1 CÁC CÂU HỎI VẬN DỤNG VẬN DUNG CAO TRONG CÁC ĐỀ KIỂM TRA CUỐI HỌC KỲ 1 MÔN TOÁN 10 NĂM HỌC 2021 2022 2 BÀI 1 Cho phương trình x2 +2(1−m)x+m2 −2m−3= 0 (1), với m là tham số 1 Chứng minh phương trình ([.]
Trang 1CÁC CÂU HỎI VẬN DỤNG - VẬN DUNG CAO TRONG CÁC ĐỀ KIỂM TRA CUỐI
HỌC KỲ 1 MÔN TOÁN 10 NĂM HỌC 2021-2022
Trang 2BÀI 1 Cho phương trìnhx2+ 2(1 − m)x + m2− 2m − 3 = 0 (1), vớimlà tham số.
1 Chứng minh phương trình(1)luôn có hai nghiệm phân biệt với mọim
2 Gọix1,x2(x1> x2)là hai nghiệm của phương trình(1) Tínhx1,x2theom
3 Với giá trị nào của tham sốmthìx21− 2x2= 11
Lời giải.
1 Phương trìnhx2+ 2(1 − m)x + m2− 2m − 3 = 0có biệt thức
∆′= (1 − m)2−¡m2− 2m − 3¢ = 1 − 2m + m2
− m2+ 2m + 3 = 4 > 0, ∀m ∈ R
Vậy phương trìnhx2+ 2(1 − m)x + m2− 2m − 3 = 0luôn có hai nghiệm phân biệt với mọim
2 Gọix1,x2(x1> x2)là hai nghiệm của phương trình(1) Ta có
x1= −(1 − m) + 2 = m + 1; x2= −(1 − m) − 2 = m − 3
3 Vớix1= m + 1,x2= m − 3thìx12− 2x2= 11trở thành
m2+ 2m + 1 − 2(m − 3) = 11 ⇔ m2= 4 ⇔ m = ±2
Vậym = ±2là các giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán
□ BÀI 2 Biết đồ thị của hàm sốy = x2− 4(m + 2)x − 8m − 22cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt
làx1,x2vàx1> x2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thứcP = 4x1+ 4x2− 4x1x2− x21− 9x22
Lời giải.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm sốy = x2− 4(m + 2)x − 8m − 22và trục hoành là
Phương trình(∗)có biệt thức
∆′= 4¡m2+ 4m + 4¢ + 8m + 22 = 4¡m2+ 6m + 9¢ + 2 = 4(m + 3)2
+ 2 > 0, ∀m ∈ R
Vì thế, phương trình(∗)luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 (vớix1> x2) với mọi giá trị của mhay đồ thị hàm số
y = x2− 4(m + 2)x − 8m − 22luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị củam
Theo định lí Vi-ét ta cóx1+ x2= 4m + 8vàx1x2= −8m − 22
Khi đó
P = 4x1+ 4x2− 4x1x2− x21− 9x22= 4 (x1+ x2) − (x1+ 3x2)2+ 2x1x2= −12 − (x1+ 3x2)2≤ −12, ∀m ∈ R
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
x1+ 3x2= 0
x1+ x2= 4m + 8
x1x2= −8m − 22
x1> x2
⇔
x1= 6m + 12
x2= −2m − 4
− 3(2m + 4)2= −8m − 22 6m + 12 > −2m − 4
⇔
x1= 6m + 12
x2= −2m − 4 12m2+ 40m + 26 = 0
m > −2
⇔ m =−10 +
p 22
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thứcP = 4x1+ 4x2− 4x1x2− x21− 9x22bằng−12khim =−10 +
p 22
BÀI 3 Tìm tất cả các giá trị thực của tham sốmđể phương trình sau có4nghiệm phân biệt
x2+ (m − 1)px + 4 = 4x +¡px + m − 1¢|x − 2|
Lời giải.
