GV Đoàn Văn Tính 0946 069 661 – Website giasutrongtin vn –LT+ BT bài 1 Nguyên hàm 1 CHƯƠNG 3 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG I NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT 1 Nguyên hàm Định nghĩa Cho hàm số ( )f x xác địn[.]
Trang 1CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
I - NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT
1 Nguyên hàm
Định nghĩa
Cho hàm số f x( ) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm
số F x( ) được gọi là nguyên hàm của hàm số f x( ) trên K nếu F x'( ) ( )= f x với mọi xK
Mọi hàm số f(x) liên tục trên K thì đều có nguyên hàm trên K
4 Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
Trang 28 cosxdx = sinx C+
a
1
a
1
10 tan x dx= − ln | cos |x +C
23. (ax b+ ) = − (ax b+ ) +C
a
1
11.cot x dx= ln | sin |x +C
24. (ax b+ ) = (ax b+ ) +C
a
1
12 dx = x C+
x
2
1
tan
a
ax b
2
tan cos
13. dx = − x C+
x
2
1
cot
a
ax b
2
cot sin
a
15 ( + 2x dx) = −co x C+
a
4 Một số ví dụ
Ví dụ 1 Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a I = x +x + dx = x + x + x C+
x
4
3 1
4
b I = x + + x + = x − + a x + +
a
3
ln
c
a
d (x2 + 3)(x − 1)dx =(x3 −x2 + 3x − 3)dx =
Trang 3
Ví dụ 2 Tính
Giải
Tương tự tính nguyên hàm các hàm số sau
c) I = +x x + dx
3 2
Trang 4
d) I = − x x + x+ dx
x
2
1
cos
e) I = + − + + x x dx x x 3 2 2 3 2 ( ) 4 1
II – PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
1 Phương pháp đổi biến
Ví dụ: Tính nguyên hàm của các hàm số sau
a) I = 2xe x2+1dx
Giải
Đặt t = x2 + 1
dt = 2xdx
I = e dt t = t
e + C
I = e x2+1+ C
b) I = −
4x 2 dx
Trang 5Giải
Đặt t = x2 − +x 1
dt = (2x − 1)dx
I = t dt
t5
2
− +
Tương tự tính nguyên hàm của các hàm số sau
c) I = cosxesinx dx
d) I = (2x − 1)(x2 − +x 3) 7dx
e) I = (x + 1) x2 + 2xdx
Trang 6
2 Phương pháp nguyên hàm từng phần
Nhận dạng: f x g x dx( ) ( ) hoặc f x dx
g x
( ) ( )Trong đó f(x) và g(x) khác loại
Chú ý: thứ tự chọn u theo quy tắc log – đa – mũ – lượng
Ví dụ: Tính nguyên hàm của các hàm số sau
dv = cos xdx =v cosxdx= sinx
I = x.sinx -s inxdx= x.sinx + cosx + C
Trang 7I =
3
ln 3
x
x-
3
1 3
x dx x
I1 =
3
1 3
x dx x
I =
3
ln 3
x
x -
3
9
x C
+ Tương tự tính nguyên hàm của các hàm số
d) 2xe dx x
………
………
………
………
………
e) 2 cos x xdx ………
………
………
………
………
f)(x+ 1).lnxdx ………
………
………
………
………
g) xlnxdx
………
………
………
………
………
Trang 8BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1 (đề 101)
Tìm nguyên hàm của hàm số f x( ) cos3 = x
A cos3x dx= 3sin3x C+ B cos3 sin3
3
x
C cos3 sin3
3
x
………
………
………
………
………
Câu 2 (đề 103) Tìm nguyên hàm của hàm số f x( ) 2sin = x A 2sinx dx= 2 cosx C+ B 2sinx dx= sin2 x C+ C 2sinx dx = sin 2x C+ D 2sinx dx= − 2 cosx C+
