hội tụ đều và

‹ Với mọi a, b, xP I, a ăxăb xét b“a`h, @h ą0, vì fn lồi với mọi n nêntheo Định lí 1.11 ta được

Tương tự như trên @a, b, xP I sao cho aăxăb ta xét a “b´h,@hą0 Vì

fn lồi, @n nên theo Định lí 1.11 ta được

Từ (1.27) và (1.28), chọn a“b ta được kết quả của định lí

‹ Dựa vào tính Lipschitz của hàm lồi ta có kết quả hội tụ trên là hội tụđều

pxq là đạo hàm cấp hai của hàm f tại x.

Định lí 1.14 ([9]) Giả sử I mở và f : I Ñ R Khi đó, f là hàm lồi khi và chỉkhi f liên tục và D2fpxq ě 0, @xP I

Đặc biệt, giả sử f là hàm khả vi cấp hai Khi đó, f lồi nếu và chỉ nếu f2

ě 0.Chứng minh ñ { Vì f lồi trên I mở nên nó liên tục trên I Hơn nữa, vì f lồinên f`1 là hàm tăng trên I Suy ra D2fpxq ě 0, @xPI

ð {Giả sử D2fpxq ą0,@x PI Ta chứng minh f lồi bằng phương pháp phảnchứng

Thật vậy, nếu f không lồi thì tồn tại I0 “ ra0, b0schứa x0sao cho f

ˆ

a0`b02

˙ ą

„

a0`b0

2 , b0



Tức là giả sử ta tìm được đoạn chứa x0 là I1 “ ra1, b1s với b1´a1 “ b0´a0

2và

f

ˆa1`b12

˙

ą fpa1q `fpb1q

Suy ra tồn tại x0 P I1 sao cho D2fpx0q ď 0 (mâu thuẫn với giả thiết)

Bây giờ ta xét trường hợp D2fpxq ě 0 và f liên tục trên I Khi đó, ta chọndãy hàm tfnu8n“1 sao cho

fnpxq “fpxq ` 1

nx

2, @xP I

Suy ra fn liên tục và D2fnpxq ą0 trên I với mọi n ě1 Áp dụng chứng minhtrên ta có fn lồi với mọi ně1 Đồng thời cho n Ñ 8ta được fnpxq Ñfpxq, @x P

I, áp dụng Định lí 1.13 ta được f lồi trên I

”

f´1 paq, f`1 paq

ı,

Định lí 1.16 ([9]) Nếu f : I ÑR có Bfpxq ‰∅,@xPintI thì f là hàm lồi.Chứng minh Lấy u, v PI, u‰v, @tP p0, 1q ta có p1´tqu`tv PintI.

Vì Bfpxq ‰ ∅, @xPintI nên @λ P Bfpp1´tqu`tvq ta có

fpuq ěfpp1´tqu`tvq `tpu´vqλ, (1.29)và

fpvq ě fpp1´tqu`tvq ´ p1´tqpu´vqλ (1.30)Nhân hai vế của (1.29) với 1´t ta được

p1´tqfpuq ě p1´tqfpp1´tqu`tvq ` p1´tqtpu´vqλ (1.31)Nhân hai vế của (1.30) với t ta được

tfpvq ětfpp1´tqu`tvq ´ p1´tqtpu´vqλ (1.32)Lấy (1.31) cộng với (1.32) vế theo vế ta được

p1´tqfpuq `tfpvq ěfpp1´tqu`tvq

Định lí 1.17 ([9]) Giả sử f : I ÑR là hàm lồi liên tục và φ : I ÑR sao cho

φpxq P Bfpxq, @x P intI Khi đó fpzq “ suptfpxq ` pz´xqφpxq: x P intIu, @z PI

Chứng minh Trường hợp z P intI, kết quả định lí được chứng minh dựa vàoĐịnh lí 1.15

Bây giờ ta xét trường hợp z là điểm biên của I, khi đó@t ą0 đủ nhỏ sao cho

tÑ0 `tφpz`tq “ 0 Suy ra @ą0, Dδ ą0 sao cho

ď 1

b´a

ż b a

˙

`f

ˆ

a`b2

˙

Vì f là hàm lồi trên ra, bs nên fpxq ěypxq, @xP ra, bs Do đó

ż b a

fpxqdxě

ż b a

Từ (1.33) và (1.34) ta được

ż b a

fpxqdxěλ

ż b a

ˆ

x´ a`b2

˙

dx`

ż b a

f

ˆa`b2

˙dx

Tính các tích phân ở vế phải ta được

f

ˆa`b2

˙

ď 1

b´a

ż b a

‹ Vì f lồi nên @x P ra, bs ta có

fpxq ď fpaq ` fpbq ´fpaq

b´a px´aq.Lấy tích phân hai vế trên ra, bs ta có

ż b a

fpxqdxď

ż b a

ˆ

fpaq ` fpbq ´fpaq

b´a px´aq

˙dx

Nhân hai vế với 1

b´a sau đó tính tích phân vế phải ta được1

b´a

ż b a

x1`x2` `xn´1 ěy1`y2` `yn´1

x1`x2` `xn “y1`y2` `yn.Khi đó, với mọi hàm lồi f trên pa, bq ta có

fpx1q `fpx2q ` `fpxnq ěfpy1q `fpy2q ` `fpynq.Trước hết, ta chứng minh bổ đề sau:

