HÌNH HỌC KHÔNG GIAN_QUAN HỆ VUÔNG GÓC. - Hình học 11 - Võ Nhật Tuân - Thư viện Đề thi & Kiểm tra

Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian QUAN HỆ VUÔNG GÓC Câu 1 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giácvvuông tại C, a) Chứng minh rằng b) Gọi E là hình chiếu vuông góc của A trên SC Ch[.]

QUAN HỆ VUÔNG GÓC.

Câu 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giácvvuông tại C, SA(ABC)

a) Chứng minh rằng: BC (SAC)

b) Gọi E là hình chiếu vuông góc của A trên SC Chứng minh rằng: AE (SBC)

c) Gọi mp(P) đi qua AE và vuông góc với (SAB), cắt SB tại D Chứng minh rằng: SB( )P

d) Đường thẳng DE cắt BC tại F Chứng minh rằng: AF (SAB)

Giải: a) Ta có: BC  AC gt ( ) (1)

Mặt khác, vì ( )

(2)

SA ABC

SA BC

BC ABC



Từ (1) và (2) suy ra: BC(SAB)

b) Ta có: AE  SC (3) (gt)

Theo a) BC  ( SAB )  AE  BC (4)

Từ (3) và (4) suy ra: AE(SBC)

c) Ta thấy: ( ) ( P  ADE )

Theo b) AE  ( SBC )  BC  AE (5)

Trong mp(ADE) kẻ EH  AD H ,  AD Vì

ADE SAB

ADE SAB AD EH SAB SB EH

EH AD





Từ (5) và (6) suy ra: SB (ADE) hay SB ( )P

(7)

SA ABC

AF SA

AF ABC



Theo c) SB  ( ADE )  AF  SB (8) Từ (7) và (8) suy ra: AF (SAB)

F

C

S

B A

E D

H

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB là tam giác đều,

( SAB ) (  ABCD ) Gọi I, F lần lượt là trung điểm của AB và AD Chứng minh rằng: FC  ( SID ) Giải: Ta có:

( )

(1)

SI AB

SAB ABCD SI ABCD

SI SAB

SI CF





Mặt khác, xét hai tam giác vuông ADI và

DFC có: AI=DF, AD=DC Do đó,

AID DFC

  từ đó ta có:

 

 

 

 



1 1

0

0

1 2

0

90 90

90

I F

I D

FHD









Hay CF  ID (2)

Từ (1) và (2) suy ra: FC  ( SID )

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, SA(ABCD),

AD=2a, AB=BC=a Chứng minh rằng: tam giác SCD vuông

Giải: Ta có:

(1)

SA ABCD

SA CD

CD ABCD



+ Gọi I là trung điểm của AD Tứ giác

ABCI là hình vuông Do đó,  ACI  450(*)

Mặt khác, CID là tam giác vuông cân tại

I nên: BCI   450 (*)

Từ (*) và (**) suy ra:  ACD  900 hay

AC CD (2)

H F

I

D

S

A

C B

2

2

1

I

B

A

C

D I

A S

Câu 4: Cho hình chóp đều S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, E là điểm đối xứng của D qua trung

điểm SA Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và BC CMR: MN BD

Giải: Gọi I, P lần lượt là trung điểm của AB và

SA, O là giao điểm của AC và BD

Ta có: / /

(1)

IN AC

BD IN

AC BD





Mặt khác, / /

/ / (*) / /

IM BE

IM PO

BE PO









Mà POBD(**) (vì: BPD là tam giác cân tại

P và O là trung điểm của BD)

Từ (*) và (**) ta có: BDIM(2)

Từ (1) và (2) ta có: BD  ( IMN )  BD  MN

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAD đều, ( SAD ) (  ABCD ) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC và CD Chứng minh rằng: AM  BP

Giải: Gọi I là giao diểm của AN và BP, H là trung

điểm của AD, K là giao điểm của AN và BH

Xét hai tam giác vuông ABN và BCP có: AB=BC,

BN=CP Suy ra, ABN BCP

BAN CBP ANB BPC

BAN  ANB   CBP ANB   hay

AN BP (1)

Vì ∆SAD đều nên:

SH AD

SAD ABCD SH BP

BP ABCD





Mặt khác, tứ giác ABNH là hình chử nhật nên K là trung điểm của HB hay MK / / SH (**)

