GIÁO TRÌNH TOÁN ỨNG DỤNG TRONG TIN HỌC Biên Soạn Trường Sơn http //www ebook edu vnChöông 1 – Logic meänh ñeà Toaùn öùng duïng trong Tin hoïc Bieân soaïn Tröôøng Sôn 1 CHÖÔNG 1 LOGIC MEÄNH ÑEÀ I M[.]
Trang 1GIÁO TRÌNH TOÁN ỨNG DỤNG TRONG TIN HỌC
Biên Soạn: Trường Sơn
Trang 2CHƯƠNG 1
LOGIC MỆNH ĐỀ
I- MỆNH ĐỀ
I.1- Khái niệm:
• Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai
• Câu khẳng định đúng gọi là mệnh đề đúng (mệnh đề có chân trị đúng)
• Câu khẳng định sai gọi là mệnh đề sai (mệnh đề có chân trị sai)
• Kí hiệu các mệnh đề: P, Q, R, …
• Kí hiệu chân trị đúng là 1 (hay T – True), chân trị sai là 0 (hay F – False)
Ví dụ 1:
a/ Hà Nội là thủ đô của nước Việt Nam
b/ Thượng Hải là thủ đô của Ấn Độ
c/ 5 + 5 = 10
d/ 43 chia hết cho 5
e/ Hôm nay trời đẹp quá !
f/ Hôm nay trời có đẹp không?
g/ Hãy học bài đi!
h/ n là một số nguyên tố
Là mệnh đề đúng (1) Kí hiệu mđ: P Là mệnh đề sai (0) Kí hiệu mđ: Q Là mệnh đề đúng (1) Kí hiệu mđ: R Là mệnh đề sai (0) Kí hiệu mđ: T
Không phải là mệnh đề Câu cảm thán Không phải là mệnh đề Câu hỏi nghi vấn Không phải là mệnh đề Câu mệnh lệnh Không phải là mệnh đề Là vị từ (mệnh đề chứa biến).Nếu n=3 ta được mệnh đề đúng, n= 4 ta được mệnh đề sai.
* Biến mệnh đề: p gọi là biến mệnh đề nếu nó nhận giá trị là một mệnh đề nào đó
Ví dụ 2: p là biến mệnh đề có thể nhận giá trị là các mệnh đề P, Q, R, T ở trên
I.2- Các phép toán lôgic:
I.2.1: Phép phủ định (NOT):
Phủ định của mệnh đề P kí hiệu là P Chân trị của P là 0 nếu
chân trị của P là 1 và ngược lại
Bảng chân trị của phép phủ định:
Ví dụ 3: mệnh đề P: “ 2 là số hữu tỉ”
P : “ 2 không phải là số hữu tỉ” ( 2 là số vô tỉ)
I.2.2 Phép hội (AND):
Phép hội của hai mệnh đề P, Q kí hiệu là P∧Q (đọc là P và Q) chỉ đúng khi cả P và Q cùng đúng
Bảng chân trị của phép hội:
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
Ví dụ 4:
+ “Chiều nay trời đẹp và trận bóng đá sẽ hấp dẫn”: P∧Q
+ “Danh sách sinh viên nam và tuổi từ 20 trở lên”: P∧Q
Điều kiện lọc danh sách là: (PHAI=”Nam”) AND (Year(Date())-Year(NgaySinh)>=20)
0
Trang 3+ “Danh sách sinh viên nữ có quê ở Long An”: P∧Q
Điều kiện lọc danh sách là: (PHAI=”Nữ”) AND (QUEQUAN=”Long An”)
I.2.3 Phép tuyển (OR):
Phép tuyển của hai mệnh đề P, Q kí hiệu là P∨Q (đọc là P hoặc Q) chỉ sai khi cả P và Q cùng sai
Bảng chân trị của phép tuyển:
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
Ví dụ 5:
+ “Danh sách sinh viên quê ở Cần Thơ hoặc/hay/và Long An”: P∨Q
Điều kiện lọc danh sách là: (QUEQUAN=”Cần Thơ”) OR (QUEQUAN=”Long An”)
I.2.4 Phép tuyển loại (XOR):
Phép tuyển loại của hai mệnh đề P, Q kí hiệu là P∨Q (đọc là hoặc P hoặc Q) chỉ đúng khi chỉ một trong 2 mệnh đề là đúng
Bảng chân trị của phép tuyển loại:
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
Ví dụ 6:
+ “Sinh viên An quê ở Cần Thơ hoặc Long An”: P∨Q
+ “ 2 là số hữu tỉ hoặc là số vô tỉ”: P∨Q
+ “5 giờ chiều nay Minh đi học thêm Anh văn hoặc đi dự đám cưới bạn Lan”: P∨Q
I.2.5 Phép kéo theo:
Phép kéo theo của hai mệnh đề P, Q kí hiệu là P ⇒ Q là một mệnh đề chỉ sai khi P đúng Q sai
Bảng chân trị của phép kéo theo:
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
Ví dụ 7:
+ “Nếu An vượt đèn đỏ thì An sẽ vi phạm luật giao thông”: P ⇒ Q
+ “Vì 50 chia hết cho 10 nên 50 chia hết cho 5” (P đúng, Q đúng: mệnh đề đúng) + “202 là số chẵn suy ra 202 chia hết cho 4” (P đúng, Q sai: mệnh đề sai)
Lưu ý:
• P gọi là điều kiện đủ để có Q, hoặc Q gọi là điều kiện cần để có P
• Q ⇒ P gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q
Trang 4I.2.6 Phép tương đương:
