Chương 4 M Ộ T SỐ L Ớ P NGÔN NGỮ NHÓM Các ngôn ngữ nhóm được A v Aniximov khảo sát đầu tiên vào năm 197] [5] Theo s Eìilenberg I 17| ngôn ngữ L có vị nhóm cú pháp //(//) dẳng càu với một vị nhóm s khi[.]
Trang 1Chương 4
M Ộ T S Ố L Ớ P N G Ô N N G Ữ N H Ó M
C á c n g ô n ngữ n h ó m được A v A n i x i m o v khảo sát đ ầ u tiên v à o
n ă m 197] [ 5 ] Theo s Eìilenberg I 17| n g ô n ngữ L c ó vị n h ó m cú
p h á p / / ( / / ) dẳng càu với một vị n h ó m s khi và chi khi t ồ n t ạ i một
toàn cấu (Ọ : X —» s và một tập con rơi rạc / / của s sao cho L = <p "'(//) Các n g ô n ngữ n h ó m mà A v A n i x i m o v khảo sát ứng v ớ i s là một
n h ó m và / / là tập chỉ c ồ m một phần tử đ ơ n vị cua s, hay t ư ơ n g
đ ư ơ n g : / chỉ gồm một ít)- lớp tương đẳng c h ứ a tở rỗng của X Trong c h ư ơ n g này ta xét trường hợp thay s bởi một n h ó m tuy ý và / / là một tập con rời rạc tuy ý cùa s Phần lớn c á c kết quả trong
c h ư ơ n g n à y dược rút ra l ở các c ò n " trình gần đ á y của c h ú n g tôi
(Xem [23], [24], [251, [26], [27], [28] [291)
§1 N g ô n n g ữ n h ó m c h í n h q u i
V ớ i c á c k h á i n i ệ m và những kiến thức cơ sứ đ ã dược trang bị ớ
c á c t i ế t t r ư ớ c , I r o n " t i ế t n à y til sẽ m ô tả n g ô n n g ữ n h ó m c h í n h q u i liên c á 4 p h ư ơ n g d i ệ n : d á n " ct ĩ ộ LI n g ô n ngữ, ô t ô m á t , vị n h ó m cú
p h á p và vãn phạm sinh ra neỏn ngữ đ ó
1.1 Đ ị n h nghĩa N g ô n ngũ' / trên À'di rạc gọi là một ngôn ngữ nhóm
chính qui nêu L là n g ô n ngũ' chính qui và vị n h ó m cú p h á p ju(L) của
L là m ộ t n h ó m
1.2 Đ ị n h nghĩa /) Ôtômát cJị = (VI X) được g ọ i là tách được nếu với m ọ i a h e A v ớ i m ọ i X G X tở đẳng thức ổ(a, x) = ỗ(b, x) k é o
theo a = b
Trang 2126 Chương 4 Một số lớp ngôn ngữ nhóm
li) Ôtômát = (A, X) được gọi là dầy chi nêu với m ọ i X e X, với m ọ i
a' € A tồn t ạ i í / € /Ì sao cho ( X í / - V ) = a '
1.3 Đ ị n h nghĩa Vãn phạm G được gọi là / / / Ỉ / C / H /ớv /;r// / ) / / < / / ' nếu /J
g ồ m và chỉ gồm các qui tắc sau
/') p, —> Ví/, sao cho với mỗi -V e X p chạy khắp N và I í/, Ị là một hoán vị
của { p , Ị ;
/ / ) p —> A v ớ i ít nhất một p e /V
1.4 Định lý (Định lý c ơ bản) Giả sử L là níỊÔn ngữ trên X Khi dó
các mệnh đẻ sưu là tươiìạ đươnq:
i) Õtômát C(j{L) = (A, X «(), ổ, A ') đoán nhận nqón ngữL hữu hạn
vù tách được;
li) Otômát co(L) - (A, X, út,,, ổ, /4') đoán nhận ngôn ngữ L hữu hạn và đầy dử;
