ĐẠI HỌC VINH THƯ VIỆN 516 220 76 PRA(l)/94 DT 002494 516 220 76 PRA(l)/94 DT 002494 v v PRAXOLOV CÁC BÀI TOÁN VẼ HĨNH HOC PHANG TẬP NHÀ XUẤT BẢN HÁI PHÒNG v v PRAXOLOV CÁC BÀI TOÁN VÈ HÌNH HỌC PHANG •[.]
Trang 1516.220 76
PRA(l)/94
DT 002494
516.220 76
PRA(l)/94
DT 002494
v v PRAXOLOV
CÁC BÀI TOÁN
VẼ HĨNH HOC PHANG TẬP
Trang 2v.v PRAXOLOV
CÁC BÀI TOÁN
VÈ HÌNH H Ọ C P H A N G
•
(GỒM 2 TẬP)
T Ậ P ĩ
Người dịch: H O À N G ĐỨC C H Í N H
N G U Y Ễ N Đ Ẻ
Hiệu đinh: P.T.S N G U Y Ễ N V I Ệ T H Ả I
Dùng cho học sinh khá và các lóp chuyên, cnợn
Là tài liệu tham khảo cho các thày giáo và sinh viên khoa toán bậc Cao đẳng và Oại học
Có nhiều dê thi chọn lọc quõc gia và quốc tẽ
N H À X U Ấ T B Ả N H Ả I P H O N G 1994
Trang 3LỜI NÓI ĐẦU (Trích lời tác già)
Tập bài tập này dùng cho học sinh cấp 2 va 3, các giáo viên phổ thông, cho các giáo viên dạy các lớp chuyên, chọn, cho sinh viên các trường đại học
và cao đáng sư phạm và cho tất cả những ai yêu thích hình học sơ cấp Trong tập bài tập này gôm nhiêu bài tập có nội dung và phương pháp giải dễ hiểu, độc đáo, đôi khi cao hơn mức độ bình thường cùa chương trình hình học phổ thông, ơ đáy có nhiêu bài toán đã được dùng để thi học sinh giỉi các cấp à các mức độ và thời gian khác nhau, nhiêu bài toán trong các tài liệu thi và bôi dương học sinh giỉi các cấp cùa nhiêu nước trên thế giới
Tập tài liệu %ôm 2 tập, mồi tập cỉ khoảng 600 Sai tập Nó không chỉ được coi là một tập tư liệu bài tập hình học sơ cốp, mà còn là một cuốn cám nang
đê tự bôi dưỡng, nâng cao thêm vê hình học
Dê giúp bạn đọc sứ dụng một cách dễ dàng, nhanh chóng tìm được các bài tập ức một đê tài nào đó còn quan tăm, cuốn sách được chia ra làm 29 chương mồi chương gôm từ 5 đến 10 mục nhỉ Cơ số đề chia ra như vậy lờ dựa rối nôi dung bài tập và nhất là dựa (lào phương pháp để giòi các bài tập hỉnh học- Trong mỗi mục các bài toán đưoc xếp từ đơn giản đến phức tạp Mồi c hương được bổi đàu bòng tóm tát một số kiến thức lý thuyết căn nám vững tít' giai toán l à một số bài toán mó đón • lò các bài toán đơn giản nhưng thìtờny hay được SỪ dụng đê giải các bài toàn khác phức tạp hơn Salt mỗi chứâhi có một su bài tạp đi' bạn đọc tự giải và lời giai (f'â\ đủ các bài tọp trong chương
v.v Praxolov
Trang 4LỜI NGƯỜI DỊCH
