1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC THƢƠNG MẠI KHOA TIẾNG ANH THƢƠNG MẠI −−−−−−−− TÀI LIỆU ÔN TẬP Bộ môn Toán cao cấp I Lớp HP 18134FMAT0111 GV Phan Thanh Tùng Hà Nam, 2018 Chương I Ma trận v[.]
Trang 11
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI KHOA: TIẾNG ANH THƯƠNG MẠI
−−−−−−−−
TÀI LIỆU ÔN TẬP
Bộ môn: Toán cao cấp I
Lớp HP: 18134FMAT0111 GV: Phan Thanh Tùng
Hà Nam, 2018
Trang 22
CHƯƠNG I.
MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
A LÝ THUYẾT
I Các phép toán về ma trận
1 Hai ma trận bằng nhau
Hai ma trận cùng cấp A = (aij) m×n , B = (bij) m×n
Ma trận được gọi là bằng nhau nếu các phần tử tương ứng của chúng bằng nhau
A = B a ij = b ij ( i, j)
2 Phép cộng, trừ hai ma trận
Cho hai ma trận cùng cỡ A = (aij) m×n , B = (bij) m×n Tổng của A và B là ma trận được xác định như sau:
A + B = (a ij + b ij ) m×n
3 Phép nhân ma trận với một số tích của ma trận A với một số α
α.A = α.(a ij ) m×n = (α.a ij ) m×n
4 Phép nhân hai ma trận
Cho A là ma trận cỡ m x p: A = (aij) m×p và B = (bij) p×n Tích của A và B là một ma trận
cỡ m x n Kí hiệu: A.B = C = (cij) m×n
Chú ý:
Phép nhân hai ma trận A.B chỉ thực hiện được khi số cột của ma trận A là số dòng của
ma trận B
A.B B.A Nếu A.B = B.A = In → A là ma trận nghịch đảo của B và ngược lại
II Các phương pháp tính định thức
1 Đối với định thức cấp 2: Lấy tích đường chéo chính trừ tích đường chéo phụ
Ví dụ 1 Cho A aa11 a12
21 a22/ → det(A) = |aa11 a12
21 a22| = a11.a22 – a12.a21 = const
2 Đối với định thức cấp cao (n 3)
Trang 33
Định thức cấp 3
Cách 1: Dùng công thức Scrame: Viết thêm hai dòng hoặc cột dưới hoặc kế định
thức đã cho Khi đó:
Tích các phần tử theo đường chéo chính ta lấy dấu cộng (+)
Tích các phần tử theo đường chéo phụ ta lấy dấu trừ (-)
Ví dụ 2 Cho A là ma trận vuông cấp 3: A = [
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33]
→ det (A) = |
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33|
= a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32 – a13.a22.a31 – a12.a21.a33 – a11.a23.a32
Cách 2: Dùng phương pháp triển khai theo dòng (hoặc cột)
Ví dụ 3.|
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33| = (-1 1 1.a11.|a22 a23
a32 a33| + (-1 1 2.a12.|a21 a23
a31 a33| + (-1 1 3.a13.|a21 a22
a31 a32|
Const nếu các phần tử của định thức là số thực
Biểu thức nếu các phần tử của định thức có chứa ẩn các số
Số phức nếu các phần tử của định thức thuộc R thuộc C
Đối với định thức cấp cao (cấp n): Dùng phương pháp khai triển theo dòng hoặc cột
Các phương pháp ứng dụng để tính định thức cấp cao có thể có:
Chọn ưu tiên cho những dòng hoặc cột có nhiều số 0 và số 1 để tiến hành khai triển
giúp ta giảm bớt các bước trung gian
Dùng các phép biến đổi sơ cấp để đưa dòng hoặc cột của định thức xuất hiện nhiều
số 0 và số 1 trước khi chọn để khai triển
Chú ý:
Nếu ma trận có dạng chéo tam giác → giá trị định thức bằng tích các phần tử trên đường chéo chính
Trang 44
Phép biến đổi gauss thứ 1: Nếu đổi dòng → đổi dấu
Phép biến đổi gauss thứ 2: Nếu nhân 1 dòng với k 0 → định thức tăng k lần
Phép biến đổi gauss thứ 3: Lấy 1 dòng trừ k lần dòng khác → định thức không đổi
III Hạng của ma trận
1 Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp định thức
Bước 1: Tìm một định thức con cấp k 0 của A Giả sử định thức con cấp k 0 là Dk
Bước 2: Xét tất cả các định thức con cấp k + 1 của A chứa định thức Dk Xảy ra 3 khả năng:
Không có một định thức con cấp k 1 nào của A, xảy ra k = min{m, n}
→ Khi đó r(A) = k = min{m, n} Thuật toán kết thúc
Tất cả các định thức con cấp k + 1 của A chứa định thức con Dk đều bằng 0
→ Khi đó r(A) = k Thuật toán kết thúc
Tồn tại một định thức con cấp k + 1 của A là Dk+1 chứa định thức con Dk khác 0
→ Khi đó lặp lại bước 2 với D k+1 thay cho D k Và cứ tiếp tục như vậy cho đến khi xảy ra trường hợp (1) hoặc (2) thì thuật toán kết thúc
2 Tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp (phương pháp Gauss)
Ba phép biến đổi sau gọi là phép biến đổi sơ cấp trên các dòng của ma trận:
Đổi chỗ 2 dòng cho nhau
Nhân một dòng cho một số khác 0
Nhân một dòng cho một số bất kỳ rồi cộng vào dòng khác
IV Ma trận nghịch đảo
1 Các tính chất của ma trận nghịch đảo
Ma trận vuông A khả nghịch thì A-1 xác định duy nhất
Ma trận vuông A khả nghịch thì (A-1
-1
= A
Nếu hai ma trận vuông A,B cùng cỡ và cùng khả nghịch thì (A.B)-1 = B-1 A-1
Trang 5
5
E-1 = E với E là ma trận đơn vị cấp tùy ý
2 Cách tính ma trận nghịch đảo
Nếu định thức của ma trận A là khả nghịch thì ma trận nghịch đảo của A được tính bằng:
Bước 1: Tính định thức của ma trận A
Nếu det(A) = 0 thì A không có ma trận nghịch đảo A-1
Nếu det(A) 0 thì A có ma trận nghịch đảo A-1 → chuyển sang bước 2
Bước 2: Lập ma trận chuyển vị A’ của A
Bước 3: Lập ma trận phụ hợp của A được định nghĩa như sau:
A* = (Aij’)nn với A’ = Aij’ là phần bù đại số của phần tử ở hàng i, cột j trong ma trận A’
Bước 4: Tính ma trận A-1 = 1
detA.A*
Trang 66
B BÀI TẬP
I Các dạng bài tập cơ bản
Bài 1 Thực hiện các phép tính trên ma trận
a ( +
/ b / c :
;
d (
+ ( + e /
Lời giải
a
( + / = ( + / = (
+
b
Đặt A = /
Với n = 1: A =
/ Với n = 2: A =
/ = / / = /
→ / = /
c
:
; = :
; :
; = :
;
d
(
+ ( + = (
+
Trang 77
e