Hi) Vị nhóm cú pháp jLí(L) lù một nhóm hữu hạn;
iv) Văn phạm G = (N, X, p, ơ) sinh ra ngôn lì (Ịlĩ ỉ thuần túy bên phải
c á c mệnh đ ề sau
1.5 M ê n h đ ề Ngôn ngữ L trên Xỉa ngôn ngữ nhóm chính qui khi
và chì khi ị được đoán nhún bởi ôtômát oi! ) - (A, X í / , , ổ A ') hữu hạn và tách dược
n g ô n ngữ c h í n h qui n ê n Ũ](L) là hữu hạn
Hơn nữa //(/.) = ^ /l ò là n h ó m hữu han nên A = ^ CŨĨÌŨ là
tập hữu hạn (vì 9 L c sJ ĩt)
M ặ t k h á c , / / ( L ) là n h ó m n ê n m ọ i p h ữ n t ử của n ó đ ể u k h ả
nghịch Vì T(A) là vị n h ó m con của J (gồm tất cả các ánh xạ từ A vào
Trang 3/ ý thuyết ngôn ngữ nhóm 1 2 7
c h í n h n ó ) , n ê n v ớ i m o i A í Xin c ó ố ti 1(A) là đ ơ n á n h , n g h ĩ a là t ừ
ít (ị = ht\ k é o t h e o í / = lì D o d ó I"X/ ) t á c h đ ư ợ c
Đ ả o l ạ i n ế u \ h ữ u h ạ n thì ' / ' ( / \ ) c ũ n " h ữ u h ạ n M à / / ( / , ) - 7 ( / 4 )
n ê n / / ( / ) c ũ n g h ữ u h a n H ơ n n ứ a oil.) t á c h đ ư ợ c n ê n v ớ i m ọ i
li e X*, t ừ ( X í / / / ) = / í ) k é o theo a - b T h ậ t v ậ y
N ế u í/ = A t h ì két l u ậ n là h i ê n n h i ê n
N ế u // = À", x 2 X, v ớ i V e X t h ì t ừ í ^ t / /í) = ói/-?, /í) ta suy ra
- V ị -V ; ) \)) = t i ( h V, A ' Ả ) , A ' t )
D o đ ó c X í / -V, A" Ắ , ) = ổ(b, Vị V, ! ) vì ứ X D t á c h được, t i ế p tục
t ư ơ n g t ự q u á t r ì n h t r ê n ta c ó (Xa V Ị ) = (ịh V ị ) n ê n (7 = /?
N h ư v ậ y , v ớ i m ọ i H e Ỳ ta c ó íV : /\ •-•> ,1 là đ ơ n á n h , t r o n g đ ó A
là h ữ u h ạ n , n ê n (V : \ A là m ộ i p h é p t h ố c ủ a Á N h ư v ậ y 7'(.4) là
m ộ t vị n h ó m c o n c ủ a n h ó m h ữ u h ạ n (n ( g ử m t ấ t c ả c á c p h é p t h ế của
A), n ê n V (.4) là m ộ t n h ó m c o n của ợ , V ì u(L) — 7'(/4) n ê n / y ( L ) l à
m ộ i n h ó m h ữ u han v à do đ ó / là li n õ n n g ữ n h ó m c h í n h q u i
1.6 M ệ n h đ ề NỊÍÒH nại? Ỉ. n en X là ììi>ôn ngữ nhóm chính qui khi
và l ỉu khi ('Ai.) = (A, X ít., Ổ, A ') đoán nhận L là ôtômcìl hữu hạn và
(lây liu
Chứiiq minh G i ả su L là n s ô n ngũ' n h ó m c h í n h q u i K h i đ ó co(L)
là h ữ u h a n H ơ n nữa / / ( / ) là n h ó m h ữ u h a n , m à / / ( / ) — T(A) n ê n Ỉ'(A) là n h ó m c o n c ủ a n h ó m h ữ u h ạ n Cj A - bao g ử m c á c s o n g á n h t ừ
/\ l ẽ n c h í n h n ó
N ó i r i ê n g , v ớ i m ọ i X 6 X ờ\ : /ì - > ,4 là t o à n á n h n ê n v ớ i m ọ i
í / ' G 1 t ử n t ạ i a e A sao c h o / H í / , v) = a ' v à đ o đ ó ố\ là đ ầ y đ ủ