Điều kiện xác định của phương trình đã cho làx ≥ 0
Ta có
x2+ (m − 1)px + 4 = 4x +¡px + m − 1¢|x − 2|
⇔ x2− 4x + 4 + (m − 1)px − |x − 2|px − (m − 1)|x − 2| = 0
⇔ |x − 2|2− |x − 2|px −£(m − 1)|x − 2| − (m − 1)px¤ = 0
⇔ |x − 2|¡|x − 2| −px¢ − (m − 1)¡|x − 2| −px¢ = 0
⇔ ¡|x − 2| −px¢ (|x − 2| − m + 1) = 0
Trang 3"
|x − 2| −px = 0
|x − 2| − m + 1 = 0
Trước hết, ta giải phương trình|x − 2| −px = 0
|x − 2| −px = 0 ⇔ |x − 2| =px ⇔(x ≥ 0
x2− 5x + 4 = 0⇔
"x = 1
x = 4
Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình|x − 2| − m + 1 = 0có hai nghiệm phân biệt không âm, khác1và khác4
Lại có
|x − 2| − m + 1 = 0 ⇔ |x − 2| = m − 1 ⇔
m − 1 ≥ 0
"x − 2 = m − 1
x − 2 = 1 − m
⇔
m ≥ 1
"x = m + 1
x = 3 − m
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi
m ≥ 1
m + 1 ̸= 3 − m
m + 1 ≥ 0
3 − m ≥ 0
m + 1 ̸= 1
m + 1 ̸= 4
3 − m ̸= 1
3 − m ̸= 4
⇔
m ≥ 1
m ̸= 1
m ≥ −1
m ≤ 3
m ̸= 0
m ̸= 3
m ̸= 2
m ̸= −1
⇔(1 < m < 3
m ̸= 2
BÀI 4 Cho hai điểmA,Bphân biệt cố định Xác định tập hợp các điểmMthỏa mãn¯¯2# »
M A +MB# »¯
¯ =
¯
¯
# »
M A + 2MB# »¯
¯
Lời giải.
GọiI,J là các điểm lần lượt thỏa mãn2# »
I A +# »
IB =#»0
và # »
J A + 2# »
JB =#»0 Khi đó
2# »
I A +# »
IB =#»
0 ⇔ 3# »
I A +# »
AB =#»
0 ⇔# »
I A = −1 3
# » AB
# »
J A + 2# »
JB =#»
0 ⇔ 3# »
JB +# »
B A =#»
0 ⇔# »
JB = −1 3
# »
B A
Suy raI,J nằm giữaA,Bvà A I =1
3AB,BJ =1
3ABhayA I = I J = BJ
Ta có
¯
¯2# »
M A +MB# »¯
¯ =
¯
¯
# »
M A + 2MB# »¯
¯ ⇔
¯
¯3M I# »¯
¯ =
¯
¯3M J# »¯
¯ ⇔M I = M J
Do đóMthuộc đường trung trực của đoạn thẳngI J
MàI JvàABcó cùng trung điểm nên tập hợp các điểm Mthỏa mãn
¯
¯2# »
M A +MB# »¯
¯ =
¯
¯
# »
M A + 2MB# »¯
¯là đường trung trực
BÀI 5 Cho phương trình2x2+ 2(m + 1)x + m2+ 4m + 3 = 0 (1), vớimlà tham số
1 Tìmmđể phương trình(1)có nghiệm
2 Gọix1,x2là hai nghiệm của phương trình(1) Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P = |x1x2− 2 (x1+ x2)|
Lời giải.
1 Phương trình2x2+ 2(m + 1)x + m2+ 4m + 3 = 0có biệt thức
∆′= (m + 1)2− 2¡m2+ 4m + 3¢ = m2
+ 2m + 1 − 2m2− 8m − 6 = −m2− 6m − 5 = 4 − (m + 3)2 Phương trình(1)có nghiệm khi và chỉ khi
∆′≥ 0 ⇔ 4 − (m + 3)2≥ 0 ⇔ (m + 3)2≤ 4 ⇔ |m + 3| ≤ 2 ⇔ −2 ≤ m + 3 ≤ 2 ⇔ −5 ≤ m ≤ 1
Vậy với−5 ≤ m ≤ −1thì phương trình(1)có nghiệm
Trang 42 Với−5 ≤ m ≤ −1thì phương trình(1)có nghiệmx1,x2.