Đặt A = /
Với n = 1: A =
/
Với n = 2: A =
/ = / /
=
/ = /
→ / = /
Bài 2 Cho A = (
+; B = ( +
a Tính (2A A2 B b B.(2A A2 có thực hiện được không, tại sao? Lời giải a 2A = 2.(
+ = (
+ A2 = (
+ = (
+ (
+ = ( +
2A A2 = (
+ ( + = ( +
→ (2A + A 2 ).B = ( + ( + = (
+
b B = (
+ → số cột của B bằng 2
Trang 88
(2A + A2) = (
+ → số dòng của (2A + A2) bằng 3
→ B.(2A + A 2 ) không thực hiện đƣợc vì số cột của B không bằng số dòng của (2A + A 2 )
Bài 3 Tính 1 , x 2 , x 3 , x 4 :
/ / /
Lời giải / / / / / /
Đặt A = / → |A|
X A /
/ /
/ / /
Bài 4 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau: a A = / b A = ( + c A = ( +
Lời giải a |A| =
A11 = A12 = A21 = A22 = → A-1 = / /
b |A| = |
|
A11 = ( ) | | A12 = ( ) | | A13 = ( ) | |
Trang 99
A21 = ( ) |
| A22 = ( ) |
| A23 = ( ) |
|
A31 = ( ) |
| A32 = ( ) |
| A33 = ( ) |
|
→ A-1 = (
c
|A| = | |
A11 = ( ) | |
Tương tự: A12 = A13 =
A21 = A22 = A23 =
A31 = A32 = A33 =
→ A = (
+
Bài 5 Tính các định thức sau:
a
0 5 3 1
4 1 5 7
3 2 3 5
2 3 1 3
b
3 3 2
4
7 4 1
5
9 5 4
7
11 7 2
9
c |
|
d
x a a a
a x a a
a a x a
a a a x
e
999 998
1000 1001
999 1001 1001
1001
1002 1001
1003 1002
1004 1003
1002 1001
Lời giải
Trang 1010
a
0 5 3 1
4 1 5 7
3 2 3 5
2 3 1 3
)
4 3 2
1 (C C C
0 5 3 7
4 1 5 7
3 2 3 7
2 3 1 7
= 7 ×
0 5 3 1
4 1 5 1
3 2 3 1
2 3 1 1
7 ×
2 8 2 0
2 2 4 0
1 1 2 0
2 3 1 1
= 7 ×
2 2 1 2
8 2 1 3
2 4 2 1
0 0 0 1
= 7 ×(1)11 ×
2 2
1
8 2 1
2 4 2
= 7 ×(8324)(4832) = 0
b
3 3 2 4
7 4 1 5
9 5 4 7
11 7 2 9
3
4 D
D
10 7 3 9
7 4 1 5
9 5 4 7
11 7 2 9
1
4 D
D
10 7 3 9
7 4 1 5
9 5 4 7
1 0 1
0
= ( 1)2 + 1 ×
10 7 9
7 4 5
9 5 7
+ ( 1)4 + 1 ×
7 3 9
4 1 5
5 4 7
= (280315315)(324250343) (4914475)(4514084)
= 7 + 1 = 6
c
c2 c 1
b2 b 1
a2 a 1
3 1
2 1
D D
D D
c2 a2 c a 0
b2 a2 b a 0
a2 a
1
= ( )( )
c a 1 0
b a 0 0
a2 a 1
4
3 D
D ( ) ( )
c b 0 0
b a 1 0
a
= ( )( )( )
d
x a a a
a x a a
a a x a
a a a x
)
4 3 2
1 (C C C
x a a 3a x
a x a 3a x
a a x 3a x
a a a 3a x
= ( )
x a a 1
a x a 1
a a x 1
a a a 1
1
4
1
3
1
2
D
D
D
D
D
D
Trang 1111
4
1
3
1
2
1
D
D
D
D
D
D
( ) |
| = ( )( )
e
999 998
1000 1001
999 1001
1001 1001
1002 1001
1003 1002
1004 1003
1002 1001
4 1
3 1
2 1
D D
D D
D D
5 5
2 0
5 2
1 0
2 2
1 1
1004 1003
1002 1001
=
5 5 2 1004
5 2 2 1003
2 1 1 1002
0 0 1 1001
= ( )
5 5 2
5 2 2
2 1 1
( ) ( )
5 5 1004
5 2 1003
2 1 1002
= ,( ) – ( – ,( ) – (
Bài 6 Tính các định thức sau:
a
0 3
2
n 0
2 1
n 3
0 1
n 3
2 1
b
3 2
2
2 3
2 2
2 2
3 2
2 2
2 3
Lời giải
Trang 1212
a
0 3
2
n 0
2 1
n 3
0 1
n 3
2 1
x 1
3 1
2 1
D D
D D
D D
n 0 0 0
2n 3
0 0
2n 6
2 0
n 3
2 1
b
3 2
2
2 3
2 2
2 2
3 2
2 2
2 3
)
C (C
C1 2 3
3 2 2 2
2 2
2 3
2 2
2 2 3
2 2
3 2