Đ ả o l a i g i ả sử là ô t ô m á t h ữ u h ạ n v à đ ầ y đ ủ T a c h ứ n g
m i n h / là n g ô n ngũ' n h ó m c h í n h q u i T h ậ t v ậ y , d o CŨ{L) h ữ u h ạ n n ê n / là n g ử n n g ũ c h í n h q u i v à Lái.) c ũ n g h ữ u h ạ n M à '/'(TI) — / / ( / )
n ó n 7 ( , \ ) h ữ u h ạ n v à d o đ ó A h ữ u h ạ n
Trang 4128 Chương 4 Một số lóp ngôn ngữ nhóm
M ặ t k h á c t ừ t í n h đ ầ y đ ủ c ủ a Ú)(L) suy ra v ớ i m ọ i It e X*,
õ u : A —> A là m ộ t toàn ánh và do đ ó là m ộ t song á n h (từ A lên
c h í n h n ó )
N h ư vậy T(A) là vị n h ó m của n h ó m hữu h ạ n Cj A và do đ ó 7'(/A) là
một n h ó m hữu h ạ n , suy ra ju(L) là n h ó m hữu h ạ n V ậ y L là n g ô n
ngữ n h ó m c h í n h q u i
1.7 M ệ n h đ ề Ngôn ngữ L trên Xia ngôn ngữ nhóm chính qui klìi
và chỉ khi L được sinh ra bài văn phạm thuần túy bên phải
Chứng minh Điều kiện cẩn G i ả sử L cz X là n g ô n n g ữ n h ó m
c h í n h q u i được đ o á n nhận bởi ô t ô m á t úiỊS) - {A, X, (3(1, ổ, A ') hữu hạn và t á c h được Ta xây dựng v ă n p h ạ m G n h ư sau
G - (N, X, p, ờ), trong đó N = A, cr= ể(„ c á c q u i tắc thuộc p là
1) ể,• —> V í / nếu a,, a' e /4, V e X s a o cho (ịa r X) = a'ị
2) a —> A nếu ể e /A '
T h ế thì
Ì) R õ r à n g a, chạy khắp /V, và do L là n g ô n n g ữ n h ó m n ê n
với m ọ i X 6 X, S x là song á n h từ /4 lên c h í n h n ó Do đ ó { a'ị \ - ị li, í
2) Tồn tại a e A sao cho â(ạ, A ) G A ': hiển nhiên Do đó, tồn tại
ít nhất a e N sao cho í/ —> A
N h ư v ậ y , ơ thuần t ú y bên p h ả i Ta h ã y chểng m i n h Lị (ớ) = L(G), tểc là văn phạm x â y dựng n h ư t r ê n sinh ra L
G i ả sử li € L(G), khi đ ó ơ =>* íí Hai t r ư ờ n g hợp x ả y ra:
• N ế u tí = A và ơ =>* í/ thì do t ồ n t ạ i Z | Z Ẩ sao cho
J - I = ơ " = « , / ? I V ,
Ị z 2 = M ^ v ,
v ớ i p, - > <7, (í/,, v„ / 7 , , c/, G r* = ( N u X)*)
Trang 5Ly thuyết ngôn ngư nhóm 129
I =1 -ì = "í iPi | V A ì
í v ớ i /', , - > í / ; , [ - I - = " í - Ì Ví !»•/ I
( T a k ý h i ệ u /?,, í/, t h a y c h o aỊ dị) T h ế t h ì z k = li = A , n ê n từ
đ ắ n g t h ứ c c u ố i c ù n g và đ ị n h n g h ĩ a vị n h ó m tự d o , ta c ó :
» < - ! = tfi ì = V 1 I = A
-T h e o c á c h xây d ụ n g các q u i tắc của / ' ta thấy /? Ả_! € A ' và r, | =
xới /7^1 6 A ' , / l n I = 0 m à r t : => lị I nen = z; 2 = = ơ
T ừ đ ó c r = f\.p kA /\ = a u e /4 '
V ì / ; A , € -4 ' m à $ < 20, A ) = í/., e ,4 ' n ê n A e r<X/J h a y /í e Ú)(L)
