Giáo trình lý thuyết nhóm (dùng cho sinh viên ngành toán học) phần 2

Chương l i M Ộ T S Ố L Ớ P NHÓM QUAN T R Ọ N G §1 NHÓM HỮU HẠN Tiết này dành cho việc trình bày đinh iý Xi lốp về nhóm hữu hạn, một trong những định lý quan trọng nhất của lý thuyết nhóm cổ điển và có[.]

Chương l i

M Ộ T S Ố L Ớ P N H Ó M Q U A N T R Ọ N G

§1 NHÓM HỮU HẠN

Tiết này dành cho việc trình bày đinh iý Xi-lốp về nhóm hữu hạn, một trong những định lý quan trọng nhất của lý thuyết nhóm cổ điển và có nhiều ứng dụng trong việc nghiên cứu các ngành toán học khác nhau

1 Quỹ đạo Người ta nói rằng: nhóm G tác động trên tập hặp M , nếu

đối với mỗi cặp phần tử me M , ge G, xác định phần từ rnge M thỏa mãn hai điều kiên

ì) (mgi)g2 = m(gig2) li) me = m

vói mọi me M , gi,g2e G, trong đó e là phần tử đơn vị của G

Tập hặp mG = {mg I ge G} đưặc gọi là quỹ đạo của phần tử m

Rõ ràng là quỹ đạo của hai phần tử thuộc M hoặc trùng nhau, hoặc không giao nhau nên tập hặp M đưặc phân hoạch thành các quỹ đạo

khÔỊỊơ W ' T * nhau

nguyên tố

Tồn tại: Đối với mỗi lũy thừa p a chia hết cấp của G, tòn tại trong G nhóm con cấp p a

Lông nhau: Nếu p a +I chia hết cấp của G, thì mỏi nhóm con cấp p a

của G được chỊa trong một nhóm con cấp p a +/ nào đố của G Nói riêng,

p - nhóm cỡn tối đại của G, đố chính là các nhóm con cấp p r , trong đó p r

là lũy thừa cao nhất của p, chia hết cấp của G

Liên hợp: Tất cả các p- nhóm con tối đại của G đều liên hợp với nhau trong G

SỐ lượng: Số lượng p- nhóm con tối đại của G đồng dư với Ị theo môđun p

Chứng minh Tòn tại: Giả sử I G I = ựL (p,ể) = 1 Giả SÙM là tập

hặp tất cả các tập con có lực lưặng pa của G Rõ ràng

bởi vậy lũy thừa lớn nhất của p, chia hết \M ị, sẽ là pr " a

Nếu MÈM , ge G thì rõ ràng ,

Mg = {mg I me M} e M cho nên G tác động ừẽĩiM bời các phép chuyển dịch phải

Giả sử {Mi, Ms} là quỹ đạo mà lực lượng là s của nó không chia hết cho p r a l , Hơn nữa, giả sử

G i = { g | g e G , M i g = M i }, (Ì < i < j)

Thử nghiỏm trực tiếp rằng Gi là nhóm con của G, còn Gi là các lớp

liên hợp của G theo G i Chúng ta chứng tỏ rằng nhóm con Gi có cấp p a

phải tìm Kí hiỏư ị Gi ị- - t, theo định lý Lagrãng, ta có st = ị G I = p7

Bởi vì lũy thừa cao nhất của p chia hết s là p r ' a , nên t chia hết cho p a , đặc biỏt t > p a Mặt khác, nếu xe Mi thì rõ ràng aGi C M Ị , nên I Gi I < Ị Ml I hay t < p a Do đó t = p a

Lòng nhau: Giả sử pa + 1 chia hết I G I , p là nhóm con cấp p a của G, &

là lớp các nhóm con liên hợp với p bởi các phần tử của G Chúng ta có

\e\ = | G : NG ( P ) I (Trong ao I V Y ) là cái chuẩn hóa của nhóm con p, tức là tập hợp tất cả

các phần tử g€ G mua mãn điều kiỏn gP = Pg) Nếu I (3\ không chia hết

cho p, thì I NG(P) Ì chia hết cho p a + 1 , và theo phần chứng minh trên trong

N G (P)/P tồn tại nhóm con p*/p cấp p Khi đó p* là nhóm con phải tìm

Giả sử I (ỉ I chia hết cho p Nhóm con p tác động trên Ổ bói các phép

liên hợp, hơn nữa lực lượng các quỹ đạo chia hết I p I, vì thế chúng có dạng p a ' , ai > 0 Vì có ít nhất một quĩ đạo- một phần tử - {P} và l ố i chia hết cho p, nên tìm ngay được một quỹ đạo - một phần tử - khác { Q } Nhưng điều đó có nghĩa p chuẩn hóa Q, vì thế PQ là một p - nhóm con