Bằng kinh nghiệm thực tiễn giảng dạy của bản thân, chúng tòi cho rằng cuốn Bài tập hình học phăng cua tác giả V V Praxolov là Ì tập tài liệu qui che các đối tượng đã nêu ờ lời nói đầu, nhất là cho giáo viên và học sinh chuyên chọn phổ thông Đây là một tập sách khống chớ là một "kho" tư liệu vê bài tập hình học phăng nhưng được phàn loại và sáp xếp rất có khoa học và trình bày trong sáng, rõ ràng nên có thể coi nó là một cuốn sổ tay hình học sơ cấp
để tra cứu, tham khảo đoi với giáo viên, để tự học, tự nâng cao đối với học sinh vê tất cả các mặt: kiến thức, nội dung, dạng bài và phương pháp giải
Nó cũng rất căn cho cá các giáo viên phổ thòng dạy lớp thường, các sinh viên đại học và cao đẳng sư phạm dù ng để học tập, để bói dương năng cao, tự mình thấy được cái đa dạng, phong phú vê thể loại, cái đẹp qua lời giải các bài toán hình, giúp mình gân gũi uàyẽu mến hình học hơn
Cuốn sách này gom 1318 bài toán cùa 29 chương trong đó có một số phần (một số chương, một số đê mục) còn ít tư liệu và tí được đê cập trong các tài liệu hiện có cho đối tượng phổ thông ở nước ta, như: vecto, biến hớnh, tọa độ, các phương pháp qui nạp hình học, nguyên tắc Diricle, phương pháp cực hạn, chia, cái, phủ, tổ hợp, trò chơi, và càng hiếm hơn vè áp dụng phép chiếu, biến đổi afin, biến đổi xạ ánh, phép nghịch đảo, điểm bất biến, sử dụng tô màu, tinh chẵn lẻ để giải bài toán hình Tập sách này có thể coi là nguồn bổ sung căn thiết và kịp thời giúp việc dạy và học hình học ỏ phổ thông được tốt hơn Phương pháp trình bày, sắp xếp cùa cuốn sách rất khoa học, hoàn chớnh,
dễ sử dụng và tính hiệu quả cao Người dịch đã hết sức cố gắng thể hiện ý tưởng đó, nhitng do khả năng có hạn nôn không tránh khói thiếu sót Rất mong ý kiến chớ bảo cùa độc giả Thư góp ý xin gửi về phòng PTTH sà
Giáo dục - Dào tạo Hải Phòng
Trang 5Chương I
T A M GIÁC ĐÒNG DẠNG
C Á C K I Ế N T H Ứ C C ơ BÀN
1 Tam giác A B C đ ô n g d ạ n g v ớ i tam giác A i B i C i ( k í h i ệ u A A B C _ AA1B1C1)
k h i va chi k h i thỏa m ã n m ộ t trong các đ i ề u k i ệ n t ư ơ n g đ ư ơ n g sau :
a) A B B C : C A = A1B1 : B i d : C1A1
b) A B : B e = A1B1 : B i C i và A B C = A1B1C1
c) A B C = A1B1C1 và B Á C = B i A i d
2 Nêu c á c đ ư ờ n g t h ẳ n g song song cắt ra k h ỏ i g ó c đ i n h A các tam giác AB1C1
và AB2C2, t h ì c á c tam g i á c đ ó d õ n g d ạ n g và A B i : A B 2 = A C i : AC2 (các đ i ế m
B i và B2 nằm t r ê n một cạnh cùa góc, C i và C2 nằm t r ê n cạnh kia)
3 Đ ư ờ n g trung b i n h của tam giác là đ o ạ n t h ẳ n g n ố i trung đ i ể m hai cạnh của
