1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ĐẶNG MỸ DUYÊN BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BAN ĐẦU CHO MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VÀ ÁP DỤNG VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định Năm[.]
Một số khái niệm cơ bản và tính chất của sai phân
phân Định nghĩa 1.1.1 Giả sử f : R → R là một hàm số cho trước và h = const 6= 0 Ta gọi sai phân cấp 1 của f là đại lượng
Chú ý: Mặc dù h có thể là một hằng số bất kì, nhưng giá trị phổ biến nhất là h = 1 Một lý do chính để giới hạn ở h = 1 là sai phân hữu hạn rất cần thiết cho việc tính tổng của chuỗi Dù ẩn hay hiện, mỗi số hạng của chuỗi là một hàm số biến theo vị trí của nó trong chuỗi, vì vậy biến độc lập được giả sử là sai khác một đơn vị Với h = 1, ta có các công thức sai phân hữu hạn thuận tiện cho việc tính tổng chuỗi.
Giả sử sai phân cấp n−1 của f đã được định nghĩa Khi đó, sai phân cấp n của f (n ≥ 1) được định nghĩa là sai phân cấp 1 của sai phân cấp n−1 của f, tức là Δ^n f = Δ(Δ^{n−1} f).
Chẳng hạn, sai phân cấp 2 được tính:
= f (k + 2) − 2f (k + 1) + f (k). Định nghĩa 1.1.2 Giả sử hàmy = f (x) cho dưới dạng bảng y i = f (x i ) tại các mốc x i cách đều: x i+1 − x i = h = const (i ≥ 0) Khi đó sai phân của dãy y i được xác định như sau:
∆(a + bx) (n) = bn(a + bx) (n−1) , đặc biệt ∆x (n) = nx (n−1) ;
. Định nghĩa 1.1.3 Với t ∈ Rvà m ∈ Z + , biểu thức giai thừa (t) (m) được định nghĩa là
Như vậy, với cụ thể mỗi k ∈ N, (k) (k) = k!.
Xét dạng giai thừa quan trọng sau:
(a + bx) (n) = (a + bx)(a + bx − 1) (a + bx − n + 1). Đặc biệt, khi a = 0, b = 1 ta có x (n) = x(x − 1)(x − 2) (x − n + 1). Định nghĩa 1.1.4 Với hàmf (k), k, k + 1 ∈ N ta định nghĩatoán tử dịch chuyển E là
Nói chung, đối với một số nguyên dương m nếu k và k + m thuộc N thì
Gọi I là toán tử đồng nhất, tức là If (k) = f (k), ta có ∆ = E − I và với m ∈ Z + , ta có
∆ i f (k), ∆ 0 = I (1.1.2) Định lý 1.1.1. a Sai phân của hằng số bằng 0, tức là
∆c = 0, với c = const. b Sai phân mọi cấp là toán tử tuyến tính, tức là với mọi n,
Phương trình, hệ phương trình sai phân
Phương trình sai phân
Một phương trình sai phân gồm một biến độc lập k ∈ N và một ẩn u(k) chưa biết, được xem như một hàm có dạng f(k, u(k), u(k+1), …, u(k+n)) = 0 (1.2.1), trong đó f là một hàm cho trước phụ thuộc vào k và các giá trị của u tại các điểm k ∈ N Khi thay (1.1.2) vào (1.2.1) ta thu được dạng g(k, u(k), Δu(k), …, Δ^n u(k)) = 0 (1.2.2).
Chính dạng (1.2.2) được xem là một phương trình sai phân mang ý nghĩa mô tả sự biến đổi của u(k) thông qua sai phân cấp 0 của hàm u(k) Cấp lớn nhất của các sai phân được gọi là cấp của phương trình sai phân, và u(k) được hiểu là sai phân cấp 0 của hàm u(k) Việc xác định cấp của phương trình sai phân giúp nhận diện mức độ phức tạp và đặc trưng của hệ thống lặp lại, từ đó hỗ trợ phân tích và mô hình hoá số học cho các bài toán liên quan đến chuỗi thời gian.
Phương trình sai phân (1.2.1) là phương trình sai phân tuyến tính cấp n nếu có dạng n
Nếu với ít nhất một k ∈ N, b(k) 6= 0 thì (1.2.3) là phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất.
Tương ứng với (1.2.3), phương trình n
(tức là b(k) = 0) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp n.
Phương trình (1.2.1) được gọi là chuẩn tắc nếu nó có dạng u(k + n) = f (k, u(k), u(k + 1), ã ã ã , u(k + n − 1)) (1.2.5) hoặc
Hệ phương trình sai phân
Xét hệ phương trình sai phân u(k + 1) = f(k,u(k)), k ∈ N (1.2.8) trong đó u và f là các vecto 1 × n với các thành phần u i và f i , 1 ≤ i ≤ n tương ứng.
Phương trình (1.2.5) tương đương với hệ u i (k + 1) = u i+1 (k), 1 ≤ i ≤ n − 1 u n (k + 1) = f (k, u 1 (k), u 2 (k), ã ã ã , u n (k)), k ∈ N
(1.2.9) theo nghĩa u(k) là một nghiệm của (1.2.5) nếu và chỉ nếu u i (k) = u(k + i − 1), 1 ≤ i ≤ n (1.2.10)
Hệ phương trình sai phân tuyến tính có dạng u(k+1) = A(k) u(k) + b(k), với k ∈ N, được xem xét với A(k) là ma trận n×n khả nghịch và b(k) là vector cột n×1 Các phần tử của A(k) được ký hiệu là a_ij(k) với 1 ≤ i, j ≤ n, còn các thành phần của b(k) là b_i(k) với 1 ≤ i ≤ n Vector trạng thái u(k) là một vector cột n×1 có các thành phần u_i(k) với 1 ≤ i ≤ n Hệ thống mô tả sự cập nhật trạng thái từ thời k sang thời k+1 thông qua phép nhân A(k) với u(k) và cộng với b(k) Với tính khả nghịch của A(k), bài toán điều khiển và phân tích hệ thống tuyến tính thời biến có thể được xử lý một cách tổng quát và hiệu quả.
Trong lý thuyết hệ phương trình sai phân tuyến tính, nếu tồn tại ít nhất một k ∈ N sao cho b(k) ≠ 0, thì hệ (1.2.11) được gọi là hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất Tương ứng với hệ (1.2.11), hệ u(k+1) = A(k)u(k), k ∈ N (1.2.12) được gọi là hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất.
Nếu a 0 (k)a n (k) 6= 0 với mọi k ∈ N, thì phương trình (1.2.3) tương đương với hệ (1.2.11) trong đó
Bài toán giá trị ban đầu
Một hàm u(k) xác định trên Nn trong đó
N nếu N = N được gọi là nghiệm của phương trình sai phân cấp n trên N nếu các giá trị của u(k) thu gọn phương trình sai phân thành một đồng nhất thức trên N.
Trong bài toán liên quan đến hệ phương trình sai phân, một hàm u(k) được xác định trên tập N1 đóng vai trò là nghiệm của hệ này trên tập N khi các giá trị của u(k) khiến toàn bộ các phương trình trong hệ trở thành các đẳng thức đúng trên N Nói cách khác, u(k) được xem là nghiệm nếu việc thay các giá trị của nó vào các công thức sai phân làm cho các đẳng thức trên N được duy trì một cách nhất quán Mối liên hệ này cho thấy cách hàm u(k) gắn với hệ phương trình sai phân và bảo đảm tính hợp lệ của nghiệm trên miền N, phục vụ cho mô hình toán học chính xác và có thể tối ưu hóa cho quá trình phân tích số học sau này.