Phép tương đương của hai mệnh đề P, Q kí hiệu là P ⇔ Q là một mệnh đề chỉ đúng khi cả P và Q cùng đúng hoặc cùng sai
Bảng chân trị của phép kéo theo:
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
Ví dụ 8:
+ “Tam giác ABC có ba góc bằng nhau nếu và chỉ nếu tam giác đó có ba cạnh bằng
nhau”
+ “36 chia hết cho 4 và chia hết cho 3 khi và chỉ khi 36 chia hết cho12”
+ P: “Tứ giác ABCD là hình vuông”
Q: “Tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc”
Ta có P ⇔ Q
I.3 Phép toán bit (NOT, AND, OR, XOR: thực hiện trong máy tính)
• Bit là đơn vị thông tin nhỏ nhất ứng với một trong hai kí số nhị phân 0 hoặc 1
• Chuỗi bit là chuỗi gồm các kí số 0, 1
Cho 2 chuỗi 4 bit A = 0011; B = 0101 Ta thực hiện các phép toán bít như sau:
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1 NOT A
A AND B
A OR B
A XOR B
1 1 0 0
0 0 0 1
0 1 1 1
0 1 1 0
II- CÔNG THỨC MỆNH ĐỀ
II.1 Các khái niệm
II.1.1 Công thức mệnh đề (biểu thức lôgic)
Công thức mệnh đề (còn gọi là biểu thức lôgic) là một biểu thức được xây dựng từ:
• Các mệnh đề P, Q, R, …
• Các biến mệnh đề p, q, r, … có thể nhận giá trị là các mệnh đề
• Các phép toán trên các mệnh đề và biến mệnh đề theo một trật tự nào đó
Ví dụ 9:
A = (p ∧q) ∨ (r ⇒ q)
E = p ∨ (q ∧ r)
F = (p ∨ q) ∧ r
Nhận xét: Lập bảng chân trị của E và F ta thấy E ≠ F, suy ra thứ tự thực hiện phép toán
logic là rất quan trọng
II.1.2 Công thức tương đương
Hai công thức E và F gọi là tương đương logic nếu chúng có cùng bảng chân trị
Kí hiệu hai công thức tương đương logic là E ≡ F hay đơn giản là E = F
Ví dụ 10: E = p ⇒⇒ q và F = p∨∨∨∨ q là hai công thức tương đương (c/m bằng bảng chân trị)
Trang 5p q p p ⇒⇒ q p∨∨∨∨ q (p ⇒⇒ q) ⇔ (p∨∨∨∨ q)
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
II.1.3 Công thức mệnh đề hằng đúng, hằng sai
Công thức mệnh đề gọi là công thức hằng đúng nếu nó luôn nhận gía trị 1 (E ≡ 1)
Công thức mệnh đề gọi là công thức hằng sai nếu nó luôn nhận gía trị 0 (E ≡ 0)
Ví dụ 11:
G = (p ⇒⇒ q) ⇔ (p∨∨∨∨ q) là công thức hằng đúng; G ≡ 1 (suy ra từ ví dụ 9)
II.1.4 Qui tắc thay thế:
Qui tắc 1: Nếu trong công thức mệnh đề E ta thay thế một biểu thức con bởi một công thức mệnh đề tương đương thì được một công thức mệnh đề mới tương đương logic với E
Ví dụ 12: p ⇒⇒ (q ⇒⇒ r) ≡ p ⇒⇒ (q∨∨∨∨ r) ≡ p∨∨∨∨ q∨∨∨∨ r
Qui tắc 2: Nếu E là công thức mệnh đề hằng đúng thì khi ta thay biến mệnh đề p trong
E bởi một công thức mệnh đề tùy ý thì được một công thức mệnh đề mới vẫn là hằng đúng
Ví dụ 13:
G = (p ⇒⇒ q) ⇔ (p∨∨∨∨ q) ≡ 1 (suy ra từ ví dụ 10) suy ra
G’ = ((r ∧∧∧∧ t) ⇒⇒ q) ⇔ (( r t∧ ) ∨∨∨∨ q) ≡ 1
II.2 Các qui luật logic
Với p, q, r là các biến mệnh đề, 1 là hằng đúng, 0 là hằng sai ta có các tương đương logic sau:
1/ Phủ định của phủ định: P ≡ p
2/ Qui tắc De Morgan: (p∧q)≡p∨q ; (p∨q)≡p∧q
3/ Luật giao hoán: p ∧ q ≡ q ∧ p ; p ∨ q ≡ q ∨ p
4/ Luật kết hợp: p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r ; p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r
5/ Luật phân phối: p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p∧ r) ; p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p∨ r)
6/ Luật lũy đẳng: p ∧ p ≡ p ; p ∨ p ≡ p
7/ Luật trung hòa (luật đồng nhất): p ∧ 1 ≡ p ; p ∨ 0 ≡ p
8/ Luật về phần tử bù: p ∧ p ≡ 0 (Luật bài trung)
P ∨ p ≡ 1 (Luật mâu thuẫn)
9/ Luật thống trị: p ∧ 0 ≡ 0 ; p ∨ 1 ≡ 1
10/ Luật hấp thụ: p ∧ (p ∨ q) ≡ p ; p ∨ (p ∧ q) ≡ p
* Chứng minh các công thức trên bằng cách lập bảng chân trị
Chẳng hạn ta chứng minh luật hấp thụ 10/ bằng bảng sau:
p q p ∨ q p ∧ q p ∧ (p ∨ q) p ∨ (p ∧ q)
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
Trang 6a/ Hỏi tập nào là tập con của tập nào?