………
………
………
………
………
Câu 3 (đề 103)
Cho F x( )là một nguyên hàm của hàm sốf x( ) =e x + 2x thỏa mãn (0) 3
2
F = Tìm F x( )
2
x
2
x
C ( ) 2 5
2
x
2
x
Trang 9………
………
………
………
Câu 4 (đề 104) Tìm nguyên hàm của hàm số f x =( ) 7x A 7x dx= 7 ln 7x +C B 7 7 ln 7 x x dx= +C C 7x dx= 7x+1+C D 1 7 7 1 x x dx C x + = + + ………
………
………
………
………
Câu 5 (đề 104) Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( ) sin = x+ cosx thỏa mãn 2 2 F = A F x( ) cos = x− sinx+ 3 B F x( ) = − cosx+ sinx+ 3 C F x( ) = − cosx s x+ in − 1 D F x( ) = − cosx+ sinx+ 1 ………
………
………
………
………
Câu 6 (đề 104)
Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( ) sin = x+ cosx thỏa mãn 2
2
F =
A F x( ) cos = x− sinx+ 3 B F x( ) = − cosx+ sinx+ 3
Trang 10C F x( ) = − cosx s x+ in − 1 D F x( ) = − cosx+ sinx+ 1
………
………
………
………
………
Câu 7 [101] Cho hàm số f x( ) thỏa mãn f( )x = − 3 5sinx và f ( )0 = 10 Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A f x( )= 3x+ 5 cosx+ 5 B f x( )= 3x+ 5 cosx+ 2 C f x( )= 3x− 5 cosx+ 2 D f x( )= 3x− 5 cosx+ 15 ………
………
………
………
………
Câu 8 [MH18] Họ nguyên hàm của hàm số ( ) 2 3 1 f x = x + là A 3 x +C B 3 3 x x C + + C 6x C+ D 3 x + +x C ………
………
………
………
………
Câu 9 [101] Nguyên hàm của hàm số ( ) 3 f x =x +x là A 4 2 x +x +C B 2 3x + + 1 C C 3 x + +x C D 1 4 1 2 4x + 2x +C ………
………
………
………
………
Trang 11Câu 10 [102] Nguyên hàm của hàm số ( ) 4
f x =x +x là
A 4
x + +x C B 3
x +x +C D 1 5 1 2
5x + 2x +C
………
………
………
………
………
Câu 11 [103] Nguyên hàm của hàm số ( ) 4 2 f x =x +x là A 3 4x + 2x C+ B 1 5 1 3 5x + 3x +C C 5 3 x + +x C D 4 2 x +x +C ………
………
………
………
………
Câu 12 [104] Nguyên hàm của hàm số ( ) 3 2 f x =x +x là A 2 3x + 2x C+ B 1 4 1 3 4x + 3x +C C 4 3 x +x +C D 3 2 x +x +C ………
………
………
………
………
Câu 13 [MH2019] Họ nguyên hàm của hàm số ( )= ex+ f x x là A 2 e +x + x C B 1 2 e 2 + + x x C C 1 1 2 e 1 + 2 + + x x C x D ex+ + 1 C ………
………
………
Trang 12………
Câu 14 Tìm nguyên hàm của hàm số 2 10 x y = A 10 2 ln10 x C + B 2 10 ln10 x C + C 2 10 2 ln10 x C + D 2 10 2ln10x +C ………
………
………
………
………
Câu 15 1 cos 4 2 x dx + là: A 1sin 4 2 8 x x C + + B 1sin 4 2 4 x x C + + C 1sin 4 2 2 x x C + + D 1sin 2 2 8 x x C + +
………
………
………
………
………
Câu 16 Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây Nguyên hàm của hàm số y=xsinx là: A 2 s in 2 x x +C B −x.cosx C+ C.−x.cosx+ sinx +C D −x.sinx + cosx C+ ………
………
………
………
………
Câu 17. 2
sin x.cosxdx
Trang 13A 2
os s inx
c x +C B 2
sin x.cosx C+ C.1sin 1 .sin 3
………
………
………
………
………
Câu 18 Tìm họ nguyên hàm của hàm số sau: 1 1 2 5 10 x x x y + − + = A ( ) 5 5.2 2 ln 5 ln 2 x x F x = − +C B ( ) 5 5.2 2 ln 5 ln 2 x x F x = − + +C C ( ) 2 1 5 ln 5x 5.2 ln 2x F x = − +C D ( ) 2 1 5 ln 5x 5.2 ln 2x F x = + +C ………