Nghiệm tổng quát của một phương trình sai phân cấp nlà một nghiệm u(k) phụ thuộc vào n hằng số tựy ý, tức là u(k, c 1 , ã ã ã , c n ) trong đú c i ∈ R,
Ta nhận thấy các hằng số c_i có thể được coi là các hàm tuần hoàn c_i(k) với chu kỳ bằng 1, tức là c_i(k+1) = c_i(k), với mọi k thuộc N, và tương tự đối với các hệ phương trình, nghiệm tổng quát cũng phụ thuộc vào một vector tùy ý Đối với một phương trình sai phân cấp n cho trước trên N, ta thường quan tâm đến một nghiệm riêng trên N^n, tức là một nghiệm mà n giá trị đầu tiên liên tiếp được gọi là điều kiện ban đầu u(a + i − 1) = u_i, với 1 ≤ i ≤ n (1.3.1) hoặc
Mỗi phương trình (1.2.1) đến (1.2.7) cùng với (1.3.1) hoặc (1.3.2) được gọi là một bài toán giá trị ban đầu Tương tự, hệ (1.2.8) với điều kiện u(a) = u0 (1.3.3) cũng được gọi là một bài toán giá trị ban đầu Đối với các hệ tuyến tính (1.2.11) và (1.2.12), chúng ta sẽ xem xét kỹ hơn điều kiện ban đầu chung là u(k0) = u0 (1.3.4), với k0 ∈ N1 như một hằng cố định.
Với k = a, phương trình (1.2.5) trở thành u(a + n) = f (a, u(a), u(a + 1), ã ã ã , u(a + n − 1)).
Dùng các điều kiện ban đầu (1.3.1), ta được u(a + n) = f (a, u 1 , u 2 , ã ã ã , u n ).
Do đó giá trị của u(a + n) được xác định duy nhất theo các đại lượng đã biết.
Tiếp theo, thay k = a + 1 vào (1.2.5) và sử dụng các giá trị của u(a +
Ta nhận thấy u(a+1+n) được xác định duy nhất từ u(a+n) Sau khi chứng minh quy nạp, bài toán giá trị ban đầu (1.2.5) và hệ (1.3.1) có một nghiệm duy nhất là u(k), với k ∈ N, và nghiệm đó có thể được xây dựng theo cách đệ quy Vì vậy, các phương trình sai phân được coi là các quan hệ truy hồi Sự tồn tại và tính duy nhất của mỗi bài toán giá trị ban đầu được thể hiện tương ứng với các cặp (1.2.5, 1.3.2); (1.2.6, 1.3.1) hoặc (1.3.2); (1.2.7, 1.3.1) hoặc (1.3.2); (1.2.8, 1.3.3) cũng tương tự.
Trong bài toán giá trị ban đầu được cho bởi (1.2.11) và (1.3.4), sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm u(k) đối với các k thuộc N trong phạm vi ban đầu là hiển nhiên; còn với k ≥ k0 thuộc N, ta phải viết lại (1.2.11) thành u(k) = A^{-1}(k)u(k+1) − A^{-1}(k)b(k) (1.3.5), và từ u(k0−1), rồi là u(k0−2), và các giá trị trước đó, có thể thu được nghiệm duy nhất.
Cuối cùng, ta lưu ý rằng bài toán giá trị ban đầu (1.2.3), (1.3.1) không nhất thiết có nghiệm hoặc một nghiệm duy nhất Ví dụ, bài toán ku(k+2) − u(k) = 0, với k ∈ N và điều kiện u(0) = 1, u(1) = 0 không có nghiệm; với k = 0, từ phương trình sai phân ta được u(0) = 0, điều này mâu thuẫn với điều kiện ban đầu Thêm vào đó, bài toán giá trị ban đầu ku(k+2) − u(k) = 0, với k ∈ N và u(0) = 0, u(1) = 0 có vô số nghiệm.
! với k chẵn, trong đó c là một hằng số bất kì Tuy nhiên, nếu a 0 (k)a n (k) 6= 0 với mọi k ∈ N thì bài toán (1.2.3), (1.3.1) có một nghiệm duy nhất.
Ví dụ 1.3.1 xem xét k điểm trên mặt phẳng sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng Ta tìm số đường thẳng hình thành bằng cách nối mọi cặp điểm với nhau Mỗi cặp điểm xác định một đường thẳng và với điều kiện này không có ba điểm nào thẳng hàng nên các đường thẳng được tạo ra bởi các cặp khác nhau là duy nhất; do đó, số đường thẳng bằng số cặp điểm từ k điểm, tức C(k,2) = k(k−1)/2.
Gọi u(k) là số đường thẳng được xác định bởi tập k điểm sao cho điểm mới bổ sung không nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm bất kỳ nào trong tập hiện tại Khi thêm một điểm mới thứ (k+1) mà vẫn không nằm trên bất kỳ đường thẳng nào đi qua hai điểm cũ, số đường thẳng được hình thành sẽ tăng lên đúng bằng k, vì mỗi đường thẳng mới liên kết điểm mới với mỗi điểm cũ Vì vậy u(k+1) = u(k) + k, với k ∈ N (1.3.6).
Vì với k = 1, không có cặp điểm nào nên u(1) = 0 (1.3.7)
Bài toán giá trị ban đầu (1.3.6), (1.3.7) có một nghiệm duy nhất u(k) = 1
Bài toán giá trị ban đầu tuyến tính
Chương này hệ thống hóa và làm rõ các vấn đề liên quan đến bài toán giá trị ban đầu cho hệ phương trình sai phân tuyến tính có hệ số hằng và hệ số tuần hoàn Nội dung chủ đạo của chương nhằm xác định điều kiện tồn tại và duy trì nghiệm, phân tích tính ổn định của hệ sai phân, và đề xuất các phương pháp giải cho bài toán giá trị ban đầu khi các hệ số là hằng hoặc tuần hoàn Các khái niệm và kết quả được trình bày một cách có hệ thống để người đọc có thể nắm bắt cách tiếp cận và áp dụng các kỹ thuật giải Nội dung tham khảo chính của chương được tóm tắt từ các nguồn [1], [2], [3], [5].
Giới thiệu
Một tính chất quan trọng của hệ tuyến tính, khiến chúng trở nên đặc biệt dễ xử lý, là nguyên lí chồng chất: với mọi k ∈ N, nếu u(k) là nghiệm của hệ u(k+1) = A(k) u(k) + b1(k) và v(k) là nghiệm của hệ v(k+1) = A(k) v(k) + b2(k), thì z(k) = c1 u(k) + c2 v(k) là nghiệm của z(k+1) = A(k) z(k) + c1 b1(k) + c2 b2(k) Thật vậy, z(k+1) = c1 u(k+1) + c2 v(k+1) = A(k)[c1 u(k) + c2 v(k)] + c1 b1(k) + c2 b2(k) Điều này cho thấy nguyên lí chồng chất của hệ tuyến tính rời rạc cho phép kết hợp các nghiệm riêng lẻ thành nghiệm tổng hợp.
Do đó, trong trường hợp đặc biệt, nếu b 1 (k) = b 2 (k) = 0 với mọi k ∈
N, nghĩa là u(k) và v(k) là các nghiệm của hệ thuần nhất (1.2.12), thì c 1u(k) + c 2v(k) cũng là một nghiệm Khi đó, các nghiệm của hệ thuần nhất (1.2.12) tạo thành một không gian vecto Hơn nữa, nếu u(k) là một nghiệm của (1.2.11) trong N1, thì v(k) cũng là một nghiệm của (1.2.11) trong N1 nếu và chỉ nếu u(k) − v(k) là một nghiệm của (1.2.12) trong N1 Khi đó,nghiệm tổng quát của (1.2.11) thu được bằng cách thêm một nghiệm riêng của (1.2.11) vào nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất tương ứng (1.2.12).
Các kết quả sơ bộ từ Đại số
Bổ đề 2.2.1 Xét hệ gồm n phương trình tuyến tính
Au = v, (2.2.1) trong đó A là một ma trận n × n và u,v là các vecto n chiều Khi đó, nếu
(i) Rank A = n, tức là detA 6= 0, thì hệ (2.2.1) có một nghiệm duy nhất. Ngoài ra, hệ thuần nhất Au= 0 chỉ có nghiệm tầm thường.