• N ế u // = Xy\2 x m v ớ i V, G X t h ì t ồ n t ạ i Zị, z k sao c h o
c r = Z, = > 12 = > = > : Ẩ = / í ,
í cr = 7 , = M,p,v, = a„
n ê n < với /» ; í/,, £ /V
[ -2 =
M à \ ' * l à v ị n h ó m tự d o s i n h bới N u X v ớ i N n X = 0 , n ê n từ
t h ế t h ì a u = / ) , —> A nên a u e A ' và z2 = A T h e o
2 = 2 3 = = z k - li nên / í = A và do ứt l
cáu = A G / ( ( T i ) )
N ế u í/, * A , t h ế t h ì (/, = V ị t / , v ớ i V, e X í/, e N K h i đ ó từ
- 2 = " /•' 1 = V | < / ;
2 , = H 2 CỊ,Y 2
với /?,, í/, e N ; V ' j , v2 e V 7 *; V, 6 X v à /V n x = 0 nên từ đắng thức đầu suy ra
t r ê n V = N u X)
K h i đ ó , h o ặ c q 2 = A suy ra Z = :4 = = Z Ẩ = K ( t h e o q u i tắc x â y
d ự n g P ) v à t ừ đ ó li = V ị , a , = p2 e / Ì ', m à (3,1 = Pị —> y\Ci\ n ê n từ
í>(í/;,._v ) = í/, e A ' s u y ra V| £ L ( < y ) h a y í/ 6 L ( í y )
Trang 6130 Chương 4 Mót số lớp ngôn ngữ nhóm
Hoặc q 2 = y 2 a, với V, 6 X, í / , 6 /V t h ế thì t ừ
I - ỉ = l<ỉPl y ì = y v ; l
-với/>3 - > í/,, v„ ^ € A; ft, í/, e N ; N n X = 0 và í/,, V, e V7 = (Ạ/ u X ) Suy ra V ì = A p x = ớ2 v à » 3 = Vị V - D o đ ó h o ặ c ố / , = A t h ì
li - Zị = = z k trong đ ó z 4 = v,y,. A A = y\y 2 M 2 - P\ = Vị í / , n ê n
í ỹ ( ữ „ , V | ) = í / , ; í / , —> > '2« 2 s u y ra ổ ( đ h v 2 ) = 6/2 = / 7 , e /4 ' v ì
P i —> Ợ3 = A Do đ ó V , v 2 ) = i ^ c / j y , ) = </,e/\' Suy ra /í e L ( ứ Ạ
N ế u q ? - V Ị Í / Ị v ớ i V , € X í/, € N t h ì l ý l u ậ n t i ế p , sau k h ô n g q u á k
bước ta đi đ ế n
Ì) hoặc li 6 ỉi Cũ)
2) h o ặ c r ; = V , v 2 . z t a k = ,v,.v, x,„
với X e X V, € X, í ?t G /V và theo định nghĩa của vị n h ó m t ự do t r ê n
(N u X)* ta suy ra Ả- +1 = W2 và V, = X, (Ì < í < k), (lị - x m v ớ i í/, e /V
và j r m e X, t r o n g đ ó / V n j f = 0 : m â u t h u ẫ n
N h ư v ậ y , từ » e L(G) suy ra /í e n ê n L ( G ) GI L{ú))
ỉ.(ũ)) <z ỉ.((ỉ)
Thật v ậ y , g i ả sử ;/ 6 ì.(oi) suy ra # < 7 „ , /í) = a ' € / l ' thì
o h o ặ c li = A , s u y r a A ) = (•/,, é /4 ' n ê n í/,, » A , m à
nên từ <2(, —> A t a c ó ơ => / í v ậ y (í e L(G)
o hoặc (í = A',.,v 2 ,V Ả v ớ i V, e xụ - ì., 2 Ả") v à
ổ ( ứ f 0 , A ' | ) = à ,
<5(<3,, - \ 2) = a 2
<
5{a.,, A ) = í / ; = í / ' e /4 ' (vì » e L(ft>))
Trang 7Lý thuyết ngôn ngữ nhóm 1 3 1
nen
a t) - » À " , í / í/ị —> A ' 2 Í / ,
í / , ị —> V A í/ t với í/, —> /~
T h ế thì
í ơ = í/, = A í / , , A
ỉ V|<7, = A V ị í / J A
n ê n cr => Á y / ị vì í"/,, —> v : <7,