(nhớ rằng PQỵ Q = ỸỊ (? n Q) và mở rộng của một p- nhóm con nhờ một

p- nhóm con là một p- nhóm) Áp dụng vào PQ phép tự đẳng cấu trong của G đã biến Q thành p, ta thu được p- nhóm con P'P chứa p làm nhóm con chuẩn tắc thực sự Lại theo chứng minh trên, trong P'P p tìm được

nhóm con p* / p cấp p Khi đó p* là nhóm con cần tìm

Từ chứng minh trên suy ra ràng các p- nhóm con tối đại của một nhóm

hữu hạn đúng là các nhóm con cấp pr

, trong đó pr

là lũy thừa cao nhất của

p chia hết cấp của nhóm

Liên hợp: Giả sử p là một nhóm con cấp pr

của G (đặc biệt, đó là

p-nhóm con tối đại) và <2 được xác định như trên Ta phải chứng minh rằng

mọi p- nhóm con tối đại Q đều thuộc & Nhưng Q tác động trên ổ bởi

phép liên hợp, hơn nữa các quỹ đạo lại cùng lực lượng pa

' , (Xi > 0 Vì 1^1

không chia hết cho p, nên tồn tại quỹ đạo - một phần tử - { F } nào đó, rức

ià Q chuẩn hóa p Khi đó PQ là p- nhóm con và vì p và Q tối đại nên ta

có Q = PQ € e, trong đó PQ = p

Số lượng: Chỉ cần thử nghiêm rằng { Q } là quỹ đạo- một phần tử duy

nhất Thật vậy, nếu {Q'} là quỹ đạo khác như thế, thì QQ' là p- nhóm con khác Q, điều đó không thể xảy ra Định lý được chứng minh •

3 Mô tả nhóm hữu hạn cấp p x q Giả sử p và q là các số nguyên tố G là nhóm hữu hạn cấp p X q Giả

thiết rằng p < q Các p- nhóm con tối đại và q- nhóm con tối đại của G sẽ

là các nhóm con cấp nguyên tố nên xyclic Giả sử <a> là p- nhóm con và

<b> là Q- nhóm con tối đại Theo định lý Xỉlốp, số các q- nhóm con tối

đại q- nhóm con tối đại <b> là duy nhất Từ đổ, nó chuẩn tắc trong G

SỐ các p- nhóm con tối đại có dạng Ì + kp và chia hết q, bởi vậy có hai khả năng

Khả nâng 1: p- nhóm con tối đại < a > là duy nhất Khi đó nó chuẩn tắc trong G và dọ đó [a,b] € < a > n < b > Bởi vậy (ab)1

*1

= a^b™ = Ì, nên

G = < ab > Như thế, trong trường hợp Bày: G s Z(pq)

Khả nâng 2: Có q nhóm con là p- nhóm con tối đại Rõ ràng rằng có

thể q 3 Ì (mod p) Giả sử

a1

b a = br Nếu r = Ì thì G = < ab >, nghĩa là G s Z(pq)

Giả sử r * ì Theo qui nạp, ta có:

a"n

bm

an

= với mọi m,n 6 z

Với m = p, n = Ì, ta có 1^ = Ì (mod q), ngoài ra chúng ta nhận được công thức nhân

am

bn am 'bn ' = am + m

bn r m + n

'

Ngược l ạ i , dễ kiểm tra được rằng, nếu q ss Ì (mod p), I * Si Ì (mod q),

r 3 Ì (mod q), thì công thức nhân trên xác định một nhóm không Aben

cấp pq

Cuối cùng, các nghiêm của phương trình đồng dư

ĩ 9 = í (mod q) tạo thành một nhóm xyclic cấp p, bởi vậy, từ các nghiêm này xác định một và chỉ một nhóm, bed vì nếu thay thế phớn tử sinh a bởi a' thì sẽ dẫn tới việc thay thế r bởi r*