(ii) Rank A = n − m (1 ≤ m ≤ n), thì hệ (2.2.1) có một nghiệm khi và chỉ khi
Bv = 0, (2.2.2) trong đó B là một ma trận m × n có các vecto hàng là các vecto độc lập tuyến tính d i , 1 ≤ i ≤ m thỏa mãn d i A = 0.
Trong trường hợp (2.2.2) đúng, nghiệm bất kì của (2.2.1) được cho bởi u = m
X i=1 α i c i + Sv, trong đó α i , 1 ≤ i ≤ m là các hằng số tùy ý và c i , 1 ≤ i ≤ m là m vecto cột độc lập tuyến tính thỏa mãn Ac i = 0 và S là một ma trận n × nkhông phụ thuộc vào v sao cho ASp= p với bất kì vecto cột p thỏa mãn Bp = 0.
Ma trận S trong Bổ đề 2.2.1 là không duy nhất.
Trong đại số tuyến tính, số thực (hoặc số phức) λ được gọi là giá trị riêng của ma trận A nếu tồn tại một vector v khác không, có thể là thực hoặc phức, sao cho Av = λv Vector v được gọi là vector riêng của ma trận vuông A tương ứng với giá trị riêng λ.
Theo bổ đề 2.2.1, λ là giá trị riêng của ma trận A nếu và chỉ nếu λ là nghiệm của phương trình đặc trưng p(λ) = det(A − λI) = 0 Vì ma trận A có cấp n nên p(λ) là một đa thức bậc n và được gọi là đa thức đặc trưng của A.
A Do đó, ma trận A có đúng n giá trị riêng kể cả các bội đại số của chúng.
Trong trường hợp các giá trị riêng λ1, …, λn của A là phân biệt, ta có thể dễ dàng tìm được các vectơ riêng v1, …, vn sao cho (A − λj I) vj = 0 Đối với từng λj cố định, det(A − λj I) = 0 nên tồn tại ít nhất một hệ số phụ đại số của ma trận B = A − λj I khác 0; nếu mọi phần phụ đại số trên đường chéo đều bằng 0 thì p′(λj) = 0 và λj sẽ là nghiệm bội, mâu với giả thiết phân biệt Chọn một chỉ số k sao cho phần phụ đại số của (akk − λj) trong B khác 0; một nghiệm khác không của hệ (A − λj I) vj = 0 có thể được cho bằng các thành phần vj theo dạng v_i_j là phần phụ đại số của B_{k i} (với i ≠ k) và v_kj là phần phụ đại số của B_{k k} Theo tính chất adj(B) với B = A − λj I, ta có B adj(B) = det(B) I = 0, nên các cột của adj(B) là vectơ riêng của λj; vì vậy vj được chọn từ một cột của adj(B) và có thể được dùng làm vectơ riêng cho A Do các λj phân biệt, v1, …, vn độc lập và tạo thành cơ sở vectơ riêng cho A.
P i=1,i6=k a ki [phần bù đại số của a ki ] + (a kk − λ j )[phần bù đại số của (a kk − λ j )] cũng bằng không Vậy v j là vecto riêng ứng với giá trị riêng λ j.
Ví dụ 2.2.1 Cho đa thức đặc trưng của ma trận A =
là p(λ) = −λ 3 + 7λ 2 − 14λ + 8 = −(λ − 1)(λ − 2)(λ − 4) Khi đó, các giá trị riêng là λ 1 = 1, λ 2 = 2, λ 3 = 4 Để tìm các vecto riêng tương ứng, ta xét hệ(A − λ i I )v i = 0, i = 1, 2, 3.
Vì phần phụ đại số của (a 11 − λ 1 ) = 1 6= 0, ta có thể lấy v 1 1 = 1, khi đó v 2 1 = phần phụ đại số của a 12 = −1, v 3 1 = phần phụ đại số của a 13 = 1 tức là v 1 =
Vì ppđs của(a 22 − λ 2 ) = 0, nên chọn v 2 2 = ppđs của(a 22 − λ 2 ) là không đúng.
Tuy nhiên, ppđs của (a 11 − λ 2 ) = ppđs của (a 33 − λ 2 ) = −1 6= 0, nên ta có thể lấy v 1 2 = −1 (v 3 2 = −1), khi đó v 2 2 = ppđs của a 12 = 0, v 3 2 = ppđs của a 13 = 1 (v 1 2 = ppđs của a 31 = 1, v 2 2 = ppđs của a 32 = 0), tức là v 2 =
Tương tự, ta có thể tìm được v 3 =
Đối với các giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận vuông A (n × n), ta có các kết quả cơ bản sau: Định lý 2.2.1 cho rằng với λ1, , λm là các giá trị riêng phân biệt của ma trận A và v1, , vm là các vectơ riêng tương ứng, thì v1, , vm là độc lập tuyến tính.
Vì p(λ) là một đa thức bậc n và A^m với mọi m nguyên không âm được xác định nên ma trận p(A) được xác định rõ; đối với ma trận p(A) này, ta có kết quả quen thuộc sau đây: Định lý 2.2.2 (Định lý Cayley–Hamilton) Cho A là ma trận n × n và giả sử p(λ) = det(A − λI); khi đó p(A) = 0.
Định lý 2.2.3 cho biết: với A là ma trận n×n khả nghịch, với mọi số nguyên dương m tồn tại một ma trận B n×n sao cho B^m = A Nói cách khác, mọi ma trận khả nghịch đều có căn m-th trong không gian các ma trận kích thước n×n; tức là ta có B thỏa B^m = A.
Giả sử z 1 , z 2 , , z n là các số thực, hoặc phức Ma trận
được gọi là ma trận Vandermonde Định thức của nó được cho bởi det V (z 1 , z 2 , , z n ) = Y
Một không gian vecto thực V được gọi là định chuẩn thực khi tồn tại một hàm chuẩn ||·||: V → R gắn cho mỗi vectơ u ∈ V một số thực không âm, được gọi là chuẩn của u, sao cho ||u|| ≥ 0 và ||u|| = 0 khi và chỉ khi u = 0; ||αu|| = |α| ||u|| với mọi α ∈ R; và ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v|| với mọi u, v ∈ V.
(i) kuk ≥ 0, và kuk = 0 nếu và chỉ nếu u= 0
(ii) Với mọi c ∈ R n , kcuk = |c| kuk
(iii) Bất đẳng thức tam giác ku+vk ≤ kuk + kvk.
Trong không gian vecto R n ba chuẩn sau đây được sử dụng phổ biến:
∞ này là các trường hợp đặc biệt của một chuẩn tổng quát hơn: kuk p = X n i=1 |u i | p
Tập hợp tất cả các ma trận n × n có phần tử thực có thể được coi là tương đương với không gian vecto R n
Trong không gian vector được trang bị một phép nhân ma trận đặc biệt, chuẩn ma trận phải thỏa mãn ba điều kiện thông thường của một chuẩn vector—dương, tính đồng nhất hệ số và bất đẳng thức tam giác—và ngoài ra phải thỏa mãn tính bất chất (submultiplicativity): với mọi ma trận A và B, ||AB|| ≤ ||A|| ||B||, đồng thời chuẩn này phải tương thích với chuẩn vector sao cho ||Ax|| ≤ ||A|| ||x|| với mọi x Nhờ các tính chất này, chuẩn ma trận duy trì tính nhất quán khi làm việc với phép nhân ma trận và hỗ trợ tối ưu hóa và ổn định cho các bài toán tuyến tính và phân tích ma trận.
(iv) kABk ≤ kAk kBk với mọi ma trận A, B n × n,
(v) tớnh tương thớch với chuẩn vecto, tức là nếu kãk ∗ là một chuẩn trong
R n , thì kAuk ∗ ≤ kAk kuk ∗ với mọi u ∈ R n và bất kì ma trận A n × n.
