giGiáo trình toán cao cấp giải tích phần 2

Chương VI TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH I Nguvẽn hàm Tích phân bất đỉnh 1 Đính nghĩa Cho các hàm sô" / , F xác định trên [a,b] F được gọi là một nguyên hàm của / trong (a,b) nếu Ff(x) = f ( x ) , Vx E (a,b) F gọ[.]

Chương VI : TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

I Nguvẽn hàm - Tích phân bất đỉnh :

1 Đính nghĩa : Cho các hàm sô" / , F xác định trên [a,b]

F được gọi là một nguyên hàm của / trong (a,b) nếu

Ff(x) = f ( x ), Vx E (a,b)

F gọi là nguyên hàm của f trên [a,b] nếu :

F'{x) = f ( x ) , Vx G (a,b)

và F'(a+) = f( a ) ,F '( b - ) = f(b)

Ví du :

• cosx là nguyên hàm của sinx vì (— cosxỴ = sỉ nx

— cos X + 7 cũng là nguyên hàm của sin X

• — 5 ,^ -c là những nguyên hàm của X 2 vì :

3 >/ / (

3

3 J > 3 , 3 J

2 Đinh lv : Nếu hàm số / liên tục trên [a, b] thì / có nguyên hàm trên [a, b]

3 Đinh Iv : Giả sử F là nguyên hàm của / trong (a,b) Khi

đó ta có :

i) F + c (C là hằng số) cũng là một nguyên hàm của / trong (a,b)

ii) Nếu G cũng là một nguyên hàm của / trong (a,b) thì tồn tại hằng số c sao cho

G(x) = F(x) + c Vx G (a,b)

Chứng mi nh :

i) (F(x) + C)’ = F (x ) = f(x), Vx e (a, b)

=> F + c là một nguyên hàm của / trong (a,b) ii) [G(x) - F(x)]’ = G’(x) - F’(x) = f(x) - f(x) = 0, Vx e (a,b)

= > 3 C e M : G(x) - F(x) = c, Vx G (a,b)

=> G(x) = F(x) + c, Vx e (a,b)

Ghi chú :

• Định lý trên vẫn đúng nếu thay (a,b) bằng [a,b]

• Nếu / có một nguyên hàm thì / có vô số nguyên hàm và hai nguyên hàm bất kỳ của cùng một hàm thì sai khác nhau một hằng sô"

4 Đinh nghĩa : Tập hợp tất cả những nguyên hàm của / trên

[a,b] được gọi là tích phân bất định của Ị trên [a, b], ký hiệu : J f(x)dx

Nếu F là một nguyên hàm của / thì J* f(x)dx =F(z) + c

II Tính chất cửa tích phân bất đinh :

Cho / , g là các hàm số có nguyên hàm trong (a,b) Khi đó :

i) A / /(x)dx = ( / /(x)dx) = f ( x )

ii) d j* f(x)dx = f ( x )á x

120

iii) J (f(x) ± g(x)) dx = J f(x)dx ± J g(x)dx

Hệ quả : j ị ^ k tft(x)dx = ¿ f c , J ^(a;)ác

v) Nếu F’(x) = f(x) thì

f F'(x)dx = J d F ( x ) = F ( x ) + c = J f( x)dx

và Ị f ( y ) d y = F ( y ) + c , / / ( í ) á í = F ( t ) + C ,

Chứng minh: Dành cho độc giả (suy ra từ tính chất đạo hàm).

III Các công thức tích phản bất đinh cơ bần :

1 Ịo d x = c

2 J adx = ax + c

a;n+1

+ c (n * -1)

4 f — = lnlrcl 4- c

J X

(vì (ln 1^1 + c y

(ln a;/

ln(—a;)/

(a: > 0)

(x < 0)

_ 1 _ _ 1_

(x > 0)

(x < 0)

= - , x *0 )

X

6 f a'dx = — + c (v ii— ] = a x)

7 J* sin xdx = — cos X + c

8 J^cosxdx = sinz + c

9 f —^ = f (1 + tg2:r)cfo: = tgx 4- c

J cos re J

1 0 f ^ = f (1 + cotg2a;)d:r = —cotgrc + c

J sin re J

11

12

13

•J

COS2 X - J

d x

• 2

sin X «J

dx

l + x 2

d x

J Í / ■

J

- n + 1

—71 + 1 + c =

(n — 1)2;— + C ( n * l )