Như vậy, nhờ đinh lí Xìlốp, chúng ta đã mô tả được tất cả các dạng của lớp nhóm hữu hạn cấp pq Chúng có hai lớp: Nhóm Aben và không Aben, thêm vào đó lớp nhóm thứ hai tồn tại chỉ khi thỏa mãn điều kiên q s Ì

(mod p)

4 Các thí dụ về p- nhóm con tôi đại

(1) Xét nhóm cộng Z(n), với n = p f ' p ?2 p"* (trong đó ai > 0) Thế

thì các p- nhóm con tối đại của Z(p) là nhóm xycỉic cấp ọ f

(2) p- nhóm con tối đại của nhóm nhân c* là các nhóm tựa xycỉic C(p°°)

(3) Giả sử p là số nguyên tố, m,ne z và m > Ì, n > Ì, q = pm Khi đó

p-nhóm - s ại của GL(n,q) là p-nhóm UT(n,q)

Bài tập

1 Thử nghiêm rằng nhóm A(4) có cấp bằng 12 nhung trong A(4)

không có nhóm con cấp 6

2 Chỉ ra một thí dụ chứng tỏ rằng các p- nhóm con tối đại của một nhóm vô hạn có thể không liên hợp với nhau

3 Giả sử p là p- nhóm con tối đại của nhóm hữu hạn G và H là nhóm con của G chứa No(P) Chứng minh NG(P) = H

4 Giả sử G là nhóm hữu hạn cấp 6 Chứng minh rằng hoặc G = S(3) hoặc G là nhóm xyclic cấp 6

5 Giả sử ọ là đồng cấu của nhóm hữu hạn G Chứng tỏ rằng nếu p là p- nhóm con tối đại của G thì (p(P) là p- nhóm con tối đại của ọ(G)

Đảo lại, mỗi p- nhóm con tối đại của (p(G) là ảnh của một p- nhóm con tối đại nào đó của G

6 Chứng tỏ rằng: Tích của hai phớn tử cấp p có thể là phớn tử cấp hữu hạn không chia hết cho p, cũng có thể là phớn tử cấp vô hạn Do đó, tập

hợp các phần tử cấp pa

với p đã cho không phải luôn luôn tạo thành một nhóm con

7 Giả sử G là nhóm hữu hạn và A Q G Chứng minh rằng: Nếu chỉ

số I G : AI bé hơn ước nguyên tố p nào đó của cấp G, thì giao n Aê

chứa

geỏ

p- nhóm con tối đại của G, và nói riêng, khác { e }

§2 NHÓM ABEN Tiết này chủ yếu trình bày hai lớp nhóm Aben quan trọng: Nhóm Aben

từ do và nhóm Aben hữu hạn sinh Có nhiều cách trình bày vấn đề này

ở đây, chúng tôi trình bày theo Sten Hu [6]

1 Nhóm Aben tự do Giả sử s là một tập hợp tùy ý cho trước Ta

gọi nhóm Aben tự do trên tập hợp 5, một nhóm Aben F cùng một ánh xạ

f : s F sao cho, với mọi ánh xạ g : s —> X từ tập hợp s vào một nhóm

Aben X, tồn tại một đồng cấu duy nhất h : F - » X sao cho quan hê giao hoán: h°f = g xảy ra trong tâm giác sau:

s F

\ / h

X

Định lý 1 Nếu một nhóm F cùng một ảnh xạ f: s -> F là một nhóm

Aben tự do trên tập hợp s, thì/là đơn ánh và ảnh của nóf(S) sinh ra F

Chứng minh Để chứng minh f là đơn ánh, giả sử a và b là hai phần

tử khác nhau của tập hợp s đã cho, ta phải chứng minh f(a) * f(b) Giả sử

X là một nhóm Aben chứa nhiều hơn một phần tử và ta chọn một ánh xạ

g: s - » X với g(a) * g(b) Vì h[f(a)] = g(a) * g(b) = h[f(b)] nên f(a) * f(b)

