Tuyển tập bài tập về giới hạn của hàm số (có đáp án 2022) – toán 11

Các bài toán về giới hạn hàm số 1 Lý thuyết a) Giới hạn của hàm số tại một điểm * Giới hạn hữu hạn Cho khoảng K chứa điểm x0 Ta nói rằng hàm số f(x) xác định trên K (có thể trừ điểm x0) có giới hạn là[.]

Các bài toán về giới hạn hàm số

1 Lý thuyết

a) Giới hạn của hàm số tại một điểm:

* Giới hạn hữu hạn: Cho khoảng K chứa điểm x0 Ta nói rằng hàm số f(x) xác định

trên K (có thể trừ điểm x0) có giới hạn là L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kì,

- Ta nói hàm số y = f(x) xác định trên (a;) có giới hạn dần tới dương vô cùng

(hoặc âm vô cùng) khi x  nếu với mọi dãy số (x ) : xn na và xn  thì

e) Quy tắc về giới hạn vô cực

Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x)g(x)

- Định nghĩa 1: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng x ;b , x0   0  Ta nói rằng

hàm số f có giới hạn bên phải là số thực L khi dần đến x0 (hoặc tại điểm x0) nếu với

mọi dãy số bất kì (xn) những số thuộc khoảng (x0; b) mà lim xn = x0 ta đều có lim f(xn)

   được phát biểu tương tự như định nghĩa 1 và định nghĩa 2

- Nhận xét: Các định lí về giới hạn của hàm số vẫn đúng nếu thay L bởi  hoặc 

2 Các dạng bài tập Dạng 1: Giới hạn tại một điểm

 trong đó f(x0) = g(x0) = 0

Phương pháp giải:

Để khử dạng vô định này ta phân tích f(x) và g(x) sao cho xuất hiện nhân tử chung là (x – x0)

Định lí: Nếu đa thức f(x) có nghiệm x = x0 thì ta có: f(x) = (x – x0)f1(x)

* Nếu f(x) và g(x) là các đa thức thì ta phân tích f(x) = (x – x0)f1(x) và g(x) = (x –

Chú ý: Nếu tam thức bậc hai ax2 + bx + c có hai nghiệm x1 ; x2 thì ta luôn có sự phân tích: ax2 + bx + c = a(x – x1) (x – x2)

* Nếu f(x) và g(x) là các hàm chứa căn thức thì ta nhân lượng liên hợp để chuyển về các đa thức, rồi phân tích các đa thức như trên

b) 3

x 1

x 1lim

x 1

4x 5 3lim

- Chia tử và mẫu cho xn với n là số mũ cao nhất của biến ở mẫu (Hoặc phân tích thành

tích chứa nhân tử xn rồi giản ước)

- Nếu u(x) hoặc v(x) có chứa biến x trong dấu căn thì đưa xk ra ngoài dấu căn (Với k là

mũ cao nhất của biến x trong dấu căn), sau đó chia tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất

4

x 3x 7xlim

x x 1x

7

x 3x

2

1 3

x xlim

73x

5 x

2

lim x

1 32

3x xlim

5

3x xxlim

x 6x 5x

1 3x lim 2x 3





c)

2 2 x

2

22x x 3

xlim

25x x 1

2

22x x 3

xlim

25x x 1

62

1 3x lim 2x 3





1 3xlim

3

x 2x









2x

- Nếu biểu thức chứa biến số dưới dấu căn thì nhân và chia với biểu thức liên hợp

- Nếu biểu thức chứa nhiều phân thức thì quy đồng mẫu và đưa về cùng một biểu thức

5x 2x 5xlim

2x lim

2xlim

3 3

2x





x 3

2x 5x 3lim





x 1lim f x

Khi đó với m vừa tìm được, hàm số có giới hạn tại x = x0 cho trước và giới hạn đó

Với giá trị nào của a thì hàm số

đã cho có giới hạn tại điểm x = 2?

Ví dụ 2: Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm

3 Bài tập tự luyện

Câu 1 Tính

x 1

3x 1lim

2x 1lim

x 2

x 8lim

x 4

x 3x 4lim

x 0

x 1 1lim

4x x 1lim

lim3x 7

Câu 12 Kết quả đúng của

3 4

x 1

x 1lim

Cho hàm số y = f(x) xác định trên K và x0K

- Hàm số y = f(x) liên tục tại x0 khi và chỉ khi 0

xlim f (x)x0 f (x )

- Hàm số y = f(x) không liên tục tại x0 ta nói hàm số gián đoạn tại x0

b) Hàm số liên tục trên một khoảng

- Hàm số y = f(x) liên tục trên một khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm x0 của khoảng đó

- Hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] nếu nó liên tục trên (a; b) và

- Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập

- Các hàm số đa thức, phân thức hữu tỉ, lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng

Định lý 2: Cho các hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục tại x0 Khi đó:

- Các hàm số: y = f(x) + g(x); y = f(x) - g(x); y = f(x).g(x) liên tục tại x0

- Hàm số  

 

f xy

g x

 liên tục tại x0 nếu g x 0 0 Định lý 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a).f(b) < 0 Khi đó phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên (a; b)

2 Các dạng toán Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm Loại 1: Xét tính liên tục của hàm số    

Bước 2: Tính   1 

xlim f xx0 xlim f xx0 L

Bước 3: Nếu f2(x0) = L thì hàm số f(x) liên tục tại x0.