nó Đ o ạ n thẳng đ ó song song v ớ i cạnh t h ứ ba và bằng nửa đ ộ dài của nó
Đường trung bình của h ì n h thang là đoạn thẳng n ố i trung đ i ể m các cạnh bên của hình thang Đ o ạ n thẳng đ ó song song với các đáy và bằng nửa tổng đ ộ dài của chúng
4 T i sô d i ệ n t í c h của các tam giác đỏng dạng bằng bịnh p h ư ơ n g t i số đ ô n g dạng,
tức là bằng b ì n h phuong t i số đ ộ dài các cạnh t ư ơ n g ứ n g Đ i ê u đ ó đ ư ợ c ổóiy ra,
c h ẳ n g h ạ n , t ừ c ô n g t h ú c
1
S A B C = A B A C sinA
2
5 Da gịắc A i A 2 A n đ ư ợ c g ọ i là đ ồ n g d ạ n g v ớ i đ a g i á c B1B2 B
A 1 A 2 : A 2 A 3 : : A n A i = B1B2: B2B3: : B n B i và các góc thuộc các đ i n h A i , , A n
tương ứng b ằ n g các góc thuộc c á c đ i n h B i , , B n
T i sỗ các đ ư ờ n g c h é o t ư ơ n g ứng của các đa giác đ ô n g dạng bằng t i sỗ đ ô n g dạng; dối v ớ i các đ a giác đ ồ n g dạng ngoại t i ế p t h ì t i sỗ b á n k í n h cùa các đường tròn n ộ i
l i ế p cũng bằng t i số đ ồ n g dạng
Trang 6CÁC BÀI TOÁN M Ở ĐẦU
1 Chứng minh rằng các đường trùng tuyến của tam giác đông quy tại một điểm
và bị chia bởi điểm đó theo t i số 2 : Ì tính từ đinh
2 Trên cạnh BC cùa A Aốc lấy điếm A i sáo cho B Ấ i : ẤiC = 2 : 1 Hỏi dường
trung tuyển CCi chia đoạn thắng A A i theo l i số nào ?
3 Trong tam giác nhọn ABC kẻ các đường cao ÁAi và BBi Chứng minh rằng
AiC : BiC = AC : Be
4 Đuơng phân giác AD của Á ABC cắt đuờng tròn ngoại tiếp t ậ i điểm p Chứng
minh rằng A ABP _ A BDP
5 Trong A ABC nội tiếp mộtiiình vuông sao cho một cạnh của hình vuông nằm
trên cạnh Be, còn hai đinh còn lại của hình vuông nằm trên các cạnh AB và AC
Tính cạnh của hình vuông, nêu biết độ dài cạnh Be và đường cao hạ xuongflc
§1 dè đoạn thẳng nằm giữa các đường thẳng song song
1.1 Các đáy của hình thang bằng a và b
a) Tính độ dài của đoạn thắng định bởi các dugng chéo trên dường trung bình
b) Tính độ dài của đoạn thắng định bởi các cạnh bên của hình thang trôn
đường thắng đi qua giao điếm các đường chéo và song song với cádacy
1.2 Chứng minh rằng các trung điểm của các cạnh của một tứ giác bất kì là các
đinh của một hình binh hành Đối với các tứ giác nào thì hình bình hành đó là hình
chữ nhật, hình thoi, hình vuông ?
1.3 Các điếm A i và Bi chia các cạnh Be và AC theo các t i sỗ B A I : A i C =
= 1 : p và A B i : BiC = Ì : q H ỏ i đoạn thắng A A i bị chia bởi đoạn thắng BBi
theo ti sỗ nào ?