J 2>/x

14 I tgxdx - I ——— ax = I — 1 - = — In Icos x\ -f u

J J s in x J s i n x

16 I æ-2 X 2 = arcsin — \a\ -f c

122

18 J dx

— In

yjx2 4- b

1 9 r rf* L in

J X - a 2 a

20

+ c (a * 0)

X -ị- y j x ¿ b 4" c

X — a

X + a

1

) (x — b) b — a

X - b

X — a + c (a * b)

'• \ J ( x - a t t - z

21 f y/a2 — x 2d x — —yja2 — X 2 -f — arcsin — 4- c (a * 0)

. AJ a 2 + x 2d x = — a / « 2 + Æ2 + — In a; + y[aF+~x: 22

IV Vài ví du :

X4 — 5æ:* — X 2 + 3x + 7

X2 + 1

= I IX2 — 5x — 2 4-K

dx

Sx + 9'

z 2 + l j dx

*•> 5x2 & Î Ï & + 9 L

= - - ~ 2a: + "T ~.~ r + 9 2 7

— — — 2z + 4 f i í í ĩ l ì l ì _|_ g arctg X

a;3 5x2

X 2+ 1 2# -f- 4 ln(x2 4-1) + 9arctgÆ -f c

b J*(x2 -f x)yjx-jxdx = J*(x2 + x)x2x Adx

f e ^ r d x = f ự ĩ Ỵ d x = ( f 7ỵ = -Ế12Ị— + c

s f Ẽ E ẹ k = rtẵ xdx = r tgx d{tễx) = t g l £ + c

Cách khác :

1

Js in x d x _ c — d(c o s x )

^ ( l + t g ^ + c = ^ + K

J ( x - t J x 2+ 1 ) 2 J Ị i2 — ( i ?

+ ự

= J (x2 + 2xsjx2+ 1 + X 2 + l) ífa i

r

-= 2 — + X + I u 2du (u -= X 1 => du = 2x d x )

f dx _ Ị* dx _ 1 r (x 4- a) — (x — a) ^

J X2 — a2 J (x — a)(x + a) 2a J (x — a)(x + a)

= — I I— -— I dx = — [In la; — a|] — In\x 4- a|] + c

2a J \ x — a X + a ) 2a

= ~—I n - h c (a ^ 0 )

2 a IX + a

h J tg2 xdx = J*(tg2 X + 1 — 1 )dx = tgx — X + c

i J t g r> x d x = J ( t g r> X 4- t g :{ X — t g 3 X + t g x — t g x ) d x

= J tg:{ rz;(tg2 X + 1 )dx - J* tgx(tg2 X + 1 )dx + J* tg xdx

=

V Phương pháp tính tích phân bất đinh :

1 Phương pháp đổi biến :

a Giả sử / là hàm số có nguyên hàm trên miền D

Đặt X = ip(t) , với (f là hàm khả vi đơn điệu đối với biến t

và miền giá trị của ip(t) chứa trong D Khi đó:

J f(x)dx = J f(tp(i))ip'(t)dt

Ví du :

1) I =

J i í ĩ

Đặt X = t ' => d x = S t 2d t, yfx* = t2 , ự x = t

=> I - J"—- -ị —-—- = 3sintdt = — 3cœt + c = —3casệfx + c

2 ) 1 = j* Va2 — x 2dx (a > 0, a2 - X2 > 0 <=> -a < X < a)

Đặt X — a sin t , —-—< t < — =>dx = a cos tdt và sin t =

=> I = J* yja2 — = J ' Vữ2 — a 2 sin21 a cos

= J' aVcos2¿a cos tdt = J* a2 |cos ¿1 cos tdt

= J* a2 cos2

(vi t e 7T 7T cost > 0 => |cost| = cost)

p a 2(l + cos‘2i) a2 a2 „

= v - = —- Í -f — sin 2t 4- c

= — arcsin — I 2 sin r cos t + (J

= — arcsin — — 4 1 T- + (J

= - —arcsin— + —y a —X + (J

b Đặt u = /ỉ(x) với h khả vi liên tục ta có :

g(h{x))h'(x)dx = J* g(u)du

Ví du :

1)

>■ »

( 3 i 7 + 5 )

Ị 3

+ 5x

3#K Đặt u = ——h 5x => du = (3xr> + 5)cte

(w = /i(x) => du = h'(x)dx )

126

=> I = i ulsdu = —— h C = — I — x* 4- 5x | + C

2)

- f

J x A

u1 !)