Theo định lí Vi-ét, ta cóx1+ x2= −m − 1vàx1x2=m
2
+ 4m + 3
Khi đó
P = |x1x2− 2 (x1+ x2)| =
¯
¯
m2+ 4m + 3
2 + 2m + 2
¯
¯=1 2
¯
m2+ 8m + 7¯ Xét hàm sốf (m) = m2+ 8m + 1trên đoạn[−5;−1]
Bảng biến thiên của hàm hàm sốf (m) = m2+ 8m + 1trên đoạn[−5;−1]
m
f (m)
−8
−9
0
Do đó max
[−5;−1]f (m) = f (−1) = 0và min
[−5;−1]f (m) = f (−4) = −9 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thứcP bằng9
2 khim = −4
□ BÀI 6 Trong mặt phẳng với hệ tọa độOx y, cho hai điểm A(2; 5)vàB(1; 1) Tìm tọa độ điểmN trên trục tung sao cho
|N A − NB|đạt giá trị lớn nhất
Lời giải.
Rõ ràng,AvàBnằm cùng phía đối với trục tung
GọiIlà giao điểm củaABvà trục tung Khi đó|I A − IB| = AB
Với mọi điểmN thuộc trục tung, ta luôn có|N A − NB| ≤ AB Đẳng thức xảy ra
khi và chỉ khiN ≡ I
Vì thế,|N A − NB| đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khiN là giao điểm của ABvà
trục tungO y
Ta có# »
AB = (−1;−4)và# »
AN = (−2; yN− 5)
A
B
N I
VìNlà giao điểm của ABvà trục tungO ynên ba điểmA,B,N thẳng hàng hayAB# »
và # »AN cùng phương, nghĩa là
− (yN− 5) − 2 · 4 = 0 ⇔ −yN+ 5 − 8 = 0 ⇔ yN= −3
BÀI 7
Cho hàm số y = f (x) = ax2+ bx + c có đồ thị (C)như hình vẽ Có bao nhiêu giá trị
nguyên của tham số m để phương trình [ f (|x|)]2+ (m − 2) f (|x|) + m − 3 = 0 có sáu
nghiệm phân biệt?
x y
O
2
− 1
3
Lời giải.
Ta cóy = f (|x|) =( f (x) nếux ≥ 0
f (−x) nếux < 0
Đồ thị của hàm sốy = f (|x|)gồm hai phần
Phần đồ thị của hàm số y = f (x)ứng vớix ≥ 0(bên phải trục
tung)
Lấy đối xứng phần đồ thị trên qua trục tung
Do đó, đồ thị của hàm sốy = f (|x|)được biểu diễn như hình vẽ bên
Phương trình đã cho tương đương với
[ f (|x|) + 1][ f (|x|) + m − 3] = 0 ⇔" f (|x|) = −1
f (|x|) = 3 − m
x y
O
2
− 1
− 2
3
− 1
− 3
Trang 5Dựa vào đồ thị của hàm số y = f (|x|), ta thấy phương trìnhf (|x|) = −1có hai nghiệmx = ±2.
Vì thế, yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi phương trình f (|x|) = 3 − mphải có bốn nghiệm phân biệt khác−2
và2, nghĩa là
−1 < 3 − m < 3 ⇔ −4 < −m < 0 ⇔ 0 < m < 4
Vìmlà số nguyên và thỏa mãn0 < m < 4nênm ∈ {1;2;3}
BÀI 8 Tìm tất cả các giá trị thực của tham sốmđể phương trìnhx2− 4x + 6 + 3m = 0có đúng hai nghiệm thuộc đoạn [1; 5]
Lời giải.
Phương trìnhx2− 4x + 6 + 3m = 0tương đương với phương trình3m = −x2+ 4x − 6 Do đó, số nghiệm của phương trình
x2− 4x + 6 + 3m = 0bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = −x2+ 4x − 6và đường thẳng y = 3m
Đồ thị hàm số y = −x2+ 4x − 6có đỉnhI(2; −2)
Bảng biến thiên của hàm sốy = −x2+ 4x − 6trên đoạn[1; 5]
x
y
−3
−2
−11 Dựa vào bảng biến thiên trên, phương trìnhx2− 4x + 6 + 3m = 0có đúng hai nghiệm thuộc đoạn[1; 5]khi và chỉ khi
−3 ≤ 3m < −2 ⇔ −1 ≤ m < −2
3. Vậym ∈
·
−1; −2
3
¶
BÀI 9 Trong mặt phẳng tọa độOx y, cho ba điểm A(−1;−2),B(3; 2),C(4; −1) Biết điểm E(a; b)di động trên đường thẳngABsao cho
¯
¯2# »
E A + 3# »
EB −# » EC
¯
¯đạt giá trị nhỏ nhất Tínha2− b2
Lời giải.