Trong R n , nếu một chuẩn kãk ∗ được xỏc định thỡ một chuẩn ma trận liên đới thường được xác định bởi kAk = sup u 6=0 kAuk ∗ kuk ∗ (2.2.3)
Từ điều kiện này, (v) được thỏa mãn Để chứng minh (iv) ta áp dụng (v) hai lần: ||ABu|| = ||A(Bu)|| ≤ ||A|| · ||Bu|| ≤ ||A|| · ||B|| · ||u|| Do đó với mọi u ≠ 0, ta có ||ABu|| / ||u|| ≤ ||A|| · ||B||, nên kABk = sup_{u ≠ 0} ||ABu|| / ||u|| ≤ kAk kBk.
Trong đại số tuyến tính, chuẩn ma trận A được sinh ra từ các chuẩn vector tương ứng 1-norm, 2-norm và ∞-norm và được ký hiệu ||A||_1, ||A||_2, ||A||_∞ Cụ thể, ||A||_1 = max_{1≤j≤n} ∑_{i=1}^n |a_{ij}|, ||A||_2 = sqrt(ρ(A^T A)) và ||A||_∞ = max_{1≤i≤n} ∑_{j=1}^n |a_{ij}| Với ma trận B có các giá trị riêng λ_1, , λ_n (không nhất thiết phân biệt), bán kính quang phổ ρ(B) được định nghĩa là ρ(B) = max_{1≤i≤n} |λ_i|.
Một dãy u m trong không gian định chuẩn Vđược cho là hội tụ đến u∈ V nếu và chỉ nếu ku−u m k → 0 khi m → 0 Đặc biệt, một dãy các ma trận
Ta nói ma trận A_m hội tụ về ma trận A nếu và chỉ nếu ||A_m − A|| → 0 khi m → ∞ Hơn nữa, nếu A_m = a^(m)_{ij} và A = (a_{ij}) thì điều này tương đương với a^(m)_{ij} → a_{ij} với mọi 1 ≤ i, j ≤ n Kết hợp định nghĩa này với tiêu chuẩn Cauchy cho dãy số thực, ta được: dãy A_m hội tụ đến một giới hạn nếu và chỉ nếu ||A_m − A|| → 0 khi m → ∞ Chuỗi ∑_{n=0}^∞ A_n là hội tụ khi và chỉ khi dãy các tổng riêng của nó { ∑_{n=0}^m A_n } là hội tụ Ví dụ, chuỗi luỹ thừa e^A = I + A + A^2/2! + A^3/3! + … hội tụ.
A n n! hội tụ về ma trận A, A bất kì Thật vậy, điều này được suy ra từ m+p
Với mọi ma trận A kích thước n×n, ma trận e^A được xác định rõ Do e^A e^{-A} = I nên det(e^A) det(e^{-A}) = det(I) = 1, và vì thế ma trận e^{-A} luôn là nghịch đảo của e^A, tức là e^{-A} không suy biến (khả nghịch).
Tương tự, với một số thực t, e At được định nghĩa là e At = I +
Vì mỗi phần tử của e At được định nghĩa là một chuỗi lũy thừa hội tụ, e At là khả vi và do đó e At
Trong không gian tuyến tính có chuẩn V, hai chuẩn ||·||_k và ||·||_* được cho là tương đương nếu tồn tại các hằng số dương m và M sao cho với mọi u ∈ V, m||u||_k ≤ ||u||_* ≤ M||u||_k Ta biết rằng trong R^n, mọi chuẩn đều tương đương với nhau Do đó, nếu không nói gì thêm, trong R^n ta luôn coi chuẩn ||·||_1 làm chuẩn mặc định và bỏ chỉ số dưới 1.
Phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính
Cho các hàm u i (k), 1 ≤ i ≤ m xác định trên N1 Ta nói u i (k) là phụ thuộc tuyến tính trên N1 nếu tồn tại hằng số α i 6= 0, 1 ≤ i ≤ m sao cho m
Ngược lại, khi đẳng thức (2.3.1) xảy ra với α_i = 0, 1 ≤ i ≤ m, u_i(k) được gọi là độc lập tuyến tính Đối với các hàm đã cho u_i(k) (i = 1, , m) được xác định trên N1, ma trận n × n với các phần tử u_i j(k) được gọi là ma trận Casorati tương ứng với các hàm đã cho.
Chúng ta biểu diễn nó bằng ký hiệu C(u1, , un)(k); nếu không gây nhầm lẫn, ta có thể viết gọn thành C(k) Định thức det C(k) liên quan mật thiết đến câu hỏi ui(k) có độc lập tuyến tính trên N1 hay không Cụ thể, khi det C(k) ≠ 0, các vector ui(k) là độc lập tuyến tính trên N1; ngược lại, khi det C(k) = 0, tồn tại sự phụ thuộc tuyến tính giữa các ui(k) trên N1 Vì vậy ma trận C(k) đóng vai trò quan trọng trong việc kiểm tra cấu trúc tuyến tính của hệ vector trên không gian N1.
Bổ đề 2.3.1 Nếu det C(k) của n hàm u i (k), 1 ≤ i ≤ n xác định trên N1 khác 0 với ít nhất một giá trị k 0 ∈ N 1 thì u i (k), 1 ≤ i ≤ n là độc lập tuyến tính trên N1.
Chứng minh Lấy vecto c khác 0 sao cho C(k)c = n
Trong không gian N1, các vector ui(k) được cho là phụ thuộc tuyến tính trên N1 Tuy vậy, khi tồn tại một phần tử k0 ∈ N1 sao cho det C(k0) ≠ 0, ta có C(k0)c = 0 Theo Bổ đề 2.2.1, hiện tượng này chỉ xảy ra khi c = 0 Vì vậy, các vector ui(k) thực sự độc lập tuyến tính trên N1.
Lâp luận ngược lại của Bổ đề 2.3.1 chưa chắc đúng Ví dụ u 1 (k) =
là độc lập tuyến tính trên N, nhưng detC (u 1 ,u 2 )(k) = 0, ∀k ∈ N.
Bổ đề 2.3.2 Giả sử u i (k), 1 ≤ i ≤ n là các nghiệm độc lập tuyến tính trên
N1 của hệ thuần nhất (1.2.12) trên N Khi đó, detC(k) 6= 0, ∀k ∈ N 1
Chứng minh Lấy k 0 ∈ N 1 sao cho det C (k 0 ) = 0, khi đó, theo Bổ đề 2.2.1 tồn tại vecto c khác không sao cho C (k 0 )c = n
Giả sử tồn tại một tổ hợp tuyến tính ∑_{i=1}^p c_i u_i(k) là nghiệm của (1.2.12) và u(k0)=0 Do tính duy nhất của nghiệm, ta có u(k)=0 với mọi k ∈ N1 Vì vậy, sự độc lập tuyến tính của các u_i(k) trên N1 buộc tất cả các hệ số c_i bằng 0, dẫn tới c=0 và mâu thuẫn với giả thiết c ≠ 0 Như vậy, bổ đề được chứng minh.
Kết hợp Bổ đề 2.3.1 và Bổ đề 2.3.2, ta có kết quả sau: Định lý 2.3.1: Nghiệm u_i(k), 1 ≤ i ≤ n, của hệ (1.2.12) là độc lập tuyến tính trên N1 nếu và chỉ nếu tồn tại ít nhất một k0 ∈ N1 sao cho det C(k0) ≠ 0.
Như hệ quả của kết quả trên, các nghiệm u_i(k) (1 ≤ i ≤ n) của hệ (1.2.12) với điều kiện ban đầu u_i(k0) = e_i = (0, , 0, 1, 0, , 0) (phần tử 1 ở vị trí i) là độc lập tuyến tính trên N1, chứng tỏ tồn tại đúng n nghiệm độc lập tuyến tính của hệ trên N1 Bây giờ, lấy u(k) là một nghiệm bất kỳ của hệ (1.2.12) trên N1, ta có thể viết u(k) dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các nghiệm cơ sở: u(k) = ∑_{i=1}^n α_i u_i(k), với các hệ số α_i là hằng số Như vậy không gian nghiệm của hệ trên N1 có cấp độ bằng n và mọi nghiệm đều được sinh ra từ n nghiệm cơ sở này.
