„ x — v v PRAXOLOV CÁC BÀI TOÁN VÊ HÌNH HỌC PHANG TẬP li NHÀ XUẤT BẢN HẢI PHÒNG Chịu trách nhiệm xuất bản LÊ HUY TỦY Biên tập và sửa bản in HOÀNG ĐỨC CHÍNH NGUYỄN ĐẾ Vẽ bìa HƯƠNG LAN In 3050 cuốn khổ[.]
Trang 1- „ x —
v v PRAXOLOV
CÁC BÀI TOÁN
VÊ HÌNH HỌC PHANG TẬP li
Trang 2Chịu trách nhiệm xuất bản :
LÊ HUY TỦY
Biên tập và sửa bản in :
HOÀNG ĐỨC CHÍNH NGUYỄN ĐẾ
Vẽ bìa: HƯƠNG L A N
In 3050 cuốn khổ 14,5 X 20,5 in t ạ i Xí nghiệp in Bắc Thái
Sắp chữ điện tử : Bộ môn.Tin học Trường Đại học H à n g hải
Giấy phép xuất bân số 30 TK/HP do Cục xuất bản cấp ngày 15 - Ì - 1994
I n xong và nộp lưu chiêu t h á n g 7 - 1994
Trang 3LỜI NÓI ĐẦU
(Trích lời tác giả)
Cuốn sách này là phân tiếp tục trực tiếp của phan Ì, do đó tói chỉ xin lưu
ý một số điểm khác nhau Các chương ở phân Ì gôm các bài toán có nội dung truyền thống, tức đê cộp tới các vấn đè cổ truyền của hình hỏc phăng Ba chương đâu của phan 2 này cũng thuộc loại đó Các chương còn lại cùa phán
2, trừ hai chương cuối mang dáng đáp của các bài toán thi hỏc sinh giỏi và cửa các lớp chuyên, trong số đó có nhiêu bài đã dùng để thi và luyện thi hỏc sinh giỏi trong những năm khác nhau Điêu đó không có nghĩa là phần 2 phức tạp hơn phần 1 Nhiêu bài toán còn đơn giản hơn so với các bài ở phim Ì
và như vậy càng giúp hỏc sinh làm toán được tự tin hơn, hứng thú hơn
Hai chương cuối đê cập tới phép nghịch đảo và các phép biến đổi xạ ảnh, mang nhiêu tinh chất lý thuyết hơn so với các chương khác Do đó càn nghiên cứu chúng một cách có hệ thống Nếu như sử dụng phép nghịch đảo thường được đề xuất khi luyện hỏc sinh chuyên, thỉ các phép biến đổi xạ ảnh có thê nót hoàn toàn xa lạ đối vói hỏc sinh phổ thòng, kể cả các khối chuyên Tuy
nh iên, do tính độc đáo cùng mục đích giúp bạn đỏc thấy đây đủ vẻ đẹp phong phú của hình hỏc, chúng tòi đưa vào để các bạn tham khảo thèm
v.v Praxolov
Trang 4LỜI NGƯỜI DỊCH
Bằng kinh nghiệm thực tiễn giảng dạy của bản thăn, chúng tôi cho răng
ccuốn Bài tập hỉnh học phăng của tác giả v.v Praxolov là Ì tập tài liệu qui cho
ccác đối tượng đã nêu ở lời nói đâu, nhất là cho giáo viên uà học sinh chuyên
tặộp hỉnh học phăng nhưng được phẫn loại và sáp xếp rất có khoa h ÌC và trình
bbày trong sáng, rõ ràng nên có thể coi nó là một cuốn sổ tay hình học sơ cấp dắc tra cứu, tham khảo đối với giáo viên, để tự học, tự nâng cao đói với học
ÌWÓ cũng rất cân cho cả các giáo viên phổ thông dạy lớp thường, các sinh viên
đđại học va cao đẳng sư phạm dùng để học tập, để bôi dưỡng nâng cao, tự minh thhăy được cải đa dạng, phong phú vê thể loại, cái đẹp qua lời giải các bài toán
Cuốn sách này gôm, 1318 bài toán của 29 chương trong đó có một số phân (tìmột số chương, một số đẽ mểc) còn ít tư liệu và ít được đê cập trong các tài
cáácphương pháp qui nạp hỉnh học, nguyên tác Dỉricle, phương pháp cực hạn,
tíìinh chẵn lẻ để giải bài toán hỉnh Tập sách này có thể coi lờ nguồn bô sung