n ê n V Ị Í / Ị => \ \ ; / vì í / , —> A i /
n ê n V, xt A a k ị = > HỊCI, , v ì í/, , - > xk a l
Ị nai = ' " ' í - À
n ê n ;/ơẢ ==> /í, vì C / A —> A
D o đ ó ơ =>* í/ hay /í € / , ( ( / ) Váy L(íy) c L ( G )
Đ/c;/í Ấ.7V/Í í/íí: G i ả sử / sinh bới vãn p h ạ m G = (/V, X, p, ơ )
thuần túy bôn p h ả i Ta x â y dựng ô t ô m á t n h ư sau:
li - li A A
5 = A', / i
Trang 8132 Chương 4 Một số lớp ngôn ngữ nhóm
Theo ì ì) ta c ó lì' * 0 li = <J và v) = <y, n ế u p, —> Ví/,. Vì /; chay khắp Ạ/ và ị í / , } là một h o á n vị của -ị/;, Ị n ê n /?, là một h à m
c h u y ể n t r ạ n g t h á i t ừ ổ —> ổ Ta c h ứ n g m i n h L(B) d L ( G ) v à
n g ư ơ c l a i
G i ả sử li e X pib {) , li) e B' và /í = A T h ế thì
ị ơ = A.b n
ỉ » A A A A
u ,A) e B ' nên 6() —> A
D o đ ó cr =>*», tức là li e L(G)
N ế u íí = v,.v, A',„ thì đát
p ( ố ( „ X , ) = ố , /X/?,, vo = /?,
/ X ố t , , -V Ắ ) = /? í; e B' ( v ì /?(/>„. li) e B ')
suy ra
T h ế thì
/?„ —> X\bỊ
bị -» x 2 b 2
ử; - » A
Trang 9Ly thuyết ngôn ngữ nhóm 133
- V , v , Xịh k ! = A , Xị ị b t _ị.A
li h - 1 \ Xị ,.1",
n ê n / í /5 = > í / , vì /? Ắ —> A
Do đ ó a = y / í V ậ y li e L(G). T ừ đ ó L(B) c L ( ơ )
Ta chứng m i n h L ( G ) d / - ( / i )
G i ả sử ơ" =>* í í , n ế u // = A t h ì từ
-í. I = " í -iPí - I V A - I
v ớ i , -><7t.,
ta c ó í í ; = Ợ / I = V ; 1 = A T h e o c á c q u i t ắ c c ủ a / \ p h ả i c ó
ì = :Ắ 2 = = o\ m à , = / ; , , 6 ổ ' , vì pt - > í /i I = A
v à cr = b v — p k _ I —> A n ê n p A ) e ổ ' v à do đ ó M = A e / ( 5 )
Nêu li = Vi V v„ với m ọ i V, e X, thì do ( T =>*», nên
ơ —> l ị => z : -> => z k = u
G i ả sử
ÍT = z, = í / , / V , = /?„
z 2 = » , ( / , 1 - ,
v ớ i /?,/?„£ /V, r , e V* = (N <J X)* v à /V n x= 0 , n ê n p h ả i c ó
Giả sử q = A, t h ế thì p, = fr„ —> <7, = A , n ê n ò() 6 zr và theo q u i
tắc của p , ta c ó : Z , = r , Z j = » K h i đ ó yơ(6„, A ) = 6,) e / r , n ê n
= z = A e
Trang 101 3 4 Chương 4 Một số lớp ngôn ngữ nhóm
N ế u <7, = y i b l thì từ
í - , = l{ iPi v 2 = y A
v ớ i / ? 2 - » q 2 , v,e X; 6 | , / ? 2 e /V, U 2 V 2 £ ( / V u i ) và N n x = 0 , ta lại
c ó w2 = >',, p2 = và v2 = A
N ế u ợ 2 = A t h ì t ừ r3 = Vị v à t h e o c á c h x â y d ự n g G, ta c ó
M ặ t k h á c , /?| = b tì nên V ị / ? ! = í / , , do đó /Xè,,, V ị ) = bị e B '
Suy ra V | e L(B) hay li e L(B)
N ế u <r/2 = y 2 b 2 v ớ i y2 e X, b 2 e N, thì từ
với _y,,v,e X; /?,,/•;, € N ; H : , , V ; e V* ta l ạ i lý luận t i ế p , sau k h ô n g q u á
