ĐẠI H Ọ C V I N H THƯ VIÊN 512 207 Ì LE H/98 )T 004406 iìtrủ SÁCH TRƯỜNG ĐHSP VINH Lê Quốc Hán LY I HU YET NHOIME (Dùng cho sinh viên ngành Toán học) TỦ SÁCH TRƯỜNG ĐHSP VINH Lê Quốc Hán LÝ THUYẾT NHÓ[.]
Trang 1Đ Ạ I H Ọ C V I N H
T H Ư V I Ê N
512.207 Ì
LE-H/98
)T.004406
Lê Quốc Hán
L Y I H U Y E T NHOIME
(Dùng cho sinh viên ngành Toán học)
Trang 3TỦ SÁCH TRƯỜNG ĐHSP VINH
Lê Quốc Hán
LÝ THUYẾT NHÓM
(Dùng cho sinh viên ngành Toán học)
Vinh 1998
Trang 5-MỤC L Ụ C
Trang
LỜI NÓI ĐẦU 2
Chương ì Cơ SỞ LÝ THUYẾT NHÓM 3
Bài tập 7
§2 Nhóm con Nhóm con chuẩn tắc 7
Bài tập 15
§3 Đồng cấu và nhóm thương 16
Chương l i MỘT SỐ LỚP NHÓM QUAN TRỌNG 23
§1 Nhóm hữu hạn 23
Bài tập 26
Bài tập 39
Bài tập 44
Bài tập 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48
Trang 7L Ò I N Ó I Đ Ầ U
X ý thuyết nhóm là một trong những lý thuyết quan trọng nhất của
toán học hiện đ ạ i Sinh viên khoa Toán - T i n đ ã được làm quen với lý thuyết này trong chương trình đ ạ i số cao cấp ở những n ă m đầu của giai đoạn l i Giáo trình này nhằm trình bày một cách có hệ thống các cơ sở của lý thuyết nhóm, nhằm giúp học sinh nắm được những kiế n thức cơ bản đầu tiên của lý thuyết nhóm, tồ đ ó có thể tiếp tục nghiên cứu những vấn đề sâu sắc hơn của lý thuyết n h ó m cũng như những lý thuyết khác của toán học hiện đ ạ i có liên quan
Giáo trình gồm hai chương: Chương ì trình bày các khái niệm cơ bản của lý thuyết nhóm Sinh viên có thể đọc qua những phần đã biết trong quá trình học đ ạ i số cao cấp, và dồng l ạ i ở những khái niêm mới nhận được Chương l i dành cho việc trình bày các lớp n h ó m quan trọng nhất: nhóm Aben, nhóm hữu hạn, nhóm giải được, nhóm lũy linh Tuy nhiên, do
số d a i i chế, chúng tôi chỉ dồng lại ở việc trình bày các khái niệm và
những tính chất cơ bản của các nhóm đ ó Những sinh viên nào muốn hiểu sáu hơn các vấn đ ề ấy, có thể xem các tài liệu tham khảo [1], [2], [ 3 ] , [7] Chúng tôi tỏ l ờ i cảm ơn PGS.PTS Nguyễn Quốc T h i và PTS Ngô Sĩ Tùng đã g ó p nhiều ỳ kiến về đ ề cương và nội dung cần thiết của giáo trình trong nhiều lần trao đ ổ i Chúng tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy và các bạn đồng nghiệp trong tổ Đ ạ i số trường Đ H S P Vĩnh đã góp nhiều ý kiến quý báu và động viên chúng tôi hoàn thành giáo trình này Cuối cùng, giáo trình được v i ế t ra chác chấn không thể tránh được các thiếu sót, chúng tôi mong nhận được sự góp ý phê bình của bạn đọc
Vinh, ngày Ì tháng 10 năm 1997
T á c g i ả
2
Trang 8Cơ SỎ LÝTBDỮYỂr N H Ó M