GọiIlà điểm thỏa mãn2# »
I A + 3# »
IB −# »
IC =#»0 GọiHlà hình chiếu vuông góc củaItrên đường thẳngAB
Với mọi điểmEthuộc đường thẳngAB, ta có
¯
¯2# »
E A + 3# »
EB −# » EC
¯
¯ =
¯
¯4# »
E I + 2# »
I A + 3# »
IB −# » IC
¯
¯ =
¯
¯4E I# »¯
¯ =4E I ≥ 4H I
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khiEtrùng vớiHhayElà hình chiếu vuông góc củaItrên đường thẳngAB
Vì2# »
I A + 3# »
IB −# »
IC =#»0
nên2# »
O A + 3# »
OB −# »
OC = 4# »
OIhay # »
OI =1 4
³
2# »
O A + 3# »
OB −# »
OC´ Do đóI
µ3
4;
3 4
¶
Ta có # »
AB = (4;−4), # »
AE = (a + 1; b + 2)và # »
I E =
µ
a −3
4; b −3 4
¶
Vì E là hình chiếu vuông góc của I trên đường thẳng ABnên A,B,E thẳng hàng và I E ⊥ ABhay # »
AB, # »
AEcùng phương và# »
I E ⊥# »
AB, tức là
4(b + 2) + 4(a + 1) = 0 4
µ
a −3 4
¶
− 4
µ
b −3 4
¶
= 0⇔
(a + b = −3
a − b = 0 ⇔
a = −3 2
b = −3
2. VậyE
µ
−3
2; −3
2
¶
BÀI 10 Cho parabol(P) : y = −x2− 2x + 3 Tìm tất cả các giá trị của tham sốmđể đường thẳngd : y = x + mcắt(P)tại hai điểm phân biệtA (x1; y1),B (x2; y2)sao cho2x1+ y2= 0
Lời giải.
Phương trình hoành độ giao điểm của parabol(P)và đường thẳngd là
−x2− 2x + 3 = x + m ⇔ x2+ 3x + m − 3 = 0 (∗) Đường thẳngdcắt parabol(P)tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình(∗)có hai nghiệm phân biệt, tức là
32− 4 · (m − 3) > 0 ⇔ 21 − 4m > 0 ⇔ m <214
Trang 6Vớim <21
4 thì đường thẳngdcắt parabol(P)tại hai điểm phân biệtA (x1; y1),B (x2; y2), trong đóx1,x2là hai nghiệm của phương trình(∗)
Theo định lí Vi-ét, ta cóx1+ x2= −3vàx1x2= m − 3
Theo giả thiết thì
2x1+ y2= 0 ⇔ 2x1+ x2+ m = 0 ⇔ 2x1+ x2= −m
Ta có hệ phương trình
(2x1+ x2= −m
x1+ x2= −3 ⇔
(x1= 3 − m
x2= m − 6
Màx1x2= m − 3nên
(3 − m)(m − 6) = m − 3 ⇔ (3 − m)(m − 5) = 0 ⇔"3 − m = 0
m − 5 = 0⇔
"m = 3
m = 5
µ thỏa mãnm <21
4
¶
BÀI 11 Trong mặt phẳng tọa độOx y, cho parabol(P) : y = x2−4x +3và đường thẳngd : y = mx +3 Tìm tất cả các giá trị thực của tham sốmđểdcắt(P)tại hai điểm phân biệtA,Bsao cho diện tích tam giácO ABbằng9
2
Lời giải.
Phương trình hoành độ giao điểm của parabol(P)và đường thẳngdlà
x2− 4x + 3 = mx + 3 ⇔ x2− (m + 4)x = 0 ⇔ x(x − m − 4) = 0 ⇔"x = 0
x = m + 4
Đường thẳngdcắt parabol(P)tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khim + 4 ̸= 0haym ̸= −4
Vớim ̸= −4thì đường thẳngd cắt parabol(P)tại hai điểm phân biệt A (x1; mx1+ 3),B (x2; mx2+ 3), trong đó x1,x2là hai nghiệm của phương trìnhx2− (m + 4)x = 0
Ta có# »
O A = (x1; mx1+ 3)và # »
OB = (x2; mx2+ 3) Theo giả thiết, diện tích tam giácO ABbằng 9
2nên 1
2|x1(mx2+ 3) − x2(mx1+ 3)| =9
2⇔ |3x1− 3x2| = 9 ⇔ |x1− x2| = 3 ⇔ |m + 4| = 3 ⇔"m = −1
m = −7(thỏa mãnm ̸= −4).