Từ (*) và (**) suy ra: BP  MH (2)

Từ (1), (2) suy ra: BP  ( AMN )  BP  AM

P

N

M E

D

C B

A S

K

P

M

N

B

S

A

D A

S

Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là

hình thoi , SA=SC Chứng minh rằng:

( SBD ) (  ABCD )

Giải:+ Ta có: AC BD (1) (giả thiết)

A và O là trung điểm của AC nên SO là đường

cao của tam giác)

+ Từ (1) và (2) suy ra: AC  ( SBD )mà

AC  ABCD nên ( SBD ) (  ABCD )

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, AD a  2, SA(ABCD) Gọi M là trung điểm của AD, I là giao điểm của AC và BM Chứng minh rằng: (SAC) ( SMB)

Giải:

+ Ta có: SA  ( ABCD )  SA BM  (1)

+ Xét tam giác vuông ABM có:



tan AMB AB 2

AM

  Xét tam giác vuông

tan

2

CD CAD

AD

  Ta có:



0

0

90

AMB CAD

AIM

Hay BM AC (2)

+ Từ (1) và (2) suy ra: BM  ( SAC ) mà BM (SAC) nên (SAC) ( SMB)

Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là

hình thoi cạnh a, SA a  3, SA BC  Tính

góc giữa hai đường thẳng SD và BC?

O

C

B A

D S

I

S

A

C B

Giải: Ta có: BC//AD và / /  0

90

BC AD

SAD

SA BC





  Do đó, ( SD BC , ) (  SD AD , )  SDA 

Xét tam giác vSAD vuông tại A ta có: tan SDA  SA 3 SDA  600

AD

Vậy góc giữa hai đường thẳng SD và BC bằng 600

Câu 9: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại

A, AB a AC a  ,  3 Hình chiếu vuông góc của A’ lên mp(ABC) là trung điểm của BC Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’?

Giải: Gọi H là trung điểm của BC

Ta có:

'/ / '

( ', ' ') ' '/ /

( ', )

AA BB

AA B C

B C BD

BB BD









Hay, 

cos( ', ' ') cos( ', )

cos '

AA B C BB BD

HBB

Xét tam giác A’B’H có A' 90 , ' ' 0 A B a,

2 2

2

A H AA AH

BC

 

 

,

HB  A H A B  a

Do đó, 

2 '2 '2 1 cos '

BH BB HB HBB

BH BB

cos( ', ' ') cos '

4

AA B C  HBB 

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là

hình vuông cạnh a, ( SAB ) (  ABCD ), H là trung

điểm của AB, SH=HC, SA=AB Tính góc giữa

đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD)

I

H

C'

B' C

B A

A'

a H

D

A S

Giải: + Ta có: 1

,

a

AH  AB  SA AB a  , 2 2 5

2

a

SH  HC  BH  BC 

Vì

2

4

a

SA AH  AH nên tam giác SAH vuông tại A hay SAAB mà ( SAB ) (  ABCD )

Do đó, SA(ABCD) và AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mp(ABCD)

+ Ta có: ( SC ABCD ,( ))  SCA  ,  2

tan

2

SA SCA

AC

  Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng

(ABCD) là góc có tang bằng 2

2 .

Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy,

6

SA a  Tính sin của góc giữa:

a) SC và (SAB)

b) AC và (SBC)

Giải:

a) Ta có: BCAB (gt) và SA BC (vì

SA ABCD ) BC(SAB) do đó: SB là

hình chiếu vuông góc của SC trên mp(SAB)

 ( SC SAB ,( )) BSC



sin( ,( )) sin

2 4

SC SAB BSC

SC SA AC



b) + Trong mp(SAB) kẻ AH SB (H SB)

Theo a) BC  ( SAB )  AH  BC nên

AH  SBC hay CH là hình chiếu vuông góc

của AC trên mp(SBC)  ( AC SBC ,( ))   ACH

+ Xét tam giác vuông SAB có: 1 2 12 12 72 6

.

AH  AB  SA  a  

sin( ,( )) sin

7

AH

AC SBC ACH

AC

D

A S

H

Câu 12: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a.