2 2 3
2 2
2 2
2 2 3
= 32(n1)
3 2
2
2 3
2 1
2 2
3 1
2 2
2 1
1 n
1 3
1 2
D D
D D
D D
32(n1)
1 0
0
0 1
0 0
0 0
1 0
0 2
2 1
= 32(n1)
Bài 7 Chứng minh rằng:
a
2 2
2 2
2 2
x z zx x z
z y yz z y
y x xy y x
( )( )( )( )
b
3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
b a a c c b
b a a c c b
b a a c c b
= 2
3 3 3
2 2 2
1 1 1
c b a
c b a
c b a
c
3 3 3 3 3
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
c b x a x b a
c b x a x b a
c b x a x b a
= ( )
3 3 3
2 2 2
1 1 1
c b a
c b a
c b a
d
sinγ cosγ
1
sinβ cosβ
1
sinα cosα
1
= 4.sin
2
β
α
sin 2
γ
β
sin 2
α
γ
Lời giải
Trang 1313
a Biến đổi vế trái ta có:
VT =
2 2
2 2
2 2
x z zx x z
z y yz z y
y x xy y x
= y (x + y) (x2 + z2) + xy (z + x) (y2 + z2) + zx (y + z) (x2 + y2) – yz (x + z) (x2 + y2) – zx (x + y) (y2 + z2) – xy (y + z)(x2 + z2)
= [xyz (z2 + x2) + y2z (z2 + x2) + x2y (y2 + z2) + xyz (y2 + z2) + xyz (x2 + y2) + z2x (x2 + y2)] - [xyz (z2 + x2) + xy2 (z2 + x2) + zx2 (y2 + z2) + xyz (y2 + z2) + xyz (x2 + y2) + yz2 (x2 + y2)]
= y2z (z2 + x2) + x2y (y2 + z2) + z2x (x2 + y2) - xy2 (z2 + x2) - zx2 (y2 + z2) - yz2 (x2 + y2)
= x2y2z + y2z3 + x2y3 + x2yz2 + z2x3 + xy2z2 - x3y2 - xy2z2 - x2y2z - z3x2 - x2yz2 - y3z2
= y2z3 + x2y3 + z2x3 - x3y2 - z3x2 - y3z2
= y2(z3 - x3) - y3(z2 - x2) - (z3x2 - z2x3)
= y2 (z - x) (z2 + zx + x2) - y3 (z - x) (z + x) - z2x2 (z - x)
= (z - x) (y2z2 + xy2z + x2y2 - xy3 - y3z - z2x2)
= (z - x) [(y2z2 - y3z) + (xy2z - xy3) - (z2x2 - x2y2)]
= (z - x) [y2z (z - y) + xy2 (z - y) - x2 (z - y) (z + y)]
= (z - x) (y - z) (x2y + zx2 - y2z - xy2)
= (z - x) (y - z)[(x2y - xy2) + (zx2 - y2z)]
= (z - x) (y - z) (x - y) (xy + yz + zx = VP (đpcm
b Biến đổi vế trái ta có:
VT =
3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
b a a c c b
b a a c c b
b a a c c b
= b1 c1c2 a2a3b3 + a1b1b2c2c3a3 + c1 a1a2 b2b3c3
a1 b1c2a2b3c3 c1a1b2c2a3b3 b1c1a2b2c3a3
=[b1c1c2a2a3b3 a1b1c2a2b3c3] + [a1b1b2c2c3a3
c1a1b2c2a3b3] + [c1a1a2b2b3c3 b1c1a2b2c3a3]
Trang 1414
= c2 a2a3b1a3c1b1b3b3c1a1b3 a1c3b1b3b1c3
+ b2c2a1c3a1a3b1c3a3b1a3c1a1a3b3c1a1b3
+ a2b2b3c1a1b3c1c3a1c3b1c3c1c3a3b1a3c1
= c2a2a3b1a3c1b3c1a1b3a1c3b1c3
+ b2c2a1c3b1c3a3b1a3c1b3c1a1b3
+ a2b2b3c1a1b3a1c3b1c3a3b1a3c1
= a3b1c2 + a3c1c2 + b3c1c2 - a1b3c2 - a1c2c3 - b1c2c3 + a2a3b1 + a2a3c1 + a2b3c1 - a1a2b3 - a1a2c3
- a2b1c3 + a1b2c3 + b1b2c3 + a3b1b2 - a3b2c1 - b2b3c1 - a1c2c3 + a1c2c3 + b1c2c3 + a3b1c2 - a3c1c2
- b3c1c2 - a1b3c2 + a2b3c1 + a1a2b3 + a1a2c3 - a2b1c3 - a2a3b1 - a2a3c1 + b2b3c1 + a1b2b3 + a1b2c3
- b1b2c3 - a3b1b2 - a3b2c1
= 2.a3b1c2 + 2.a2b3c1 + 2.a1b2c3 - 2.a1b3c2 - 2.a3b2c1 - 2.a2b1c3 (1)
Biến đổi vế phải ta có:
VP = 2
3 3 3
2 2 2
1 1 1
c b a
c b a
c b a
= 2(a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2 - a3b2c1 - a1b3c2 - a2b1c3)
= 2.a3b1c2 + 2.a2b3c1 + 2.a1b2c3 - 2.a1b3c2 - 2.a3b2c1 - 2.a2b1c3 (2)
Từ (1 và (2 → đpcm
c Biến đổi vế trái ta có:
VT =
3 3 3 3 3
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
c b x a x b a
c b x a x b a
c b x a x b a
= (a1 + b1x) (a2x + b2) c3 + (a2 + b2x) (a3x + b3) c1 + (a3 + b3x) (a1x + b1) c2 - (a3 + b3x) (a2x +
b2) c1 - (a2 + b2x) (a1x + b1) c3 - (a1 + b1x) (a3x + b3) c2
= [(a1 + b1x) (a2x + b2) c3 - (a2 + b2x) (a1x + b1) c3] + [(a2 + b2x) (a3x + b3) c1 - (a3 + b3x) (a2x +
b2) c1] + [(a3 + b3x) (a1x + b1) c2 - (a1 + b1x) (a3x + b3) c2]
= c3 (a1a2x + a2b1x2 + b1b2x + a1b2 - a1a2x - a1b2x2 - b1b2x - a2b1) + c1 (a3b2x2 + a2a3 + b2b3x +
a2b3 - a2b3x2 - a2a3x - b2b3x - a3b2) + c2 (a1b3x2 + a1a3x + b1b3x + a3b1 - a3b1x2 - a1a3x - b1b3x -
a1b3)
Trang 1515
= c3 (a2b1x2 + a1b2 - a1b2x2 - a2b1) + c1 (a3b2x2 + a2b3 - a2b3x2 - a3b2) + c2 (a1b3x2 + a3b1 -a3b1x2 -
a1b3)
= c3 [(a2b1x2 - a2b1) + (a1b2 - a1b2x2)] + c1 [(a3b2x2 - a3b2) + (a2b3 - a2b3x2)] + c2 [(a1b3x2 - a1b3) + (a3b1 - a3b1x2)]
= c3 [a1b2 (1 – x2) - a2b1 (1 - x2)] + c1 [a2b3 (1 - x2) - a3b2 (1 - x2)] + c2 [a3b1 (1 - x2) - a1b3.(1 -
x2)]
= c3 (1 - x2) (a1b2 - a2b1) + c1 (1 - x2) (a2b3 - a3b2) + c2 (1 - x2) (a3b1 - a1b3)
= (1 - x2) (a1b2c3 - a2b1c3 + a2b3c1 - a3b2c1 + a3b1c2 - a1b3c2) (1)
Biến đổi vế phải ta có:
VP = (1 - x2)
3 3 3
2 2 2
1 1 1
c b a
c b a
c b a
= (1 - x2) (a1b2c3 + a3b1c2 + a2b3c1 - a3b2c1 - a1b3c2 - a2b1c3) (2)
Từ (1 và (2 → đpcm
d Biến đổi vế trái ta có:
VT =
sinγ cosγ
1
sinβ cosβ
1
sinα cosα
1
=cosβsinγ + cosαsinβ + cosγsinα cosβsinα cosαsinγ cosγsinβ
= (cossinγ cosγsin) + (cosαsinβ cosβsinα) + (cosγsinα cosαsinγ)
= sin(γβ) + sin(βα) + sin(αγ)
= 2sin
2
α
γ
cos
2
β α
γ
+ 2sin
2
γ
α
cos 2
γ
α
= 2sin
2
γ
α
cos 2
γ
α 2sin
2
γ
α
cos
2
β 2 α
γ
= 2sin
2
γ
α
( cos
2
γ
α
cos
2
β α
γ
)
= 2sin
2
γ
α
( 2sin
2
β
α
sin 2
γ
β
)
Trang 1616
= 4sin
2
β
α
sin 2
γ
β
sin 2
α
γ
= VP (đpcm
Bài 8 Tính hạng của các ma trận:
a A =
1 2 1 1 0
2 1 1 3 4
2 1 2 1 2
2 3 1 2 2
4 1 3 1 8
b B =
25 31 17 43
75 94 53 132
75 94 54 134
25 32 20 48
Lời giải
a
1 2 1 1 0
2 1 1 3 4
2 1 2 1 2
2 3 1 2 2
4 1 3 1 8
3 2
1 5
1 4
1 3
1 2
4 2 2 2
C C
D D
D D
D D
D D
1 1 2 1 0
0 1 5 5 4
0 0 5 3 2
0 1 7 4 2
0 1 9 3 8
5 3
2 5
2 4
C
C
D
D
D
0 1 4 5 5
0 0 2 3 5
0 0 0 10 13
0 0 0 20 26
D52D 4
1 1 0 1 2
0 1 4 5 5
0 0 2 3 5
0 0 0 10 13
0 0 0 0 0
Ta thấy ma trận thu được là ma trận hình thang có :
D4 =
1 1 0 1
0 1 4 5
0 0 2 3
0 0 0 10
= 20 ≠ 0
Vậy r(A) = 4
b