VMO VŨNG TÀU 2022 - Giải tích 12 - QUÊ HƯƠNG - Thư viện Đề thi & Kiểm tra

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HSG QUỐC GIA ĐỒNG THÁP NĂM HỌC 2021 2022 Đề chính thức Môn TOÁN ( CHUYÊN) (15/9/2021) Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian phát đề) Tên TRƢƠNG QUANG AN Địa chỉ[.]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HSG QUỐC GIA

ĐỒNG THÁP

NĂM HỌC 2021 - 2022

Đề chính thức

Môn: TOÁN ( CHUYÊN) (15/9/2021)

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Tên: TRƯƠNG QUANG AN

Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi

Điện thoại : 0353276871

Bài 1 (4,0 điểm)

a) Cho P(x) và Q(x) là hai đa thức có bậc không quá 2020 và thoả

( ) ( 2) ( ) 1,

b) Tìm tất cả bộ ba số thực dương (x,y,z) thoả mãn hai điều

Bài 2 (3,0 điểm) Cho dãy số (x n)xác định

bởi x1 0, x2  1và 2

1

1 , 2

n n

x







hữu hạn và tính giới hạn đó

Bài 3 (5,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn

a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN và đường tròn đường

kính AL tiếp xúc với nhau

b) Tiếp tuyến tại D của đường tròn đường kính AL cắt EF tại K Chứng

minh KH=KD

Bài 4 (5,0 điểm)

a) Cho hàm số f :  thoả mãn f x( y)  f x( ) y f f x ( ( ))với mọi số thực x,y

b) Cho các số nguyên dương a,b,c phân biệt Chứng minh tồn tại số nguyên n sao cho a+n, b+n, c+n là các số đôi một nguyên tố cùng nhau

Bài 5 (3,0 điểm) Trên mặt phẳng ta vẽ 3333 đường tròn đôi một khác nhau và có

bán kính bằng nhau Chứng minh rằng luôn chọn ra được trong số đó 34 đường tròn mà các đường tròn này đôi một có điểm chung hoặc đôi một không có điểm chung

- HẾT -

(Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay)

Bài 2.Tìm tất cả bộ ba số thực dương (x,y,z) thoả mãn hai điều

Giải.Với điều kiện xy+yz+zx+xyz=4 thì tồn tại các số dương a,b,c sao cho

6

a a b c b a b c c a b c

a b a c b c b a c a c b

VT

          

đây ta sẽ chứng minh

VP

          

          

uy đồng thì thu được bất đẳng thức trên tương đương với

(9ab bc 4ca a)(   b c) 36abc.Bất đẳng thức này luôn đúng vì theo bất đẳng thức Cauchy thì

abbc ca a  b c ab  bc ca  a     abc

   

    Dấu

5

x y z   

Bài 3 Cho các số nguyên dương a,b,c phân biệt Chứng minh tồn tại số

nguyên n sao cho a+n, b+n, c+n là các số đôi một nguyên tố cùng nhau

Giải.Không mất tính tổng quát, giả sử a>b>c

Đặt u=[a−b,a−c]

Nhận thấy nếu chọn nn sao cho n≡1−a(modu) thì (n+a,n+b)=(n+a,n+c)=1

Còn nếu chọn n sao cho n≡1−b(modb−c) thì (n+b,n+c)=1

Do đó ta chỉ cần chọn n thoả mãn hệ phương trình đồng

1

1

n a modu

n b modb c

 





Đặt (a b a ,  c) d2.Tồn tại x,y:(x,y)=1 sao cho a b d x a2 ;  c d y2 Khi

đó b c d y2( x u);  xyd2

Suy ra ( ,u b c ) d y2( x xy, )d2nên a−b⋮(u,b−c)

     Theo định lý Thặng dư Trung Hoa hệ phương trình đồng dư (∗) có nghiệm.Vậy ta có đpcm

Bài 3 Cho tam giác ABC nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn tâm O và có các

a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN và đường tròn đường

kính AL tiếp xúc với nhau

b) Tiếp tuyến tại D của đường tròn đường kính AL cắt EF tại K Chứng

minh KH=KD

Giải.a) Gọi O là tâm đường tròn Euler của ΔABC.Khi đó c A O A thẳng hàng.Ta , c, 1

có

1

c

M O MD ME MH MC M O

của (O c),(O1).Tương tự N nằm trên trục đẳng phương của (O c),(O1)nên MN là trục đẳng phương của (O c),(O1)

Suy ra MN⊥AL.Kẻ tiếp tuyến d tại D của (DMN).Ta

có ( ,d DA)( ,d DN)(DN DA, )(MD MN, )(DN DA, )

(DA AL, ) (DL DA, ) (LD LA, ) (mod )

xúc với (HMN)(HMN)

MN cắt AH tại Q.EF cắt AH tại T.Qua H kẻ đường thẳng song song

với MN cắt EF tại K′

HD HD TQ HD TQ LD

khác (TQ HD, )G TQ HD( , )G EN HB( , )F EN HB( , )F TD HA( , ) 1

DQ TH

DT QH

DH TQ

2

HD  LD

của (AL)

Vậy K′≡K hay KKD=KH.Hình gửi kèm