Tính số đo của góc giữa (BA’C) và (DA’C)

Giải: + Kẻ BH  A C ' , (H A'C)  (1)

+ Mặt khác, ta có: BDAC (gt),

AA  ABCD  AA BD

BD ACA BD A C

Từ (1) và (2) suy ra:

A C  BDH  A C  DH Do đó,

(( BA C ' ),( DA C ' )) (  HB HD , )

+ Xét tam giác vuông BCA’ có:

' 2

0 2

BH BD

BH



    Vậy (( BA C ' ),( DA C  ' )) 600

Câu 13: Cho hình chóp đều S.ABC, đáy ABC có cạnh bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc α Tính

( ,( ))

d A SBC theo a và α.

Giải: + Gọi I là trung điểm của BC.

+ Ta có: SI BC BC (SAI)

AI BC



  và SIA  

+ Kẻ AH SI (H SI) mà SI  ( SAI ) (  SBC ) nên

AH  SBC Do đó, d A SBC ( ,( ))  AH

+ Mặt khác, xét tam giác vuông AHI có:

3 sin sin

2

a

AH  AI   

2

a

d A SBC  AH  

I A

B

C

S

H

C' B'

D'

C A'

B

H

Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA(ABCD), SA=2a,

a) Tính d A SBC( ,( ))

b) Tính d A SBD( ,( ))

Giải: a) Kẻ AH  SB (H SB) (1) 

Ta có: SA  ( ABCD )  SA BC  (*) và

(gt) (**)

AB  BC Từ (*) và (**) suy ra:

( ) BC AH (2)

BC  SAB  

Từ (1) và (2) ta có: AH (SBC) hay

( ,( ))

d A SBC  AH

+ Mặt khác, xét tam giác vuông SAB có: 1 2 12 12 52 2

a AH

AH  AB  SA  a   .

( ,( ))

5

a

d A SBC 

b) Gọi O AC BD

Kẻ AK  SB (K SO) (1) 

Ta có: SA  ( ABCD )  SA BD  (*) và AC  BD (gt) (**) Từ (*) và (**) suy ra:

( ) BC AK (2)

BD  SAC  

Từ (1) và (2) ta có: AK  ( SBD ) hay d A SBD ( ,( ))  AK

+ Mặt khác, xét tam giác vuông SAO có: 1 2 1 2 12 92 2

a AK

AK  AO  SA  a   .

( ,( ))

3

a

d A SBD 

O

D

C B

A S

Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều,

( SAB ) (  ABCD ) Gọi I, F lần lượt là trung điểm của AB và AD Tính d I SFC( ,( ))

Giải: Gọi K FCID

+ Kẻ IH  SK (H K) (1) 

+ Ta có:

( )

SAB ABCD

SAB ABCD AB

SI ABCD

SI SAB

SI AB







(*)

SI FC

+ Mặt khác, Xét hai tam giác vuông AID và DFC có: AI=DF, AD=DC Suy ra, AIDDFC

AID DFC ADI DCF

   mà  AID ADI    900   DFC ADI    900 hay FCID (**)

+ Từ (*) và (**) ta có: FC  ( SID )  IH  FC (2) Từ (1) và (2) suy ra: IH (SFC) hay

( ,( ))

d I SFC IH

+ Ta có:

3 5 10

DK DC DF a a

IK ID DK

a IH

IH  SI  IK  a   Vậy,

3 2 ( ,( ))

8

a

d I SFC 

Câu 16: Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’,

ABCD là hình chữ nhật,

AB a AD a   Hình chiếu vuông

góc của A’ trên (ABCD) trùng với giao

điểm của AC và BD Tính

( ',( ' ))

d B A BD

Giải: + Gọi O là giao điểm của AC và

BD

K F

I

C

S

B

H

C' B'

D'

O

C B

D A

A'

H

I

M

B

S

D

A C

H

Vì B’C//A’D nên B’C//(A’BD) Do đó, d B A BD ( ',( ' ))  d B C A BD ( ' ,( ' ))  d C A BD ( ,( ' ))+ Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ CH  BD , (H BD) (1)  Mặt khác, ' ( )

' (2)

A O ABCD

A O CH



Từ (1) và (2) suy ra: CH ( 'A BD) d B A BD( ',( ' ))CH

+ Xét tam giác vuông BCD có: 1 2 12 12 42 3

a CH

CH  BC  CD  a   .

