Toán 11 bài 1 đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

Bài 1 Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng A Các câu hỏi hoạt động trong bài Hoạt động 1 trang 45 SGK Toán lớp 11 Hình học Hãy vẽ thêm một vài hình biểu diễn của hình chóp tam giác Lời giải Hoạt động[.]

Bài 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

A Các câu hỏi hoạt động trong bài

Hoạt động 1 trang 45 SGK Toán lớp 11 Hình học: Hãy vẽ thêm một vài hình

biểu diễn của hình chóp tam giác

Lời giải:

Hoạt động 2 trang 47 SGK Toán lớp 11 Hình học: Tại sao người thợ mộc kiểm

tra độ phẳng mặt bàn bằng cách rê thước thẳng trên mặt bàn?

Lời giải:

Theo tính chất 3, nếu đường thẳng là 1 cạnh của thước có 2 điểm phân biệt thuộc mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đó thuộc mặt phẳng bàn

Khi đó, nếu rê thước mà có 1 điểm thuộc cạnh thước nhưng không thuộc mặt bàn thì bàn đó chưa phẳng và ngược lại

Hoạt động 3 trang 47 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho tam giác ABC, M là

điểm thuộc phần kéo dài của BC (h.2.12) Hãy cho biết M có thuộc mặt phẳng (ABC) không và đường thẳng AM có nằm trong mặt phẳng (ABC) không?

Lời giải:

MBC mà BC(ABC)

Nên M(ABC)

Vì A(ABC) và M(ABC) nên mọi điểm thuộc AM đều thuộc (ABC)

Hay AM(ABC)

Hoạt động 4 trang 48 SGK Toán lớp 11 Hình học: Trong mặt phẳng (P), cho

hình bình hành ABCD Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (P) Hãy chỉ ra một điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) khác điểm S (h.2.15)

Lời giải:

Một điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) khác điểm S là điểm I vì:

IAC(SAC)

IBD(SBD)

Hoạt động 5 trang 48 SGK Toán lớp 11 Hình học: Hình 2.16 đúng hay sai? Tại

sao?

Lời giải:

Sai vì theo tính chất 2, có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

Theo hình vẽ lại có: ba điểm không thẳng hàng M, L, K vừa thuộc (ABC), vừa thuộc (P)

Suy ra vô lý

Hoạt động 6 trang 52 SGK Toán lớp 11 Hình học: Kể tên các mặt bên, cạnh

bên, cạnh đáy của hình chóp ở hình 2.24

Lời giải:

- Hình chóp tam giác có:

Các mặt bên: (SAB), (SBC), (SAC)

Các cạnh bên: SA, SB, SC

Các cạnh đáy: AB, AC, BC

- Hình chóp tứ giác có:

Các mặt bên: (SAB), (SBC), (SCD), (SAD)

Các cạnh bên: SA, SB, SC, SD

Các cạnh đáy: AB, BC, CD, DA

B Bài tập

Bài tập 1 trang 53 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho điểm A không nằm trên mặt

phẳng (α) chứa tam giác BCD Lấy E, F là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh

AB, AC

a) Chứng minh đường thẳng EF nằm trong mặt phẳng (ABC)

b) Khi EF và BC cắt nhau tại I, chứng minh I là điểm chung của hai mặt phẳng (BCD) và (DEF)

Lời giải:

a) Ta có:

E AB (ABC)

F AC (ABC)



  











Theo tính chất 3, đường thẳng EF có hai điểm E, F cùng thuộc mặt phẳng (ABC) nên EF(ABC)

b) Ta có: EFBC= I

Khi đó:

I EF (DEF)

I BC (BCD)



  

 suy ra I(DEF) ( BCD)

Suy ra I là điểm chung của hai mặt phẳng (BCD) và (DEF)

Bài tập 2 trang 53 SGK Toán lớp 11 Hình học: Gọi M là giao điểm của đường

thẳng d và mặt phẳng (α) Chứng minh M là điểm chung của (α) với một mặt

phẳng bất kì chứa d

Lời giải:

Ta có M=   suy ra d ( ) M   (1) ( )

Gọi (β) là mặt phẳng bất kì chứa d

( )

M d

d





  

 suy ra M   (2) ( )

Từ (1), (2) suy ra M     ( ) ( )

Vậy M là điểm chung của (α) với bất kì mặt phẳng nào chứa d

Bài tập 3 trang 53 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho ba đường thẳng d1, d2 ,

d3 không cùng nằm trong một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi một Chứng minh ba đường thẳng trên đồng quy

Lời giải:

Gọi d1 , d2 , d3 là ba đường thẳng đã cho

Gọi I= d1 d2 suy ra 1

2

I d

I d





 