BÀI 12 Trong hệ trục tọa độ Ox y, cho các điểm A(1; −1), B(−2;2), C(0; 1) Tìm điểm M trên trục hoành sao cho
¯
¯
# »
M A +# »
MB +# »
MC
¯
¯đạt giá trị nhỏ nhất
Lời giải.
GọiGlà trọng tâm của tam giác ABC
GọiHlà hình chiếu vuông góc củaGtrên trục hoành
Với mọi điểmMthuộc trục hoành, ta có
¯
¯
# »
M A +# »
MB +# » MC
¯
¯ =
¯
¯3# »
MG +# »
G A +# »
GB +# » GC
¯
¯ =
¯
¯3# » MG
¯
¯ =3MG ≥ 3HG
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khiM ≡ H
Do đó,
¯
¯
# »
M A +# »
MB +# »
MC
¯
¯đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khiMlà hình chiếu vuông góc củaGtrên trục hoành
VìGlà trọng tâm của tam giácABCnênG
µ
−1
3;
2 3
¶ Suy raM
µ
−1
3; 0
¶ Vậy¯¯# »
M A +# »
MB +# »
MC
¯
¯đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khiM
µ
−1
3; 0
¶
BÀI 13 Cho hàm sốy = −x2+4x+2có đồ thị là(P) Tìm tất cả các giá trị của tham sốmđể đường thẳngd : y = 2x+ m cắt đồ thị(P)tại hai điểm phân biệtA,Bsao choAB ≤ 4p5
Lời giải.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị(P)và đường thẳngdlà
−x2+ 4x + 2 = 2x + m ⇔ x2− 2x + m − 2 = 0 (∗) Đường thẳngdcắt đồ thị(P)tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình(∗)có hai nghiệm phân biệt, tức là
(−1)2− (m − 2) > 0 ⇔ 3 − m > 0 ⇔ m < 3
Trang 7Với mọim < 3đường thẳngdcắt đồ thị(P)tại hai điểm phân biệtA (x1; 2x1+ m),B (x2; 2x2+ m)trong đóx1,x2là hai nghiệm của phương trình(∗)
Theo giả thiết
AB ≤ 4p5 ⇔ AB2≤ 80 ⇔ 5 (x1− x2)2≤ 80 ⇔ (x1+ x2)2− 4x1x2≤ 16 ⇔ 4 − 4(m − 2) ≤ 16 ⇔ 3 − m ≤ 4 ⇔ m ≥ −1
Kết hợp điều kiệnm < 3, ta được−1 ≤ m < 3là các giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán □ BÀI 14 Cho hình chữ nhậtABCDcó cạnhAB = 2a,AD = a Tìm tập hợp điểmIsao choI A2+IB2+ID2−3IC2= 10a2
Lời giải.
GọiM,Nlần lượt là trung điểm củaAB,AD;Olà tâm của hình chữ nhậtABCD
GọiGlà trọng tâm của tam giác ABD Khi đó
G A =2
3AO =1
3AC =a
p 5
3 ;
GB =2
3BN =2 3
p
AB2+ AN2=2
3
AB2+AD
2
4 =a
p 17
3 ;
GD =2
3D M =2
3
p
AD2+ AM2=23
AD2+AB
2
4 =2a
p 2
3 .
C D
O
M
N
G
Ta có
I A2+ IB2+ ID2− 3IC2= 10a2
⇔ # »I A2
+# »IB2
+I D# »2
− 3IC# »2
= 10a2
⇔ ³# »
IG +# »
G A´2+³# »
IG +# »
GB´2+³# »
IG +# »
GD´2− 3³# »
IG +# »
GC´2= 10a2
⇔ 3# »IG2
+ 2IG# »³# »
G A +# »
GB +GD# »´
+G A# »2
+GB# »2
+GD# »2
− 3# »IG2
− 6# »
IG ·# »
GC − 3GC# »2
= 10a2
⇔ G A2+ GB2+ GD2− 3GC2− 6# »
IG ·# »
GC = 10a2
⇔ 6# »
IG ·# »
GC =5a
2
9 +17a
2
9 +8a
2
9 − 3
µ 5a2−5a
2
9
¶
− 10a2
⇔ # »
IG ·# »
GC = −10a
2
3 .