' Ì 1.4 Trên cạnh A D của hình bình hành ABCD lấy điếm p sao cho ÁP = - AD; <
n
Q là giao điếm của các đường thắng AC và BP Chứng minh rằng AQ = —-— AC
n + Ì
1.5 Một trong các đường chéo của tứ giác nội tiếp trong đường tròn là đường
kính của đường tròn đó Chứng minh rằng các hình chiêu của các cạnh đ ỗ i nhau
lên đường chéo kia bằng nhau
Trang 71.6 Các đ i ể m A và B d i n h t r ê n đuờiỊg t r ò n tâm o một cung có số do 6 0 ° T r ê n
cung d ó láy một đ i ể m M Chứng m i n h rằng đường thẳng đi qua trung đ i ề m của các
đ o ạ n thẳng M Ạ và OB v u ô n g góc v ớ i đường thẳng đi qua trụng đ i ể m của các đoạn thẳng M B vá O A
1.7 Trong h ì n h chữ nhật A B C D đ i ể m M
là (rung đ i ể m của cạnh A D , N là trung điểm của
cạnh BC T r ê n phần kéo dài cùa đoạn thẳng CD
vè phía D lây m ộ i diêm p K i hiồu giao điểm của
các đường than? PM và A C là Q Chứng minh
r ằ n g Q N M = MNP (hình 1)
1.8 Các đường kính A B và CD của t ương
t r ò n s v u ô n g góc với nhau Dây cung E A cài
đ ư ờ n g k í n h C D tại đ i ể m K, dây cung EC r ắ t
d ư ờ n g k í n h A B t ạ i điểm L Chứng m i n h rằng
n ế u CK : K D = 2 : 1 thì A L : L B = 3 : 1
§ 2 T ỉ s ố c á c c ạ n h c ù a c á c tam giác đ ồ n g d ạ n g
1.9 B E là đường p h â n giác của góc B trong Hình Ì
A A B C (hay đ ư ờ n g phân giác ngoài của góc B)
v ớ i E là đ i ể m t r ê n đường thẳng A C Chứng minh rằng A B : BC = A E : EC
1.10 C á c đường c h é o của tứ giác A B C D cắt nhau t ạ i đ i ể m o Chứng minh rằng
A O B O = C D D O k h i và chi k h i B C I I A D
1.11 Đ i ể m H là trực t â m của A A B C ; A i , B i , C i là c h â n của các đường cao
A A i , B B i , C C i Chứng minh rằng A H A i H = B H B i H = C H C i H
1.12 C á c đ i ể m M và K nằm t r ê n c á c cạnh A B và BC của Á A B C ; các đoạn thẳng
A K và C M cắt nhau t ạ i đ i ể m p B i ế t rằng các đoạn thẳng A K và C M bị chia b ớ i
đ i ể m p theo t i số 2:1 tính từ đ i n h Chứng m i n h rằng A K và C M là các đường trung tuyên của tam giác
1.13 X u ố n g các cạnh BO và C D của h ì n h b ì n h h à n h A B C D (hay xuống c á c
p h ầ n k é o d à i của c h ú n g ) hạ các đ ư ờ n g v u ô n g góc A M và A N C h ứ n g minh r ằ n g
À M A N _ ầ A B C
1.14 Qua m ộ t đ i ế m p bất kì t r ê n cạnh A C của A A B C ké các đường thẳng song song v ớ i c á c đ ư ờ n g trung tuyển A K và C L , cắt các cạnh BC và A B t ạ i các đ i ể m E
và F t ư ơ n g ứng Chứng minh rằng c á c đ u ờ n g trung tuyên A K v a C L chia đoạn thẳng
E F t h à n h ba phần bằng nhau
Trang 81.15 G i ả sử hai cạnh và hai góc của m ộ i tam giác bằng hai cạnh và hai góc của
m ộ t (am giác khác C ó t h ể két luận các tam giác đ ó bằng nhau dược H a y không ?