P i=1 u i (k 0 )u i (k), trong đó u i (k) là các nghiệm của bài toán giá trị ban đầu (1.2.12), (2.3.2) Khi đó, đặt v(k) = n
P i=1 u i (k 0 )u i (k), thì v(k) là một nghiệm của hệ (1.2.12) và v(k 0 ) = n
Ta xem hệ (1.2.12) có n nghiệm độc lập tuyến tính Từ tính duy nhất của nghiệm, hai nghiệm u(k) và v(k) đồng nhất nên u(k) = v(k) với mọi k, vì vậy mỗi nghiệm của hệ (1.2.12) có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của n nghiệm độc lập tuyến tính của hệ (1.2.12) và (2.3.2) Kết luận là không gian vector của tất cả nghiệm của hệ (1.2.12) có chiều bằng n, và bất cứ nghiệm u(k) của hệ (1.2.12) có thể viết dưới dạng u(k) = ∑_{i=1}^n c_i u_i(k).
X i=1 u i (k 0 )u i (k) = U (k)u(k 0 ), (2.3.3) trong đó U (k 0 ) = I Hơn nữa, nếu v i (k) , 1 ≤ i ≤ n là các nghiệm độc lập tuyến tính bất kì của (1.2.12) thì nghiệm tổng quát u(k) của nó được viết dưới dạng u(k) = n
X i=1 c i v i (k) = V (k)c, (2.3.4) trong đó c là một vecto tùy ý.
Hệ ma trận tuyến tính
Vì mỗi cột của ma trậnU (K )được định nghĩa ở phần trước là một nghiệm của (1.2.12), nên hiển nhiên rằng nó là một nghiệm của hệ ma trận tuyến tính
Định nghĩa của hệ tiến triển ma trận U được cho bởi U(k+1) = A(k) U(k) với k ∈ N Để nhấn mạnh điểm ban đầu k0 trong (2.3.2), ma trận U được ký hiệu là U(k, k0) Ma trận U(k, k0) được gọi là ma trận cơ bản chính và có tính chất U(k, k0) = I.
Với ma trận V(k) n × n mà các cột là nghiệm độc lập tuyến tính của hệ (1.2.12), ta gọi nó là một ma trận cơ bản Rõ ràng, V(k) là một nghiệm của hệ ma trận tuyến tính (2.4.1), tuy nhiên V(k) phải khác I Có thể dễ dàng từ một ma trận cơ bản V(k) cho trước suy ra ma trận cơ bản chính U(k, k0) bằng công thức U(k, k0) = V(k) V^{-1}(k0) Ngược lại, từ tính duy nhất của các nghiệm, ta có V(k) = U(k, k0) V(k0).
Giả sử V(k) là ma trận cơ bản của hệ (1.2.12) và C là một ma trận khả nghịch bất kì Khi đó V(k)C cũng là một ma trận cơ bản của hệ, vì các cột của V(k) tạo thành cơ sở nghiệm và phép nhân với C cho một cơ sở nghiệm mới Tuy CV(k) không nhất thiết là một nghiệm của (2.4.1) Hơn nữa, nếu W(k) là một ma trận cơ bản khác của hệ (1.2.12), thì tồn tại một ma trận khả nghịch D sao cho W(k) = V(k)D cho mọi k.
W (k) = U (k, k 0 )W (k 0 ) = U (k, k 0 )V (k 0 )V −1 (k 0 )W (k 0 ) = V (k)V −1 (k 0 )W (k 0 ), tức là V (k) và W (k) là tương đương.
Kết quả dưới đây cho ta biểu diễn rõ ràng của U (k, k 0 ). Định lý 2.4.1.
Chứng minh Rõ ràng, U (k 0 , k 0 ) = I và với mọi k 0 ≤ k ∈ N 1 , ta có
Hệ quả 2.4.1 Nếu A(k) là ma trận hằng A, thì
Hệ quả 2.4.2 Giả sử V (k) là một ma trận cơ bản bất kì của hệ (1.2.12). Khi đó, det V (k) = det V (k 0 ) =
Bây giờ ta sẽ đưa ra một ví dụ ứng dụng các kết quả trên:
Ví dụ 2.4.1 (Chuỗi Markov) mô tả một hệ có n trạng thái 1, , n Xác suất chuyển từ trạng thái i sang trạng thái j trong khoảng thời gian từ k đến k+1 được ký hiệu p_ij Xác suất hệ ở trạng thái i tại thời điểm k là p_i(k) Tại thời điểm k+1, hệ có thể ở bất kỳ trạng thái nào từ 1 đến n, tùy vào trạng thái hiện tại và các xác suất chuyển tiếp Bằng cách dùng định lý tổng xác suất và xác suất có điều kiện, ta có p_i(k+1) = ∑_{j=1}^n p_j(k) p_{j i}, tức là xác suất hệ ở trạng thái i tại thời điểm k+1 bằng tổng tích của xác suất ở trạng thái j tại thời điểm k với xác suất chuyển từ trạng thái j sang trạng thái i trong khoảng (k, k+1).
Trong bài toán này, p(k) là vector xác suất đại diện cho phân phối trạng thái tại bước k, và A = (p_ij) là ma trận xác suất chuyển tiếp giữa các trạng thái Mọi phần tử của ma trận A nằm trong khoảng từ 0 đến 1 Đồng thời, tổng các phần tử ở mỗi cột bằng 1, cho thấy mỗi cột của A mô tả một phân phối xác suất từ trạng thái j sang các trạng thái khác.
Trong chuỗi Markov rời rạc, p(k) biểu thị phân phối xác suất tại trạng thái khác nhau ở thời điểm k và tổng các xác suất của mọi trạng thái bằng 1 Nghiệm của hệ (2.4.6) có thể viết dưới dạng p(k) = A^k p(0), với ma trận A chứa xác suất chuyển từ trạng thái j sang trạng thái khác; với mọi giá trị riêng của A, |λ| ≤ 1 và λ = 1 cũng là một giá trị riêng Vector xác suất sẽ không đổi nếu p(k+1) = p(k), cho nên (I − A)p(k) = 0; do đó nếu p là vector riêng của A ứng với trị riêng đơn vị, hệ sẽ ở trạng thái ổn định và bắt đầu từ p(0) = p sẽ duy trì trạng thái này Ngược lại, hệ sẽ hội tụ tới vector xác suất p khi t → ∞ cho mọi vector xác suất khởi tạo khác Trong ví dụ đặc biệt hai thiết bị có thể ở hai trạng thái hoạt động hoặc không hoạt động, với xác suất chuyển từ hoạt động sang không hoạt động là α và từ không hoạt động sang hoạt động là β; hệ phương trình sai phân mô tả p1(k+1) = (1 − α)p1(k) + βp2(k) và p2(k+1) = αp1(k) + (1 − β)p2(k).
Các giá trị riêng của ma trận
Trong bài toán hệ hai trạng thái mô tả trạng thái hoạt động và không hoạt động của thiết bị, các tham số α và β xác định xác suất và vector riêng liên quan tới giá trị riêng bằng 1 Vector riêng tương ứng có dạng β/(α+β) cho thành phần hoạt động và α/(α+β) cho thành phần không hoạt động Do đó, xác suất của thiết bị ở trạng thái hoạt động là β/(α+β) và xác suất ở trạng thái không hoạt động là α/(α+β).
