Bài giảng Lý thuyết xác suất thông kê: Chương 3 - TS. Nguyễn Thị Tuyết Mai

Bài giảng Lý thuyết xác suất thông kê: Chương 3 cung cấp cho người học những kiến thức như: Quy luật phân phối nhị thức; Quy luật phân phối Poisson; Quy luật phân phối chuẩn; Quy luật phân phối khi bình phương;... Mời các bạn cùng tham khảo!

Dãy phép thử Bernoulli

• Thực hiện lặp lại nhiều lần một phép thử và các

phép thử độc lập với nhau, ta có dãy các phép thử độc lập.

Chương 3 Một số QLPP xác suất quan trọng

3.1 Quy luật phân phối nhị thức

• Cho một dãy các phép thử độc lập, trong mỗi phép

thử chỉ có một trong hai trường hợp hoặc A xảy ra

hoặc A không xảy ra

-Xác suất để xảy ra biến cố A là không đổi và bằng p

-Xác xuất để không xảy ra biến cố A bằng 1-p

• Dãy phép thử trên gọi là dãy phép thử Bernoulli Bài

toán thỏa mãn các yêu cầu trên đgl tuân theo lược đồBernoulli

• Gọi 𝑋 là số lần biến cố 𝐴 xuất hiện trong dãy n

phép thử Bernoulli Khi đó 𝑋 là ĐLNN rời rạc nhận các giá trị 0,1,2, ,n với các xác suất tương ứng:

𝑝𝑛 𝑘 = 𝑃 𝑋 = 𝑘 = 𝐶𝑛𝑘𝑝𝑘𝑞𝑛−𝑘(𝑞 = 1 − 𝑝; 𝑘 = 0,1,2, , 𝑛)

• ĐLNN rời rạc 𝑋 có phân phối như trên được gọi là

tuân theo quy luật nhị thức với các tham số 𝑛 và 𝑝,

ký hiệu 𝑋~𝐵(𝑛, 𝑝).

Ví dụ: Thống kê cho thấy tỉ lệ người dùng điện thoại

Iphone là 30% Tìm xác xuất để khi phỏng vẫn ngẫu nhiên 4 người thì có đúng 1 người dùng điện thoại Iphone?

CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA PP NHỊ THỨC

• E(X) = np

• Var(X) = npq

• (n+1).p – 1 ≤ Mod(X) ≤ (n+1).p

Ví dụ: Một phân xưởng có 5 máy hoạt động độc lập

nhau, xác suất để mỗi máy bị hỏng trong khoảng thời gian T là 0,1 Tìm xác suất để trong khoảng thời gian T:a) Có 2 máy bị hỏng

b) Có không quá một máy bị hỏng

c) Gọi 𝑋 là số máy bị hỏng trong khoảng thời gian T Tìm 𝐸 𝑋 , 𝑉𝑎𝑟 𝑋 , 𝑀𝑜𝑑 𝑋

TH đặc biệt: Khi số phép thử n=1, tức là ta chỉ thực

hiện duy nhất 1 phép thử, trong đó xác suất để biến cố

A xuất hiện là 𝑝, và không xuất hiện là 𝑞 = 1 − 𝑝

ĐLNN 𝑋 chỉ số lần xuất hiện của biến cố A tuân theo QLPP 𝐵(1, 𝑝), có bảng phân phối như sau:

• Luật phân phối 𝐵(1, 𝑝) còn được gọi là luật phân

phối xác suất không-một, và kí hiệu là 𝐴(𝑝).

• Khi đó: 𝐸 𝑋 = 𝑝; 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝑝𝑞

Định nghĩa: ĐLNN rời rạc X đgl có phân phối

Poisson với tham số 𝜆, ký hiệu là 𝑋~𝑃(𝜆), nếu nó nhận các giá trị có thể 0,1,2, với các xác suất như sau:

𝑝 𝑘 = 𝑃 𝑋 = 𝑘 = 𝑒

−𝜆𝜆𝑘𝑘!

Áp dụng: ĐLNN 𝑋 chỉ số lần xuất hiện biến cố 𝐴 trong khoảng thời gian 𝑇 thì 𝑋 có phân phối Poisson.

3.2 Quy luật phân phối Poisson

C ÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA PP POISSON

• 𝐸 𝑋 = λ.

• 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝜆.

• 𝜆 − 1 ≤ 𝑀𝑜𝑑 𝑋 ≤ 𝜆.

Ví dụ: Người ta thống kê số lượng khách hàng vào

một siêu thị thấy trung bình mỗi phút có 1 khách

hàng Tìm xác suất để trong vòng 5 phút có 3 khách hàng vào siêu thị Biết số lượng khách vào siêu thị trong 5 phút là một ĐLNN tuân theo quy luật phân phối Poisson

Mối liên hệ giữa phân phối Nhị thức và phân phối Poisson:

Định lý: Nếu 𝑋~𝐵 𝑛, 𝑝 với 𝑛 khá lớn, 𝑝 khá bé

(𝑛𝑝 ≈ 𝑛𝑝𝑞) thì 𝑋 ≃ 𝑃(𝜆) với 𝜆 = 𝑛𝑝

Ví dụ: (Bài 3.27) Tỉ lệ hạt lép của một lô thóc giống

Định nghĩa: ĐLNN liên tục X nhận các giá trị trên ℝ

được gọi là có phân phối chuẩn với tham số μ và σ >

0, ký hiệu là 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎2), nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng:

2

2

2

) (

2

1 )

f

3.2 Quy luật phân phối chuẩn

Hàm phân phối xác suất của ĐLNN X có phân phối chuẩn là:

dt e

x F

2

1 )







Đồ thị của f(x) có dạng hình chuông, đối xứng qua đường thẳng x =  và nhận Ox làm đường tiệm cận ngang.