⇔ # »
G I ·# »
GC =10a
2
3 . Suy ra³# »
G I,# »
GC´là góc nhọn
GọiHlà hình chiếu vuông góc củaHtrênGC Khi đó
# »
G I ·# »
GC =10a
2
3 ⇔# »
GH ·# »
GC =10a
2
3 ⇔ GH · GC =10a
2
3 ⇔ GH =3a
4 (không đổi)
MàGcố định nênHcũng cố định
Vậy tập điểm I sao cho I A2+ IB2+ ID2− 3IC2= 10a2 là đường thẳng đi qua
I
H
□ BÀI 15 Tìm các giá trị của tham sốmđể phương trìnhp2x2− (m − 1)x − 2m2+ 5m − 1 = x + 1có nghiệm duy nhất
Lời giải.
Ta có
p 2x2− (m − 1)x − 2m2+ 5m − 1 = x + 1 ⇔(x ≥ −1
x2− (m + 1)x − 2m2+ 5m − 2 = 0
Phương trìnhx2− (m + 1)x − 2m2+ 5m − 2 = 0có biệt thức
∆= (m + 1)2− 4¡−2m2+ 5m − 2¢ = 9m2
− 18m + 9 = (3m − 3)2≥ 0, ∀m ∈ R
Do đó, phương trìnhx2−(m+1)x−2m2+5m−2 = 0có hai nghiệmx =m + 1 + 3m − 3
2 = 2m−1vàx =m + 1 − 3m + 3
2 = 2−m
Vì thế, phương trìnhp2x2− (m − 1)x − 2m2+ 5m − 1 = x + 1có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi
(2m − 1 = 2 − m
2 − m ≥ −1 (2m − 1 ≥ −1
2 − m < −1 (2 − m ≥ −1 2m − 1 < −1
⇔
(m = 1
m ≤ 3 (m ≥ 0
m > 3 (m ≤ 3
m < 0
⇔
m = 1
m > 3
m < 0
Trang 8Vậym < 0,m = 1,m > 3là các giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán □
Câu 1 Trong mặt phẳngOx y, cho hai điểmA(1; 2) vàB(−5;7) Điểm M(a; 0)thuộc trục hoành sao cho|M A − MB| đạt giá trị lớn nhất Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A a ∈ (0;1) B a ∈ (1;2) C a ∈ (2;3) D a ∈ (3;4)
Lời giải.
Rõ ràng,AvàBnằm cùng phía đối với trục hoành
GọiIlà giao điểm củaABvà trục hoành Khi đó|I A − IB| = AB
Với mọi điểmMthuộc trục hoành, ta luôn có|M A − MB| ≤ AB Đẳng thức xảy ra
khi và chỉ khiM ≡ I
Vì thế,|M A − MB|đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khiM là giao điểm củaABvà
trục hoànhOx
Ta có# »
AB = (−6;5)và # »
AM = (a − 1;−2)
A
B
M I
VìMlà giao điểm của ABvà trục hoànhOxnên ba điểmA,B,Mthẳng hàng hay# »AB
và# »AM cùng phương, nghĩa là (−6) · (−2) − 5(a − 1) = 0 ⇔ 12 − 5a + 5 = 0 ⇔ 17 − 5a = 0 ⇔ a =17
5. Vậy|M A − MB|đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khiM
µ17
5; 0
¶ Suy raa =17
5 Do đóa ∈ (3;4)
Câu 2 Có bao nhiêu giá trị nguyên củamđể phương trìnhx −p2x − m = 4có hai nghiệm phân biệt?
Lời giải.