Công thức biến thiên hằng số
Trong bài toán hệ tuyến tính, cho V(k) là ma trận cơ bản bất kỳ của (1.2.12) và c(k) là một hàm xác định trên N1 Ta định nghĩa u(k) = V(k)c(k) và xem u(k) là nghiệm của bài toán giá trị ban đầu (1.2.11), (1.3.4) Để xác định u(k) trên miền k, cần u(k0) =
V (k 0 )c(k 0 ) =u 0 , tức là c(k 0 ) = V −1 (k 0 )u 0 Hơn nữa, với k ∈ N ta có u(k + 1) = V(k + 1)c(k + 1) = A(k)u(k) +b(k)
Vì thế, với mọi k 0 ≤ k ∈ N 1 , nghiệm của bài toán giá trị ban đầu (1.2.11), (1.3.4) có thể được viết là u(k) = V
U (k, k 0 )U −1 (`, k 0 )b(` − 1) (2.5.2) Hơn nữa, nghiệm tổng quát u(k) của (1.2.11) theo V (k) là u(k) = V (k)c+ k
Ma trận Green
Ta gọi G(k, `) = U (k, k 0 )U −1 (`, k 0 ) là ma trận Green của hệ (1.2.12) và nó xác định với mọi k, ` ∈ N 1 Mặc dù khi sử dụng nó trong (2.5.1) chỉ yêu cầuk ≥ ` ≥ k 0 +1, trong khi trong (2.5.2) thì điều kiện chỉ làk +1 ≤ ` ≤ k 0 Các tính chất sau của G(k, `) được suy ra trực tiếp
(viii) Nếu A(k) là một ma trận hằng A thì G(k, `) = G(k − `) = A k−` với mọi k, ` ∈ N 1
Khi kết hợp một số kết quả ở trên với nhau, ta có được các kết quả sau. Định lý 2.6.1 Nghiệm của bài toán giá trị ban đầu (1.2.11), (1.3.4) cũng có thể được viết là u(k) = k−1
A −1 (τ )b(` − 1), ∀k 0 ≥ k ∈ N 1 (2.6.2) Nếu A(k) là một ma trận hằng A thì u(k) = A (k−k 0 ) u 0 + k
Hệ liên hợp
Cho u(k) là nghiệm không tầm thường của hệ thuần nhất (1.2.12) Ta tìm hàm v(k) sao cho v^T(k)u(k) = c với mọi k ∈ N Đối với điều này, ta cần v^T(k+1)u(k+1) = v^T(k)u(k) = c với mọi k ∈ N, tức là v^T(k+1)A(k)u(k) = v^T(k)u(k) với mọi k ∈ N, ngụ ý rằng v(k) là một nghiệm của hệ tuyến tính thuần nhất v(k) = A(k)v(k+1), k ∈ N (2.7.1)
Hệ (2.7.1) được gọi là hệ liên hợp của (1.2.12).
Theo ma trận cơ bản chính U (k, k 0 ) của (1.2.12), hàm v(k) có thể viết dưới dạng v(k) = [U T (k, k 0 )] −1 v(k 0 ), k ∈ N 1 (2.7.2) Khi đó, ta có v(k + 1) = [U T (k + 1, k 0 )] −1 v(k 0 ) = [(A(k)U (k, k 0 )) T ] −1 v(k 0 )
= [A T (k)] −1 [U T (k, k 0 )] −1 v(k 0 ) = [A T (k)] −1 v(k), công thức trên tương tự (2.7.1).
Bây giờ gọi V (k) là ma trận cơ bản bất kì của hệ liên hợp (2.7.1), khi đó
V T (k) = V T (k + 1)A(k), k ∈ N (2.7.3) Nhân trước (1.2.11) với V T (k + 1), ta được
V T (k + 1)u(k + 1) = V T (k + 1)A(k)u(k) + V T (k + 1)b(k) (2.7.4) Nhân sau (2.7.3) với u(k), ta được
So sánh lần lượt (2.7.7) và (2.7.8) với (2.5.1) và (2.5.2), ta được
Tóm lại, ta chú ý rằng vớiv(k) là một cột bất kì củaV (k), tức là một nghiệm của (2.7.1), thì từ (2.7.7) và (2.7.8) ta được n
(2.7.10)Các phương trình (2.7.9) và (2.7.10) được gọi là các đồng nhất thức liên hợp.
Bài toán giá trị ban đầu cho hệ phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng
sai phân tuyến tính hệ số hằng
Xét hệ phương trình sai phân u(k+1) = A u(k) với A là ma trận khả nghịch và k thuộc Z Nghiệm tổng quát của hệ có thể viết dưới dạng u(k) = A^k c, với c là một vectơ hằng tùy ý và k ∈ Z Để xác định nghiệm tổng quát này, ta cần có một biểu thức tổng quát cho A^k với k ∈ Z, việc này không dễ dàng và chỉ có thể được giải quyết một cách thuận lợi ở một số trường hợp đặc biệt Vì vậy, hiểu cấu trúc của A và các đặc trưng của A^k là chìa khóa khi phân tích hệ phương trình sai phân tuyến tính.
Ví dụ 2.8.1 Cho ma trận A =
với mọi k ∈ Z Vì vậy nghiệm tổng quát của (2.8.1) có thể viết là u(k) =
Trong các phần tiếp theo, chúng tôi sẽ chỉ ra rằng các giá trị riêng và vector riêng của ma trận A có thể được dùng để tìm nghiệm tổng quát của hệ (2.8.1) Định lý 2.8.1: Giả sử λ_i và 1/λ_i, i = 1, , n là các giá trị riêng phân biệt của ma trận A (hoặc của A^{-1}) và v_i, i = 1, , n là các vector riêng tương ứng Khi đó hệ u_i(k) = v_i λ_i^k, i = 1, , n ∀ k ∈ Z (2.8.3) là một hệ nghiệm cơ bản của hệ (2.8.1).
Chứng minh Vì v i là một vecto riêng của A (A −1 ) tương ứng với giá trị riêng λ i (1/λ i ), nên ta có u i (k + 1) = v i λ k+1 i = λ i v i λ k i = Av i λ k i = Au i (k), k ≥ 0 và u i (k) =v i 1 λ i λ k+1 i = 1 λ i v i λ k+1 i = A −1 v i λ k+1 i = A −1 u i (k + 1), k ≤ 0.
Do đó, u i (k) là một nghiệm của hệ (2.8.1) Để chứng minh (2.8.3) là một hệ cơ bản, ta lưu ý rằng det C (0) = det [v 1 , ã ã ã ,v n ] 6= 0, vỡ v 1 , ã ã ã ,v n là độc lập tuyến tính theo Định lý 2.2.1.
Từ Định lý 2.3.1 ta được kết quả cần chứng minh
Rõ ràng, từ Định lý 2.8.1 suy ra
, ∀k ∈ Z Hơn nữa, nghiệm tổng quát của (2.8.1) có thể viết là u(k) = n
Ví dụ 2.8.2 Sử dụng kết quả của Ví dụ 2.2.1 và Định lý 2.8.1 ta kết luận rằng hệ u 1 (k) =
(4) k , ∀k ∈ Z là một hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình sai phân (2.8.1) với
Nhưng khi ma trận A có m < n giá trị riêng phân biệt, việc tính toán A^k trở nên không dễ dàng do A không thể biểu diễn bằng một cơ sở vectơ riêng đầy đủ Tuy vậy, nghiệm Y(t) = e^{At} của hệ phương trình vi phân dY/dt = A Y vẫn là công cụ quan trọng để giải hệ, ngay cả khi các giá trị riêng lặp lại Để tính e^{At}, ta có thể đưa A về dạng chuẩn bằng biến đổi Jordan: A = P J P^{-1}, rồi e^{At} = P e^{J t} P^{-1}; trong mỗi khối Jordan, e^{J t} cho ta sự tích của hàm mũ e^{λ t} và các bậc thăng, nên e^{At} được biểu diễn bằng tổ hợp các hàm mũ và lũy thừa t Ngoài ra, bằng định lý Cayley–Hamilton, mọi A^k có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp của I, A, , A^{n-1}, giúp tối ưu hóa tính toán khi m < n hoặc khi có các eigenvalue lặp lại Tóm lại, dù số lượng và sự lặp lại của các giá trị riêng của A có thể làm phức tạp bài toán, nghiệm e^{At} vẫn có thể được xây dựng và sử dụng để giải hệ phương trình vi phân một cách hiệu quả bằng các phương pháp chuẩn như phân tích Jordan hoặc tối ưu hóa qua đa thức tối tiểu của A.