Suy ra f đơn ánh

Để chứng minh f(S) sinh ra F, giả sử A là nửa nhóm con của F sinh ra

bởi f(S) Thế thì ánh xạ f xác định một ánh xạ g: s - > A với iog = f, trong

đó i là đồng cấu bao hàm ì: A c ; B Hieo định nghĩa đã cho ở trên, có một

đồng cấu h : F -> A sao cho h°f = g Xét sơ đồ sau s - ^ - > F

trong đó j là tự đồng cấu đồng nhất của F và k = ì'h Vì ta có j o f = f, k>f =

= i» h»f = l o g = f nên từ tính chất duy nhất trong định nghĩa nhóm Aben tự

do, suy ra: i«h = k = j

Vì j là đẳng cấu nên từ i o h = j suy ra í là toàn cấu Do đó A = F và từ đó

f(S) sinh ra F

Định lý 2.(Định lý về tính duy nhất)

Giả sử ( F f ) và (F'f') là các nhóm Aben tự do trên cùng một tập s Khi

đó một đẳng cấu duy nhất j: F ->F' sao cho jf = f

Chứng minh Vì (F,f) là một nhóm Aben tự do trên tập s, nên từ định nghĩa suy ra có một đồng cấu j : F -> F sao cho ta có j o f = f ' trong tam

giác sau

s -L-* F

N

Tương tự, có một đồng cấu k : F - » F sao cho ta có k°f' = f trong tam giác sau

s - £ - » F

\ /

F

Bây giờ, ta xét các hợp thành h = k>j và tự đồng cấu đồng nhất i của F Trong sơ đ ồ sau

s F

ta có h f = k j f = k f = f , i f = f

Từ tính duy nhất trong định nghĩa, ta suy ra

k > j = h = i

Vì i là một đẳng cấu, nên từ k o j = i ta suy ra j là đơn cấu Tương tự, ta

có thể chứng minh j o k là tự đồng cấu đồng nhất của F Từ đó j cũng là

toàn cấu Điều này chứng tỏ rằng j là một đẳng cấu

Định lý 3 (Định lý vê tôn tại)

Với bất kì tập s nào, bao giờ cũng có một nhóm tự do trên s

Chứng minh Giả sử z là nhóm cộng tất cả các số nguyên, ta xét tập hợp F tất cả các ánh xạ O: s -> z thỏa mãn fl>(s) = 0 với tất cả trừ nhiều

lắm một số hữu hạn phần tử seS F sẽ trở thành nhóm Aben với phép cộng

ánh xạ xem như phép toán hai ngôi; tức là, với bất kì hai phần tử (ị) và Vị/

trong F, phần tử (ằ) + lằ/ được xác đằnh bởi

(ộ + \ụ)(s) = ộ(s) + Vằ/(s)

với mọi se s

Rồi ta đằnh nghĩa một ánh xạ f : s - » F bằng cách cho ứng với mỗi phần tử se s một ánh xạ f(s): s -» z xác đằnh bởi

Ì nếu í = s

[f(s)](t) = •

l 0 nếu t * s

với moi te s

Ta sẽ chứng minh F cùng với ánh xạ f: s - » F là một nhóm Aben tự do trên s

Muốn vậy, giả sử g : s - » X là một ánh xạ tùy ý từ s vào một nhóm

Aben X Ta đằnh nghĩa một ánh xạ h: F - » X bằng cách cho ứng với mỗi

ệ € F phần tử h(ệ) = ỵ <Ks)g(s)

seS

0 lép lấy tổng là hoàn toàn xác đằnh vì nó có nhiều lắm là

một số hữu Hạn phần tử khác không Dĩ nhiên h là một đồng cấu thỏa mãn

h o f = g

Để chứng minh tính duy nhất của h, giả sử h ' : F - » X là một đồng cấu

tùy ý thỏa mãn tí of = g Giả sử ộ e F Thế thì, theo đằnh nghĩa f, ta có

(ị) = ỵ <ị>(s)f(s)

Í S S

VÌ h' là một đồng cấu, nên suy ra rằng

h'(4>) = y (Ị>(s)h'[f(s)] = ỵ ộ(s)g(s) = h(ộ)

VÌ (ằ) là một phần tử tùy ý của F, nên điều này kéo theo h' = h Đằnh lý

được chứng minh •

Như vậy, mọi tập s những phần tử xác đằnh một nhóm Aben tự do chủ yếu duy nhất (F,f) Vì ánh xạ f: s - » F là đơn ánh, nên ta có thể đồng nhất hóa s với ảnh f(S) của nó trong F