4- Gx2 + 1 5 J (x2 4- 3)2 4- 6

Dät u — x l + 3 du = 2xdx

-iJ(x2 4- 3) 2 + 6

= 1 f - j

2 J u2+ 6

= T arctg ^ + G = T aictg

Dät u = ex => du = exdx

u2 4 - 1 - 1

3)1= — - Dat u = e =>

J e + 1 *

f t’2,<y,dx _ r u2du _ r

“ J e2r + 1 ” J u2 + 1 " J

= f du — f — = u — arctg m 4- C = e1 — arctg e* + C

^ ^ w + 1

ti2 4-1

x 2 4- a 2 a 2

dx x-\ + i a,

— dx a

ö J « + 1 1 a)

J yja — x ‘

■ I

ul + 1

(a > 0) = dx

i - i i

2

dx

a j l — I—

,a , du

Vl - u2

u = — I = arcsin u 4- C = arcsin — h C

a

" í

dx yjx2 + b = lnln

X -ị- VTTòl -ỉ- c

Đặt u = X + yjx2 + b => d u = — 7 í/x

yjx2 + b

yỊx2 + 6 >/x2 + 6 + £ u

du

= ln|lnM + c = ln £ + \jx2 4- 6 + c

Va:2 + 6 J M

2 Phương pháp tích phân từng phần :

Cho u = u(x), V = v(:c) là các hàm khả vi và có đạo hàm

liên tục Khi đó : J udv = uv — 'J vdu Chứng minh:

Ta có : d(uv) = vdu + udv => J d(uv) = J udv + J*

Suy ra J* udv = uv — J vdu Thông thường để tính J f(x )d x , ta phân tích : f(x)dx = udv

sao cho tính được các tích phân J vdu và J dv

Nhân x é t :

vdu

■*

• D ạn g : p (i) cosx d x Đặt u = p(x) và dv = cosx

dx

128

ln x ln x

• D a n g : p(x) arctgx d x Dät u = arctgx

, dv =p(x)dx

Vi du :

a) J x 2eTd x B a t : u = x2 => du = 2xdx

dv = e xdx, chon v = e x (dv = e xdx => v = e x + C, chon C = 0)

Do dö : J x 2e rdx = uv — J* vdu = x 2ex — J* 2xe'dx

Dat u = 2x => du = 2dx; dv.= e xdx, chon v = e x

/ x 2e'dx = x zer — 2 i 2xer — J*2erdx - x 2e — 2xex + 2e + C Tong q u a t:

+ (-l)" n !e x + C

dx

b) f ln x d x Dat u = lnx => du = — ;

dv = dx, chon v = x

xdx

/ ln xdx = x ln x — f ^ = xlnx - x + C

■ J ■ x

c) J x ”lnxdx, n ^ -1

Dat u = lnx => du = — dx ; dv = xndx, chon v = xn +1

x

x

n +1 ln

r x +l

x — I

-J in. 4- 1 dx

»1+1 ^,»+1

ln X — - — + c

71 + 1 (n + 1 ) 2

d) I = J* X'5 sin xdx

Đ ặ t u = X3 => du = 3 x 2dx

dv = sinxdx, chọn V = - c o s x

=> I = — X* cos X + j * 3x2 c o s x d x

= —Xa co s X + S x 2 sin X — J* 6 x sin x d x

= —X* COS X + 3 x 2 sin X 4- 6 x COS X — 6 cos x d x

= —X a c o s X + Z x 1 sin X + 6x COS X — 6 sin X + c

e ) 1 = J ' X a r c tg x d x

Đ ă t u = arctgx => du =

-l + x 2

dv = xdx, V = — (x2 + 1) (Chọn c = —)

= —(x1 + l)arctg:r — — + c

f) J \la2 — X 2 d x (a > 0 )