Y 0 (t) = AY(t), Y (0) = I (2.8.5) và A k với mọi số nguyên không âm k được liên hệ với nhau theo công thức
A k = Y k (0) nên tất cả các biểu thức đã biết của e At có thể dùng để tính toán A k
Trong trường hợp ma trận A có giá trị riêng λ ∈ C ta thấy rằng
- Nếu A là ma trận với hệ số thực và λ = α + i là một giá trị riêng của A thì λ = α − βi cũng là một giá trị riêng của ma trận A.
- Nếu là vecto riêng của A ứng với giá trị riêng λ = α + βi thì cũng là vecto riêng của A ứng với giá trị riêng λ = α − βi.
Thế thì, giả sử = 1 + i 2 , khi đó nghiệm của (2.8.1) có dạng u(n) = (α + βi) n ( 1 + i 2 ), trong đó α + βi có dạng lượng giác là r cos θ + i sin θ Nghiệm này được viết lại như sau: u(n) = [r cos θ + i sin θ] n ( 1 + i 2 )
= r n [(cos nθ) 1 − (sin nθ) 2 ] + ir n [(cos nθ) 2 + (sin nθ) 1 ]
= x(n) + y(n) vớix(n) = r n [(cos nθ) 1 − (sin nθ) 2 ]vày (n) = r n [(cos nθ) 2 + (sin nθ) 1 ].
Bổ đề 2.8.1 Giả sử λ 1 , ã ã ã , λ m , m ≤ n là cỏc giỏ trị riờng phõn biệt của ma trận A với bội số tương ứng r 1 , ã ã ã , r m , sao cho p(λ) = (λ − λ 1 ) r 1 ã ã ã (λ − λ m ) r m , (2.8.6) khi đó e At = m
, (2.8.7) trong đó q i (λ) = p(λ)(λ − λ i ) −r i , 1 ≤ i ≤ m (2.8.8) và a i (λ), 1 ≤ i ≤ m là các đa thức bậc nhỏ hơn r i trong khai triển
Chứng minh Quan hệ giữa (2.8.8) và (2.8.9) ngụ ý rằng
Quan hệ này được suy ra từ phương trình đặc trưng p(λ) = 0 của A, và do đó, dùng Định lý Cayley - Hamilton 2.2.2 ta được
Vì ma trận λ i I và A − λ i I giao hoán và e λ i It = e λ i tI nên ta có e At = e λ i It e (A−λ i I)t = e λ i t
Nhân phía trước cả hai vế của phương trình này cho a i (A)q i (A), và nhận xét thấy q i (A)(A − λ i I ) r i = p(A) = 0 nên q i (A)(A − λ i I) j = 0 với mọi j ≥ r i Suy ra a i (A)q i (A)e At = e λ i t a i (A)q i (A) r i −1
Cộng vế theo vế các đẳng thức trên từ i = 1 đến i = m và sử dụng (2.8.10) ta thu được (2.8.7) Định lý 2.8.2 cho biết giả sử các kí hiệu và giả thiết của Bổ đề 2.8.1 đều thỏa mãn; khi đó, với mọi số nguyên không âm k, ta có một hệ quả liên quan tới k.
Chứng minh Lấy vi phân (2.8.7) k lần và thay t = 0 ta được (2.8.11)
Hệ quả 2.8.1 Nếum = n, tức là A cóngiá trị riêng phân biệt thìa i (A) = (1/q i (λ i ))I và (2.8.11) rút gọn thành
Hệ quả 2.8.2 Nếu m = 1, tức là A có tất cả các giá trị riêng đều bằng λ 1 , thì a i (A) = q i (A) = I và (2.8.11) rút gọn thành
Hệ quả 2.8.3 Nếu m = 2 và r 1 = n − 1, r 2 = 1, khi đó ta có a 1 (A) = 1
Bây giờ, do (A − λ 2 I) = (A − λ 1 I ) − (λ 2 − λ 1 )I, ta nhận thấy
Vì vậy, từ Định lý Cayley - Hamilton 2.3.1 ta có
(A − λ 1 I) n = (λ 2 − λ 1 )(A − λ 1 I) n−1 Dùng lặp lại nhiều lần kết quả này ta được
Bổ đề 2.8.2 (Thuật toán Putzer) Giả sử A là ma trận vuông cấp n và có các giá trị riêng λ1, , λn được sắp xếp theo một thứ tự cho trước Theo Putzer, e^{tA} có thể được biểu diễn dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của I, A, A^2, , A^{n−1} với các hàm số scalar phụ thuộc t, được xác định từ các λi Cụ thể, e^{tA} = p_0(t) I + p_1(t) A + + p_{n−1}(t) A^{n−1}, trong đó các p_k(t) được xác định bởi hệ ODE liên quan đến λi và điều kiện ban đầu Phương pháp Putzer cho phép tính nhanh e^{tA} ngay cả khi A không được khử Jordan, miễn là các giá trị riêng của A được biết.
X j=0 r j+1 (t)P j , (2.8.15) trong đú, P 0 = I, P j = Q j `=1 (A − λ ` I), j = 1, ã ã ã , n và r 1 (t), ã ã ã , r n (t) được cho bởi dạng truy hồi r 1 0 (t) = λ 1 r 1 (t), r 1 (0) = 1 r 0 j (t) = λ j r j (t) + r j−1 (t), r j (0) = 0, j = 2, ã ã ã , n.
Lưu ý rằng mỗi giá trị riêng λ_i có thể bị lặp lại do tính bội của nó Hơn nữa, các ma trận (A − λ_i I) và (A − λ_j I) giao hoán với nhau, nên ta có thể thuận tiện áp dụng quy ước để chuyển từ (A − λ_j I) thành (A − λ_i I) khi i > j.
Chứng minh Ta sẽ chứng minh rằng Y (t) được xác định bởi Y (t) =
Pn−1 j=0 r j+1 (t)P j thỏa mãn (2.8.5) Vì vậy, ta xác định được r 0 (t) = 0 Khi đó, suy ra
Trong đó để có được (2.8.16) và (2.8.17) ta đã sử dụng lần lượt
Bây giờ, theo Định lý Cayley - Hamilton 2.3.1 ta lại có P n = p(A) = 0. Cho nên, (2.8.17) rút gọn thành Y 0 (t) = AY(t) Cuối cùng, để hoàn thành chứng minh ta chú ý rằng Y (0) = P n−1 j=0 r j+1 (0)P j = r 1 (0)I = I
Bổ đề 2.8.3 Cho y (t) là nghiệm của bài toán giá trị ban đầu n
X i=0 a i y (i) (t) = 0, y (i) (0) = α i , 0 ≤ i ≤ n − 1 trong đú a 0 , ã ã ã , a n là cỏc hằng số Khi đú u(k) = y (k) (0) là nghiệm của bài toán giá trị ban đầu n
X i=0 a i u(k + i) = 0, u(i) = α i , 0 ≤ i ≤ n − 1. Định lý 2.8.3 (Thuật toán Putzer rời rạc) Giả sử các giả thiết của Bổ đề 2.8.2 được thỏa mãn Khi đó, với mọi số nguyên không âm k, ta có
Chứng minh Lấy vi phân (2.8.15) k lần và thay t = 0 ta được (2.8.18), trong đó w j (k) = r j (k) (0), 1 ≤ j ≤ n (xem Bổ đề 2.8.3)
Bổ đề 2.8.4 Giả sử các kí hiệu và giả thiết của Bổ đề 2.8.1 được thỏa mãn. Khi đó với mọi k ∈ N, ta có
(−1) j (k + j − 1) (j) j! a i (A)q i (A)(A − λ i I) j , điều này giống với (2.8.11) với k được thay bởi −k, tức là (2.8.11) đúng với mọi k ∈ Z.
Ví dụ 2.8.3 Xét ma trận A 3 × 3 có cả 3 giá trị riêng đều bằng λ 1 Để sử dụng Định lý 2.8.3, ta chú ý rằng w 1 (k) = λ k 1 , w 2 (k) = kλ k−1 1 , w 3 (k) = (1/2)k(k − 1)λ k−2 1 là tập nghiệm của hệ w 1 (k + 1) = λ 1 w 1 (k), w 1 (0) = 1 w 2 (k + 1) = λ 1 w 2 (k) + w 1 (k), w 2 (0) = 0 w 3 (k + 1) = λ 1 w 3 (k) + w 2 (k), w 3 (0) = 0.