Ta chứng minh Id3 Thật vậy,

Gọi (β) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau d1 , d3

(γ) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau d2 , d3

Do ba đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng nên (β) và (γ) phân biệt

Ngoài ra 3

3

d ( )

d ( )

 



  

 suy ra ( )   =( ) d3

1

I  d ( ) suy ra I  =( ) (d ,d1 3)

2

Id  ( ) suy ra I  =( ) (d ,d2 3)

Từ đó suy ra, I    =( ) ( ) d3

Vậy d1 , d2 , d3 đồng quy

Cách khác:

Gọi (P) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau d1 , d2

Goi d3 =d1 M;d3 d2 =N

1

Md , mà d1 (P) suy ra M (P)

2

Nd , mà d2 (P) suy ra N(P)

Nếu M N suy ra d3 có hai điểm M, N cùng thuộc (P)

Suy ra d3 (P)

Suy ra d1 , d2 , d3 đồng phẳng (trái với giả thiết d1 , d2 , d3 không đồng phẳng)

Suy ra M là điểm thuộc cả dN 1 , d2 , d3

Vậy d1 , d2 , d3 đồng quy

Bài tập 4 trang 53 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho bốn điểm A, B, C và D

không đồng phẳng Gọi GA, GB, GC, GD lần lượt là trọng tâm của tam giác BCD, CDA, ABD, ABC Chứng minh rằng AGA, BGB, CGC, DGD đồng quy

Lời giải:

Gọi N là trung điểm CD

GA là trọng tâm tam giác BCD

A

G BN ANB 

Suy ra AG ANBA( )

GB là trọng tâm tam giác ACD

B

G AN ANB 

Suy ra BG ANBB( )

Trong (ANB): AGA không song song với BGB

Suy ra AG BG OA B=

Chứng minh tương tự: BG CGB C;CG AGC A

C

CG  ANB suy ra AGA; BGB; CGC không đồng phẳng và đôi một cắt nhau

Áp dụng kết quả bài 3 suy ra AGA; BGB; CGC đồng quy tại O

Chứng minh tương tự: AGA; BGB; DGD đồng quy tại O

Vậy AGA; BGB ; CGC; DGD đồng quy tại O (điều phải chứng minh)

Bài tập 5 trang 53 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho tứ giác ABCD nằm trong

mặt phẳng (α) có hai cạnh AB và CD không song song Gọi S là điểm nằm ngoài mặt phẳng (α) và M là trung điểm đoạn SC

a) Tìm giao điểm N của đường thẳng SD và mặt phẳng (MAB)

b) Gọi O là giao điểm của AC và BD Chứng minh rằng ba đường thẳng SO, AM,

BN đồng quy

Lời giải:

a) Trong mặt phẳng (ABCD), gọi E là giao điểm của AB và CD

Vì E AB (MAB)

E DC (SDC)



  



E (MAB)

E (SDC)





  



Lại có M (MAB)

M SD M (SDC)





   



Suy ra (MAB)(SDC)=ME

Trong mặt phẳng (SDC) ta có: N EM SD= 

Vì N EM

EM (MAB)





 suy ra N (MAB)

Lại có N SD

Suy ra N là giao điểm của SD và mặt phẳng (MAB)

b) O là giao điểm của AC và BD

Suy ra O AC

O BD





 



Mà AC (SAC)

BD (SBD)





 



O (SAC)

O (SBD)





  

 Suy ra O là một điểm chung của (SAC) và (SBD)

Mặt khác S cũng là điểm chung của (SAC) và (SBD)

Suy ra (SAC)(SBD)=SO

Gọi I là giao điểm của AM và BN

Mà AM (SAC)

BN (SBD)





 



I (SAC)

I (SBD)





  

Như vậy I là điểm chung của (SAC) và (SBD)

Nên I (SAC) (SBD)=SO

Vậy ba đường thẳng SO, AM và BN đồng quy tại I

Bài tập 6 trang 54 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho bốn điểm A, B, C và D

không đồng phẳng Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BC Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP = 2PD

a) Tìm giao điểm của đường thẳng CD và mặt phẳng (MNP)

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ACD)

Lời giải:

a) Ta có: BN 1

BC = , 2 BP 2

BD = 3

Suy ra BN BP

BC  BD nên NP không song song với CD

Trong (BCD), gọi I là giao điểm của NP và CD

Suy ra I CD

INP(MNP) suy ra I (MNP)

Vậy giao điểm của đường thẳng CD và mặt phẳng (MNP) là điểm I

b) Trong (ACD), gọi J là giao điểm của MI và AD

J AD (ACD)

M AC ACD



  

 suy ra MJ(ACD)