Đặt u = y j a 2 — X 2 => du = —2 x d x x d x

2Va2 - X 1 Va2 - X 2

d v = d x , c h ọ n V = X

= ị ^ L ^ ^ êx

= X y ja 1 — X 2 — f y]a1 — x 2d x + a 2 f 7 ¿ = =

=> 21 = W a 2 — X 2 + a 2 f I = =

-J v a2 — X2

T Æ n -7 ß 2 • x ^

Tương tự : J = J V« 2 +

Đặt u = \faF+ ~ x* => du = —r=== , dv = dx, chọn V = X

Ta có :z o :

n r ~ 7 r x 2dx

J = XV« + X — I —, =====

J Va2 + 2

= X y / ã 2 + X 2 - f ^ — r=

J y¡a‘

=>2J = x-n/«2 -4- X 2 4- fl2 f T =

J \¡a

2 + x 2

X2 -Ị- ữ2 — ü2 J

dx

2 + x 2 dx

2 + x 2

J = - X y J a 2 + X 2 -f — f —¡=

dx

2 + £ 2

= — yja24- X 2+ — ln ị X -f V«2 + ~ ? j + c

VI Tích phân các hàm hữu tỉ :

Nhắc lai :

f rá? - — Inị-E 4- a| + c

J X 4- a

J ( x + fl)Ả (Ả: — l)(ar + tì)*-1

2 2 = l n - + c

-í

J ịx-x^ịỉ-x,) X2-X,J { x - x t) ( x - x 2)

= ^ h ĩ X — X X — X., X — X,

X — X, + c (xx* x 2)

1 Tích phân dang :

(Ax + B)dx ax2 + bx + c

A r 2 ax 4- b

2a J ax2 -f hx + c

I = — f

2 ơV v4

</x + B Á6'

2fl , i46ì

/

dx

ax +bx + c

ln|ax + bx + c| + LB

-2fl l ( * - £ ) /2a ,

dx

T ín h : It = f

a

dx

ax2 + bx + c dx

( a *0)

dx

X +

2 a,

132

_ 1 r dx

\x + i \ - ử

i) N ế u A < 0 : I i = — f 2^U = — arctg—+ c

a J u + a aa a

với a = — - , u = X + —

u au

iii) Nếu A > 0 :

ax2 + bx + c = a(x-xi)(x-x2)

với Xi, X2 là nghiệm của ax2 + bx + c = 0

2 Phân tích m ỏt đa thức thành tích của những nhỉ thức và tam thức : (Đưa một phân thức về tổng eủa những phân thức đơn giản)

Ghi chú : Ta chỉ xét các đa thức eó thể viết dưới dạng tích của những nhị thức bậc nhất và những tam thức bậc hai

Vídu : Tính f - (~ - ~ b)j X

J (x — 3)(x + 2)(x — 1)

Ta c ó - - - = ——— H - H— - —

( x — 3)(:r 4- 2 ) ( x — 1) X — 3 x + 2 X — 1

_ A(x + 2)(x - 1) + B(x — 3)(rc — 1) + C(x — S)(x + 2)

(x — 3)(x + 2)(x — 1)

Cho X = 3 => 10A = 4 => A = —

5

X = -2 => 15B = -11 => B = ——

15

x = 1 = > -6C = 2 = > C =

-3

^ (x - 3)(x + 2)(x - 1) “ 5(i - 3) 15(x + 2) z(x - 1)

(x - 3)(x + 2) ( i - 1)

= —ln|x-3| - — ln|x + 2| + —lnỊx - 1| + c

Ghi chú : Ta có thể tính A, B theo cách khác :

3 x — 5

Đồng nhất hai vế

( x — s ) ( x 4- 2 ) ( x — 1)

(A + B + C)x2 -f (Ẩ - 4 £ - C)x - 2 A + 3 B - 6 C

(x — S)(x 4- 2){x — 1)

A - 4 B - C = 3

- 2 A + 3 5 - 6 C = - 5

Ghi chú : nếu anxn + an ixn ' 1 + aix + ao = 0 có nhiều hơn

n nghiệm thực => an = an 1 = = a0 = 0

Ví du : ax2 + bx + c = 0 có 3 nghiệm phân biệt => a=b=c= 0

5x + 2

Ví du 1 :

(x2 + 1) (3x - 2)

X 24-1 Or2 4-1) 2 + 3x - 2 + (3* - 2) 2 + (3z - 2);:

Vi du 2 :

134

6 X2 — 7 x + 2 _

( x 2 - x + 1)( x + 2y ”