2 k(k − 1)λ k−2 1 (A − λ 1 I) 2 , (2.8.20) điều này chính là (2.8.13) với n = 3. Đặc biệt, ma trận A =
có tất cả các giá trị riêng đều bằng
−1, vì thế từ (2.8.20) ta được
có tất cả các giá trị riêng đều bằng 1, thế nên từ (2.8.20) ta được
Ví dụ 2.8.4 Xét ma trận A 3 × 3 với 3 giá trị riêng λ 1 , λ 1 , λ 2 Để sử dụng Định lý 2.8.3 ta lưu ý rằng w 1 (k) = λ k 1 , w 2 (k) = kλ k−1 1 , w 3 (k) = kλ k−1 1
(2.8.21) điều này chính là (2.8.14) với n = 3. Đặc biệt, ma trận A =
có các giá trị riêng là −1, −1, 1 nên từ (2.8.21) ta được
Nhận xét Từ Bổ đề 2.8.4 ta chú ý rằng các biểu diễn cụ thể thu được đối với A k , k ∈ N trên thực tế là đúng với mọi k ∈ Z.
Với sự biểu diễn cụ thể cho A k , k ∈ Z , nghiệm tổng quát của hệ sai phân không thuần nhất u(k + 1) = Au(k) +b(k), k ∈ Z (2.8.22) có thể viết là u(k) = A k c+ k
A k−` b(` − 1), (2.8.24) với mọi số nguyên k không âm.
2.9 Bài toán giá trị ban đầu cho hệ phương trình sai phân tuyến tính tuần hoàn
Một hàm u(k) xác định trênNK được gọi làtuần hoàn với chu kì K > 0 nếu với mọi k ∈ N, u(k + K ) = u(k) (2.9.1)
Về mặt hình học, điều này nghĩa là đồ thị của hàmu(k) lặp lại chính nó trên các khoảng liên tiếp có độ dài K.
Ví dụ, hàm số cos(kπ) là tuần hoàn trên tập N với chu kỳ K = 2 Để tiện trình bày, ta giả sử K là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa (2.9.1) Nếu mỗi thành phần u_i(k) của u(k), 1 ≤ i ≤ n, và mỗi phần tử a_ij(k) của ma trận A(k) = [a_ij(k)], 1 ≤ i, j ≤ n, đều có chu kỳ K, thì u(k) và A(k) được gọi là tuần hoàn với chu kỳ K.
Đoạn này giới thiệu khái niệm hệ sai phân tuyến tính (1.2.11) và cụ thể là hệ (1.2.12) được gọi là tuần hoàn với chu kỳ K khi A(k) và b(k) có chu kỳ K; tính tuần hoàn của nghiệm các hệ phương trình sai phân là một lĩnh vực thú vị và quan trọng trong nghiên cứu định tính, và luận văn sẽ hệ thống hóa một số đặc tính về sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của các hệ sai phân tuyến tính; Định lý 2.9.1 nêu rõ: giả sử hệ phương trình sai phân (1.2.11) tuần hoàn với chu kỳ K trên tập N, thì hệ có một nghiệm tuần hoàn u(k) với chu kỳ K nếu và chỉ nếu u(0) = u(K).
Trong bài chứng minh này, xét u(k) là một nghiệm tuần hoàn có chu kỳ K Theo định nghĩa tuần hoàn, ta có u(0) = u(K) Để đi tới chứng minh đầy đủ, ta giả sử u(k) là một nghiệm của hệ (1.2.11) và thỏa mãn điều kiện u(0) = u(K).
Giả sử v(k) = u(k+K) Khi đó v(k+1) = u(k+1+K) = A(k+K)u(k+K) + b(k+K) = A(k)v(k) + b(k), cho thấy v(k) là một nghiệm của (1.2.11) Tuy nhiên, v(0) = u(K) = u(0); nhờ tính duy nhất của bài toán giá trị ban đầu, ta có u(k) = v(k) = u(k+K) và từ đó u(k) có chu kỳ K (u(k+K) = u(k)).
Hệ quả 2.9.1 Giả sử hệ (1.2.12) là tuần hoàn với chu kì K trên N và gọi
Trong hệ phương trình sai phân được cho bởi (1.2.12), V(k) được xem là ma trận cơ bản của hệ Hệ này có một nghiệm tuần hoàn không tầm thường u(k) với chu kỳ K khi và chỉ khi det(V(0) − V(K)) = 0 Điều kiện này cho thấy sự tồn tại của nghiệm tuần hoàn tương ứng với sự suy biến của ma trận V(0) − V(K) ở bước 0 và bước K.
Chứng minh: chúng ta đã biết nghiệm tổng quát của (1.2.12) là u(k) = V(k)c, trong đó c là vectơ hằng Nghiệm u(k) này tuần hoàn với chu kỳ K khi và chỉ khi V(0)c = V(K)c, nghĩa là hệ (V(0) − V(K))c = 0 có một vectơ nghiệm không tầm thường c Nhưng theo Bổ đề 2.2.1, hệ này có một nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi det(V(0) − V(K)) = 0.
Hệ quả 2.9.2 cho biết: nếu A(k) là một ma trận hằng A thì hệ phương trình sai phân (1.2.12) có một nghiệm tuần hoàn không tầm thường và chỉ khi ma trận (I − A^K) không khả nghịch (suy biến) Nói cách khác, sự tồn tại của nghiệm tuần hoàn liên quan đến tính nghịch đảo của (I − A^K); khi (I − A^K) suy biến, tức là tồn tại một vectơ khác không thỏa mãn (I − A^K)v = 0, cho thấy A^K có eigenvalue bằng 1 Ngược lại, nếu (I − A^K) khả nghịch thì mọi nghiệm tuần hoàn sẽ là tầm thường.
Hệ quả 2.9.3 cho thấy điều kiện cần và đủ để hệ phương trình sai phân (1.2.11) có chu kỳ K có duy nhất một nghiệm tuần hoàn với chu kỳ K: nếu hệ (1.2.12) không có nghiệm tuần hoàn nào khác ngoài nghiệm tầm thường, thì nghiệm tuần hoàn với chu kỳ K là duy nhất.
Chứng minh Giả sử V (k) là một ma trận cơ bản của (1.2.12) Khi đó, nghiệm tổng quát của hệ (1.2.11) có thể viết là u(k) = V (k)c+ k
V (k)V −1 (`)b(` − 1), trong đó, c là một vecto hằng bất kì u(k) này tuần hoàn với chu kì K khi và chỉ khi
Hệ V(K)V−1 và vector b có nghiệm c duy nhất; từ Bổ đề 2.2.1, nghiệm duy nhất của hệ này xảy ra nếu và chỉ nếu det(V(0) − V(K)) ≠ 0, nhờ đó từ Hệ quả 2.9.1 ta hoàn thành chứng minh Trong Định lý 2.9.2, giả sử hệ phương trình sai phân (1.2.12) tuần hoàn với chu kỳ K trên tập chỉ số Nvà U(k,0) là ma trận cơ bản chính của nó; ta có hai kết quả: i) U(k+K,0) = U(k,0)U(K,0), và do đó U(k+K,0) cũng là một ma trận cơ bản của (1.2.12); ii) (Định lý Floquet) tồn tại một ma trận khả nghịch tuần hoàn P(k) với chu kỳ K và một ma trận hằng R sao cho
U (k, 0) = P(k)R k (2.9.2) iii) Phép biến đổi u(k) = P (k)v(k) (2.9.3) rút gọn hệ (1.2.12) thành hệ v(k + 1) = Rv(k) (2.9.4) Chứng minh.
(i) Vì hệ (1.2.12) là tuần hoàn nên rõ ràng U (k + K, 0)là ma trận nghiệm của nó Hơn nữa, từ định nghĩa ma trận cơ bản chính, ta được det U (k +