Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng ABCD trùng với trọng tâm tam giác BCD.. Đường thẳng SA tạo với mặt phẳng ABCD một góc 450.. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cá
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 195
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)
Câu 1 (2 điểm) Cho hàm số y x 3 3x2m1x1 1 có đồ thị C m với m là tham số
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m 1
b) Tìm m để đường thẳng d :y x 1 cắt đồ thị C m tại 3 điểm phân biệt P0,1 , M N,
sao cho bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN bằng 5 2
2 với O0;0
Câu 2 (1 điểm) Giải phương trình: sin 4x 2 cos 2x 4sinx cosx 1 cos 4x
Câu 3 (1 điểm) Giải hệ phương trình:
1 2
4 ) 3 ( )
1 (
2
y xy x
x y y y
x
Câu 4 (1 điểm) Tính tích phân:
x x x
2 2 1
Câu 5 (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a AD , 2 2 a
Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác BCD.
Đường thẳng SA tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 450 Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD theo a.
Câu 6 (1 điểm) Cho ba số thực dương a, b, cthay đổi thỏa mãn điều kiện : ab + bc + ca = 2abc.
Chứng minh rằng:
2 2 2
(2 1) (2 1) (2 1) 2
II PHẦN RIÊNG (3 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn C : x 32 y 12 9
và đường thẳng d :x y 10 0 Từ điểm M trên d kẻ hai tiếp tuyến đến C , gọi A B, là
hai tiếp điểm.Tìm tọa độ điểm M sao cho độ dài đoạn AB 3 2
Câu 8.a (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho hai đường thẳng 1
1
1
z
2
:
Viết phương trình mp(P) song song với d và 1 d , sao cho khoảng cách từ2 1
d đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ d đến (P).2
Câu 9.a (1 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn (1 3 ) i z là số thực và z 2 5 i 1
B Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A, biết B và
C đối xứng nhau qua gốc tọa độ O Đường phân giác trong góc B của tam giác ABC là đường thẳng
d :x2y 5 0 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giácABC, biết đường thẳng AC đi qua điểm
6;2
K
Câu 8.b (1 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3) và B(3;4;1) Tìm toạ
độ điểm M thuộc mặt phẳng (P): x y z 1 0 để MAB là tam giác đều
Câu 9.b (1 điểm) Khai triển và rút gọn biểu thức n
x n x
x 2 ( 1 ) ( 1 )
n
n x a x
a
a
x
P( ) 0 1 Tính hệ số a8 biết rằng n là số nguyên dương thoả mãn:
n
C
1
7
1
3
2
Hết
Trang 2-HƯỚNG DẪN
1
(2 đ)
a (1 điểm)
Với m =-1, 3 2
y x 3x 1
1) Tập xác định: R.
2) Sự biến thiên:
xlim y xlim x 3x 1 ,lim yx
b Bảng biến thiên:
y 3x 6x 3x(x 2), y 0
x 2
Bảng biến thiên:
x 0 2
y + 0 - 0 +
y 1
-3 + Hàm số đồng biến trên khoảng ;0 và 2;
+ Hàm số nghịch biến trên khoảng 0; 2
+ Hàm số đạt cực đại tại x 0, y CÐ y(0) 1
đạt cực tiểu tại x 2, y CT y(2)3
3) Đồ thị:
Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0;1)
Đồ thị nhận điểm uốn I (1;-1) làm tâm đối xứng.
f(x)=x^3-3x^2+1
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8 -6 -4 -2
2 4 6 8
x y
b (1 điểm)
Phương trình hoành độ giao điểm của C m và (d): x3 3x2m1 x 1 x 1
2
2
Để C m cắt (d) tại 3 điểm phân biệt 2 có 2 nghiệm phân biệt khác 0
0 9 4
m
m
Giả sử M x x 1; 11 , N x x 2; 21 khi đó x x1; 2 là nghiệm của pt(2)
0.5
Trang 3Ta có 1 ; . .