X 2 - X + 1 X -h 2 ( x + 2 )2 (x 4- 2 ):J (rr + 2 )4

Vi du 3 :

X4 + 1 ~ ( x 2 + l ) 2 - 2 x 2 " ( x 2 - J 2 x + l ) ( z 2 + Æ + 1)

X2 — v&r + 1 X2 + ypix + 1

^ X 4-1 ^ (rr-j-1)( æ — Æ + 1)

X \ X -t-1 — X -f-1

_ A(x2 — X -f 1) + (Bx + C)(x +1)

Cho X = - 1 = > 3 A = 1 = > A = —

3

X = 0 = > A + C = 1 = > C =

-3

x = l = > A + 2(B+C) = l=>B + C = - = > B = - i

= — ln|x + 1| — — ln(x2 - X + 1) + — f

3 yỊx2 — X 4 - 1 2 >/3 >/3

VII Tích phân biếu thức iươnạ g iác:

+!

hữu tỷ, vê tích phân biếu thức hữu tỷ.

1 Trường hơp tổng qu á t : Ta dùng công thức đổi biến

-t = t g — => X = 2 a r c t gt

và áp dụng công thức

2 í 1- í 2 , 2dt

sin X = — , cos X= -7 — -5

dx

4 sin X+ 3 cos re + 5

Đăt í = t g — => X= 2arctg£ ta có :

2

4 Ĩ T ? + 3 Ĩ T ^ + 5

= f - ết -7 = — + c = -^ -+ c

+ 2) t + 2 t g — f 2

2

136

2 D an g đăc b iẽ t:

• Nếu R (— sin X,eosx) = —R (sin X,cosa;) thì đặt t — cosx

• Nếu R(sin X, — cos x ) = —/ỉ(sinx,cosa;) thì đặt t = sin x

• Nếu R ( — sinX, — cosa;) = R (sinx,cosa;) thì đặt í = t g £ ,

hay ¿ = cotgx

Ví du 1 : Tính I = I (sin2 X eos3 X + 2 cos x) dx

= J* (sin2 X cos2 a: -f 2) cos x d x

Đặt t = sin X => d t — cos xdx

sin2 £ eos2 X + 2 = í2 (l — í 2) + 2 = —¿4 + ¿2 + 2

I = (— í4 + £2 4" 2^ d t= -1 -1- 2Ủ -f- c

— sin5X sin3X

+ 2sin x + 0

— - 1

Ví du 2 : 1 = f — 5 - —

J sin T 4- sin 2.1sin2X 4- sin2a: — 3 co s2X

Đặt t = t g x => d t = — — ta có:

cos X

cos2X ịtg2x + 2tgx — 3) J t2 4- 2t — 3

1 t — 1 „ 1 - 1 t g x — 1 ~

= -rln - — T + c = -7 ln I * + c

4 ¿ + 3 4 I tg 2; + 3

3 D ạng I sin”' XcosMxdx

• Nếu m ( hoặc n) là số nguyên lẻ thì đổi biến

t = c o s X (h o ặ c t = s in X).

• Nếu m và n là số nguyên dương chẩn thì ta dùng công thức

hạ bậc

• Nếu m và n nguyên chẵn và có một số âm thì đổi biến

t = t g X (h o ặ c t = c o t g x )

Ví du: Tính ( dành cho độc giả )

K = J sin2 X cos4 xdx L = J sin3 X cos2 xdx

M / s in 2 X

c o s 4 X

s in 4 X

d x

VIII Tích phân biếu thức cổ chứa căn :

Với các phép đổi biến thích hợp, ta có thể đưa tích phân của biểu thức có căn số về tích phân của biểu thức hữu tỷ

1 Các tích phân có thể đưa về tích phân hàm lượng giác :

7T 7T

2 ' 2

Dạng J *R Ịx, VA2 — X 2 Ỵx đặt X = A s i ĩ i t , t 6

D ạ n g J r \ x , ^ j42 + x 2Ỵx đặt X = A t g t , t e Ị - — j

Dạng J*Rịx,yjx2 - Á2Ỵx đặt X = —— , t e Ịo,7T j \ 1^1

cx + d, Ch*JC I

Đăt t k = - với k là bôi số chung nhỏ nhất của n và s

c x + d

138