dễễ sử dểng và tính hiệu quảcao Người dịch đãhết sức cốgắng thể kiện ý tưởng
kiiiến chỉ bảo của độc giả Thư góp ý xin gửi vê phòng PTTH sở Giáo dểc
-Đờào tạo Hải Phòng
Trang 5Chưorng 15 I CÁC B Ấ T Đ Ẳ N G T H Ứ C H Ì N H H Ọ C
CÁC K I Ế N T H Ứ C C ơ BẢN
1 Trong c h ư ơ n g này sử dụng kí hiệu các yếu tố của tam giác n h ư sau :
a, b, c - đ ộ dài các cạnh BC, CA, A B ;
a, ậ,y - số đo góc t ạ i các đinh A ^ B , C;
ma, mt>, mc - độ dài các đường trung tuyên kẻ từ các đ i n h A, B, C;
ha, hh, he - độ dài các đường cao hạ từ các dinh À, B, C;
la, lb, le - độ dài các đường phân giác kẻ tù các đ i n h A , B, C;
r và R - bán kính các dường tròn n ộ i tiếp và ngoại tiếp
2 N ê u A, B, c là các đ i ể m bát kì, thì A B < A C + CB, đẳng thức xảy ra khi và
c h ú k h i đ i ế m c nằm t r ê n đoạn thẳng A B (bất đẳng thức tam giác)
3 Đ ư ờ n g trung tuyến của tam giác nhặ hơn nửa tổng các cạnh c ù n g xuất p h á t
từ m ộ t đ i n h v ớ i nó : ma < - (b + c) (bài 15.1)
2
4 N ê u một đa giác lôi nằm trong một da giác l ặ i khác, thi chu v i đa giác ngoài khcônii n h ặ hơn chu vi đa giác trong (bài 15.6)
5 Tổng độ dài các dường c h é o của t ứ giác lõi l ớ n hơn tổng độ dài hvai cạnh đ ố i nhtau bát kì của nó (bài 15.17)
6 Đ ố i diện v ớ i cạnh l ớ n hơn của tam giác là góc l ớ n hơn (bài 15.91)
7 Đ ộ dài đoạn thẳng nằm trong đa giác lõi k h ô n g t h ế l ớ n hơn hoặc là cạnh lớn nhảẫt, hoặc là đường c h é o l ớ n nhất (bài 15.105)
8 K h i giải một số bài toán trong c h ư ơ n g này căn phải biế t vận dụng các bát
đẳrng thức đ ạ i số Các k i ê n thức vê các bất đẳng thức này và các chứng m i n h của
Trang 6c h ú n g ta có t h ể xem ở phần "Phụ lục cho chương 15", nhưng.cần lưu ý r ằ n g ch ú n n g chi cân dế giải những bài toán phức tạp, còn đổ giải các bài toán đon g i ả n c h i cầân
bất đầm; thức Vab < - (a + b) và các hệ quá của nó
2
C Á C B À I TOÁN M Ở ĐẦU
1 Chứng minh rằng ^ d i ệ n tích tam giác A B C k h ô n g lớn hơn - A B B c
2
2 Nếu a < b + c, b < a + c, c < a + b và a, b, c là các d ư ơ n g , thì t ò n tại mỏỏt tam giác có đỏ dài các cạnh bằng a, b, c
3 Đ i ể m B nằm trong đường t r ò n đường k í n h A C khi và chi khi A B C > 90
4 GÓC ngoài của tam giác l ớ n hơn góc trong k h ô n g kề với n ó
5 M ồ i đường chéo của tứ giác nhỏ hcAi nửa chu vi của nó
6 D i ệ n tích t ứ giác A B C D k h ô n g vượt quá - ( A B BC + A D D C )
2
7 Bán kính của hai dường tròn bằng R và r, còn khoảng cách giũa tâm của chtnng
bằng d Điêu kiện cần và đủ để hai đường tròn đó cắt nhau là I R — r | < đ < R 4 r r
§1 Đường trung tuyến của tam giác
15.1 Trong m ọ i tam giác < mc < —•—
2 2
15.2 Trong m ọ i tam giác tổng đỏ đài các đường trung tuyên l ớ n hơn 3/4 chu vvi,
n h ư n g nhỏ hơn chu v i
15.3 Cho đường tròn bán kính Ì và n điểm A i , A n trên mặt phang K h i dó tiêèn
đường tròn có thể chọn dưưc đ i ế m M để M A I + + M A n — n