OMN
OM ON MN
R
(với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN )
OM ON
R
OM ON x x x x
Với x12 3x1 m x; 22 3x2 m
2
2 2
3 2
m
m
Vậy m 3 thỏa mãn ycbt
0.5
2
(1 đ)
sin 4x 2 cos 2x 4sinx cosx 1 cos 4x
4 2 cos 2 2 cos 2 2 cos 2 sin
2
2
Với x x x k ,kZ
4 0
cos
Với cos 2xsinx 1 0 1 2 sin 2xsinx 1 0 sinx 1 2 sin 2x 1 0
x x 2m ,mZ
2 1
0.5
0.5
3
(1 đ)
Ta có PT (1) : x2 -3x(y-1) + y2 + y(x-3) = 0 (x-y)2 + 3(x-y) - 4 + 0
4
1
y x
y x
* Với x- y = 1, ta có
1 2 1
y xy x y x
x = 1; y = 0 và x= -1; y = -2
* Với x - y = -4 ta có
1 2 4
y xy x y x
(Hệ PT vô nghiệm) Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (x; y) = (1; 0) và (x; y) = (-1; -2)
0.5
0.5
4
(1 đ)
e
2
e
2
1
1
1
Vậy
I
e e
2
1
0.25 0.25
0.25
0.25
5
(1đ)
Gọi H là trọng tâm tam giác BCD Theo gt SH (ABCD)
SA tạo với đáy góc 450 suy ra SAH 450 SH AH 2a
3
.2 2 2
Gọi M là trung điểm của SB Mặt phẳng (ACM) chứa AC và // SD
Do đó (d SD AC; )d SD ACM( ;( ))d D ACM( ;( ))
Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ Khi đó
0.5
Trang 42 4 2 (0;0;0), ( ;0;0), (0; 2 2 ;0), ; ;2 , ( ; 2 2 ;0)
5 2 2
M a
( ; 2 2 ;0)
5 2 2
(2 2 ; ; 2 )
Mặt phẳng (ACM) đi qua điểm A và có vtpt n (2 2; 1; 2) nên có phương trình là
2 2 2 2
8 1 2 11
0.5
6
(1đ)
Từ giả thiết suy ra 1 1 1 2
a b c
Đặt : 1 ; y = ; z = 1 1
x a
Suy ra x,y,z > 0 và x+y+z=2
Ta có:
P
Áp dụng bđt Cô-si:
3 2
3
y z
3 2
3
y x z x z y
x z
3 2
3
z y x y x z
y x
Do đó: 1( ) 1
P x y z ( đpcm)
7a
(1đ)
x
d
H
M A
B I
O y
Đường tròn (C) có tâm I3;1 , bk R OA 3
Gọi H ABIM, do H là trung điểm của AB nên 3 2
2
AH Suy ra:
9
2 6
3 2 2
IA IM IH
1
M
H O B
D
C
A
S
Trang 5Gọi M a ;10 a d ta có IM2 18 a 329 a2 18
2a 24a90 18 a 12a36 0 a6
Vậy M6;4
8a
(1đ)
Ta có : d đi qua điểm A(1 ; 2 ; 1) và vtcp là : 1 u11; 1;0
d đi qua điểm B (2; 1; -1) và vtcp là: 2 u2 1; 2; 2
Gọi n
là vtpt của mp(P), vì (P) song song với d và 1 d nên 2
n
= [
1; 2
u u ] = (-2 ; -2 ; -1) pt mp(P): 2x + 2y + z + m = 0
d(d ;(P)) = d(A ; (P)) =1 7
3
m
; d(d2;( ))P = d( B;(P)) = 5
3
m
vì d(d ;(P)) = 2 d(1 d2;( ))P 7m 2 5m
3 17 3
m m
Với m = -3 mp(P) : 2x + 2y + z – 3 = 0
Với m = -17
3 mp(P) : 2x + 2y + z -
17
3 = 0
1
9a
(1đ)
Giả sử z x yi , khi đó (1 3 ) i z (1 3 )(i a bi ) a 3b(b 3 )a i
(1 3 ) i z là số thực b 3a 0 b3a
2 5 1 2 (5 3 ) 1 ( 2) (5 3 ) 1
Vậy 2 6 , 7 21
5 5
1
7b
(1đ)
(d) I
O A
B
C K
: 2 5 0
B d x y nên gọi B5 2 ; b b, vì B, C đối xứng với nhau qua O suy ra
(2 5; )
C b b và O(0;0)BC
Gọi I đối xứng với O qua phân giác trong gócB là d :x2y 5 0 nên I(2;4) và
IAB
Tam giác ABC vuông tại A nên BI 2b 3;4 b
vuông góc với
11 2 ;2
CK b b
2 3 11 2 4 2 0 5 2 30 25 0 1
5
b
b
Với b 1 B(3;1), ( 3; 1)C A(3;1)B loại
1
Trang 6Với b 5 B( 5;5), (5; 5) C 31 17
;
5 5
Vậy 31 17
; ; ( 5;5); (5; 5)
5 5
A B C
8b
(1đ)
Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB (Q): x y z 3 0
Gọi d là giao tuyến của (P) và (Q) d:
2 1
x
y t
z t
M d M(2;t 1; )t AM 2t2 8 11t , AB = 12
MAB đều khi MA = MB = AB
2 8 1 0
2
t t t 2;6 18 4; 18
M
1
9b
(1đ)
Ta có
n n n n n n
n n C
) 2 )(
1 (
! 3 7 )
1 ( 2
3 1
7 1
3
0 36 5
3
n n n
Suy ra a là hệ số của 8 x trong khai triển 8 8(1 x)89(1 x)9
Vậy a = 8 8.C88 9.C98 89
1
Lưu ý:
- Nếu HS làm bài không theo cách của hướng dẫn chấm nhưng đúng thì cho điểm tối đa của câu đó
- Nếu có nhiều HS làm có kết quả giống nhau nhưng khác kết quả của hướng dẫn chấm thì đề nghị xem lại hướng dẫn chấm