Ta có
x −p2x − m = 4 ⇔p2x − m = x − 4 ⇔(x − 4 ≥ 0
2x − m = (x − 4)2⇔
(x ≥ 4
− x2+ 10x − 16 = m
Phương trìnhx −p2x − m = 4có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình−x2+ 10x − 16 = mcó hai nghiệm phân biệtx1,x2thỏa mãnx1> x2≥ 4
Số nghiệm của phương trình−x2+10x−16 = mbằng số giao điểm của đồ thị hàm sốy = −x2+10x−16và đường thẳng
y = m
Đồ thị hàm sốy = −x2+ 10x − 16có đỉnhI(5; 9)
Bảng biến thiên của hàm sốy = −x2+ 10x − 16trên nửa khoảng[4; +∞)
x
y
8
9
−∞
Dựa vào bảng biến thiên trên, yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi8 ≤ m < 9
Vìmlà số nguyên vàm ∈ [8;9)nênm = 8
Vậy có1giá trị nguyên củamthỏa mãn yêu cầu bài toán
Câu 3 Cho phương trình(x −1)¡x2+ 4mx − 4¢ = 0, vớimlà tham số Phương trình có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
4
Lời giải.
Ta có
(x − 1)¡x2+ 4mx − 4¢ = 0 ⇔"x = 1
x2+ 4mx − 4 = 0
Phương trình(x − 1)¡x2+ 4mx − 4¢ = 0 có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình x2+ 4mx − 4 = 0có hai nghiệm phân biệt khác1, nghĩa là
((2m)2
− 1 · (−4) > 0
12+ 4m · 1 − 4 ̸= 0 ⇔
( 4m2+ 4 > 0 (luôn đúng với mọim ∈ R)
3
4.
Vậy vớim ̸=3
4thì phương trình(x − 1)¡x2+ 4mx − 4¢ = 0có ba nghiệm phân biệt
Trang 9Câu 4 Với tất cả các giá trị nào của tham sốmthì phương trình x − m
x + 1 =
x − 2
x − 1 có nghiệm duy nhất?
A m ̸= −1 B Không cóm C m ̸= 0vàm ̸= −1 D m ̸= 0
Lời giải.
Với mọix ̸= −1vàx ̸= 1, phương trình đã cho được biến đổi thành
(x − m)(x − 1) = (x − 2)(x + 1) ⇔ x2− (m + 1)x + m = x2− x − 2 ⇔ mx = m + 2 (∗) Phương trình x − m
x + 1 =
x − 2
x − 1 có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình(∗)có nghiệm duy nhất khác−1và1, nghĩa là
m ̸= 0
m + 2
m ̸= −1
m + 2
m ̸= 1
⇔
m ̸= 0
1 + 2
m̸= −1
1 + 2
m̸= 1 (luôn đúng)
⇔(m ̸= 0
m ̸= −1
Vậy vớim ̸= 0vàm ̸= −1thì phương trình x − m
x + 1 =
x − 2
x − 1 có nghiệm duy nhất.
Câu 5 Có bao nhiêu giá trị nguyên củam ∈ [−2022;2022]để phương trình
(2m + 1)x2− (mx + x + 2m)p2x2+ 1 + (m + 1)x + 2m = 0
có ba nghiệm phân biệt?
Lời giải.
Ta có
(2m + 1)x2− (mx + x + 2m)p2x2+ 1 + (m + 1)x + 2m = 0
⇔ (2m + 1)x2− (mx + x + 2m)³p2x2+ 1 − x − 1´+ (m + 1)x + 2m − (mx + x + 2m)(x + 1) = 0
⇔ (2m + 1)x2− (mx + x + 2m)x − (mx + x + 2m)³p2x2+ 1 − x − 1´= 0
⇔ m¡x2− 2x¢ − (mx + x + 2m)³p2x2+ 1 − x − 1´= 0
⇔ m³p2x2+ 1 − x − 1´ ³p2x2+ 1 + x + 1´− (mx + x + 2m)³p2x2+ 1 − x − 1´= 0
⇔ ³p2x2+ 1 − x − 1
´ h
m³p2x2+ 1 + x + 1
´
− mx − x − 2m
i
= 0
⇔
p
m³p2x2+ 1 + x + 1´− mx − x − 2m = 0 (2) Lại có
(1) ⇔(x + 1 ≥ 0
x2− 2x = 0⇔
(x ≥ −1 2x2+ 1 = x2+ 2x + 1⇔
x ≥ −1
"x = 0
x = 2
⇔"x = 0
x = 2
Phương trình(2)tương đương với
mp2x2+ 1 + mx + m − mx − x − 2m = 0 ⇔ m³p2x2+ 1 − 1´= x (3)
Rõ ràngx = 0là một nghiệm của phương trình(3)
Vớix ̸= 0, phương trình(3)được biến đổi thành
m =p x 2x2+ 1 − 1⇔ m =
p 2x2+ 1 + 1
Xét hàm số f (x) =
p 2x2+ 1 + 1 2x với mọix ̸= 0
– Trường hợp 1 Trên khoảng(0; +∞), hàm sốf (x) =
p 2x2+ 1 + 1 2x được biến đổi thành f (x) =1
2
µ…
2 + 1
x2+1 x
¶ Với mọix1, x2∈ (0; +∞)vàx1< x2ta có
f (x2) − f (x1) =1
2
Ã
2 + 1
x2−
2 + 1
x2+x1
2−x1
1
!