1.16 G i ả sử B là trung đ i ể m của đoan thẳng A C Các đ i ể m D và E nằm ve một
phía so với dường thẳng A C và A D B = E B C , D A B = B C E Chứng minh rằng
B D E = A D B
1.17 T r ê n đường p h â n giác của một góc vuông lẩy diêm p Qua n ó kẻ một (luông
Ihẳng bát kì đ ị n h ra trên các cạnh của góc các đoạn thẳng dài a và b Chứng minh rằng d ạ i lượng - + khôni! phừ thuộc vào đường thẳng đ ó
a b
1.18 G i ả sử ra, I"b, Te là bán kính các dường tròn bàng t i ế p của A A B C , tiếp xúc
với các cạnh Be, CA, A B t ư a n e ứng, r là bán kính đường tròn n ộ i t i ế p , s và p là
diện lích và nửa chu vi của tam giác ABC Chứng minh rằng :
a) S = ( p - a ) ra
b) — + — + — = -
ra rb rc r
1-19 T r ê n cạnh BC của lam niác đ ê u A B C n h ư t r ê n đường kính vê phía ngoài
dựng nửa dường t r ò n , t r ẽ n (ló lay các đ i ể m K và L chia nửa đ ư ờ n g tròn ra t h à n h các cung bằng nhau Chứng minh rang các đ u ừ n g thẳng A K và A L chia đoạn thẳng
B C ra t h à n h các p h â n bằng nhau
1.20 Đ i ế m o là tâm (lường t r ò n n ộ i t i ế p của A A B C T i ê n các cạnh A C và BC
chọn các đ i ể m M và K tương ứng sao cho B K A B = B O2 và A M A B = A O2 Chứng minh rằng các đ i ể m M , o và K thẳng h à n g
1.21 Đ ộ dài hai cạnh của một tam giác bằng 10 và 15 Chứng m i n h rằng độ dài
đường p h â n giác của góc giữa chung k h ô n g l á n hơn 12
1.22 Chứng minh rằng giao đ i ể m của các đường chéo, giao đ i ể m các phân k é o
dài của các cạnh b ê n và trung đ i ế m các đáy của một hình thang bát kì nằm t r ê n
c ù n g một đường thẳng
1.23 Trong một h ì n h thang giao đ i ể m các đường c h é o nằm cách đ ê u các đường
thẳng chứa các cạnh b ê n Chứng minh rằng h ì n h thang đó cân
1.24 Đường thẳng Ì cắt các cạnh A B và A D của h ì n h b ì n h h à n h A R C D t ạ i các
đ i ể m E và F tương ứng G i ả sử G là giao đ i ể m của đường thẳng Ì v ớ i đường c h é o
™ - • K * A B A D _ A C
A C Chứng minh rang — H = ——
A E A F A G
Trang 91.25 G i ả sử AC là dường c h é o lởn him của hình bình h à n h A B C D T ừ (liếm c
xuống p h â n kéo dài của các cạnh A B và A D hạ các dường vuông góc C E va CF
C h ứ n g m i n h rằng A B A E + A D A F = A C2
L.26 Đoạn thẳng B E chia A A B C ra (hành hai tam giác dồng dạng, đòn lí thời l i sô
đồng dạng bằng Vĩ Tính các góc của A ABC
* § 3 T ỉ s ố diện tích của các tam giác đồng dạng
1.27 Qua một điềm nào đ ó nằm trong tam giác kỏ ba dường thẳng soniĩ sontí với cạnh của nó Các (luông thẳng này chia tam giác ra thành sáu p h â n ironn sò ứỏ
có ba lam giác với các diện tích là S i , S 2 , Sĩ T í n h d i ệ n tích của lam giác đã cho
1.28 T r ê n cạnh A C của A A B C lây một đ i ế m E Qua đ i Ị m E kỏ (luông t hắn a
D E song son^ với cạnh BC và duờne thắm; E F sòm; song với cạnh A B ( D và E lít
các đ i Ị m t r ê n các cạnh) Chứnc m i n h rằng S I J D E F = 2 V S A D E - S[=FC
1.29 Qua một điỊm nằm trong tam giác cho trước kẻ ba (luông thẳng song song với
các cạnh của nó Các duờne thẳng này chia tam giác ra Ihành sáu phân trong số đó cố