C h ư ơ n g này trình bày những khái n i ệ m cơ bản đầu tiên của lý thuyết nhóm Đ ể giáo trình khói quá dài, chúng tôi sẽ bỏ qua các chứng minh
đơn gián mà độc g i ả đ ã biết trong giáo trình đ ạ i số đ ạ i c ư ơ n g
§1 ĐỊNH NGHĨA iNHÓM
1 H ệ tiên đ ẽ
G i ả sử G là một tập hợp trên đó đã được trang bị m ộ t p h é p toán hai
ngôi mà ta sẽ kí hiệu theo l ố i nhân Phần tử e của G được g ọ i là phàn [ử
đơn vị, nếu xe = ex = X với m ọ i X thuộc G Phần tử đơn vị (nếu có), sẽ duy
nhừt Giá sử x e G Khi đó, phần tử x'e G được g ọ i là phần tử nghịch đảo
của X, nếu xx' = XX = e Phần tử nghịch đảo của X, nếu c ó , cũng duy nhừt,
và được ký hiệu là X \ Trong trường hợp này, ta nói rằng phần từ X là khả
nghịch Ta đưa ra hai định nghĩa về n h ó m Phé p chứng minh tương đương
của hai định nghĩa này có thể xem tron"! [4Ị
Định n « h ' 1 Tập hợp G cùng v ớ i phép toán hai ngôi được gọi là
nhom, nêu
i) Phép toán c ó tính chừt kết hợp, nghĩa là (ab)c = a(bc), với mọi a, b, c thuộc G
li) Phép toán c ó phần tử đơn vị
* iiĩ) M ọ i phần tử của G đều khả nghịch
Định nghĩa 2 Tập hợp G cùng v ớ i p h é p toán hai ngôi được g ọ i là
nhóm, nếu:
ĩ
i) Phép toán có tính chừt kết họp
li) Với m ọ i phần tử a và b thuộc G, các phương trình ax = b và xa = b
có nghiệm trong G
2 Đ a n g cấu Hai nhóm G và G' được g ọ i là đẳng cấu, nếu tồn tại ánh
xạ một-một (p từ G lên G' bảo toàn p h é p toán trên c h ú n g , nghĩa là
(p(ab) = (p(a).cp(b)
với mọi a, b thuộc G
Ta sẽ dùng kí hiệu G = G' đẽ chỉ hai n h ó m G và G' đẳng cừu với nhau
3
Trang 9Lý thuyết nhóm chỉ nghiên cứu các nhóm với sự sai khác một đẳng cấu Chẳng hạn, G là nhóm nhân các số thực dương và G' là nhóm cộng
các số thực, thì ánh xạ ọ : G -> ơ xác định bởi hộ thức (p(a) = lga là một
đẳng cấu từ G lên G\ Như vậy, G và G' có cùng cấu trúc nhóm Do đó, nghiên cứu một trong hai lớp nhóm đó, chúng ta có thể biết các tính chất
về nhóm của lớp nhóm kia
3 Cấp của một nhóm Cấp của một phần tử
Từ tính chất kết hặp của nhóm, ta suy ra rằng tích aia2 aa không phụ thuộc vào sự bố trí các dấu ngoặc để thực hiện tích đó Tích của n phần
cử bàng a đưặc gọi là lũy thừa bậc n của a và đưặc kí hiệu an Dễ chứng minh rằng nếu m, n là các số nguyên tùy ý và a là một phần tử của G, thì
am.a" = a'"+n, ( am)n = a™, (a"1)-1 = a", an = (a 1) n với qui ước a° = e
Có thể xẩy ra trường hặp am = e với m là số nguyên khác không Khi
đó, số nguyên dương nhỏ nhất n thỏa mãn điều kiện a" = e đưặc gọi là cấp
hay chu kỳ của phần tử a, và đưặc ký hiệu là ! a I Nếu a" * e với mọi số nguyên dương n, thì ta nói rằng phần tử a có cấp vô hạn và lạm dụng cách
v i ế t ; X3