Như vậy, tập s đã cho trở thành một tập con của F, tập con này sinh ra

F Mọi ánh xạ g: s ->• X từ tập s vào nhóm Aben tùy ý X đều mở rộng ra

thành một đồng cấu duy nhất h : s - » X

Nhóm Aben F đó gọi là nhóm Aben tự do sinh bởi tập s đã cho

Bây giờ ta hãy xét một họ những nhóm Aben

3 = { X s | s e S } chỉ số hóa bởi tập s, trong đó Xs là nhóm cộng z tất cả các số nguyên với mọi chí số se s Nhóm Aben tự do F dựng trong phép chứng minh định lí

3 chính là tổng trực tiếp cửa họ 3 Do đó ta có kết quả sau:

Tổng trực tiếp của một họ chỉ số hóa tùy ý

3 = {Xs \ seS}

những nhóm xyclic vỡ hạn ~Xs đẳng cấu với nhóm Aben tự do sinh bởi tập

s

Để nêu lên một ứng dụng cửa các nhóm Aben tự do, ta có định lí sau:

Định lí 4 Mọi nhóm khen đều đẳng cấu với một nhóm thương của

nhóm Aben tự do

Chứng minh Giả sử X là một nhóm Aben tùy ý cho trước Ta hãy rút

ra một tập sinh bất kỳ s cửa X chẳng hạn, ta có thể lấy s = X

Xé' -^ - - n Aben tự do F sinh bởi s Khi đó hàm bao g: s - > X mở rộng

ra thám Ì dong cấu h: F -> X Vì s = g(S) c h(F) và vì s sinh ra X, nên ta

có h(F) = X Do đó h là một toàn cấu Giả sử K là hạt nhân cửa h Thế thì

X đẳng cấu với nhóm thương F^Kcua nhóm tự do F

Định lý được chứng minh •

Bây giờ ta hãy xét hai nhóm Aben tự do F và G sinh ra bởi những tập

hợp tùy ý s c F và T c G Giả sằF vàG đẳng cấu Ta hãy chứng tỏ rằng

nếu s có n phan tằ thì cũng cố n phân tủ Thật vậy, vì F và G đẳng cấu,

nên có đẳng cấu h : F - > G Vì h(2x) = 2h(x) với mọi X e F, nên h

chuyển nhóm con 2F lên nhóm Con 2G Do đó h cảm ứng ra một

đồng cấu h : F2 - > Go Rõ ràng h là một đồng cấu cửa các nhóm thương:

F2 = F / 2F và G2 = G/2G Các phần tử cửa F2 có thể đồng nhất hóa với

ánh xạ (Ị) : s -> Z2 từ tập s vào nhóm cộng Z2 các số nguyên mod 2 sao cho <Ị)(s) = 0 với tất cả trừ một số hữu hạn phần tử cửa s Ta c ó một mênh

đề tương tự cho các phần tử cửa G 2

Nếu s là hữu hạn và gồm n phần tử, thì nhóm F có cấp Ihíữiu hạn 2" Vì

h* là đẳng cấu, nên nhóm G2 phải là hữu hạn và c ó c ù n g cấp 2n Đ i ề u này kéo theo T hữu hạn và có n phần tử

M ộ t n h ó m Aben G tùy ý cho trước g ọ i là tự do nếu và chỉ nếu nó đẳng

cấu với một n h ó m Aben tự do F sinh bởi một tập hợp s đ ã cho n à o đ ó

G i ả sử j : F - » G là một đẳng cấu tùy ý và f = j I s- T h ế thì ta c ó thể

đẢ dàng thử nghiệm rằng (G,í) là một n h ó m Aben tự do trên tập s Ảnh

B = f(S) trong G g ọ i là một cơ sở của n h ó m Aben tự do G N ó có tính chất

đặc trưng là m ọ i ánh xạ g : B - » X từ B v à o một n h ó m Aben tùy ý X đều

mở rộng ra thành một đồng cấu duy nhất h : G - » X

Theo định nghĩa vừa nêu trên, h o à n toàn rõ r à n g ' l à một nhóm Aben tự

do có thể c ó nhiều cơ sở khác nhau N ế u một cơ sở B của n h ó m Aben tự

do là vô hạn, thì từ các nhận xét trên ta suy ra m ọ i cơ sở của G đ ề u vô

hạn Trong trường hợp này, nhóm Aben tự do G được g ọ i là hạng vô hạn

Mặt khác, nếu một cơ sở B nào đó của n h ó m Aben tự do G g ồ m một số hữu hạn n phần tử, thì mọi cơ sở khác của G đều g ồ m n phần tử Trong