………
………
………
………
Câu 19 xlnxdxlà: A 3 3 2 ln 4 2 3 9 x x x C − + B 3 3 2 2 2 ln 4 3 9 x x x C − + C 3 3 2 2 2 ln 3 9 x x x C − + D 3 3 2 2 2 ln 4 3 9 x x x C + + ………
………
………
………
………
Câu 20 sin 3 x x dx = sin cos 3 3 x x a −bx +C Khi đó a+b bằng A -12 B.9 C.12 D 6 ………
………
Trang 14………
………
Câu 21 2 x x e dx l= 2 (x +mx n e+ ) x+C Khi đó m.n bằng A 0 B 4 C 6 D − 4 ………
………
………
………
………
Câu 22 Tìm hàm số y= f x( ) biết rằng f x'( ) = 2x+ 1 à (1)v f = 5 A 2 ( ) 3 f x =x + +x B 2 ( ) 3 f x =x − +x C 2 ( ) 3 f x =x + −x D 2 ( ) 3 f x =x − −x ………
………
………
………
………
Câu 23 Tìm hàm số y= f x( ) biết rằng 2 7 '( ) 2 à (2) 3 f x = −x v f = A 3 ( ) 2 3 f x =x + x+ B 3 ( ) 2 1 f x = x− +x C 3 ( ) 2 3 f x = x + −x D 3 ( ) 3 f x =x − −x ………
………
………
………
………
Câu 24 Nguyên hàm của hàm số f(x) = x3 - 32 2x x + là: A 4 2 3ln 2 ln 2 4 x x x C − + + B 3 3 1 2 3 x x C x + + + C 4 3 2 4 ln 2 x x C x + + + D 4 3 2 ln 2 4 x x C x + + + ………
Trang 15………
………
Câu 25 Nguyên hàm của hàm số: y = 2cos 2 2 sin cos x x x là: A tanx - cotx + C B −tanx - cotx + C C tanx + cotx + C D cotx −tanx + C ………
………
………
………
………
Câu 26 Nguyên hàm của hàm số: y = 2 2 cos x x e e x − + là: A 2e x− tanx+C B 2 − 1 + cos x e C x C 2 + 1 + cos x e C x D 2e x+ tanx+C
………
………
………
………
………
Câu 27 Nguyên hàm của hàm số: y = cos2x.sinx là: A 1 3 cos 3 x+C B 3 cos x C − + C -1 3 + cos 3 x C D 1 3 + sin 3 x C ………
………
………
………
………
Câu 28 Một nguyên hàm của hàm số: y = cos5x.cosx là:
A F(x) = 1 1cos 6 1cos 4
B F(x) =
1
5 sin5x.sinx
Trang 16C 1 1sin 6 1sin 4
x x D.
………
………
………
………
………
Câu 29 Một nguyên hàm của hàm số: y = sin5x.cos3x là: A 1 cos 6 cos 2 2 8 2 − + x x B 1 cos 6 cos 2 2 8 2 + x x C 1 cos 6 cos 2 2 8 2 x x − D 1 sin 6 sin 2 2 8 2 x x + ………
………
………
………
………
Câu 30 2 sin 2xdx = A 1 1sin 4 2x+ 8 x C+ B 1 3 sin 2 3 x C+ C 1 1sin 4 2x− 8 x C+ D 1 1sin 4 2x− 4 x C+ ………
………
………
………
………
Câu 31 2 1 2 sin x.cos x dx =
A 2 tan 2x C+ B -2cot 2x C+ C 4cot 2x C+ D 2cot 2x C+
Câu 32 ( 2 )2
3
1
x
dx x
−
Trang 17A
3
2
1
2 ln
x
x
3
2
1
2 ln 3
x
x
C
3
2
1
2 ln
x
x
3
2
1
2 ln
x
x
………
………
………
………
………
Câu 33 ( 2017 x) x x+e dx = A 2017 2 5 2 2017 x e x x+ +C B 2017 3 2 5 2017 x e x x+ +C C 2017 2 3 5 2017 x e x x+ +C D 2017 2 2 5 2017 x e x x+ +C ………
………
………
………
………
Câu 34 2 4 5 dx x + x− =
A 1ln 1 6 5 x C x − + + B 1 5 ln 6 1 x C x + + − C 1 1 ln 6 5 x C x + + − D 1 1 ln 6 5 x C x − + + ………
………
………
………
………
………
………
………
Trang 18………
Câu 35 Một nguyên hàm của hàm số: 3 2 2 = − x y x là: A 2 ( ) = 2 − F x x x B 1( 2 ) 2 4 2 3 − x + −x C 1 2 2 2 3 − x −x D 1( 2 ) 2 4 2 3 − x − −x ………
