2 đề HK1 lớp 8 2021 AMSTERDAM GV THCS hà nội

TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ NỘI – AMSTERDAM TỔ TOÁN – TIN ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I NĂM HỌC 2020 – 2021 MÔN TOÁN 8 Thời gian 90 phút Bài 1 (2,5 điểm) Cho biểu thức 1) Tìm điều kiện xác định và rút[.]

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

HÀ NỘI – AMSTERDAM

TỔ TOÁN – TIN

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I NĂM HỌC 2020 – 2021 MÔN: TOÁN 8

Thời gian 90 phút

Bài 1 (2,5 điểm)

Cho biểu thức 1 1 2 : 2 2

P



1) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P

2) Tính giá trị của biểu thức P, biết rằng 2x  1 3

3) Với x 2, chứng minh rằng P 8 Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Bài 2 (2,5 điểm)

1) Phân tích đa thức thành nhân tử

a)A x x4 5x24 b) B x y ;  x4 x22xy y 2

2) Tìm tất cả các số thực x biết: x3 4x2 x 4 0

Bài 3 (1,0 điểm) Cho đa thức ( ) P x với hệ số thực thỏa mãn (2) 1 P  và ( 2) 3P   Tìm đa thức dư trong

phép chia đa thức ( )P x chia cho đa thức x  2 4

Bài 4 (3,5 điểm) Cho hình vuông ABCD tâm O, điểm M nằm trên đường chéo AC (M khác với ,A C ).

Gọi , ,H K P và Q lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M xuống CD AD BC và , , AB 1) Chứng minh các tứ giác MHCP MQAK là các hình vuông.,

2) Chứng minh rằng KAB HDA và BK AH

3) Xét điểm I thay đổi trên đoạn thẳng CO, không trùng với O Gọi S là điểm đối xứng với B

qua I Dựng SN CD tại N , các đường thẳng BS và CD cắt nhau tại L Chứng minh rằng

DL là tia phân giác của BDS

4) Chứng minh rằng BC SN 2DL

Bài 5 (0,5 điểm)

1) (Dành cho các lớp 8B, 8C, 8D, 8E)

Cho các số thực a b c, , thỏa mãn 2 2 2

4

a b c  và 3 3 3

8

a b c  Tính giá trị biểu thức: P a 4b4c4

2) (Dành riêng cho lớp 8A)

Với , ,a b c là các số thực không âm thỏa mãn a b c  1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P ab bc ca

-HẾT -HƯỚNG DẪN

Bài 1 (2,5 điểm)

Cho biểu thức 1 1 2 : 2 2

P



1) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P

2) Tính giá trị của biểu thức P, biết rằng 2x  1 3

3) Với x 2, chứng minh rằng P 8 Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Hướng dẫn

1) ĐKXĐ: x1;x2

P

2) Có 2 1 3 2 1 3 2

x

  (không thỏa mãn điều kiện xác định) Vậy khi 2x   thì P thì giá trị của P không xác định.1 3

3) Xét hiệu: 2  42

x x

P



Ta có x 2 x 2 0 Mà x 42  0 x

 42

2

x

x



 Dấu đẳng thức xảy ra khi x 42  0 x4 (thỏa mãn x 2)

Bài 2 (2,5 điểm)

1) Phân tích đa thức thành nhân tử

a)A x x4 5x24 b) B x y ;  x4 x22xy y 2

2) Tìm tất cả các số thực x biết: x3 4x2 x 4 0

Hướng dẫn

1) Phân tích đa thức thành nhân tử

a)A x x4 5x24= x4 x2  4x2 4 x x2 21 4x21 x2 1 x2 4

x1 x1 x 2 x2

b) B x y ;  x4 x22xy y 2 x4 x2 2xy y 2 x4 x y 2  x2 2  x y 2

x2 x y x   2 x y

2) Tìm tất cả các số thực x biết: x3 4x2 x 4 0

Ta có: x3 4x2 x 4 0  x x2  4  x 40    2 

 x 4 x1 x1 0  x4 hoặc x  hoặc 1 x  1

Bài 3 (1,0 điểm) Cho đa thức ( ) P x với hệ số thực thỏa mãn (2) 1 P  và ( 2) 3P   Tìm đa thức dư trong

phép chia đa thức ( )P x chia cho đa thức 2

4

x 

Hướng dẫn

Gọi đa thức dư trong phép chia ( )P x cho x  là 2 4 ax b

Theo đề bài ta có :

2 ( ) ( 4) ( )

P x  x  A x ax b

Với x2 thì P 2 2a b

P 2  1

2 1 (1)

mà

a b



   Với x2 thì P 2  2a b

P 2 3

mà   nên 2 a b 3 (2)

Cộng vế với vế của  1 và  2 ta được :

2 4

2

b

b

     

 

Thay b 2 vào  1 ta được : 2a  2 1

1 2

a a

 



Vậy đa thức dư cần tìm là : 1 2

2 x





Bài 4 (3,5 điểm) Cho hình vuông ABCD tâm O, điểm M nằm trên đường chéo AC (M khác với ,A C ).

Gọi , ,H K P và Q lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M xuống CD AD BC và , , AB 1) Chứng minh các tứ giác MHCP MQAK là các hình vuông.,

2) Chứng minh rằng KAB HDA và BK AH

3) Xét điểm I thay đổi trên đoạn thẳng CO, không trùng với O Gọi S là điểm đối xứng với B

qua I Dựng SN CD tại N , các đường thẳng BS và CD cắt nhau tại L Chứng minh rằng

DL là tia phân giác của BDS

4) Chứng minh rằng BC SN 2DL

Hướng dẫn

1) Xét tứ giác MHCP có PCH MHC MPC  90o nên MHCP là hình chữ nhật

Mặt khác CM là phân giác PCH do đó MHCPlà hình vuông

Tương tự ta có tứ giác MQAK có  KAQ AQM AKM 90o nên MQAK là hình chữ nhật

Mặt khác AM là phân giác QAK do đó MQAK là hình vuông.

2) Xét tứ giác AQHD có  ADH DAQ AQH  90o nên AQ DH

Mà AQAK  AKDH

Xét hai tam giác vuông KAB và HDA có

AB AD , BAK ADH 90o, AK DH

Suy ra KAB HDA (c-g-c)

Ta có ABKDAH (góc tương ứng)

Mà DAH HAB 90o  ABK HAB 90o

Gọi AHBK T Tam giác ABE có ABT TAB ATB  180o ATB90o

Vậy BK AH

3) Xét tam giác BDS có OI là đường trung bình nên OI DS //

Mà OI DB DSDB BDS 90o Do DB là phân giác ADC  BDC 45o

Suy ra SDC BDS BDC   45o SDC BDC  45o Vậy DL là tia phân giác của BDS

4) Chứng minh rằng BC SN 2DL

Ta có BC SN// (cùng vuông góc CD)

Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với SN, cắt SN kéo dài tại E, cắt BC tại F

Xét hai tam giác vuông BFI và SEI có

BI SI, IBF ISE (so le trong)

   ( cạnh huyền góc nhọn)

IF IE

  Mà BFBC  IF LC  IE LC

Mặt khác LN IE LN LC

Tam giác DSN vuông cân tại N nên SNDN

Ta có BC SN DC DN DN NC DN  2DN NC 2DL 2LN LN LC 

2DL LN LC

   2DLLC LN  2DL

Bài 5 (0,5 điểm)

1) (Dành cho các lớp 8B, 8C, 8D, 8E)

Cho các số thực a b c, , thỏa mãn 2 2 2

4

a b c  và 3 3 3

8

a b c  Tính giá trị biểu thức: P a 4b4c4

2) (Dành riêng cho lớp 8A)

Với , ,a b c là các số thực không âm thỏa mãn a b c  1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P ab bc ca

Hướng dẫn

Ta có

 

 

2 2 2

1 1

8

1 2

     

     



     

     



Từ  

     

         

      1; 1; 1

   



   

   





   

     

   





   

   

           

           

           

3 3 3

1

     

       

     

Dấu " " xảy ra ; ; 1;0;0

2 2 2

a b c

  

  và các hoán vị

a b c, ,  2;0;0

  và các hoán vị

Khi đó P a 4b4 c4 16

2) Ta có: 4 2 3   5   1  

P ab bc ca  a b c  b c a  c a b

P a b c b c a

     3 1  5 1 

2a a 2b b

1

2 a a 4 2 b b 4

        

1 1

2 a 2 2 b 2

         

Suy ra:P  Dấu “=” xảy ra khi 1 1; 0

2

a b  c Vậy MaxP = 1