trường hợp này, nhóm Aben tự do G được g ọ i là có hạng n Đ ể cho đầy

đủ, ta sẽ xem n h ó m tầm thường 0 như là n h ó m Aben tự do hạng 0

Ki u ọ u sẽ được sử dụng để chỉ hạng của G Kết quả sau đây là hiển nhiên: Một nhóm khen tự do G cố hạng n khi và chỉ khi G đẳng cấu

với tống trực tiếp của n nhóm xyclic vô hạn

2 N h ó m Abeo hữu hạn sinh

M ộ t n h ó m X được g ọ i là hữu hạn sinh nếu và chỉ nếu c ó một tập hợp

hữu hạn s những phần tử của X sinh ra X Các n h ó m Aben hữu hạn sinh

đáng được quan tâm đặc biệt vì chúng đ ó n g vai trò quan trọng trong nhiều ứng dụng

Từ chứng minh định lí 4, ta suy ra: Mọi nhóm Aben với n phần tử sinh

đêu đẳng cấu với một nhóm thương của nhóm Aben tự do hạng n T ừ đó,

để m ô tả các n h ó m Aben hữu hạn sinh, trước hết ta cần khảo sát các nhóm con của n h ó m Aben tự do hạng n

Bổ đ ề 1 Mọi nhóm con G của nhóm Aben tự do F hạng n là nhóm

Aben tự do hạng r(G) <n

Hơn nữa, có một cơ sở X - ị Ui, Ui, Un ị trong F và một cơ sở

V , = tịUị , (í = ỉ , 2, m)

trong dó í / , ti t, n là những số nguyên sao cho tị + ỉ chia hết cho tị, với

i = ỉ. 2 in -ì

Chứng minh Với n = 0, bổ đề trở thành tầm thường Đ ể chứng minh

bổ đ ề bằng qui nạp, g i ả sử n > 0 và g i ả sử kết luận của bổ đ ề Ì là đúng khi thay t h ế n bởi n - 1

N ế u G = 0 thì chẳng còn gì phải chứng minh nữa Vì vậy ta sẽ giả thiết

G là k h ô n g t ầ m thường

G i ả sử ị = { x i , xn} là một cơ sở tùy ý của F T h ế thì mệi phần tử của g c ó thể biểu thị m ộ t cách duy nhất dưới dạng tuyến tính

g = k i X i + + k „ x n

qua xb xr, v ớ i c á c h ệ số nguyên k i , k n

G i ả sử X(ị) là số nguyên dương nhỏ nhất xuất hiện như là một hệ số

trong c á c dạng tuyến tính đ ó Số Ằ,(ẽ,) đó phụ thuộc vào cơ sở Ta hãy

giả thiết rằng cơ sở (Ị, đ ã được lựa chện sao cho X(ị) có giá trị nhỏ nhất c ó

thể được

Đ ặ t t] = X(ị) Theo định nghĩa của số dương À-(ệ), có một phần tử

V i sao cho t! xuất hiện như là một hộ số trong dạng tuyến tính của V )

Bằng c á c h hoán vị c á c phần tử của cơ sở X i , X ệ , xn, nếu cần, ta có

V ( = tịXi + k2 X 2 + + knxn trong đó k i , k 2 , k n là những số nguyên

Chia các số n g u y ê n k o , , kn cho số nguyên dương t i , ta được

ki = CỊiti + Ti v ớ i 0 < Tị < ti ( i = 2, 3 , n )

Nếu t a k í hiệu U i = X i + q 2 X 2 + + q n x n t h ì t a được một c ơ s ở mới

trong đ ó 0 < Ti < ti , ( i = 2, n), nên từ sự lựa chện của số dương t i ,

suy ra: Tị = 0 v ớ i m ệ i i = 2, n Do đó ta được V i = t i U i

G ệ i H là n h ó m con của F sinh bởi n - Ì phần tử x2, xn T h ế thì H là một n h ó m Aben tự do hạng n - 1 Xét nhóm con K = H n G của nhóm con

đã cho G của F

Vì H là một n h ó m Aben tự do hạng n -1 và K là một nhóm con của H ,

n ê n từ g i ả thiết qui nạp ta suy ra rằng K i a một nhóm Aben tự do hạng n - 1

Giả sử m - Ì là hạng của K T h ế thì ta có m < n Theo g i ả thiết qui nạp,