………
………
………
………
Câu 36 Một nguyên hàm của hàm số: 2 ( ) = 1 + f x x x là: A 1( 2 2) ( ) 1 2 F x = x +x B ( )3 2 1 ( ) 1 3 = + F x x C 2( )3 2 ( ) 1 3 x F x = +x D ( )3 2 2 1 ( ) 1 3 F x = x +x ………
………
………
………
………
Câu 37 tan 2xdx =
A 2ln cos 2x +C B 1 2 ln cos 2x +C C 1 2 − ln cos 2x +C D 1ln sin 2 2 x +C ………
………
………
………
………
Câu 38 Nguyên hàm của hàm số: ( ) 1
f x = là:
Trang 19ln 3 1
2 x+ + C B.1ln 3 1
3 x+ + C.C 1 ( )
ln 3 1
3 x+ + D.C ln 3x+ +1 C
………
………
………
………
………
Câu 39 Nguyên hàm của hàm số: f x( )=cos 5( x−2) là: A.1 ( ) sin 5 2 5 x− + C B 5sin 5( x−2)+C C 1 ( ) sin 5 2 5 x− + C D.−5sin 5( x−2)+C ………
………
………
………
………
Câu 40 Nguyên hàm của hàm số: ( ) 2 tan f x = x là: A tan x C+ B tanx-x+ C 2tan x C C + D tanx+x C+ ………
………
………
………
………
Câu 41 Nguyên hàm của hàm số: ( )
( )2
1
f x
x
=
− là:
Trang 20A 1
2x 1 C
1
2 4x C
− C
1
4x 2+C
− D ( )3
1
−
………
………
………
………
………
Câu 42 Một nguyên hàm của hàm số f x( )=cos3x.cos2x là: A sinx+sin5x B 1sin 1 sin 5 2 x+10 x C 1cos 1 cos5 2 x+10 x D 1cos 1 sin 5 2 x−10 x ………
………
………
………
………
Câu 43 Cho hàm số y = f x( ) có đạo hàm là ( ) 1 2 1 f x x = − và f ( )1 =1 thì ( )5 f bằng: A ln2 B ln3 C ln2 + 1 D ln3 + 1 ………
………
………
………
………
Câu 44 Nguyên hàm của hàm ( ) 2
f x
x
=
− với F( )1 =3 là:
Trang 21A 2 2x − 1 B 2x − + 1 2 C 2 2x − + 1 1 D 2 2x − − 1 1
………
………
………
………
………
Câu 45 Để ( ) 2 ( ) cos 0 F x =a bx b là một nguyên hàm của hàm số ( ) sin 2 f x = x thì a và b có giá trị lần lượt là: A – 1 và 1 B 1 và 1 C 1 và -1 D – 1 và - 1 ………
………
………
………
………
Câu 46 Hàm số ( ) x x F x = +e e− + x là nguyên hàm của hàm số: A f x( )=e−x + +e x 1 B ( ) 2 2 1 x x x f x = −e e− + C f x( )=e x −e−x +1 D ( ) 2 2 1 x x x f x = +e e− + ………
………
………
………
………
Câu 47 Nguyên hàm F x( ) của hàm số ( ) 3 2
f x = x − x + x− thỏa mãn
( )1 9
F = là:
2
10
2
Trang 22………
………
………
………
Câu 48 Nguyên hàm của hàm số: ( ) e x x e x x f x e e − − − = + là: A.ln e x +e−x +C B 1 x x C e e− + − C ln e x −e−x +C D 1 x x C e e− + + ………
………
………
………
………
Câu 49 Nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( )= +x sinx thỏa mãn F( )0 =19 là: A ( ) osx+ 2 2 x F x = −c B ( ) osx+ 2 2 2 x F x = −c + C ( ) osx+ 2 20 2 x F x =c + D ( ) osx+ 2 20 2 x F x = −c + ………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
Trang 23Câu 50 Cho f '( )x = −3 5sinx và f ( )0 =10 Trong các khẳng địn sau đây, khẳng định nào đúng:
A f x( )=3x+5 osx+2c
f =
C f ( ) =3
D f x( )=3x−5 osx+2c
………
………
………
………
………
Câu 51 [MH2019] Họ nguyên hàm của hàm số f x( )= 4x(1 ln + x) là A 2 2 2x lnx+ 3x B 2 2 2x ln +x x C 2 2 2x lnx+ 3x +C D 2 2 2x ln +x x +C ………
………
………
………
………
………
………
………
………
………