Ví dụ: PP chuẩn là PP quan trọng bậc nhất và thường

xuất hiện trong rất nhiều lĩnh vực đời sống.

C ÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA PP CHUẨN

• 𝐸 𝑋 = 𝜇 Hàm 𝑓 có trục đối xứng 𝑥 = 𝜇.

• 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝜎2.

• 𝑀𝑜𝑑 𝑋 = 𝜇 Hàm 𝑓 đạt cực đại tại 𝑥 = 𝜇.

• Nếu X~N(μ, σ2) với μ = 0 và σ = 1 ta nói X có quy

luật phân phối chuẩn hóa N(0,1) và hàm mật độ

• Nếu X~N(μ, σ2), ta có:

Phép biến đổi trên được gọi là chuẩn hóa đại

lượng ngẫu nhiên.

( )

X - μ

σ

X a

P( )

dt e

(



)()

(−x = − x

Khi x > 5 ta lấy Φ 𝑥 ≈ 0,5

Công thức tính 𝑷 𝒂 < 𝑿 < 𝒃 của ĐLNN

𝑿~𝑵(𝝁, 𝝈𝟐)

Hàm Laplace

(Xác suất để ĐLNN 𝑋 với pp chuẩn nhận giá trị sai lệch

so với kỳ vọng toán về giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số dương 𝜀 cho trước)

𝑃 𝑋 > 2 = 0,5 − Φ 2 − 1,5

0,4 = 0,5 − Φ 1,25

= 0,5 − 0.39435 = 0,10535

Ví dụ: Trọng lượng của một con gà là một ĐLNN có

phân phối chuẩn với trọng lượng trung bình là 1,5kg và

độ lệch tiêu chuẩn 0,4kg

a) Tìm xác suất để một con gà được chọn ngẫu nhiên

có trọng lượng lớn hơn 2kg?

b) Tìm xác suất để một con gà được chọn ngẫu nhiên

có trọng lượng nằm trong khoảng 1,6kg-1,8kg?

𝑃 1,6 < 𝑋 < 1,8 = Φ 1,8 − 1,5

0,4 − Φ

1,6 − 1,5 0,4

= Φ 0,75 − Φ 0,25

= 0,27337 − 0,09871 = 0,17466

PHÂN VỊ

Cho U ~ N(0,1), và 0 <  <1 cho trước Khi đó, giá trị

u của U được gọi là phân vị chuẩn mức  nếu thỏa

mãn:

𝑈𝛼 càng lớn thì 𝛼 càng nhỏ

VAI TRÒ CỦA QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN

• Phần lớn các ĐLNN ta gặp trong thực tế đều

tuân theo luật phân phối chuẩn

• Là giới hạn của một số thống kê rời rạc khác

• Ứng dụng rộng rãi trong KH thống kê

• Là quy luật phân phối quan trọng nhất trong tất

cả các quy luật PPXS

Nếu 𝑋1, 𝑋2, , 𝑋𝑛 là các ĐLNN độc lập cùng phân phối chuẩn hóa N(0,1), thì:

Pp Khi bình phương là pp lệch, khi bậc tự do 𝑛 tăng dần thì càng trở nên đối xứng hơn, xấp xỉ phân phối chuẩn.

• Phân phối Student có hình dáng gần giống với phân phối chuẩn, nhưng phần đuôi mập hơn (nghĩa là có nhiều giá trị phân bố xa giá trị trung bình hơn phân phối chuẩn

• Khi bậc 𝑛 càng lớn thì

phân phối Student càng tiến về dạng phân phối

chuẩn hóa

PHÂN VỊ

Cho T~T(n), và 0 <  < 1 cho trước Khi đó, giá trị

t(n) của T được gọi là phân vị Student mức  nếu

thỏa mãn:

( )

P T  t n = 

Cho ĐLNN 1 2~ 2 (n1) và 2 2~ 2 (n2) thì:

tuân theo quy luật phân phối Fisher – Snedecor với n1

và n2 bậc tự do, kí hiệu là F~F(n1, n2).

2 1

1 2 2 2

n F

PHÂN VỊ

Cho F~F(n1, n2), và 0 <  < 1 cho trước Khi đó, giá

trị f(n1, n2) của F được gọi là phân vị F mức  nếu

thỏa mãn:

P F  f n n = 

Tên QLPP Kí hiệu Các đặc trưng chính

QLPP nhị thức 𝐵(𝑛, 𝑝) • 𝐸 𝑋 = 𝑛𝑝

• 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝑛𝑝𝑞

• 𝑛 + 1 𝑝 − 1 ≤ 𝑀𝑜𝑑 𝑋 ≤ (𝑛 + 1)𝑝 QLPP chuẩn 𝑁(𝜇, 𝜎2) • 𝐸 𝑋 = 𝜇

• 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝜎 2

• 𝑀𝑜𝑑 𝑋 = 𝜇 QLPP Khi bình

2 (𝑛) • 𝐸 𝑋 = 𝑛

• 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 2𝑛 QLPP Student 𝑇(𝑛) • 𝐸 𝑋 = 0 (𝑛 > 1)

• 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝑛

𝑛−2 (𝑛 > 2) QLPP Fisher-