HỌC PHẦN TOÁN ĐẠI CƯƠNG CHƯƠNG 2 GIẢI TÍCH Giảng viên T S Trịnh Thị Hường Bộ môn Toán Email trinhthihuong@tmu edu vn NỘI DUNG CHÍNH 1 Hàm số thực nhiều biến 2 Đạo hàm riêng và ứng dụng vào bài toán cự[.]
Trang 1HỌC PHẦN TOÁN ĐẠI CƯƠNG
CHƯƠNG 2: GIẢI TÍCH
Giảng viên: T.S Trịnh Thị Hường
Bộ môn : Toán Email: trinhthihuong@tmu.edu.vn
Trang 2NỘI DUNG CHÍNH
1 Hàm số thực nhiều biến
2 Đạo hàm riêng và ứng dụng vào bài toán cực trị
a Cực trị tự do
b Cực trị có điều kiện
Trang 3Cho tập 𝑋 ⊂ ℝ2 Một quy luật 𝑓, đặt tương ứng mỗi cặp 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 với một số thực 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ được gọi là một hàm của hai biến độc lập 𝑥 và 𝑦
Kí hiệu:
𝑓: 𝑋 → ℝ
𝑥, 𝑦 ⟼ 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
Ví dụ:
a 𝑧 = 𝑥2 + 3𝑥𝑦 − 𝑦3,
b 𝑧 = ln 𝑥2 + 𝑦2 − 1 + 4 − 𝑥2 − 𝑦2
1 Khái niệm hàm số
Trang 4Định nghĩa 1:
Cho hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) xác định trong lân cận của điểm (𝑥0, 𝑦0) Đạo hàm riêng cấp 1 theo 𝑥 tại điểm
(𝑥0, 𝑦0) nếu có được kí hiệu và xác định như sau:
𝑓𝑥′ 𝑥0, 𝑦0 = lim
∆𝑥→0
𝑓 𝑥0+∆𝑥,𝑦0 −𝑓(𝑥0,𝑦0)
∆𝑥
2 Đạo hàm riêng và ứng dụng vào bài toán cực trị
Trang 5- Tương tự có đạo hàm riêng cấp 1 theo 𝑦 tại
(𝑥0, 𝑦0) là 𝑓𝑦′ 𝑥0, 𝑦0 .
Nhận xét: Trong thực hành muốn tính ĐHR cấp 1
theo 𝑥 thì coi 𝑦 là hằng số và đạo hàm như đối với hàm một biến Tương tự, tính đạo hàm riêng theo 𝑦 thì coi 𝑥 là hằng số
Ví dụ: Tính các đạo hàm cấp riêng cấp 1 của hàm số:
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 4𝑥𝑦 − 3𝑦4 + 2𝑥 − 3𝑦 + 1
Trang 6Định nghĩa 2: Đạo hàm riêng cấp 2
𝑓𝑥𝑥′′ = (𝑓𝑥′)𝑥′ 𝑓𝑦𝑦′′ = (𝑓𝑦′)𝑦′
𝑓𝑥𝑦′′ = (𝑓𝑥′)𝑦′ 𝑓𝑦𝑥′′ = (𝑓𝑦′)𝑥′
Nhận xét: Trong chương trình học
𝑓𝑥𝑦′′ 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑦𝑥′′ 𝑥, 𝑦 ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋
Ví dụ: Tính các đạo hàm riêng đến cấp hai của hàm sau:
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦 + 𝑥2 − 2𝑥𝑦3 + 8
Trang 7Ứng dụng ĐHR tìm cực trị của hàm hai biến:
a Cực trị tự do
Định nghĩa:
Hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm 𝑀(𝑥0, 𝑦0) nếu tồn tại một lân cận của M sao cho trên đó
𝑓 𝑥0, 𝑦0 ≥ 𝑓(𝑥, 𝑦) (tương ứng 𝑓 𝑥0, 𝑦0 ≤ 𝑓(𝑥, 𝑦))
Kí hiệu: 𝑓𝐶Đ; 𝑓𝐶𝑇