Bổ đề 1.20 (Biến đổi Abel, [10]) Cho u0 “0, u1 “x1, , uk “x1` `xk, Khi đó

n ř k“1

puk ´uk´1qyk “

n ř k“1

ukyk ´

n ř k“1

uk´1yk

“

n ř k“1

ukyk ´ pu0y1`

n ř k“2

uk´1ykq

Vì u0 “0 nên ta có

n ÿ k“1

xkyk “

n ÿ k“1

ukyk ´

n ÿ k“2

Đặt k´1“j và khi k “2, , n thì j “1, , n´1, khi đó

n ÿ k“2

uk´1yk “

n´1 ÿ j“1

ujyj`1 “

n´1 ÿ k“1

ukyk`1 (1.38)Thay (1.38) vào (1.37) ta được

Chứng minh Định lí 1.19 Áp dụng tính dưới vi phân của hàm lồi f tại mỗi

fpxnq ěfptnq `f1

` ptnqpxn ´tnq.Khi đó

fpx1q `fpx2q ` `fpxnq ě

n ř i“1

fptiq `

n ř i“1

Theo giả thiết

x1`x2` `xn´1 ěy1`y2` `yn´1

x1`x2` `xn “y1`y2` `ynsuy ra Snpxq “ Snpyq và

Skpxq ě Skpyq, k “1, , n´1 (1.40)Kết hợp (1.39) và (1.40) ta được

Chương 2

Hàm GG-lồi và các tính chất cơ bản

Phép chứng minh các định lí trong chương này được tham khảo trong [3],[4], [6], [8] Ở đây, chúng tôi xét I là khoảng con của p0,8q

hàm GG-lồi với hàm lồi

2.1.2 Mối quan hệ giữa hàm GG-lồi với hàm lồi

Định lí 2.1 ([8]) Hàm f : I Ñ p0,8q là hàm GG-lồi nếu và chỉ nếu hàm

F “log˝f ˝exp : log I ÑR là hàm lồi.

Chứng minh Giả sử f là hàm GG-lồi trên I, ta chứng minh F là hàm lồi trênlog I Ta kiểm tra tính lồi của hàm F bằng định nghĩa.

Với mọi t, sP log I, khi đó ta luôn có x, y P I sao cho x “et, y “es Bởi tínhlồi nhân tính của hàm f , @λ P r0, 1s ta có

fpx1´λyλq ďfpxq1´λfpyqλ

ñf ´ep1´λqteλs¯ďfpetq1´λfpesqλ.Lấy logarithm cơ số e hai vế ta được

Fpp1´λqt`λsq ď p1´λqFptq `λFpsq

Ta dễ dàng chứng minh chiều ngược lại của định lí

Định lí 2.2 ([8]) Hàm f : I Ñ p0,8q là hàm GG-lồi nếu và chỉ nếu @x1, x2, x3 P

I, x1 ďx2 ďx3 ta có det A ě0 trong đó A“

»

—

— –

Nói cách khác, f là hàm GG-lồi nếu và chỉ nếu @x1, x2, x3 PI, x1 ďx2 ďx3

ta có

fpx1qlog x3fpx2qlog x1fpx3qlog x2 ěfpx1qlog x2fpx2qlog x3fpx3qlog x1

Chứng minh ‹ Áp dụng Định lí 2.1 ta có f là hàm GG-lồi trên I nếu vàchỉ nếu log˝f ˝exp là hàm lồi trên log I Theo kết quả nhận xét 1.9, với mọi

t1, t2, t3 P log I và t2 P pt1, t3q ta có log˝f ˝exp là hàm lồi trên log I nếu và chỉnếu det Aě0, trong đó

A “

»

—

— –

Vì t1, t2, t3 P log I nên et1, et2, et3 PI Do đó, ta đặt et1 “x1, et2 “x2, et3 “x3và

A “

»

—

— –

‹ Ta kiểm tra bất đẳng thức trong định lí bằng việc tính định thức của matrận A

Định lí 2.3 ([8]) Hàm liên tục f : I Ñ p0,8q là hàm GG-lồi nếu và chỉ nếu

2, theo định nghĩa hàm GG-lồi ta được kết quả.

ð {Ta kiểm tra tính lồi nhân tính của hàm f bằng việc sử dụng Định lí 2.1 vàĐịnh lí 1.3 Do đó, ta chỉ cần chỉ ra tính lồi trung điểm của hàm F “ log˝f˝exptrên log I

Thật vậy, vì f liên tục trên I nên F liên tục trên log I Theo giả thiết, ta đặt

Nhận xét 2.2 ([8]) Hàm liên tục f : I Ñ p0,8q là hàm GG-lồi nếu và chỉ nếu

@x1, , xn PI ta có

f `? n

x1 xn˘ ď an fpx1q fpxnq.Định lí 2.4 ([8]) Mọi đa thức Ppxq với hệ số không âm là hàm GG-lồi trên

p0,8q Hơn nữa, mọi hàm thực fpxq “ ř

cnxn trong đó cn ě0, @n “0, , N Ta kiểmtra tính lồi nhân tính của Ppxq dựa vào Định lí 2.3 Tức là @x, y P p0,8q tachứng minh

pPpxyqq2 ďPpx2qPpy2q.Thật vậy, áp dụng Bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacopxki-Schwarz ta có

˜

N ř n“0

cnpxyqn

¸ 2

“

˜ N ř n“0

c

1 2

nxnc

1 2

nyn

¸ 2 ď

N ř n“0

cnx2n

N ř n“0

cny2n

‹Xét Ppxq “

N ř n“0

cnxn với các hệ số của Ppxqkhông âm Với mọi x P p0, Rqta cólim

N Ñ8Ppxq “fpxq Vì Ppxqlà hàm GG-lồi nên hàm fpxqcũng là hàm GG-lồi.Định lí 2.5 ([8]) Giả sử f : I Ñ p0,8q là hàm khả vi Khi đó, các điều kiệnsau tương đương: