TẠP CHÍ KHOA HỌC Khoa học Tự nhiên và Công nghệ, Số 8(3/2017) tr 17 22 17 MỘT SỐ PHẢN VÍ DỤ VỀ CÁC LỚP KHÔNG GIAN TÔPÔ QUAN TRỌNG Đoàn Thị Chuyên 3 Trường Đại học Tây Bắc Tóm tắt Một trong những mục đ[.]
Trang 1MỘT SỐ PHẢN VÍ DỤ
VỀ CÁC LỚP KHÔNG GIAN TÔPÔ QUAN TRỌNG
Đoàn Thị Chuyên 3
Trường Đại học Tây Bắc Tóm tắt: Một trong những mục đích quan trọng khi phân loại các không gian tôpô trong toán học đó là
nhằm metric hóa các không gian tôpô Khi đó dựa vào các tính chất gần gũi của không gian metric, người ta phân loại các không gian tôpô thành nhiều lớp không gian khác nhau theo thứ tự giảm dần theo quan hệ bao hàm bởi các điều kiện ngày càng gần gũi với không gian metric Trong bài báo này, chúng tôi sẽ xây dựng một
số phản ví dụ đơn giản về các tôpô trên một số tập con đơn giản của , nhằm chỉ ra bao hàm thức thực sự cho các lớp không gian tôpô quan trọng đã biết
Từ khóa: Không gian metric, Không gian tôpô, Metric hóa tôpô, Không gian Frechet, Không gian
Hausdorff, Không gian chính quy
1 Một số khái niệm cần thiết
Chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cần thiết trong không gian tôpô dùng trong bài báo này
Định nghĩa 1 Cho một tập hợp X Một họ các tập hợp con nào đó của X được gọi là một tôpô trên X nếu họ thỏa mãn các điều kiện sau:
i) ,X;
ii) Nếu G G1, 2 thì G1G2; iii) Nếu G i i I thì i
i I
G
Nếu trên tập hợp X có một tôpô thì ta gọi X là một không gian tôpô, kí hiệu bởi
cặp X,
Định nghĩa 2 Không gian tôpô X được gọi là T - không gian nếu với mỗi cặp điểm x, y 0
khác nhau của không gian luôn tồn tại lân cận của một trong hai điểm không chứa điểm kia
Ví dụ 1 Dễ dàng kiểm tra tập X 0,1 cùng với họ X, 0 , là một không gian tôpô và là T0 không gian
Định nghĩa 3 (Không gian Frechet) Không gian tôpô X được gọi là T1không gian nếu với mỗi cặp điểm x y, khác nhau của không gian X luôn tồn tại một lân cận của x không chứa y và một lân cận của y không chứa x
Ví dụ 2 Xét trên tập hợp X [0;1] ta xét họ X, , G ở đó G thu từ X bằng cách
bỏ đi một số hữu hạn điểm hoặc một dãy số bất kì nằm trong X Khi đó có thể thấy X là T1
không gian
3 Ngày nhận bài: 18/8/2016 Ngày nhận đăng: 25/9/2016
Liên lạc: Đoàn Thị Chuyên, e - mail: doanchuyenkt@gmail.com
Trang 2Định nghĩa 4 (Không gian tách Hausdorff ) Không gian tôpô X được gọi là T2không gian nếu với mỗi cặp điểm bất kì khác nhau của không gian luôn có các lân cận rời nhau
Ví dụ 3 Xét trên tập hợp X [0;1] khoảng cách (rời rạc)
1 khi ( , )
0 khi
x y
x y
x y
Khi đó X cùng với tôpô cảm sinh bởi khoảng cách nói trên là một T2không gian
Thật vậy, với mọi x y trong X ta chọn hai lân cận ( , )1
2
x
U B x của x và ( , )1
2
y
U B y của
y thì hai lân cận này thỏa mãn Định nghĩa 4
Định nghĩa 5 (Không gian tôpô chính quy) Không gian tôpô X được gọi là không gian
chính quy nếu X là T1không gian và thỏa mãn với mỗi điểm x X và mỗi tập đóng F không chứa x luôn tồn tại lân cận U của x và lân cận V của F sao cho: U V Trong
trường hợp này ta cũng gọi X là T3không gian
Định nghĩa 6 (Không gian chuẩn tắc) Không gian tôpô X được gọi là không gian
chuẩn tắc nếu X là T1không gian và thỏa mãn với hai tập đóng rời nhau F F bất kì luôn 1, 2 tồn tại lân cận U của F và lân cận V của 1 F sao cho: 2 U V Trong trường hợp này ta
cũng gọi X là T4không gian
Nhận xét: Từ các định nghĩa và ví dụ minh họa ta đi đến nhận xét sau:
Nếu X là T4không gian T3không gian X là T2không gian X là T1
không gian X là T0không gian Mặt khác nếu lấy X thì với tôpô tự nhiên X đều
thỏa mãn các không gian nói trên Tuy nhiên điều ngược lại, nhìn chung không đúng Mục tiêu chính của bài báo này là đưa ra các ví dụ đơn giản để thấy rằng điều ngược lại không
đúng Mặt khác rõ ràng từ định nghĩa, mọi tôpô cảm sinh bởi metric trên X là T4không gian
2 Một số phản ví dụ cho một số không gian tôpô quan trọng
2.1 Ví dụ về T0không gian, không là T1không gian
Ta xét X [0;1], đặt: {G X G: hoặc 0G}
Ta sẽ chứng tỏ rằng:
a X,là không gian tôpô
b Không gian tôpô X, là T0không gian, không là T1không gian
Thật vậy, từ định nghĩa dễ ràng có thể kiểm tra X, là không gian tôpô Ta chứng minh khẳng định sau Lấy bất kì hai điểm phân biệt y y thuộc X Nếu 1, 2 y y khác 0, tập 1, 2
0, y là tập mở không chứa1 y Nếu 2 y1 0 0 không chứa y Suy ra 2 X, là T0
không gian
Trang 3Lấy y khác 0, theo định nghĩa của , mọi lân cận của y đều chứa 0 nên X, không là 1
T không gian
2.2 Ví dụ về T1không gian, không là T2không gian
Cho X [0;1] và đặt: {G X G: hoặc G Xhoặc X G hữu hạn\ }
Ta chứng tỏ rằng:
a X, là một không gian tôpô (còn được gọi là tôpô Zariski)
b X,là T1không gian mà không phải là T2không gian
Thật vậy, từ định nghĩa dễ ràng có thể kiểm tra X, là không gian tôpô Ta chứng minh khẳng định b)
Với mọi x y, X x, y Đặt U x X \ y V, y X \ x Suy ra U V x, y và U là lân x cận của x không chứa y, V y là lân cận của y không chứa x Do đó X, là T1không gian
Ta chỉ ra X, không là T2không gian bằng phản chứng Thật vậy, giả sử X, là 2
T không gian, khi đó tồn tại lân cận U V x, y sao cho x U y V x, y và U xV y Mặt khác ta có X U\ x,X V\ y có hữu hạn phần tử và
Suy ra X có hữu hạn phần tử mâu thuẫn với X [0;1] là tập vô hạn Vậy X, không phải là T2không gian
2.3 Ví dụ về T2không gian, không là T3không gian
Cho X ( 1;1) là tập số thực, kí hiệu: 1 *
|
n
Mỗi x X đặt n x * sao cho ( ) 1 , 1 ( 1;1)
x i
x
U x x x
x
n n n
Ta chứng tỏ các khẳng định sau:
1 B x x X là hệ lân cận xác định tôpô trên X
2 X,là T2không gian
3 X,không là T3không gian
Thật vậy, khẳng định thứ nhất B x x X là hệ lân cận xác định tôpô trên X
Trang 4i Rõ ràng x X B x, , nếu UB x thì x U
ii Lấy V V1, 2B x . Khi đó các lân cận mở của x có dạng:
Giả thiết n1n2 suy ra V1 V2 V2
Cả hai trường hợp đều có V1 V2 B x Vậy B x x X là hệ lân cận xác định tôpô
trên X
iii Lấy xX, y V B x , cần chỉ ra tồn tại lân cận W của y sao cho W V [•] Nếu yx chọn W V;