15.4 Cho các đ i ể m A i , An k h ô n g c ù n g nằm t r ê n mỏt đường thẳng Giảssử
hai đ i ế m phân b i ệ t p và o thỏa mãn tính chất A i P + , + A n P = A i Q + - + + AnQ = s, khi đ ó A i K + + A n K < s v ớ i đ i ể m K nào đ ó
(Ì) Dể tiết kiệm chồ rư bài toán sau ta bỏ cụm từ "Chứng minh rằng" Niu ìậậy các bại toán cho dưới dạng dinh lí dìu phải chứng minh
Trang 715.5 T r ê n b à n đ ể 50 cái đ ô n g h ò chạy c h í n h xác Sẽ có một lúc nào đ ó tổng
k t h o ả n g c á c t ừ t â m hàn đen các dâu k i m p h ủ i lớn hơn tổng khoảng cách từ tâm bàn (Ken c á c t â m đ ồ n g hô
§22 C h u vi c ủ a đa giác ngoài lớn hơn chu vi của đa giác trong
15.6 a) K h i chuyển từ một da giác khôníi lõi sang bao lôi của nó chu vi sẽ giảm
(EBao l ồ i của một đa giác là da giát l ồ i n h ỏ nhát chứa nó ; xem trang ) b) N ê u m ộ t đa giác lôi nằm b ê n trong một đa giác l ồ i khác, thì chu vi của đa
gi lác n g o à i k h ô n g nhỏ hơn chu vi cùa đa giác trong
15.7 N ê u o là đ i ế m nằm trong tam giác A B C chu v i p thì P/2 < A O + BO +
+ - C O < p
15.8 N ê u t r ê n cạnh đáy A D của hình thang A B C D tìm được đ i ể m E đố cho chu
vi i các tam giác A B E , BCE và C D E bằng nhau thì BC = A D / 2
§33 C á c bài t o á n đại s ố dựa vào bất dẳng thức tam giác
15.9 Đ i ê u k i ệ n cần và (lù để các sẳ a, b, c là đ ộ dài các cạnh của một tam giác
l à i a = V + z , b = z + X, c = x + y, trong đ ó X, V, z là c á c s ố dương
2 2 2 15.10 N ê u a, b, c là đ ộ d à i các cạnh cùa m ộ t tam giác, thì a + b + c <
< 2(ab + be + ca)
15.11 C h ó a , b, c là các sỏ dương Nếu với m ọ i số t ự n h i ê n n từ các đoạn thẳng
có) đ ộ dài an, hn, c"' có t h ể dựng dược một tam giác thì trong các số đã cho có hai
s õ i bằng nhau
15.12 Nêu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác,, thì
a ( b - c )2 + b (c - a )2 + c(a - b ) 2 + 4abc > a3 + b3 + c3
15.13 Ta gọi " h ệ số không cân" của tam giác với cáccạnha < b < c là số nhỏ nhất
trcong các sô b/a và c/b H ỏ i "hệ số không cân" k có thổ lẫy các giá trị n h ư thê nào ?
15.14 Biẽt rằng t ừ ha đoan thẳng bãi ki trong sô năm đoạn thẳng cho trước đ ề u
có) t h ể dựng được tam giác K h i đ ó trong tát cả các tam giác dựng đnợc có ít nhát
m i ệ t tam giác n h ọ n
15.15 Nêu a, b, c là đ ộ dài các cạnh cùa một tam giác, thì
(a + b - c) (a - b + c) ( - a + b + c) < abc
15.16 Nếu a, b, c là đ ộ dài các cạnh của một tam giác, thì
a2b (a - b) + b2c (b - c) + c2a ( c - a) > 0
Trang 8§4.Tểng độ dài các đường chéo c ủ a tứ giác lồi lớn hơn tổng đô dài c ủ a c á c c ạ i n h Ì đối nhau
15.17 N ế u A B C D là t ứ g i á c l ồ i , t h ì A B + C D < A C + B D
15.18 N ế u A B C D là tứ g i á c l ồ i có A B + B D < A C + CD, t h ì A B < A C
15.19 M ộ t tứ giác l ồ i đặt trong một tứ giác lôi khác Tổng độ dài các đ u x ờ n g ị
c h é o cùa tứ giác ngoài có thể nhỏ h ơ n 2 lân so với tổng độ dài các đ ư ờ n g c h é o của ì
tứ giác trong được k h ô n g ? Còn 1,99 lần ?
