Tuyển tập bài tập về cấp số cộng (có đáp án 2022) – toán 11

Các dạng toán về cấp số cộng 1 Lý thuyết a) Định nghĩa Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số[.]

Các dạng toán về cấp số cộng

1 Lý thuyết

a) Định nghĩa:

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi

số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d

- Số không đổi d được gọi là công sai của cấp số cộng

- Nếu (un) là một cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi

*

u u d, n

Nhận xét:

- Cấp số cộng (un) là một dãy số tăng khi và chỉ khi công sai d > 0

- Cấp số cộng (un) là một dãy số giảm khi và chỉ khi công sai d < 0

- Đặc biệt, khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều

- Dãy số (un) là một cấp số cộng khi và chỉ khi un + 1 – un = d không phụ thuộc vào n và

d là công sai của cấp số cộng đó

- Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai Ta thiết lập

một hệ phương trình hai ẩn u1 và d Tìm u1 và d

- Tìm số hạng thứ n dựa vào công thức tổng quát: un = u1 + (n – 1)d hoặc công thức

truy hồi un = un - 1 + d

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng Nếu là cấp số cộng hãy xác

định số hạng đầu tiên và công sai:

Số hạng đầu tiên của cấp số cộng là u1 = – 2, công sai là d = 3

b) Ta thấy: 4 – 2 = 2 nhưng 10 – 6 = 4 Nên dãy số 2; 4; 6; 10; 12; 14; 16; 18; 20 không là cấp số cộng

b) Xác định công thức tổng quát của cấp số cộng trên

b) Số hạng tổng quát là: un = 1 + (n – 1).3 hay un = 3n – 2 với  n * c) Số hạng thứ 15 của cấp số cộng: u15 = 3.15 – 2 = 43

d) Giả sử số hạng thứ k của cấp số cộng là uk = 6061, ta có: uk = 3k – 2 = 6061, suy ra

k = 2021

Vậy số 6061 là số hạng thứ 2021 của cấp số cộng

Dạng 2 Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng Chứng minh cấp số cộng

số cộng, với: x = a2 – bc, y = b2 – ca, z = c2 – ab

b) Nếu phương trình x3 – ax2 + bx – c = 0 có ba nghiệm lập thành cấp số cộng thì 9ab

Vậy ta có điều phải chứng minh

b) Giả sử phương trình có ba nghiệm x1, x2, x3 lập thành cấp số cộng khi đó: x1 + x3 = 2x2 (1)

Mặt khác: x3 – ax2 + bx – c = (x – x1)(x – x2)(x – x3)

= x3 – (x1 + x2 + x3)x2 + (x1 x2 + x2 x3 + x3 x1)x – x1 x2 x3 Suy ra x1 + x2 + x3 = a (2)

c) (un) có u4 + u8 + u12 + u16 = 224 Tính S19

Câu 12 Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 321 và un + 1 = un – 3 với mọi n * Tính

tổng S của 125 số hạng đầu tiên của dãy số đó

A S = 16875 B S = 63375 C S = 63562,5 D S =

16687,5

Câu 13 Số hạng tổng quát của một cấp số cộng là un = 3n + 4 với n * Gọi Sn là

tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số

hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân

Nếu (un) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi: un = un-1 q với n *

Đặc biệt:

- Khi q = 0, cấp số nhân có dạng u1; 0; 0; … 0; …

- Khi q = 1, cấp số nhân có dạng u1; u1; … u1;…

- Khi u1 = 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0; 0; 0; … 0; …

b) Số hạng tổng quát của cấp số nhân (un) được xác định bởi công thức:

Phương pháp giải:

- Dãy số (un) là một cấp số nhân khi và chỉ khi n 1

n

uqu

  không phụ thuộc vào n và q là công bội của cấp số nhân đó

- Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và công bội Ta thiết lập một hệ phương trình hai ẩn u1 và q Tìm u1 và q

- Tìm số hạng thứ n dựa vào công thức tổng quát: un = u1 qn-1 hoặc công thức truy hồi un =

u q

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân Nếu là cấp số nhân hãy xác định số

hạng đầu tiên và công bội:

b) Xác định công thức tổng quát của cấp số nhân trên

Vậy cấp số nhân có số hạng đầu tiên là u1 = 3 và công bội q = 2

b) Số hạng tổng quát của cấp số nhân là un = u1 qn–1nên un = 3.2n–1 c) Số hạng thứ 15 của cấp số nhân là: u15 = 3.214= 49152

d) Giả sử số 12288 là số hạng thứ n của cấp số nhân, ta có:un122883.2n 1 122882n 1 212 n 13 Vậy số 12288 là số hạng thứ 13 của cấp số nhân

Dạng 2 Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số nhân Chứng minh cấp số nhân

