Chương IV Chuỗi • Chuỗi số 51 • Chuỗi hàm Chuỗi số •Định nghĩa được gọi là một chuỗi số 1 2 1 n n n u u u u +∞ = + + + =∑ 52 được gọi là một chuỗi số ký hiệu ∞ ∑ + n n=1 u •Ví dụ 1 1 1 1 1 1 2 3 nn n.
Trang 1Chương IV: Chuỗi
• Chuỗi số
51
• Chuỗi hàm
Trang 2Chuỗi số
•Định nghĩa:
được gọi là một chuỗi số
1
n
+∞
=
+ + … + … = ∑
được gọi là một chuỗi số
ký hiệu:
∞
∑+ n n=1
u
•Ví dụ: 1 + 1 + + 1 … 1 + … = ∑+∞ 1
Trang 3•Định nghĩa tổng của chuỗi
1
n
n
=
lim n
53
tụ và có tổng là S
Ngược lại ta nói chuỗi phân kỳ và không có tổng
n→+∞
Trang 4Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ
thì
1
n
+∞
=
+ + … + … = ∑
→+∞ n
n lim u = 0
Nếu lim u ≠ 0 thì chuỗi cho phân kỳ
Tương đương
Nếu thì chuỗi cho phân kỳ
→+∞ n ≠
n lim u 0
Ví dụ
1
1
n
n n
+∞
=
+
−
∑ phân kỳ
+
Vì
Trang 5Ví dụ
= =
n 1 n 1
n(n 1) 1.2 2.3 n(n 1)
n(n 1) n n 1
55
Vậy chuỗi cho hội tụ và có tổng là 1
=
∑n
n
k 1
= n n = n − + =
1
S lim S lim 1 1
n 1
Trang 6Ví dụ
b)
+∞
−
=
≠
n 1
aq với a 0
<
q 1
( chuỗi số nhân) Chuỗi trên hội tụ nếu
≥
q 1
Chuỗi trên phân kỳ nếu
Ví dụ
≥
q 1
+∞
=
∑ n
n 1
1 2
+∞
=
∑ n
n 1
1 3
+∞
=
∑ n
n 1
2
Chuỗi trên phân kỳ nếu
Phân kỳ (chuỗi số điều hịa)
+∞
∑ 1
Trang 7Chuỗi số dương và các tiêu chuẩn hội tụ
• Định nghĩa: đgl chuỗi số dương nếu mọi
số hạng của chuỗi đều dương1
n n
u
+∞
=
∑
∞
∑+ n n=1
u
Cho và ∑+∞là hai chuỗi số dương vn
n=1
57
n=1
Nếu hội tụ thì hội tụ
n=1
Tiêu chuẩn so sánh 1: Cho un ≤ v n
∞
∑+ vn
n=1
∞
∑+ n n=1
u
Nếu phân kỳ thì phân kỳ
∞
∑+ n n=1
u
∞
∑+ vn
n=1
Trang 8Ví dụ : Xét sự hội tụ của các chuỗi sau
+∞
=
n 1
1
n 3
+∞ 1
≤ =
n n
n 3
n3
+∞
=
∑ 3
n 1
1
Trang 9Tiêu chuẩn so sánh 2
→ ∞
=
n +
n
u lim
v
=
k 0
1
n n
v
+∞
=
∑
1
n n
u
+∞
=
∑
59
1
n n
u
+∞
=
∑
1
n n
v
+∞
=
∑
Nếu thì hai chuỗi cho có cùng tính chấtk 0>
Trang 10Ví dụ : Xét sự hội tụ của các chuỗi sau
+∞
∑ 2
n 1
2n
n
2n
2 3n 1
lim
1 3 n
+∞
=
∑
n 1
1
+∞
= +
∑ n
n 1
2n (n 1).3 Hội tụ vì
=
n 1 n
→+∞
+
=
n
n
n
2n (n 1)3 lim 2
1 3
+∞