15.20 T r ê n mặt phang cho n > 2 đ i ể m , trong số đó k h ô n g có ba đ i ế m n à o t h i n g s
hàng Trong số các đường eãp khúc k h é p kín đi qua các đ i ể m đã cho, đưừníỊ k h ô ne ì
tự cằt sẽ có độ dài nhỏ nhất
15.21 M ộ t đa giác lõi có tất cả các đường c h é o bằng nhau có t h ể có bao n h i ê u J
cạnh ?
15.22 T r ê n mặt phang cho n đ i ế m đỏ và n đ i ế m xanh, trong số đ ó k h ô n g c ó ba Ì
đ i ề m nào thẳng hàng K h i đó luôn có t h ế kỏ được n đoạn thẳng v ớ i các đ â u k h á c ; màu nhau và không cằt nhau
§5 Các bài toán khác dựa vào bất đẳng thức tam giác
15.23 Đ ộ dài hai cạnh của một tam giác bằng 3,14 và 0,67 T í n h đ ộ d à i c ạ n h Ì
t h ứ ba, b i ế t rằng nó là một số nguyên
15.24 Tổng độ dài các đường c h é o của ngũ giác l ồ i l ớ n hơn chu v i , n h ư n g nhỏ^
hơn hai lân chu v i
15.25 Đ ộ (lài các cạnh của một tam giác không đêu có thè là ba phân tử liên t i ế p )
của một cấp số nhân dược hay không ? Có thè nói gì về công bội của cáp số này ?
2 2 2 15.26 Nêu độ (lài các cạnh của mội tam giác thỏa mãn bát đẳng thức a + b > 5c ,,
thì c là độ dài cạnh n h ỏ nhất
15.27 Nêu hai đường cao của một tam giác bằng 12 và 20, thì dường cao t h ứ ba Ì
n h ỏ hơn 30
15.28 Cho ba h ì n h tròn k h ô n g cằt nhau có các tâm thẳng h à n g Nế u có một!
đường tròn t i ẽ p xúc v ớ i tất cả ba h ì n h đ ó , thì bán k í n h của nó l ớ n hơn bán kính Ì
một hình tròn trong số đã cho
15.29 Cho các đ i ể m C i , A i , B i n ằ m t r ê n các cạnh A B , BC, C A của tam giác;
A B C sao cho BAI = ẢBC, C B i = Ẳ C A , A C Ì = ẲAB, trong đó 1/2 < Ả < 1 Nếm
gọi p và p là chu vi các tam giác A B C và A 1 B 1 C 1 thì (2 A - 1)P < p < Ắp
Trang 915.3(l.'Trong một ngũ giác l ồ i luôn c ó t h ể chọn dược ba đường chéo đế từ đó có thuế d ự n g dược mót tam giác
§6S D i ệ n tích tam giác không lớn hơn nửa tích độ dài hai cạnh của nó
1 5 3 1 Trong tam giác có diện tích Ì và các cạnh a < b < c, thì b > V ĩ
15.32 N ê u E, F, G, Hí là trung đ i ể m các cạnh AB, Be, CD, DA của tứ giác
A 1 B C D , t h ì S A B C D £ E G H F < — ( A B + C D ) ( A D + BC)
4
15.33 N ế u chu v i của một tứ giác lõi bằntĩ 4, thì d i ệ n tích của nó k h ô n g vượt qiuá 1
15.34 Nêu M là đ i ể m n ằ m t r o n g tam g i á c A R C có d i ệ n tích s, thì
4 S S < A M B e + BM.AC + CM.AB
15.35 N ê u trong đường tròn bán k í n h R n ộ i t i ế p mội ùa giác có d i ệ n tích s và
chiứa t â m đuừng t r ò n , t r ê n môi cạnh của nó lẫy một đ i ể m bất kì thì chu vi của đa giẩác l ụ i có các đinh là các đ i ể m được lấy k h ô n g nhụ hơn 2S/R