ba h ì n h bình hành với các diện tích S i ' Sì, Sỉ' Tính diện tích của tam giác
1.30 T r ê n các cạnh của h ì n h vuóntỊ A B C D d i ệ n tích s lây các đ i Ị m K, E M , H
( K n e n A B , V A ' ) sao tho A K = BE = C M = D H = - A B T í n h d i ệ n tích tứ giác
4
uiới hạn bởi các d u ủ n ẹ thằne A E , B M , C H và D K
§ 4 Các tùm giác phụ bang nhau
1.31 Cạnh góc vuông Be của tam giác vuông A B C (góc c vuông) bị chia b ở i
các d i ố m D và E ra t h à n h ba phần bằng nhau CTúrniỉ minh rằng nêu B C = 3AC, thì tổng các góc A E C , A D C và A B C bằng 9 0 °
1.32 Đ i ế m •' ỉa truno đ i Ị m cạnh A B cùa hình vuông A B C D , còn diêm L chia
dirừng c h é o AC ihco t i sỏ A L : L C = 3:1 Chứng minh rằng góc K.LD vuông
1.33 Các tam tỊiác vuông cân A B C và C D E vói c á t đinh góc vuông B và D cho trước t r ê n mặt phẳnỏ có dinh churl!" c (dnng t h ờ i các chiêu quay t ừ A B đ ẽ n BC và
từ C D đ e n D E là n h ư nhau) C h ư n g minh pinn vị t r í trung đ i Ị m của đ o ạ n thẳng
A E k h ô n g phụ thuộc vào vị t r í d i ê m c
1.34 a) Trên các cạnh BC và C D của hình vuông A B C D dựng về p h í a ngoài các
lam giác đ ê u BCK và D C L Chứng minh rằng A A K L đêu
b) T r ê n các t ạ n h BC và C D t ủ a h ì n h bình h à n h A B C D dựng vệ phía ngoài các lam giác- (lêu BCK và D C L Chứng minh rằng A A K L đêu
Trang 101.35 B ê n trong h ì n h v u ô n g ; A B C D lẩy đ i ể m p sao cho
1.36 Trên các cạnh góc vuông C A và C B của tam giác vuông cân A B C lẫy các điểm D và E tương ứng sao cho C D = CÊ Phần kéo dài của các đường vuông góc
hạ từ các điểm D và c xuống đường thẳng AE cắt cạnh huyên AB tương ứng tại các điểm K và L Chứng minh rằng KL = LB
1.37 Bôn trong A A B C lẫy điểm p sao cho P A C = P B C Từ điểm p xuống các cạnh Be và C A hạ các đường vuông góc PM vá P K tương ứng G i ả sử D là trung điểm của cạnh A B Chứng minh rằng D K = DM
§5 Áp dụng các tính chựt của góc nội tiếp đ ể c h ú n g minh các tam giác đồng dạng 1.38 Trên đoạn thẳng A B như trên đường kính dựng một nửa dường tròn Đường thẳng Ì tiếp xúc với nửa đường tròn đó tại điểm c Từ các điểm A và B xuống dường thẳng Ì hạ các đường vuông góc A M và B N G i ả sử D là hình chiếu của điểm c lên A B Chứng minh ràng C E T = A M B N
1.39 Cho hai đường tròn cắt nhau tại các điểm A và D A B và C D là các tiếp tuyên của đường tròn thứ nhựt và thứ hai (B và c là các điểm trên các đường tròn)j
Chứng minh rang —— =
1.40 Cho hình bình hành A B C D với góc ở đinh A nhọn Trên các tia A B và
C B đặt c á c đ i ể m H và K t ư ơ n g ứng sao cho C H = Be và A K = A B Chứng minh rằng:
a) D H = D K
b) A D K H _ A A B K
1.41 Trên cung Be của dường tròn ngoại tiếp quanh tam giác đều A B C lẫy một điểm p bựt kì Các đoạn thẳng Á P và B C cắt nhau tại Q Chứng minh rằng
PQ PB PC
1.42 A B là đường kính của đường tròn S i , A là tâm của đường tròn S2 Các đường tròn này cắt nhau tại các điểm c và D Qua điểm B kẻ đường thẳng cắt đường tròn S2 tại diêm M nằm trong đường tròn S i , còn đường tròn Si - tại điểm N C h ó n g