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân (un)

a) (un) có số hạng tổng quát là: un = 2.( –3)k Tính S15

b) (un) có số hạng đầu là 18, số hạng thứ hai kia là 54, số hạng cuối bằng 39366 Tính tổng

của tất cả các số hạng của cấp số nhân

Câu 3 Cho cấp số nhân (un) có 1 1

Câu 9 Ba số x, y, z theo thứ tự lập thành một cấp số nhân với công bội q khác 1; đồng thời

các số x, 2y, 3z theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với công sai khác 0 Tìm q?

q3

Dạng khai triển của nó là u1; u

2; u3 ; ; um , trong đó u1 là số hạng đầu và um là số hạng cuối

- Ba cách cho một dãy số:

+ Cho dãy số bằng công thức của số hạng tổng quát

+ Cho dãy số bằng phương pháp mô tả

+ Cho dãy số bằng phương pháp truy hồi

b) Dãy số tăng, dãy số giảm

- Dãy số (u

n) được gọi là tăng nếu un 1 un với mọi n *

- Dãy số (un) được gọi là giảm nếu un 1 un với mọi n *

c) Dãy số bị chặn

- Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho unM, n  *

- Dãy số (u

n) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho unm, n  *

- Dãy số (un) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn

tại các số m, M sao cho *

→ Thay trực tiếp n = k vào uk để tìm

Bài toán 2: Cho dãy số (u

 D u11 = 5

Lời giải Chọn D

u6 = 2u5 + 3u4 + 5 = 332 u7 = 2u6 + 3u5 + 5 = 1002 u8 = 2u7 + 3u6 + 5 = 3005

Dạng 2: Xét tính tăng giảm của dãy số

Phương pháp giải

Cách 1: Xét hiệu un+1 – un

- Nếu un 1 un  0 n *thì (un) là dãy số tăng

- Nếu un 1 un  0 n * thì (un) là dãy số giảm

Cách 2: Khi un  0 n *, ta xét tỉ số n 1

n

uu



- Nếu n 1 n

u1u

  thì (un) là dãy số tăng

- Nếu n 1 n

u1u

* Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số

- Dãy số (un) có un = an + b tăng khi a > 0 và giảm khi a < 0

- Dãy số (un) có un = qn+ Không tăng, không giảm khi q < 0 + Giảm khi 0 < q < 1

+ Giảm khi ad – bc < 0

- Dãy số đan dấu cũng là dãy số không tăng, không giảm

- Nếu dãy số (un) tăng hoặc giảm thì dãy số (q un) (với q < 0) không tăng, không

Vậy (un) là dãy số giảm

Ví dụ 2: Xét tính tăng, giảm của dãy số sau n *:

Dạng 3: Xét tính bị chặn của hàm số

Phương pháp giải:

- Cách 1: Dãy số (un) có un = f(n) là hàm số đơn giản

Ta chứng minh trực tiếp bất đẳng thức un f (n)M, n  * hoặc

* n

u f (n)m, n 

- Cách 2: Dự đoán và chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Nếu dãy số (un) được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh

Chú ý: Nếu dãy số (un) giảm thì bị chặn trên, dãy số (un) tăng thì bị chặn dưới

* Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số bị chặn

Dãy số (un) có un = qn với q > 1 bị chặn dưới

Dãy số (un) có un = an + b bị chặn dưới nếu a > 0 và bị chặn trên nếu a < 0

Dãy số (un) có un = an2 + bn + c bị chặn dưới nếu a > 0 và bị chặn trên nếu a < 0

Dãy số (un có un = amnm + am-1nm-1 + + a1n + a0 bị chặn dưới nếu am > 0 và bị chặn

Vậy (un) bị chặn dưới, không bị chặn trên do bậc của tử cao hơn bậc mẫu

Ví dụ 2: Xét tính bị chặn của dãy số sau:

Giả sử mệnh đề trên đúng với n k 1:  2 uk1

Ta cần chứng minh mệnh đề trên đúng với n = k + 1

 Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là

những số nào dưới đây?

A 1 1 1

; ;

1 11; ;

Câu 6 Cho dãy số (un) biết un 5n2 Mệnh đề nào sau đây đúng?

C Dãy số không tăng, không giảm D Cả A, B, C đều sai

Câu 7 Cho dãy số (un) biết n 10n

u3

 Mệnh đề nào sau đây đúng?

C Dãy số không tăng, không giảm D n 1

n

10u

Mệnh đề nào sau đây đúng?

C Dãy số không tăng, không giảm D Có u10 = 2

Câu 11 Trong các dãy số (un) sau, dãy số nào bị chặn?

Câu 12 Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un), biết: n

2

1u



 

A Tăng, bị chặn trên B Tăng, bị chặn dưới

Câu 13 Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un), biết:

n n

2un!