( ',( ' ))

4

a

d B A BD  CH 

Câu 17: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A,  ABC  300, SBC là tam giác đều cạnh a, (SBC) ( ABC) Tính d C SAB( ,( ))

Giải: + Trong mặt phẳng (ABC) vẽ hình chữ

nhật ABDC Gọi M, I, J lần lượt là trung điểm

của BC, CD và AB Lúc đó, CD//(SAB) hay

( ,( )) ( ,( )) ( ,( ))

d C SAB  d CD SAB  d I SAB +

Trong mặt phẳng (SIJ) kẻ

, (H SJ) (1)

IH SJ 

Mặt khác, ta có:

IJ AB

SM ABC AB SM

AB SIJ AB IH



Từ (1) và (2) suy ra: IH  ( SAB ) hay d C SAB ( ,( ))  IH

SIJ

SM IJ

S IH SJ SM IJ IH

SJ

0

.sin 30

2

a

IJ  AC BC   , 3

2

a

4

a

SJ  SM  MJ 

13

SM IJ a IH

SJ

( ,( ))

13

a

d C SAB 

Câu 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB=AD=a, CD=2a,

SD ABCD , SD=a

B

M

A

S

H

a) Tính d D SBC( ,( ))

b) Tính d A SBC( ,( ))

Giải: Gọi M là trung điểm của CD, E là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC.

a) Trong mặt phẳng (SBD) kẻ DH SB, (H SB) (1)

2

BM  AD  CD  Tam giác BCD vuông

tại B hay BCBD (*) Mặt khác, vì

SD  ABCD  SD  BC Từ (*) và (**)

ta có: BC  ( SBD )  BC  DH (2) Từ (1) và (2)

suy ra: DH  ( SBC ) hay d D SBC( ,( ))DH

+ Xét tam giác vuông SBD có:

a DH

DH  SD  BD  a  

( ,( ))

3

a

d D SBC 

( ,( )) ( ,( ))

d A SBC d d SBC

( ,( ))

3

a

d A SBC 

Câu 19: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA=3a, BC=4a,

( SBC ) (  ABC SB ),  2 a 3, SBC  30 Tính d B SAC( ,( ))

Giải: + Trong mặt phẳng (SBC) kẻ SM  BC (M BC)  ; trong mặt phẳng (ABC) kẻ

(N C)

MN  AC  A ; trong mặt phẳng (SMN) kẻ MH  SN (N  SN ) Suy ra,

MH  SAC  d M SAC  MH

M B

C

A

S

N H

+ Ta có: SM  SB sin300  a 3,

0

.cos30 3

BM  SB  a  CM  a,

5

AB CM a

MN

AC

  Xét tam giác vuông SMN có:

3 ( ,( ))

28

a MH

a

d M SAC

+ Mặt khác, ta có:

( ,( ))

4 ( ,( ))

6 ( ,( )) 4 ( ,( ))

7

d B SAC BC

d M SAC MC

a

d B SAC d M SAC

( ,( ))

7

a

d B SAC  .

Câu 20: Cho tứ diện ABCD có AB=a, tất cả các cạnh còn lại bằng 3a Tính d AB CD ( , )

Giải:

+ Gọi I, J lần lượt là trung điểm của CD và AB

+ Vì ACD và ACD là các tam giác đều nên:

CD AI CDBI  CD  AIB  CDIJ

Mặt khác, ACD ACD nên tam giác AIB cân tại

I Do đó, IJ AB (2)

+ Từ (1), (2) suy ra: IJ là đường vuông góc chung của

AB và CD

+ Ta có:

IJ  AI  AJ       

 

2

a

d AB CD 

J

I B

C

D A

Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là

hình vuông cạnh a Gọi M, N lần lượt là trung điểm

của AB và AD, H là giao điểm của CN và DM,

SH  ABCD SH a Tính d DM SC( , )

Giải: + Trong mp(SCH) kẻ HK SC(1), (K SC)

+ Mặt khác, SH DM((ABCD ABCD)) SH DM (*)

Xét hai tam giác vuông AMD và DNC có AM=DN,

AD=DC AMDDNC Từ đó ta có:

0

90

AMD DNC

AMD ADM









hay DM CN (**)

Từ (*), (**) suy ra: DM (SCH) DM HK (2)

Từ (1), (2) suy ra: HK là đoạn vuông góc chung của DM và SC

+ Ta có: HCD DCN

3

HC

CN CD DN



Xét tam giác vuông SHC ta có: 12 1 2 12 52 15

5 3

a HK

HK HC HS  a  

5

a

d DM SC HK 

Câu 22: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy

ABC là tam giác đều cạnh a, 2

' 2

a

AA  Tính ( , ')

d AB CB

Giải: + Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và

A’B’

J

I

C'

A

B

C

A'

H

H M

N

C

S

D

K

+ Ta có: / /( ' ') ( , ') ( ,( ' '))

( ,( ' '))

AB CA B d AB CB d AB CA B

d I CA B

Ta có: ' ' ( )A B  IJ (vì ABC A’B’C’ là hình lăng trụ đứng) và IC A B' ' (vì ∆ABC là tam giác đều) nên ' ' (A B  CIJ) IH A B' ' (2)

Từ (1), (2) suy ra: IH (CA B' ') hay d AB CB ( , ')  IH

+ Xét tam giác vuông CIJ có: 12 12 12 42 22 102 30

10

a IH

IH IC  IJ  a a  a  

10

a

d AB CB IH 

Câu 23: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên bằng

2

a Tính d AD SB( , )

Giải: + Vì

AD / / SBC  d AD SB( , )d AB SBC( ,( ))+ Gọi O là giao điểm của AC và BD I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC

+ Trong mp(SIJ) kẻ IH SJ H,( SJ) (1)

Theo giả thiết ta có:

( ) / /

(2)

SO ABCD SO BC

BC SIJ

IJ AB IJ BC

IH BC



Từ (1), (2) suy ra: IH (SBC) hay ( , )

d AD SB  IH

S IH SJ SO IJ IH

SJ

,

a

SO SA  AO a SJ  SB  BJ  Suy ra: . 2 21

7

SO IJ a IH

SJ

J

B

S

A

H

Vậy ( , ) 2 21

7

a

d AD SB IH 

Câu 24: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông

cạnh a, tam giác SAD là tam giác đều, (SAD) vuông góc với

mặt phẳng đáy Tính d SA BD( , )

Giải: + Qua A kẻ đường thẳng d song

song với BD Gọi O là giao điểm của AC

và BD; I, M lần lượt là trung điểm của

AD và OD; N là giao điểm của d và IM

+ Ta có: ( , ) (( , ), )

( ,( , ))

d SA BD d SA d BD

d M SA d



+ Trong mp(SMN) kẻ

(1), (H SN)

MH SN 

Theo giả thiết:

SI AD

SI ABCD SI d SAD ABCD



/ /

(**) / /

d BD

BD AO d MN

AO MN









Từ

(*), (**) suy ra: d (SMN) d MH (2) Từ (1), (2) suy ra: MH ( , )SA d

S MH SN SI MN MH

SN

5

SI MN a MH

SN

15 ( , )

5

a

d SA BD 

Câu 25: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tai B, AB=BC=2a, hai mặt phẳng

(SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua

SM và song song với BC cắt AC tại N, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600 Tính ( , )

d AB SN

Giải: + Gọi I là trung điểm của BC.

Do MN//BC nên N là trung điểm của AC Do đó, IN//AB hay (d AB SN, )d AB SNI( ,( ))

+ Trong mp(ABC) kẻ AJ IN J,( IN) (*)

Trong mp(SAJ) kẻ AH SJ H SJ,( ) (1)

N

M

C

S

D

H

J

I

N M

S

C

B A

H

+ Theo giải thiết ta có: ( ) ( ) ( ) (**)

SAB ABC

SA ABC SA IN SAC ABC



Từ (*), (**) ta có: IN (SAJ) IN AH (2) Từ (1), (2) ta có: AH (SIN) d AB SN( , )AH + Ta có: ((SBC),(ABC))SBA 600  SA AB tan 600 2a 3; AJ BI a

+ Xét tam giác vuông SAJ có: 1 2 12 12 132 12

13

AH SA  AJ  a  

13

a

d AB SN AH 