15.36 G ọ i o là đ i ể m nằm trong tứ giác lôi A B C D diện tích s thụa m ã n hệ thức
ACO2 + B O2 + C O2 + D 02= 2S, khi đ ó A B C D là hình vuông và o là tâm của nó
§77 Các bất đẳng thức vói diện tích
15.37 T ô n tại hay k h ô n g một tam giác có hai đường cao lớn hơn I m , còn d i ệ n tícch n h ụ h ơ n l e m2 ?
15.38 Nêu các cạnh của tam giác k h ô n g lớn hơn Ì, thì d i ệ n tích của nó k h ô n g
l ỡ m h ơ n
ì 5.39 T r ê n các cạnh A B và A C của tam giác A B C lây các đ i ế m M và N sao cho
A I M = CN và A N = B M K h i đó d i ệ n tích tứ giác B M N C ít nhất là lớn gấp ba lân
d ụ ệ n tích tam giác A M N
15.40 Nêu t r ê n các cạnh B e , CA, A B cùa tam giác A B C lấy các đ i ể m A i , B i ,
O i t ư ơ n g ứng, thì trong các tam giác A B i C i , A l B C i , A i B i C có một tam giác có
diệện tích không v ư ợ t quá một p h â n tư d i ệ n tích tam giác A B C
15.41 G ọ i s, S i , S 2 tương ứng là d i ệ n tích của các tam giác A B C , A 1 B 1 C 1 ,
A 2 2 B 2 C 2 có A B = A i B i + A 2 B 2 , A C = A i d + A 2 C 2 , B e = B 1 C 1 + B 2 C 2 , thì
s ; > 4 V S 1 S 2
Trang 1015.42 Cho A B C D là tứ giác lõi d i ệ n tích s Nêu góc giữa A B và C D b ằ i n g (CH ,
góc giữa A D và BC bằngỊ3 , thì
A B C D s i n « + A Ọ B C sin/? < 2S < A B C D + A D B C
15.43 Nêu tất cả các cạnh cùa một đa giác lôi được xê dịch ra phía n g o à i muội
khoảng bằng h, thì diện tích của nó sẽ được t ă n g lén một lượng bằng Ph -+ 7T'h , trong đó p là chu v i đa giác
15.44 N ế u một hình vuông được cắt ra t h à n h các hình chữ nhật thì tổrag d i i ẽ n
tích các hình tròn ngoại tiếp quanh các hình chữ nhật đó không nhỏ h ơ n dtíện t ích hình tròn ngoại t i ế p quanh h ì n h vuông ban đởu
15.45 N ê u t ấ t cả c á c đ ư ờ n g p h â n g i á c của tam giác n h ỏ hơn Ì, thù diiệ n
t í c h của nỏ n h ỏ h ơ n : a) 1; b) 1/V3
15.46 Tống d i ệ n tích của 5 tam giác tạo bởi các cặp cạnh kề nhau và các đ ư ờ n g
c h é o lương ứng cùa một ngũ giác lõi lớn hơn d i ệ n tích cùa cả ngũ giác
15.47 N ế u hai hình chữ nhật bằng nhau được xếp sao cho biên của c h ú n g cắt
nhau t ạ i 8 đ i ể m , thì d i ệ n tích phởn chung của c h ú n g lớn hơn một nứa d i ệ n Ì ích (Của
h ì n h chữ nhật
15.48 a) Trong mọi lục giác lôi d i ệ n tích s luôn tìm được đường c h é o cai ra
một tam giác có d i ệ n tích k h ô n g l ớ n han S/6
b) Trong mọi bát tam giác l ồ i d i ệ n tích s luôn tìm được đường c h é o cắn ra
một tam giác có d i ệ n tích k h ô n g l ớ n h ơ n S/8
§8 Diện tích Một hình nằm trong một hình khác
15.49 Bên tronii hình vuông cạnh Ì cho n đ i ể m Trong số các tam giác có d i n h
tại các diêm đó hay t ạ i các đ i n h của h ì n h vuông luôn có một tam giác có d i ệ n t í c h
k h ô n g vượt quá l / 2 ( n + 1)
15.50 Bên ư o n c hình vuông cạnh Ì cho n đ i ể m , trong số đó không có ba đ i ể m
nào thẳng hàng K h i đó luôn tìm được một tam giác có các đ i n h t ạ i các đ i ế m đ ó và
có d i ệ n tích k h ô n g vượt quá 1/n—2
15.51 N ê u một đa giác d i ệ n tích B n ộ i t i ế p trong đường tròn d i ệ n tích A và
ngoại tiếp quanh đường tròn d i ệ n tích c thì 2B < A + c
15.52 Trong h ì n h tròn bán k í n h Ì đặt hai tam giác có diện tích đ ề u lớn hơn Ì,
k h i đó hai tam giác đó sẽ phải cắt nhau