F ⊂ D ⊂ C ⊂ B ⊂ A; E ⊂ C ⊂ B ⊂ A
b/ D ∩ E = F = { tập hợp các hình vuông}
2.15 Cho A = {1 ; 3 ; 5} và B = {1 ; 2 ; 3}
+ (A \ B) ∪ (B \ A) = { 5 } ∪{ 2 } = {2 ; 5}
+ (A ∪ B) \ (A ∩ B) = {1; 2; 3; 5} \ {1; 3} = {2; 5}
Suy ra (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B)
2.16 điền dấu ỘxỢ vào ô trống thắch hợp
a) ∀x ∈R, x ∈ (2,1 ; 5,4) ⇒ x ∈ (2 ; 5) đúng Sai [ ]X
b) ∀x ∈R, x ∈ (2,1 ; 5,4) ⇒ x ∈ (2 ; 6) đúng [ ]X Sai
c) ∀x ∈R, -1,2 ≤ x < 2,3 ⇒ -1 ≤ x ≤ 3 đúng Sai [ ]X
d) ∀x ∈R, -4,3 < x ≤ -3,2 ⇒ -5 ≤ x ≤ -3 đúng [ ]X Sai
2.17 Cho ựoạn A = [-5 ; 1] và khoảng B = (-3 ; 2)
+ A ∪ B = [-5; 2)
+ A ∩ B = (-3; 1]
2.18 a) 3
n
C = !
3!( 3)!
n
n− =
( 3)!( 2)( 1) (1.2.3) ( 3)!
n
− − −
− =
( 2)( 1) 6
n− n− n vôùi n ≥ 3
b) 2
n
C - n = !
2!( 2)!
n
n− - n =
( 1) 2
n− n - n = ( 1) 2
2
n− n− n = ( 3)
2
n− n vôùi n ≥ 4
2.19 Soá taảp con coù k phaàn tỏũ cuũa taảp coù n phaàn tỏũ laụ k
n
C Vaảy toăng soá caùc taảp con laụ:
n n 2n
C +C + +C − +C =
2.20 2 3 3 2 4 1 5
25 15 25 15 25 15 25
C C +C C +C C +C
2.21 Heả B coù n ựỏôụng thaúng song song thì ta coù: 2 2
9 n
C C = 540 ⇒ (n-1)n = 30 ⇒ n = 6
2.22 a) 1. 4
5
A + 2.4 3
4
A = 120 + 192 = 312
b) 1 1 3
4 5
C A + 4.( 2 2
4 4
1.C A ) = 240 + 288 = 528
2.23 a) S = {(2, 2), (2, 6), (3, 3), (3, 5), (5, 3), (5, 5), (6, 2), (6, 6)}
b) X/S = {2, 3 }
2.24 +T/c phaũn xaỉ: Vì
b
a =
b
a neân (a,b)R(a,b) ⇒ R coù t/c phaũn xaỉ
+ T/c ựoái xỏùng: (a,b) R(c,d) ⇒
b
a =
d
c ⇒
d
c =
b
a⇒ (c,d) R(a,b) ⇒ R coù t/c ựx
+ T/c baéc caàu: Tỏụ (a,b) R(c,d) vaụ (c,d) R(e,f) suy ra
b
a =
d
c vaụ
d
c =
f
e
do ựoù ta coù
b
a =
f
e ⇒ (a,b) R(e,f) ⇒ R coù t/c baéc caàu
Vaảy R laụ moảt quan heả tỏông ựỏông treân X
Lôùp tỏông ựỏông (a,b) = {(c,d) ∈ X | (c,d)R(a,b)} = {(c,d) ∈ X |
d
c =
b
a} ↔
b a
Trang 7Tập thương X/R = { (a,b) | (a,b)∈X } ≅ {
b
a | a∈Z, b∈N*} = Q - tập các số hữu tỉ
2.25 a) Tự chứng minh
b) Lớp tương đương là đường thẳng song song với trục tung Oy
Vậy X/S = {d | d// Oy} – tập hợp các đường thẳng d song song với trục tung Oy