k bước ta được
Ì ) hoặc /í e L ( 5 )
2) hoặc r; = ý , V i v k a k = li = -Vị x m
v ớ i A' € X, V, e X, (lị e N trong đó N n x = 0 : m â u thuẫn
G i à sử CíX/.) = (A, X (ỹ, /4 ') là ô t ô m á t đ o á n nhận n g ô n ngữ L,
( t r o n g đ ó /4 = A ' * z )
trong đ ó / 9 (6(„ í/) = /?„ V ớ i chú ý ọ (b 0 , li) = p ( ủ ( „ r ) k é o theo
p ( / ?0, WW') = yO ( ( / ? „ / í ) , H') = p ((/?,,, y ) , w ) = / ? ( / ? „ , V U ' ) , ta c ó
uw e L k h ỉ v à c h ỉ k h i I'M' € L , v ớ i m ọ i M' 6 X*. t ứ c l à ũ = 7 Do đ ó
Trang 11Ly thuyết ngôn ngữ nhóm 1 3 5
Ọ) là m ộ t á n h xạ, hơn nữa là m ộ t ánh xạ lên Vì wu = wu, n ê n (/Ah !t \vii) = (fịb n \v).it hay (pịhu) - (p(k).u v ớ i p (/>,, M ' ) = / ? „ H ' = /?
V ậ y ọo là một toàn cấu ỏ t ô m á t Khi đ ó , g i ả sử X e X t h ế t h ì : v ớ i m ọ i
ác A (I - / 7 t ồ n t ạ i b e /ỉ s a o cho = í / , m à ơ thuần túy b ê n
phai, n ê n tồn t ạ i b 'e B ': ọ (b \.\) = lì (nghĩa là b '—>\b) hay b '.X = b
Suy ra <£>(b ') v = ỹK^)
G i ả sử ') = Li ' T h ế thì ( > ' ( t / ' v ) = a hay í/ VT, = ứ , suy ra
ờ\: A —> 4 là t o à n á n h M Ể t k h á c , r/? là t o à n á n h từ ổ lên /4, n ê n
cardfi > card4 Vì fi hữu hạn nên A hữu hạn Do đó ỂO(L) = (/4, X <:/(„ ỏ, A ')
là ô t ô m á t h ữ u h ạ n và đ ầ y d u n ê n L là n g ô n n g ữ n h ó m c h í n h
q u i
§ 2 M ộ t s ô k ế t q u ả đ ị n h l ư ợ n g t r o n g
l ớ p n g ô n n g ữ n h ó m c h í n h q u i
Theo Đ ị n h lý Eilenberg và Định lý Kleene ( § 4 C h ư ơ n g 3): " V ị
n h ó m cú p h á p / / ( / ) hữu han khi và chỉ k h i số trạng thái của ỗ t ô m á t
tối t i ể u oịl.) hữu h ạ n " Trong trường hợp L là n g ô n ngữ n h ó m c h í n h
q u i , dựa v à o c á c Đ ị n h lý Lagrange và Đ ị n h lý P o i n c a r é , ta c ó t h ể thiết l á p những hệ thức tường minh liên quan đ ế n cấp của / / ( / ) và số
trạng thái của co(L)
2 1 M ệ n h đ ề Giả sử ỉ, lủ ngôn lì xù nhóm chinh qui trên X và
/ , , = { l i e X\ (%(1,„ u) = í / | , j Khi đó là nẹôn nẹữ nhóm cô lập
chính qui và ÌIỊ = ĩ? Ị
Chiêng minh Vì L là ngôn ngữ nhóm nên với mọi li e )C tồn tại V e X* sao cho (m\ A ) SE í ì) K h i đó, vì M) là tương đẳng hai phía nên (xuvy, xy) e 9 L
v ớ i m ọ i -V, V € Ầ* M Ể t k h á c vì í ly c S.H/ nên Í Y Í Í V V , X V ) € iR, v ớ i m ọ i
A', V € X* Do đ ó ổ(a 0 , xuvy) = a tì nếu và chỉ nếu ó ( ứ ( „ ,vv) = <3() v ớ i
m ọ i -V, V e X* Suy ra xuvy £ Lị) n ế u và chỉ n ế u xy e Lị) v ớ i m ọ i