Nếu f2 x0 L thì hàm số f(x) không liên tục tại x0

(Đối với bài toán tìm tham số m để hàm số liên tục tại x0, ta thay bước 3 thành: Giải

* Đối với bài toán tìm m để hàm số liên tục tại x0 ta giải phương trình: L = L1 = L2

Vậy không tồn tại m để hàm số liên tục tại x = 1

Dạng 2: Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng

Phương pháp giải:

Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số trên các khoảng đơn Bước 2: Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm giao Bước 3: Kết luận

  nên hàm số liên tục tại x = 1

Vậy hàm số liên tục trên

Ví dụ 2: Cho hàm số  

, 0 x 9x

f x m , x 0

3 , x 9x

f xx

Sử dụng định lý: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a).f(b) < 0 Khi đó

phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên (a; b)

Chú ý: Đa thức bậc n có tối đa n nghiệm trên

* Chứng minh phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm

- Tìm hai số a và b sao cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0

- Phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x0 a;b

* Chứng minh phương trình f(x) = 0 có ít nhất k nghiệm

- Tìm k cặp số ai; bi sao cho các khoảng (ai; bi) rời nhau và f(ai).f(bi) < 0; i = 1; 2; …

  

 

  , phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc

1 0;

f(1).f(3) < 0, phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc (1; 3)

Do đó phương trình có ít nhất 4 ngiệm thuộc khoảng (-1; 3)

Mặt khác phương trình bậc 4 có tối đa bốn nghiệm

Vậy phương trình có đúng 4 nghiệm thuộc khoảng (-1; 3)

b) Đặt t31 x   x 1 t3 Khi đó phương trình đã cho có dạng 2t3

– 6t + 1 = 0 Xét hàm f(t) = 2t3 – 6t + 1 liên tục trên

Vậy phương trình 2x6 1 x3  3 có ít nhất 3 nghiệm thuộc (-7; 9)

Ví dụ 2: Chứng minh rằng phương trình (1 – m2)x5 – 3x – 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi m

Lời giải

Xét hàm số f(x) = (1 – m2)x5 – 3x – 1

Ta có: f(0) = - 1 và f(- 1) = m2 + 1

nên f   1 f 0  m2   1 0, m

Mặt khác: f(x) = (1 – m2)x5 – 3x – 1 là hàm đa thức nên liên tục trên [-1; 0]

Suy ra, phương trình (1 – m2)x5 – 3x – 1 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (-1; 0)

Vậy phương trình (1 – m2)x5 – 3x – 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi m

3 Bài tập tự luyện

Câu 1 Cho hàm số

x 2 khi x 4

x 4

f (x)1 khi x 44

B Hàm số liên tục tại mọi điểm trên tập xác định nhưng gián đoạn tại x = 4

C Hàm số không liên tục tại x = 4

B Hàm số liên tục tại mọi điểm

C Hàm số gián đoạn tại x0 = -1

B Hàm số liên tục tại mọi điểm nhưng gián đoạn tại x0 = 0

C Hàm số liên tục tại mọi điểm

D Tất cả đều sai

Câu 4 Cho hàm số f x  x24 Chọn câu đúng trong các câu sau:

(I) f(x) liên tục tại x = 2

(II) f(x) gián đoạn tại x = 2

(III) f(x) liên tục trên đoạn [-2; 2]

A Chỉ (I) và (III) B Chỉ (I) C Chỉ (II) D Chỉ (II) và

Câu 7 Tìm m để các hàm số

2

x 1 1 khi x 0



.2

Giá trị của a để f(x) liên tục trên R là:

A 1 hoặc 2 B 1 hoặc -1 C -1 hoặc 2 D 1 hoặc -2

Câu 10 Cho hàm số  

2

x 3 khi x 3

(I) f(x) liên tục tại x 3

(II) f(x) gián đoạn tại x 3

(III) f(x) liên tục trên R

A Chỉ (I) và (II)

B Chỉ (II) và (III)

C Chỉ (I) và (III)

D Cả (I),(II),(III) đều đúng

Câu 11 Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

I f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b)<0 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm

II f(x) không liên tục trên [a; b] và f a f b   0 thì phương trình f(x) = 0 vô

A Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng (-1; 1)

B Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng (-2; 0)

C Phương trình (1) chỉ có một nghiệm trong khoảng (-2; 1)

D Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trong khoảng (0; 2)

Câu 13 Số nghiệm thực của phương trình: 2x3 - 6x + 1 = 0 thuộc khoảng (- 2; 2) là:

Câu 14 Cho phương trình x3 + ax2 + bx + c = 0 (1) trong đó a, b, c là các tham số

thực Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A Phương trình (1) vô nghiệm với mọi a, b, c

B Phương trình (1) có ít nhất một nghiệm với mọi a, b, c

C Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm với mọi a, b, c

D Phương trình (1) có ít nhất ba nghiệm với mọi a, b, c

Câu 15 Cho hàm số f(x) = x3 - 1000x2 + 0,01 Phương trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?

Các bài toán về giới hạn dãy số

1 Lý thuyết

a) Dãy số có giới hạn 0

Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu với mỗi số

dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số kể từ một số hạng nào đó trở đi,

|un| nhỏ hơn số dương đó

Kí hiệu: n

n

lim u 0

  hay lim un = 0 hay un0 khi n  

b) Dãy số có giới hạn hữu hạn

Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là số thực L nếu lim (un – L) = 0

Kí hiệu: n

n

lim u L

  hay lim un = L hay unL khi n  

c) Dãy số có giới hạn vô cực

y số un) có giới hạn à  khi n   , nếu un có thể ớn hơn ột số dương t

ể từ ột số hạng nào đó trở đi

ý hiệu limun  ho c un  khi n 

y số un) có giới hạn à  khi n   , nếu lim   un  

ý hiệu limun  ho c un  khi n 

d) Một vài giới hạn đặc biệt

3 3 nlim u  aNếu un0 với mọi n thì a0 và lim un  a

f) Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực

* Quy tắc tìm giới hạn tích lim (unvn)

Nếu limun L 0, lim vn  (hay ) hi đó: lim (unvn)

lim un = L lim vn lim (unvn)

lim un = L lim vn D u của vn n

n

ulimv



L < 0 0 + 

g) Tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Xét c p số nhân vô hạn u1; u1q; u1q2; … u1qn; … có công ội |q| < 1 được gọi à c p số

nhân ùi vô hạn

 

 

b)

n 15lim4

4

c) lim (-0,999)n = 0 vì |-0,999| < 1

Dạng 2 Tính giới hạn hữu hạn của phân thức

Phương pháp giải:

Trường hợp ũy thừa của n: Chia cả tử và và mẫu cho nk

(với nk à ũy thừa với số ũ lớn nh t)

Trường hợp ũy thừa ũ n Chia cả tử và mẫu cho ũy thừa có cơ số lớn nh t

Sử dụng một vài giới hạn đ c biệt:

limu  0 lim u 01

lim 0

k

1lim 0, k 0, k

2n n 1nlim

n 2 n 3n

5n 3n 7lim

n

b)

2 2

4n n 2lim

Lời giải

a)

2 2

5n 3n 7lim

4n n 2lim

2n n 1

 

2 2 2 2

4n n 2nlim2n n 1n

n n

44lim

Dạng 3: Tính giới hạn hữu hạn sử dụng phương pháp liên hợp

Phương pháp giải: Sử dụng các công thức liên hợp thường sử dụng trong các bài toán

chứa căn)

3n 5

n nlim

3

3nlim

3nnlim

t c ớn nh t của đa thức à nhân tử chung

Sử dụng quy tắc giới hạn tới vô cực lim (unvn)

Nếu limun L 0, lim vn (hay ) hi đó: lim (unvn)

lim un = L lim vn lim (unvn)

t c ớn nh t của tử và mẫu ra à nhân tử chung

Sử dụng quy tắc giới hạn tới vô cực lim (unvn)

Nếu limun L 0, lim vn (hay ) hi đó: lim (unvn)

lim un = L lim vn lim (unvn)

3

3 2

n 2

n nlim

2

n 1n

n n

21n

2 5

Thay a vào công thức truy hồi Giải phương tr nh t a

Ta được giới hạn của (un) là lim un = a

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm lim un biết (un) có giới hạn hữu hạn và  n 1 n *

n 1 n

* Rút gọn (un) (sử dụng tổng c p số cộng, c p số nhân ho c phương pháp à trội)

* Rồi tìm lim un theo định lí ho c dùng nguyên í định lí kẹp

* Định lí kẹp: Cho ba dãy số (vn); (un) và (wn): Nếu       *

L lim

.(n 1)2

 và 1

q100



Nên

1571100

b 2

1 331

 

n53

 

n13



2

1 2nlim5n 5

23



Câu 10 Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là 0?

A

n n

2 3lim

1 2nlim

3

Câu 12 Giới hạn dãy số (un) với

4 n

3n nu

Bảng đáp án