< 0
Trang 10Do đó hàm sốf (x) =1
2
µ…
2 + 1
x2+1 x
¶ nghịch biến trên khoảng(0; +∞)
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi phương trình(4)có một nghiệm khác2, nghĩa là
m >
p 2 2
m ̸= f (2)
⇔
m >
p 2 2
m ̸= 1
(∗)
Vìmlà số nguyên thuộc[−2022;2022]và thỏa mãn(∗)nênm ∈ {2;3; ;2022}
– Trường hợp 2 Trên khoảng(−∞;0), hàm sốf (x) =
p 2x2+ 1 + 1 2x được biến đổi thànhf (x) = −1
2
µ…
2 + 1
x2−1 x
¶ Với mọix1, x2∈ (−∞; 0)vàx1< x2ta có
f (x2) − f (x1) = −1
2
Ã
2 + 1
x22−
2 + 1
x21−x1
2+x1
1
!
< 0
Do đó hàm sốf (x) = −1
2
µ…
2 + 1
x2−1 x
¶ nghịch biến trên khoảng(−∞;0) Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi phương trình(4)có một nghiệm, nghĩa là
m < −
p 2
Vìmlà số nguyên thuộc[−2022;2022]và thỏa mãn(∗)nênm ∈ {−2022;−2021; ;−1}
Vậy có tất cả4043giá trị nguyên củamthuộc[−2022;2022]thỏa mãn yêu cầu bài toán
Câu 6 Cho hai tập hợpA = (2m−4;+∞)vàB = [4m−2;3m+2) Có bao nhiêu giá trị nguyên củamđểA ∩B ̸=∅?
A 9 B 10 C 7 D Vô số.
Lời giải.
A ∩ B ̸=∅ khi và chỉ khi
(4m − 2 < 3m + 2 2m − 4 < 3m + 2⇔
(m < 4
m > −6⇔ −6 < m < 4.
Vìmlà số nguyên và thỏa mãn−6 < m < 4nênm ∈ {−5;−4; ;3}
Vậy có tất cả9giá trị nguyên củamthỏa mãn yêu cầu bài toán
Câu 7 Cho parabol(P) : y = x2và đường thẳngd : y = mx + 3 Tập hợpS chứa tất cả giá trị của tham sốmđểdcắt (P)tại hai điểm phân biệtAvàBsao choxA+ xB− 3 = 2mlà
Lời giải.
Phương trình hoành độ giao điểm của parabol(P) : y = x2và đường thẳngd : y = mx + 3là
Đường thẳngd cắt parabol(P)tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình(∗)có hai nghiệm phân biệt, tức là
(−m)2− 4 · (−3) > 0 ⇔ m2+ 12 > 0 (luôn đúng với mọim ∈ R)
Vì thế, đường thẳng d luôn cắt parabol(P) tại hai điểm phân biệt A (xA; yA)và B (xB; yB), trong đó xA, xB là hai nghiệm của phương trình(∗)
Khi đóxA+ xB− 3 = 2mtrở thành
m − 3 = 2m ⇔ m = −3
VậyS = {−3}
Câu 8 Cho hàm sốy = x2− 2x − 2có đồ thị là parabol(P)và đường thẳngd có phương trình y = x − m Giá trị củam
để đường thẳngdcắt parabol(P)tại hai điểm phân biệtA,Bsao choO A2+ OB2đạt giá trị nhỏ nhất là
A m = −1
2
Lời giải.
Phương trình hoành độ giao điểm của parabol(P)và đường thẳngdlà
x2− 2x − 2 = x − m ⇔ x2− 3x + m − 2 = 0 (∗)