Nhóm G đưặc gọi là nhóm xoắn hay nhóm tuân hoàn, nếu mọi phần tử
của G đều có cấp hữu hạn Nếu cấp của tất cả các phần tử G đưặc giới hạn trong một tập hặp hữu hạn, thì bội chung nhỏ nhất của các cấp đó đưặc
gọi là chu kỷ của nhóm
Giả sử p là một số nguyên tố Nhóm tuần hoàn mà cấp các phần tử
thuộc nhóm ấy đều là lũy thừa của p đưặc gọi là p-nhốm
Lực lưặng I G I của nhóm G đưặc gọi là cấp của nhóm Nếu lực lưặng
đó là hữu hạn thì G đưặc gọi là nhóm hữu hạn Trong trường hặp ngưặc lại, G đưặc gọi là nhóm vô hạn
4 Tích trực tiếp
Giả sử G i , Gọ, Gn là các nhóm Dễ kiểm tra đưặc rằng, tích đề các
G = Gi x G ọ x X Gn với phép toán đưặc xác định bởi hệ thức
V o i ' o2.t ••••> o n / * v o lì ỊS li ••••> o n / V o l © Ì' ì ẳ i ỗ ố n õ ti/ " r F u l o u u
*U-Y«-nhóm Nó đưặc gọi là tích đề các của các nhóm Gi , i = 1,2, ,n và các nhóm Gi, i = Ì , 2, ,n đưặc gọi là các nhân tử
4
Trang 10được chỉ số hóa bởi tập hợp ì nào đó G là họ các ánh xạ f: ì -> Ị J G a
aeỉ
thỏa mãn điều kiện: í'(a)e G a , a e ì Ta đưa vào G phép toán (f,g) M> fg
xác định bởi hê thức
(fg)(a) = f(a).g(a), Vae ì
Khi đó G trờ thành một nhóm và được gọi là lích đề các của ho các
nhóm { G a I (xe 1} và được ký hiệu là f ] G a
Giá trị ánh xạ f tại điữm a được gọi là phép chiếu của phần tử f lên tập
hợp G Tập hợp
sup(f) = { a i f(a) * e}
được gọi là giá của ánh xạ f Rõ ràng là tập hợp các ánh xạ với giá hữu
hạn của tích đề các của các nhóm G a cũng lập thành một nhóm với phép
nhân ánh xạ Nó được gọi là tích trực tiếp của các nhóm G a và được ký
hiệu là Ị~Ị G a Nếu tập các chỉ số ì hĩai hạn thì tích đề các và tích trúc tiếp của họ các nhóm { G a ì ae 1} trùng nhau
5 Sơ ììiơc ' ; nhóm Aben
Nhom G dược gọi là nhóm Aben hay nhóm giao hoán, nếu phép loàn
trong G là giao hoán, nghĩa là ab = ba với mọi a, b thuộc G
Khi đó, phép toán trong G thường được ký hiệu theo lối cộng Phần tử
đem vị sẽ được gọi là phần tử không và ký hiệu là 0 Phần tử nghịch đảo cựa a sẽ được gọi là phần tử đối của a và được ký hiệu là - a Tích trực
tiếp của một họ hữu hạn các nhóm G i , G ọ , G n sẽ được gọi là tổng trực
tiếp của các nhóm đó và được kí hiệu là
Nếu tập chỉ số ì vô hạn thì ta sẽ dùng các kí hiệu: 2 ] G a và ] T G a đ ể
aẩ ad
chỉ tích đề các và tổng trực tiếp của họ các nhóm { G a ì oee í }
6 C á c ví dụ (1) Tập họp tất cả các phần tử của một vành K, được xét
với phép cộng, là một nhóm Aben Nó được gọi là nhóm cộng tính của
vành K Chúng ta cũng sẽ ký hiệu nhóm đó là K Nói riêng, ta có nhóưi cộng các số phức c, nhóm cộng các số thực R, nhóm cộng các số hữu ty
5