[•] Nếu y x thì lân cận của x có dạng 1 , 1 ,
V x x
khi đó chọn số nguyên
y
m
d
W
n
n
Vậy họ B x x X sinh ra tôpô trên X
Khẳng định thứ hai, X,là T2không gian Gọi là tôpô tự nhiên trên tập số thực Lấy G , khi đó hiển nhiên ta có biểu diễn:
G = x - ,x +
n n
nên ta có G Do đó tôpô mạnh hơn tôpô Lại do X, là không gian Hausdorff nên X, là không gian Hausdorff
Khẳng định thứ ba, X, không là T3không gian Thật vậy, rõ ràng đóng trong không gian X,, 0 và bất kì các tập mở U V, lần lượt chứa 0 và có giao nhau khác rỗng Vậy X, không là T3không gian
2.4 Ví dụ về T3không gian, không là T4không gian
Ta xét tập hợp X [0;1] [0;1] 2 Khi đó với mỗi x [0;1] ta đặt
(i) Tại mỗi điểm ( , )x y X y: 0 ta xét các hình cầu tâm tại điểm này với khoảng cách rời rạc trong Ví dụ 2.3
(2i) Tại mỗi điểm( ,0)x X ta trang bị cơ sở các tập mở gồm các tập có dạng x\F ở đó
F là một tập hữu hạn và không chứa x
Trang 5Rõ ràng tôpô xác định như trên có hệ cơ sở lân cận gồm các tập vừa đóng, vừa mở và
làm cho X là T2không gian Hơn nữa, theo [7] ta có X là một T3không gian
Ta sẽ thấy X không là T4không gian Thật vậy, xét hai tập đóng rời nhau trong X
1 {(x,0): x }; 2 {(x,0): x \ }.
Rõ ràng khi đó bởi Bổ đề Uryson trong [5] ta thấy nếu X là chuẩn tắc khi và chỉ khi tồn
tại ánh xạ liên tục f X: [0;1] sao cho f F( 1) 0; f F( 2) 1 Điều này là không thể do tính trù mật của và \ trong .
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] N Comogonov, X.V Fomin (1971) Cơ sở lý thuyết hàm và Giải tích hàm (Tập 2) Nhà xuất bản Giáo dục
[2] Nguyễn Văn Khuê, Bùi Đắc Tắc (1996) Không gian tôpô - Độ đo và lý thuyết tích phân Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
[3] Nguyễn Văn Khuê, Bùi Đắc Tắc, Đỗ Đức Thái (2001) Cơ sở Lý thuyết hàm (Tập 1) Nhà xuất bản Giáo dục
[4] Bùi Đắc Tắc, Nguyễn Thanh Hà (1999) Bài tập không gian tôpô - Độ đo tích phân Nhà xuất bản Đại học Quốc gia
[5] Phạm Minh Thông (2007) Không gian tôpô Độ đo-Tích phân Nhà xuất bản Giáo dục [6] Hoàng Tụy (2003) Hàm thực và giải tích hàm Nhà xuất bản ĐHQG Hà Nội
[7] G Bezhanishvili (2009) Zero-dimensional proximities and zero-dimensional compactifications, Topology and its Applications, 156: 1496 - 1504
Trang 6SOME COUNTER EXAMPLES
OF IMPORTANT TOPOLOGICAL SPACE
Doan Thi Chuyen
Tay Bac University Abstract: One of the important purposes of classifying the topological spaces is metrizing the topological
spaces Then basing on the close nature of the metric spaces, we classify topological spaces into some classes of important topological spaces according to the closer relationship with metric space In this paper, we will introduce a simple counter-example of the topology on a subset of the real number set ,which aims to indicate the relationship among some classes of important topological spaces
Keywords: Metric space, Topological space, Metrize the topological space, Frechet space, Hausdorff space, Regular space