A Tăng, bị chặn trên B Tăng, bị chặn dưới

Câu 14 Xét tính bị chặn của các dãy số sau: n 1 1 1

Câu 15 Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un), biết:

A Dãy số tăng, bị chặn B Dãy số tăng, bị chặn dưới

C Dãy số giảm, bị chặn trên D Cả A, B, C đều sai

Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n  * là đúng với mọi n

mà không thể thử trực tiếp được thì ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k, k 1 (gọi là giả thiết quy nạp)

Bước 3: Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1

Các bước làm bài toán như trên ta gọi là phương pháp quy nạp toán học, hay gọi tắt

là phương pháp quy nạp

Tổng quát:

Xét mệnh đề P(n) phụ thuộc vào số tự nhiên n Để chứng minh một mệnh đề P(n) đúng với mọi nn0(n0 là số tự nhiên cho trước) thì ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Kiểm tra P(n) đúng với n = n0

Bước 2: Giả sử nn0 đúng khi n = k, kn0 Bước 3: Ta cần chứng minh P(n) đúng khi n = k + 1

Kết luận: Theo nguyên lí quy nạp toán học, ta kết luận rằng P(n) đúng với mọi nn0

2 Các dạng bài tập Dạng 1 Chứng minh đẳng thức

Có nghĩa ta phải chứng minh:

 (điều phải chứng minh)

Vậy (1) đúng khi n = k + 1 Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên

dương n

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có:

1 4 + 2 7 + + n(3n + 1) = n(n + 1)2 (1)

Lời giải

Bước 1: Với n = 1, ta có: 1 4 = 1.(1 + 1)2 (đúng) Vậy (1) đúng với n = 1

Bước 2: Giả sử (1) đúng với n = k Có nghĩa là ta có: 1 4 + 2 7 + + k(3k + 1) = k(k

+ 1)2 (2)

Bước 3: Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1

Có nghĩa ta phải chứng minh: 1 4 + 2 7 + + k(3k + 1) + (k + 1)(3k + 4) = (k + 1)(k

+ 2)2

Thật vậy 1 4 + 2 7 + + k(3k + 1) + (k + 1)(3k + 4)

= k(k + 1)2 + (k + 1)(3k + 4)

= (k + 1)[k(k + 1) + 3k + 4] = (k + 1)(k + 2)2 (điều phải chứng minh)

Vậy (1) đúng khi n = k + 1 Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên

dương n

Dạng 2: Chứng minh bất đẳng thức

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề P(n) > Q(n) phụ thuộc vào số tự nhiên n đúng với mọi

n  m (m là số tự nhiên cho trước), ta thực hiện theo hai bước sau:

Bước 1: Chứng minh rằng khi n = m P(m) > Q(m) luôn đúng Bước 2: Với k là một số tự nhiên tùy ý, km Giả sử đúng với n = k, ta được P(k) > Q(k) đúng

Bước 3: Ta sẽ chứng minh đẳng thức đúng khi n = k + 1

Theo nguyên lí quy nạp toán học, ta kết luận rằng P(n) đúng với mọi số tự nhiên

Ta phải chứng minh (2) đúng với n = k + 1

Có nghĩa ta phải chứng minh: 3k + 1 > (k + 1)2 + 4(k + 1) + 5 Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 3 ta được: 3.3k > 3.k2 + 12k + 15

3k + 1 > (k2 + 2k + 1) + 4(k + 1) + 5 + (2k2 + 6k + 5)

Vì (2k26k   5) 0 k 3 Vậy 3k + 1 > (k + 1)2 + 4(k + 1) + 5 (đúng)

Vậy (1) đúng với mọi số nguyên dương n3

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n  2 ta có:

Bước 3: Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1

k 2k 3  k 1 k(k 1) (k 1)24

Làm theo 3 bước như phần lý thuyết đã nêu

Chú ý một số dấu hiệu chia hết

- Dấu hiệu chia hết cho 2: các số có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8

- Dấu hiệu chia hết cho 5: các số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5

- Dấu hiệu chia hết cho 3: các số có tổng các chữ số chia hết cho 3

- Dấu hiệu chia hết cho 9: các số có tổng các chữ số chia hết cho 9

- Dấu hiệu chia hết cho 4: hai chữ số tận cùng tạo thành 1 số chia hết cho 4

- Dấu hiệu chia hết cho 6: các số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3

- Dấu hiệu chia hết cho 8: ba chữ số tận cùng tạo thành 1 số chia hết cho 8

- Dấu hiệu chia hết cho 10: chữ số tận cùng bằng 0

- Tích của hai số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2

- Tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2, 3 và 6

- Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2, 3, 4, 6 và 8

- Tính chất của sự chia hết:

+ Nếu hai số a và b đều chia hết cho m, thì tổng (a + b) và hiệu (a – b) chia hết cho m

+ Nếu mỗi số a m , i 1,2, ,ni i    thì tích a a a1 2 n m m m1 2 n

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi n *thì n3 + 2n chia hết cho 3

Lời giải

Đặt P(n) = n + 2n

Bước 1: Với n = 1, ta có P(1) 1 3 2.1 3 3 Suy ra P(n) đúng với n = 1

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng khi n k 1, tức là: P(k)k32k 3Bước 3: Ta cần chứng minh mệnh đề đúng khi n = k + 1

Tức là chứng minh: P(k 1) (k 1) 32(k 1) 3  Thật vậy:

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi n *thì 4 6n + 5n – 4 chia hết cho 5

Tức là chứng minh: P(k 1) 4.6k 1 5k 1 4 5 Thật vậy:

Suy ra mệnh đề đúng với n = 1

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng khi n k 3, tức là: S(k) = (k – 2)1800

Bước 3: Ta cần chứng minh mệnh đề đúng khi n = k + 1

Tức là chứng minh: S(k + 1) = (k – 1)1800

Thật vậy: ta tách đa giác (k + 1) cạnh thành đa giác k cạnh và tam giác A1AkAk+1 bằng

cách nối đoạn A1Ak Khi đó tổng các góc trong của đa giác lồi (k + 1) cạnh bằng tổng

các góc trong của đa giác lồi k cạnh cộng với tổng ba góc trong của tam giác

A1AkAk+1

Tức là: S(k + 1) = S(k) + 1800 = (k – 2)1800 + 1800 = (k – 1)1800

Do đó mệnh đề đúng khi n = k + 1

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học ta có mệnh đề đúng với mọi n *;n3

Ví dụ 2: Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh n4 là:

Bước 1: Khi n = 4, ta có S(4) = 2 Suy ra mệnh đề đúng với n = 4

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng khi n k 4, tức là: k k 3

Khi đó trừ đi đỉnh đỉnh Ak + 1 và 2 đỉnh kề với nó là A1Ak thì ta còn lại (k + 1) – 3 = k –

2 đỉnh, tương ứng với (k – 2) đường chéo kẻ từ đỉnh Ak+1 cộng với đường chéo A1Akthì ta có số đường chéo của đa giác (k + 1) cạnh là:

- Giả sử (1) đúng với n = k, tức là 8k + 1 chia hết cho 7

- Ta có: 8k + 1 + 1 = 8(8k + 1) - 7, kết hợp với giả thiết 8k + 1 chia hết cho 7 nên suy ra được 8k + 1

+ 1 chia hết cho 7 Vậy đẳng thức (1) đúng với mọi n *

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Học sinh trên chứng minh đúng

B Học sinh chứng minh sai vì không có giả thiết qui nạp

C Học sinh chứng minh sai vì không dùng giả thiết qui nạp

D Học sinh không kiểm tra bước 1 (bước cơ sở) của phương pháp qui nạp

Câu 11 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n  5, ta có: 2n > n2

Câu 12 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n  3, ta có: 2n > 2n +1

Câu 13 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n  4 ta có: 3n-1 > n(n +2)

Câu 14 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì n3 + 11n chia hết cho 6 Câu 15 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì 4n + 15n – 1 chia hết cho 9

Các công thức về cấp số cộng

1 Lý thuyết

a) Định nghĩa: (un) là cấp số cộng khi un 1 und, n * (d gọi là công sai)

Nhận xét:

- Cấp số cộng (un) là một dãy số tăng khi và chỉ khi công sai d > 0

- Cấp số cộng (un) là một dãy số giảm khi và chỉ khi công sai d < 0

- Đặc biệt, khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều

bằng nhau)

b) Số hạng tổng quát của cấp số cộng (un) được xác định bởi công thức:

un = u1 + (n – 1)d với n *,n2 c) Tính chất:

Ba số hạng uk 1,u ,uk k 1 k2 là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi

- Công thức tính tính công sai: d = un+1 – un với n  *

- Công thức tìm số hạng tổng quát: un = u1 + (n – 1)d với n *,n2

- Tính chất của 3 số hạng uk 1,u ,uk k 1 k2 liên tiếp của cấp số cộng:

b) Xác định công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng

Khi đó: 2k – 3 = 393 Suy ra k = 198

Vậy số 393 là số hạng thứ 198 của cấp số cộng

c) Ta có: u1 = 2 1 – 3 = – 1 Dãy số là (vn): u1; u3; u5; … u2021 là cấp số cộng với số hạng đầu tiên là u1 = – 1 và công sai d’ = u3 – u1 = 2d = 4

2