Mà JMI(MNP)

Suy ra J(MNP)

Suy ra MJ(MNP)

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ACD) là MJ

Bài tập 7 trang 54 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho bốn điểm A, B, C và D

không đồng phẳng Gọi I, K lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (KAD)

b) Gọi M và N là hai điểm lần lượt lấy trên hai đoạn thẳng AB và AC Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (DMN)

Lời giải:

a) Ta có:

I AD (KAD)

I (IBC)



 

 suy ra I (KAD) (IBC)

K BC (IBC)

K (KAD)



 

 suy ra K(KAD)(IBC)

Suy ra IK=(KAD)(IBC)

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (KAD) là IK b) Trong mặt phẳng (ACD), gọi E CI= DN

Suy ra E CI (BIC)

E DN (DMN)

 



  



Suy ra E (IBC) (DMN)

Trong mặt phẳng (ABD), gọi F=BIDM

Suy ra F BI (BIC)

F DM (DMN)

 



  



Suy ra F (IBC) (DMN)

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (DMN) là EF

Bài tập 8 trang 54 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho tứ diện ABCD Gọi M và N

lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD, trên cạnh AD lấy điểm P không trùng với trung điểm của AD

a) Gọi E là giao điểm của đường thẳng MP và đường thẳng BD Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (PMN) và (BCD)

b) Tìm giao điểm của mặt phẳng (PMN) và BC

Lời giải:

a) Vì M là trung điểm của AB, P không là trung điểm của AD nên MP không song song với BD

Trong mặt phẳng (ABD), gọi E=MPBD

E BD (BCD)

E MP (MNP)



  



E (BCD)

E (MNP)





  

 Suy ra E(BCD)(MNP)

Có N CD (BCD) N (BCD)

N (MNP)



 



Suy ra N (BCD) (MNP)

Do đó NE (BCD) (MNP)= 

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (PMN) và (BCD) là NE

b) Trong mặt phẳng (BCD), gọi Q=NEBC ta có:

Q BC

Q NE (MNP) Q (MNP)







Suy ra Q=BC(MNP)

Vậy giao điểm của mặt phẳng (PMN) và BC là điểm Q

Bài tập 9 trang 54 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình chóp S.ABCD có đáy

là hình bình hành ABCD Trong mặt phẳng đáy vẽ đường thẳng d đi qua A và không song song với các cạnh của hình bình hành, d cắt đoạn BC tại E Gọi C’ là một điểm nằm trên cạnh SC

a) Tìm giao điểm M của CD và mặt phẳng (C’AE)

b) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (C’AE)

Lời giải:

a) Trong (ABCD) gọi M AE= DC

Suy ra M AE M (C'AE)

AE (C'AE)





 



Mà M CD

Suy ra M=CD(C'AE)

b) Trong (SDC): MC' SD = F

Suy ra

F MC' (C'AE)

F SD SDC



  

  F (C'AE)(SDC)

Mà C' (C'AE) (SDC)

Suy ra C'F (C'AE) (SDC)

Ta có:

(C'AE) (ABCD) AE

(C'AE) (SAD) AF

(C'AE) (SBC) C'E

(C'AE) (SDC) C'F









Vậy thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (C’AE) là tứ giác AEC’F

Bài tập 10 trang 54 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình chóp S.ABCD có AB

và CD không song song Gọi M là một điểm thuộc miền trong của tam giác SCD a) Tìm giao điểm N của đường thẳng CD và mặt phẳng (SBM)

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC)

c) Tìm giao điểm I của đường thẳng BM và mặt phẳng (SAC)

d) Tìm giao điểm P của SC và mặt phẳng (ABM), từ đó suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng (SCD) và (ABM)

Lời giải:

a) Trong (SCD) kéo dài SM cắt CD tại N

Suy ra N CD N CD (SBM)

N SM (SMB)





  

b) (SBM) ( SBN)

Dễ thấy S (SAC) (SBM) 

Trong (ABCD), gọi O=ACBN

Suy ra O AC (SAC)

O BN (SBN)



  

  O (SAC)(SBN)

Do đó: SO (SAC) (SBM)= 

c) Trong (SBN) gọi I là giao của MB và SO

Mà SO(SAC)

Do đó: I BM (SAC)= 

d) Trong (ABCD), gọi K=ABCD Khi đó(ABM) (AKM) Trong (SCD), gọi P=MKSC Lại có MK(ABM)

Do đó: P SC (ABM)= 

Trong (SDC), gọi Q=MKSD, MK(ABM)

Suy ra Q SD= (ABM)

Suy ra PQ(ABM),PQ(SCD)

Vậy PQ=(SCD)(ABM)